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Theorem mdetunilem3 18545
Description: Lemma for mdetuni 18553. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem3  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( D `  E
)  =  ( ( D `  F ) 
.+  ( D `  G ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w    x, B, y, z, w    x, K, y, z, w    x, N, y, z, w    x, D, y, z, w    x,  .x. , y, z, w    x,  .+ , y, z, w    x,  .0. , y, z, w    x,  .1. , y, z, w    x, R, y, z, w    x, A, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w    x, G, y, z, w    x, H, y, z, w

Proof of Theorem mdetunilem3
StepHypRef Expression
1 simp23 1023 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )
2 simp3l 1016 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( E  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) )
3 simp3r 1017 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( E  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) )
4 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  G  e.  B )
5 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  H  e.  N )
6 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  E  e.  B )
7 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  F  e.  B )
8 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  ph )
9 mdetuni.li . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( (
( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
11 reseq1 5205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( E  |`  ( { w }  X.  N ) ) )
1211eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  <-> 
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) ) ) )
13 reseq1 5205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
x  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )
1413eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( x  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) )
1513eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( x  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) )
1612, 14, 153anbi123d 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  <->  ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) ) )
17 fveq2 5792 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  ( D `  x )  =  ( D `  E ) )
1817eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  (
( D `  x
)  =  ( ( D `  y ) 
.+  ( D `  z ) )  <->  ( D `  E )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
1916, 18imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) )  <-> 
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) ) )
20192ralbidv 2871 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) )  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) ) )
21 reseq1 5205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  F  ->  (
y  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( { w }  X.  N ) ) )
2221oveq1d 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  (
( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) ) )
2322eqeq2d 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  <-> 
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) ) ) )
24 reseq1 5205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  (
y  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )
2524eqeq2d 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( E  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) )
2623, 253anbi12d 1291 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  <->  ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) ) )
27 fveq2 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  ( D `  y )  =  ( D `  F ) )
2827oveq1d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( D `  y
)  .+  ( D `  z ) )  =  ( ( D `  F )  .+  ( D `  z )
) )
2928eqeq2d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  (
( D `  E
)  =  ( ( D `  y ) 
.+  ( D `  z ) )  <->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
3026, 29imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) )  <-> 
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) ) )
31302ralbidv 2871 . . . . . . 7  |-  ( y  =  F  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) )  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) ) )
3220, 31rspc2va 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  e.  B  /\  F  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( (
( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
336, 7, 10, 32syl21anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
34 reseq1 5205 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  G  ->  (
z  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )
3534oveq2d 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  G  ->  (
( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) ) )
3635eqeq2d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  G  ->  (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  <-> 
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) ) ) )
37 reseq1 5205 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  G  ->  (
z  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )
3837eqeq2d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  G  ->  (
( E  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) )
3936, 383anbi13d 1292 . . . . . . 7  |-  ( z  =  G  ->  (
( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  <->  ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) ) )
40 fveq2 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  G  ->  ( D `  z )  =  ( D `  G ) )
4140oveq2d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  G  ->  (
( D `  F
)  .+  ( D `  z ) )  =  ( ( D `  F )  .+  ( D `  G )
) )
4241eqeq2d 2465 . . . . . . 7  |-  ( z  =  G  ->  (
( D `  E
)  =  ( ( D `  F ) 
.+  ( D `  z ) )  <->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) )
4339, 42imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( z  =  G  ->  (
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) )  <-> 
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) ) )
44 sneq 3988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  { w }  =  { H } )
4544xpeq1d 4964 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( { w }  X.  N )  =  ( { H }  X.  N ) )
4645reseq2d 5211 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( E  |`  ( { H }  X.  N ) ) )
4745reseq2d 5211 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( { H }  X.  N ) ) )
4845reseq2d 5211 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )
4947, 48oveq12d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  (
( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )
5046, 49eqeq12d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  <-> 
( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) ) )
5144difeq2d 3575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  ( N  \  { w }
)  =  ( N 
\  { H }
) )
5251xpeq1d 4964 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  (
( N  \  {
w } )  X.  N )  =  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )
5352reseq2d 5211 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( E  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )
5452reseq2d 5211 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( F  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )
5553, 54eqeq12d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
( E  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) ) ) )
5652reseq2d 5211 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( G  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )
5753, 56eqeq12d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
( E  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) ) ) )
5850, 55, 573anbi123d 1290 . . . . . . 7  |-  ( w  =  H  ->  (
( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  <->  ( ( E  |`  ( { H }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) ) ) )
5958imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( w  =  H  ->  (
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) )  <-> 
( ( ( E  |`  ( { H }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) ) )
6043, 59rspc2va 3180 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  B  /\  H  e.  N
)  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) )  ->  ( (
( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) )
614, 5, 33, 60syl21anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  ( (
( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) )
62613adantr3 1149 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) ) )  ->  (
( ( E  |`  ( { H }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) )
63623adant3 1008 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( ( ( E  |`  ( { H }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) )
641, 2, 3, 63mp3and 1318 1  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( D `  E
)  =  ( ( D `  F ) 
.+  ( D `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795    \ cdif 3426   {csn 3978    X. cxp 4939    |` cres 4943   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    oFcof 6421   Fincfn 7413   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   .rcmulr 14350   0gc0g 14489   1rcur 16717   Ringcrg 16760   Mat cmat 18398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-xp 4947  df-res 4953  df-iota 5482  df-fv 5527  df-ov 6196
This theorem is referenced by:  mdetunilem5  18547  mdetuni0  18552
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