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Theorem mdetunilem3 18395
Description: Lemma for mdetuni 18403. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem3  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( D `  E
)  =  ( ( D `  F ) 
.+  ( D `  G ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w    x, B, y, z, w    x, K, y, z, w    x, N, y, z, w    x, D, y, z, w    x,  .x. , y, z, w    x,  .+ , y, z, w    x,  .0. , y, z, w    x,  .1. , y, z, w    x, R, y, z, w    x, A, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w    x, G, y, z, w    x, H, y, z, w

Proof of Theorem mdetunilem3
StepHypRef Expression
1 simp23 1023 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )
2 simp3l 1016 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( E  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) )
3 simp3r 1017 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( E  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) )
4 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  G  e.  B )
5 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  H  e.  N )
6 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  E  e.  B )
7 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  F  e.  B )
8 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  ph )
9 mdetuni.li . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( (
( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
11 reseq1 5099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( E  |`  ( { w }  X.  N ) ) )
1211eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  <-> 
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) ) ) )
13 reseq1 5099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  E  ->  (
x  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )
1413eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( x  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) )
1513eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
( x  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) )
1612, 14, 153anbi123d 1289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  <->  ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) ) )
17 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  ( D `  x )  =  ( D `  E ) )
1817eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  (
( D `  x
)  =  ( ( D `  y ) 
.+  ( D `  z ) )  <->  ( D `  E )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
1916, 18imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) )  <-> 
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) ) )
20192ralbidv 2752 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) )  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) ) )
21 reseq1 5099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  F  ->  (
y  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( { w }  X.  N ) ) )
2221oveq1d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  (
( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) ) )
2322eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  <-> 
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) ) ) )
24 reseq1 5099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  (
y  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )
2524eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( E  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) )
2623, 253anbi12d 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  <->  ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) ) )
27 fveq2 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  F  ->  ( D `  y )  =  ( D `  F ) )
2827oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
( D `  y
)  .+  ( D `  z ) )  =  ( ( D `  F )  .+  ( D `  z )
) )
2928eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  (
( D `  E
)  =  ( ( D `  y ) 
.+  ( D `  z ) )  <->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
3026, 29imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) )  <-> 
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) ) )
31302ralbidv 2752 . . . . . . 7  |-  ( y  =  F  ->  ( A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) )  <->  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) ) )
3220, 31rspc2va 3075 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  e.  B  /\  F  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( (
( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
336, 7, 10, 32syl21anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
34 reseq1 5099 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  G  ->  (
z  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )
3534oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  G  ->  (
( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) ) )
3635eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  G  ->  (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  <-> 
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) ) ) )
37 reseq1 5099 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  G  ->  (
z  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )
3837eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  G  ->  (
( E  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) )
3936, 383anbi13d 1291 . . . . . . 7  |-  ( z  =  G  ->  (
( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  <->  ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) ) ) )
40 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  G  ->  ( D `  z )  =  ( D `  G ) )
4140oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  G  ->  (
( D `  F
)  .+  ( D `  z ) )  =  ( ( D `  F )  .+  ( D `  G )
) )
4241eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( z  =  G  ->  (
( D `  E
)  =  ( ( D `  F ) 
.+  ( D `  z ) )  <->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) )
4339, 42imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( z  =  G  ->  (
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) )  <-> 
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) ) )
44 sneq 3882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  { w }  =  { H } )
4544xpeq1d 4858 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( { w }  X.  N )  =  ( { H }  X.  N ) )
4645reseq2d 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( E  |`  ( { H }  X.  N ) ) )
4745reseq2d 5105 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( { H }  X.  N ) ) )
4845reseq2d 5105 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )
4947, 48oveq12d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  (
( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )
5046, 49eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  <-> 
( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) ) )
5144difeq2d 3469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  H  ->  ( N  \  { w }
)  =  ( N 
\  { H }
) )
5251xpeq1d 4858 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  H  ->  (
( N  \  {
w } )  X.  N )  =  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )
5352reseq2d 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( E  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )
5452reseq2d 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( F  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )
5553, 54eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
( E  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) ) ) )
5652reseq2d 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  H  ->  ( G  |`  ( ( N 
\  { w }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )
5753, 56eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  H  ->  (
( E  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  (
( N  \  {
w } )  X.  N ) )  <->  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) ) ) )
5850, 55, 573anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( w  =  H  ->  (
( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  <->  ( ( E  |`  ( { H }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) ) ) )
5958imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( w  =  H  ->  (
( ( ( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) )  <-> 
( ( ( E  |`  ( { H }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) ) )
6043, 59rspc2va 3075 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  B  /\  H  e.  N
)  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( (
( E  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  z ) ) ) )  ->  ( (
( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) )
614, 5, 33, 60syl21anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N )
)  ->  ( (
( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) )
62613adantr3 1149 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) ) )  ->  (
( ( E  |`  ( { H }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) )
63623adant3 1008 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( ( ( E  |`  ( { H }  X.  N ) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N ) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  =  ( F  |`  (
( N  \  { H } )  X.  N
) )  /\  ( E  |`  ( ( N 
\  { H }
)  X.  N ) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  E )  =  ( ( D `  F
)  .+  ( D `  G ) ) ) )
641, 2, 3, 63mp3and 1317 1  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  F  e.  B )  /\  ( G  e.  B  /\  H  e.  N  /\  ( E  |`  ( { H }  X.  N
) )  =  ( ( F  |`  ( { H }  X.  N
) )  oF  .+  ( G  |`  ( { H }  X.  N ) ) ) )  /\  ( ( E  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N ) )  /\  ( E  |`  ( ( N  \  { H } )  X.  N
) )  =  ( G  |`  ( ( N  \  { H }
)  X.  N ) ) ) )  -> 
( D `  E
)  =  ( ( D `  F ) 
.+  ( D `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710    \ cdif 3320   {csn 3872    X. cxp 4833    |` cres 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   Fincfn 7302   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   .rcmulr 14231   0gc0g 14370   1rcur 16591   Ringcrg 16633   Mat cmat 18255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-xp 4841  df-res 4847  df-iota 5376  df-fv 5421  df-ov 6089
This theorem is referenced by:  mdetunilem5  18397  mdetuni0  18402
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