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Theorem mdetunilem1 19241
Description: Lemma for mdetuni 19251. (Contributed by SO, 14-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem1  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w    x, B, y, z, w    x, K, y, z, w    x, N, y, z, w    x, D, y, z, w    x,  .x. , y, z, w    x,  .+ , y, z, w    x,  .0. , y, z, w    x,  .1. , y, z, w    x, R, y, z, w    x, A, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w    x, G, y, z, w

Proof of Theorem mdetunilem1
StepHypRef Expression
1 simpr3 1004 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  F  =/=  G
)
2 simpl3 1001 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )
3 simpr2 1003 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  G  e.  N
)
4 simpl2 1000 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  E  e.  B
)
5 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  F  e.  N
)
6 simpl1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  ph )
7 mdetuni.al . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
9 oveq 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
y x w )  =  ( y E w ) )
10 oveq 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
z x w )  =  ( z E w ) )
119, 10eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  (
( y x w )  =  ( z x w )  <->  ( y E w )  =  ( z E w ) ) )
1211ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  ( A. w  e.  N  ( y x w )  =  ( z x w )  <->  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) ) )
1312anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y x w )  =  ( z x w ) )  <-> 
( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) ) ) )
14 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  ( D `  x )  =  ( D `  E ) )
1514eqeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( D `  x
)  =  .0.  <->  ( D `  E )  =  .0.  ) )
1613, 15imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  )  <->  ( (
y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) )  -> 
( D `  E
)  =  .0.  )
) )
1716ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  E  ->  ( A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  )  <->  A. z  e.  N  ( (
y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) )  -> 
( D `  E
)  =  .0.  )
) )
18 neeq1 2738 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  F  ->  (
y  =/=  z  <->  F  =/=  z ) )
19 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
y E w )  =  ( F E w ) )
2019eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  (
( y E w )  =  ( z E w )  <->  ( F E w )  =  ( z E w ) ) )
2120ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  F  ->  ( A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w )  <->  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) ) )
2218, 21anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  F  ->  (
( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) )  <-> 
( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) ) ) )
2322imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  )  <->  ( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) ) )
2423ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( y  =  F  ->  ( A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  )  <->  A. z  e.  N  ( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) ) )
2517, 24rspc2va 3220 . . . 4  |-  ( ( ( E  e.  B  /\  F  e.  N
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( (
y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y x w )  =  ( z x w ) )  -> 
( D `  x
)  =  .0.  )
)  ->  A. z  e.  N  ( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) )
264, 5, 8, 25syl21anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  A. z  e.  N  ( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) )
27 neeq2 2740 . . . . . 6  |-  ( z  =  G  ->  ( F  =/=  z  <->  F  =/=  G ) )
28 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  G  ->  (
z E w )  =  ( G E w ) )
2928eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( z  =  G  ->  (
( F E w )  =  ( z E w )  <->  ( F E w )  =  ( G E w ) ) )
3029ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( z  =  G  ->  ( A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w )  <->  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) ) )
3127, 30anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( z  =  G  ->  (
( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  <->  ( F  =/=  G  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) ) ) )
3231imbi1d 317 . . . 4  |-  ( z  =  G  ->  (
( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  )  <->  ( ( F  =/=  G  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) ) )
3332rspcva 3208 . . 3  |-  ( ( G  e.  N  /\  A. z  e.  N  ( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  -> 
( D `  E
)  =  .0.  )
)  ->  ( ( F  =/=  G  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) )
343, 26, 33syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  ( ( F  =/=  G  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) )
351, 2, 34mp2and 679 1  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    \ cdif 3468   {csn 4032    X. cxp 5006    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   Fincfn 7535   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713   0gc0g 14857   1rcur 17280   Ringcrg 17325   Mat cmat 19036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299
This theorem is referenced by:  mdetunilem2  19242  mdetuni0  19250
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