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Theorem mdetunilem1 18423
Description: Lemma for mdetuni 18433. (Contributed by SO, 14-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetunilem1  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w    x, B, y, z, w    x, K, y, z, w    x, N, y, z, w    x, D, y, z, w    x,  .x. , y, z, w    x,  .+ , y, z, w    x,  .0. , y, z, w    x,  .1. , y, z, w    x, R, y, z, w    x, A, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w    x, G, y, z, w

Proof of Theorem mdetunilem1
StepHypRef Expression
1 simpr3 996 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  F  =/=  G
)
2 simpl3 993 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )
3 simpr2 995 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  G  e.  N
)
4 simpl2 992 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  E  e.  B
)
5 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  F  e.  N
)
6 simpl1 991 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  ph )
7 mdetuni.al . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
9 oveq 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
y x w )  =  ( y E w ) )
10 oveq 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  E  ->  (
z x w )  =  ( z E w ) )
119, 10eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  E  ->  (
( y x w )  =  ( z x w )  <->  ( y E w )  =  ( z E w ) ) )
1211ralbidv 2740 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  ( A. w  e.  N  ( y x w )  =  ( z x w )  <->  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) ) )
1312anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y x w )  =  ( z x w ) )  <-> 
( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) ) ) )
14 fveq2 5696 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  ( D `  x )  =  ( D `  E ) )
1514eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( D `  x
)  =  .0.  <->  ( D `  E )  =  .0.  ) )
1613, 15imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  E  ->  (
( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  )  <->  ( (
y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) )  -> 
( D `  E
)  =  .0.  )
) )
1716ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( x  =  E  ->  ( A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  )  <->  A. z  e.  N  ( (
y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) )  -> 
( D `  E
)  =  .0.  )
) )
18 neeq1 2621 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  F  ->  (
y  =/=  z  <->  F  =/=  z ) )
19 oveq1 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  F  ->  (
y E w )  =  ( F E w ) )
2019eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  F  ->  (
( y E w )  =  ( z E w )  <->  ( F E w )  =  ( z E w ) ) )
2120ralbidv 2740 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  F  ->  ( A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w )  <->  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) ) )
2218, 21anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  F  ->  (
( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) )  <-> 
( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) ) ) )
2322imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( y  =  F  ->  (
( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  )  <->  ( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) ) )
2423ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( y  =  F  ->  ( A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  )  <->  A. z  e.  N  ( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) ) )
2517, 24rspc2va 3085 . . . 4  |-  ( ( ( E  e.  B  /\  F  e.  N
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( (
y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y x w )  =  ( z x w ) )  -> 
( D `  x
)  =  .0.  )
)  ->  A. z  e.  N  ( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) )
264, 5, 8, 25syl21anc 1217 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  A. z  e.  N  ( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) )
27 neeq2 2622 . . . . . 6  |-  ( z  =  G  ->  ( F  =/=  z  <->  F  =/=  G ) )
28 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  G  ->  (
z E w )  =  ( G E w ) )
2928eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( z  =  G  ->  (
( F E w )  =  ( z E w )  <->  ( F E w )  =  ( G E w ) ) )
3029ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( z  =  G  ->  ( A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w )  <->  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) ) )
3127, 30anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( z  =  G  ->  (
( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  <->  ( F  =/=  G  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) ) ) )
3231imbi1d 317 . . . 4  |-  ( z  =  G  ->  (
( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  )  <->  ( ( F  =/=  G  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) ) )
3332rspcva 3076 . . 3  |-  ( ( G  e.  N  /\  A. z  e.  N  ( ( F  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( z E w ) )  -> 
( D `  E
)  =  .0.  )
)  ->  ( ( F  =/=  G  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) )
343, 26, 33syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  ( ( F  =/=  G  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  ) )
351, 2, 34mp2and 679 1  |-  ( ( ( ph  /\  E  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( F E w )  =  ( G E w ) )  /\  ( F  e.  N  /\  G  e.  N  /\  F  =/=  G ) )  ->  ( D `  E )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720    \ cdif 3330   {csn 3882    X. cxp 4843    |` cres 4847   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323   Fincfn 7315   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   .rcmulr 14244   0gc0g 14383   1rcur 16608   Ringcrg 16650   Mat cmat 18285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-iota 5386  df-fv 5431  df-ov 6099
This theorem is referenced by:  mdetunilem2  18424  mdetuni0  18432
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