MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetuni0 Structured version   Unicode version

Theorem mdetuni0 18890
Description: Lemma for mdetuni 18891. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetuni.e  |-  E  =  ( N maDet  R )
mdetuni.cr  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetuni.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mdetuni0  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w    x, B, y, z, w    x, K, y, z, w    x, N, y, z, w    x, D, y, z, w    x,  .x. , y, z, w    x,  .+ , y, z, w    x,  .0. , y, z, w    x,  .1. , y, z, w    x, R, y, z, w    x, A, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w

Proof of Theorem mdetuni0
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mdetuni.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 mdetuni.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mdetuni.0g . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mdetuni.1r . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
6 mdetuni.pg . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
7 mdetuni.tg . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
8 mdetuni.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
9 mdetuni.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 rnggrp 16991 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
13 mdetuni.ff . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
1413ffvelrnda 6019 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( D `  a )  e.  K )
159adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
168, 9jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
171matrng 18712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
18 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
192, 18rngidcl 17006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
2016, 17, 193syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  A
)  e.  B )
2113, 20ffvelrnd 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
23 mdetuni.cr . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
24 mdetuni.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( N maDet  R )
2524, 1, 2, 3mdetf 18864 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  E : B
--> K )
2623, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E : B --> K )
2726ffvelrnda 6019 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( E `  a )  e.  K )
283, 7rngcl 16999 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 a )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  e.  K )
2915, 22, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  e.  K )
30 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
313, 30grpsubcl 15919 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  a )  e.  K  /\  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  e.  K )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  e.  K
)
3212, 14, 29, 31syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  e.  K
)
33 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) )  =  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) )
3432, 33fmptd 6043 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) : B --> K )
35 simpr1 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N ) )  -> 
b  e.  B )
36 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  ( D `  a )  =  ( D `  b ) )
37 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  ( E `  a )  =  ( E `  b ) )
3837oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) )
3936, 38oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
40 ovex 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) )  e.  _V
4139, 33, 40fvmpt 5948 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  B  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) ) )
4235, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
43423adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
44 simp1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ph )
45 simp21 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  b  e.  B
)
46 simp3r 1025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) )
47 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  w  ->  (
c b e )  =  ( c b w ) )
48 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  w  ->  (
d b e )  =  ( d b w ) )
4947, 48eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  w  ->  (
( c b e )  =  ( d b e )  <->  ( c
b w )  =  ( d b w ) ) )
5049cbvralv 3088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. e  e.  N  (
c b e )  =  ( d b e )  <->  A. w  e.  N  ( c
b w )  =  ( d b w ) )
5146, 50sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  A. w  e.  N  ( c b w )  =  ( d b w ) )
52 simp22 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  c  e.  N
)
53 simp23 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  d  e.  N
)
54 simp3l 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  c  =/=  d
)
55 mdetuni.al . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
56 mdetuni.li . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
57 mdetuni.sc . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem1 18881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( c
b w )  =  ( d b w ) )  /\  (
c  e.  N  /\  d  e.  N  /\  c  =/=  d ) )  ->  ( D `  b )  =  .0.  )
5944, 45, 51, 52, 53, 54, 58syl33anc 1243 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( D `  b )  =  .0.  )
60233ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  R  e.  CRing )
6124, 1, 2, 4, 60, 45, 52, 53, 54, 46mdetralt 18877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( E `  b )  =  .0.  )
6261oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) )  =  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  .0.  ) )
6359, 62oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) )  =  (  .0.  ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  .0.  ) ) )
643, 7, 4rngrz 17023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
659, 21, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6665oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  .0.  ) )  =  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  ) )
673, 4grpidcl 15879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  K )
6811, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
693, 4, 30grpsubid 15923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  K )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
7011, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
7166, 70eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  .0.  ) )  =  .0.  )
72713ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  (  .0.  ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  .0.  ) )  =  .0.  )
7343, 63, 723eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  .0.  )
74733expia 1198 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N ) )  -> 
( ( c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c
b e )  =  ( d b e ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  .0.  ) )
7574ralrimivvva 2886 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c
b e )  =  ( d b e ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  .0.  ) )
76 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ph )
77 simp2ll 1063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  b  e.  B )
78 simp2lr 1064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  c  e.  B )
79 simp2rl 1065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  d  e.  B )
80 simp2rr 1066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  e  e.  N )
81 simp31 1032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( {
e }  X.  N
) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) ) )
82 simp32 1033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )
83 simp33 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem3 18883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  N  /\  ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) ) )  /\  (
( b  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( ( D `  c
)  .+  ( D `  d ) ) )
8576, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84syl332anc 1259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) )
86233ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  R  e.  CRing )
8724, 1, 2, 6, 86, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83mdetrlin 18871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( E `  b )  =  ( ( E `
 c )  .+  ( E `  d ) ) )
8887oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  b ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) ) )
8985, 88oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) )  =  ( ( ( D `  c )  .+  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) ) )
90 simprll 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
b  e.  B )
9190, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
92913adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) ) )
93 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
c  e.  B )
94 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  c  ->  ( D `  a )  =  ( D `  c ) )
95 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  c  ->  ( E `  a )  =  ( E `  c ) )
9695oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  c  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 c ) ) )
9794, 96oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  c  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  c
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) ) )
98 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D `  c ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) )  e.  _V
9997, 33, 98fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  B  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  =  ( ( D `
 c ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 c ) ) ) )
10093, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  =  ( ( D `  c ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) ) )
101 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
d  e.  B )
102 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  d  ->  ( D `  a )  =  ( D `  d ) )
103 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  d  ->  ( E `  a )  =  ( E `  d ) )
104103oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  d  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) )
105102, 104oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )
106 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D `  d ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) )  e.  _V
107105, 33, 106fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  B  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d )  =  ( ( D `
 d ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )
108101, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  d
)  =  ( ( D `  d ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )
109100, 108oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  .+  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( ( D `  c
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) )  .+  (
( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) ) )
110 rngabl 17015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
1119, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
112111adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  R  e.  Abel )
11313adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  D : B --> K )
114113, 93ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  c
)  e.  K )
115113, 101ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  d
)  e.  K )
1169adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  R  e.  Ring )
11721adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
11826adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  E : B --> K )
119118, 93ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( E `  c
)  e.  K )
1203, 7rngcl 16999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 c )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  e.  K )
121116, 117, 119, 120syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 c ) )  e.  K )
122118, 101ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( E `  d
)  e.  K )
1233, 7rngcl 16999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 d )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) )  e.  K )
124116, 117, 122, 123syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) )  e.  K )
1253, 6, 30ablsub4 16619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  (
( D `  c
)  e.  K  /\  ( D `  d )  e.  K )  /\  ( ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) )  e.  K  /\  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) )  e.  K ) )  ->  ( ( ( D `  c ) 
.+  ( D `  d ) ) (
-g `  R )
( ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) ) )  =  ( ( ( D `  c
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) )  .+  (
( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) ) )
126112, 114, 115, 121, 124, 125syl122anc 1237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )  =  ( ( ( D `  c ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) ) ) 
.+  ( ( D `
 d ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) ) )
1273, 6, 7rngdi 17004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `  c )  e.  K  /\  ( E `  d )  e.  K ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) )  =  ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )
128116, 117, 119, 122, 127syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) )  =  ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )
129128eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) )
130129oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )  =  ( ( ( D `  c )  .+  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) ) )
131109, 126, 1303eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  .+  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( ( D `  c
)  .+  ( D `  d ) ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) ) ) )
1321313adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) ) )
13389, 92, 1323eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  .+  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) )
1341333expia 1198 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
135134anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
136135ralrimivva 2885 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B ) )  ->  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
137136ralrimivva 2885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  A. c  e.  B  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
138 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ph )
139 simp2ll 1063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  b  e.  B )
140 simp2lr 1064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  c  e.  K )
141 simp2rl 1065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  d  e.  B )
142 simp2rr 1066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  e  e.  N )
143 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X. 
{ c } )  oF  .x.  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) ) )
144 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )
1451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem4 18884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  K  /\  d  e.  B )  /\  (
e  e.  N  /\  ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( c  .x.  ( D `  d ) ) )
146138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145syl133anc 1251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( c  .x.  ( D `  d ) ) )
147233ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  R  e.  CRing )
14824, 1, 2, 3, 7, 147, 139, 140, 141, 142, 143, 144mdetrsca 18872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( E `  b )  =  ( c  .x.  ( E `  d ) ) )
149148oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  b ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( c 
.x.  ( E `  d ) ) ) )
150146, 149oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
151 simprll 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
b  e.  B )
152151, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
1531523adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) ) )
154 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
d  e.  B )
155154, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  d
)  =  ( ( D `  d ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )
156155oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( c 
.x.  ( ( D `
 d ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) ) )
1579adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  R  e.  Ring )
158 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
c  e.  K )
15913adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  D : B --> K )
160159, 154ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  d
)  e.  K )
16121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
16226adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  E : B --> K )
163162, 154ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( E `  d
)  e.  K )
164157, 161, 163, 123syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) )  e.  K )
1653, 7, 30, 157, 158, 160, 164rngsubdi 17031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( c  .x.  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) ) )
166 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
167166crngmgp 16994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
16823, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
169168adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
(mulGrp `  R )  e. CMnd )
170166, 3mgpbas 16937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
171166, 7mgpplusg 16935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
172170, 171cmn12 16614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( c  e.  K  /\  ( D `
 ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 d )  e.  K ) )  -> 
( c  .x.  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) )
173169, 158, 161, 163, 172syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) )
174173oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( c  .x.  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( c  .x.  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
175156, 165, 1743eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `
 d ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
1761753adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
c  .x.  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
177150, 153, 1763eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  d
) ) )
1781773expia 1198 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
179178anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  K )
)  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
180179ralrimivva 2885 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  K ) )  ->  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
181180ralrimivva 2885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  A. c  e.  K  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
182 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) )  =  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) )
183 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  ( D `  a )  =  ( D `  ( 1r `  A ) ) )
184 fveq2 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  ( E `  a )  =  ( E `  ( 1r `  A ) ) )
185184oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 ( 1r `  A ) ) ) )
186183, 185oveq12d 6300 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  ( 1r
`  A ) ) ) ) )
18724, 1, 18, 5mdet1 18870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( E `  ( 1r `  A ) )  =  .1.  )
18823, 8, 187syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E `  ( 1r `  A ) )  =  .1.  )
189188oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 ( 1r `  A ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  .1.  ) )
1903, 7, 5rngridm 17010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  .1.  )  =  ( D `  ( 1r
`  A ) ) )
1919, 21, 190syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  .1.  )  =  ( D `  ( 1r `  A ) ) )
192189, 191eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 ( 1r `  A ) ) )  =  ( D `  ( 1r `  A ) ) )
193192oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  ( 1r
`  A ) ) ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
1943, 4, 30grpsubid 15923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( 1r
`  A ) )  e.  K )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  .0.  )
19511, 21, 194syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  .0.  )
196193, 195eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  ( 1r
`  A ) ) ) )  =  .0.  )
197186, 196sylan9eqr 2530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  ( 1r `  A ) )  ->  ( ( D `  a )
( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) )  =  .0.  )
198 fvex 5874 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1994, 198eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  .0.  e.  _V
200199a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
201182, 197, 20, 200fvmptd 5953 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
202 eqid 2467 . . . . 5  |-  { b  |  A. c  e.  B  A. d  e.  ( N  ^m  N
) ( A. e  e.  b  ( c `  e )  =  if ( e  e.  d ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  =  .0.  ) }  =  {
b  |  A. c  e.  B  A. d  e.  ( N  ^m  N
) ( A. e  e.  b  ( c `  e )  =  if ( e  e.  d ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  =  .0.  ) }
2031, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 34, 75, 137, 181, 201, 202mdetunilem9 18889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) )  =  ( B  X.  {  .0.  }
) )
204203fveq1d 5866 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  F
)  =  ( ( B  X.  {  .0.  } ) `  F ) )
205 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( a  =  F  ->  ( D `  a )  =  ( D `  F ) )
206 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( a  =  F  ->  ( E `  a )  =  ( E `  F ) )
207206oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( a  =  F  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 F ) ) )
208205, 207oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( a  =  F  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  F
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) ) )
209208adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  =  F )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  F
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) ) )
210 mdetuni.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
211 ovex 6307 . . . . 5  |-  ( ( D `  F ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) )  e.  _V
212211a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )  e.  _V )
213182, 209, 210, 212fvmptd 5953 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  F
)  =  ( ( D `  F ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) ) )
214199fvconst2 6114 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  (
( B  X.  {  .0.  } ) `  F
)  =  .0.  )
215210, 214syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  {  .0.  } ) `  F )  =  .0.  )
216204, 213, 2153eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )  =  .0.  )
21713, 210ffvelrnd 6020 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  K )
21826, 210ffvelrnd 6020 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  F
)  e.  K )
2193, 7rngcl 16999 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 F )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) )  e.  K )
2209, 21, 218, 219syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 F ) )  e.  K )
2213, 4, 30grpsubeq0 15925 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  F )  e.  K  /\  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) )  e.  K )  ->  (
( ( D `  F ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )  =  .0.  <->  ( D `  F )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) ) )
22211, 217, 220, 221syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 F ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 F ) ) )  =  .0.  <->  ( D `  F )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) ) )
223216, 222mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   ifcif 3939   {csn 4027    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   .rcmulr 14552   0gc0g 14691   Grpcgrp 15723   -gcsg 15726  CMndccmn 16594   Abelcabl 16595  mulGrpcmgp 16931   1rcur 16943   Ringcrg 16986   CRingccrg 16987   Mat cmat 18676   maDet cmdat 18853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-s1 12507  df-substr 12508  df-splice 12509  df-reverse 12510  df-s2 12772  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-prds 14699  df-pws 14701  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-gim 16102  df-cntz 16150  df-oppg 16176  df-symg 16198  df-pmtr 16263  df-psgn 16312  df-evpm 16313  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-srg 16948  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-rnghom 17148  df-drng 17181  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-cnfld 18192  df-zring 18257  df-zrh 18308  df-dsmm 18530  df-frlm 18545  df-mamu 18653  df-mat 18677  df-mdet 18854
This theorem is referenced by:  mdetuni  18891  mdetmul  18892
  Copyright terms: Public domain W3C validator