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Theorem mdetuni0 18386
Description: Lemma for mdetuni 18387. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetuni.e  |-  E  =  ( N maDet  R )
mdetuni.cr  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetuni.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mdetuni0  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w    x, B, y, z, w    x, K, y, z, w    x, N, y, z, w    x, D, y, z, w    x,  .x. , y, z, w    x,  .+ , y, z, w    x,  .0. , y, z, w    x,  .1. , y, z, w    x, R, y, z, w    x, A, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w

Proof of Theorem mdetuni0
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mdetuni.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 mdetuni.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mdetuni.0g . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mdetuni.1r . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
6 mdetuni.pg . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
7 mdetuni.tg . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
8 mdetuni.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
9 mdetuni.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 rnggrp 16640 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
1211adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
13 mdetuni.ff . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
1413ffvelrnda 5840 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( D `  a )  e.  K )
159adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
168, 9jca 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
171matrng 18289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
18 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
192, 18rngidcl 16655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
2016, 17, 193syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  A
)  e.  B )
2113, 20ffvelrnd 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
2221adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
23 mdetuni.cr . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
24 mdetuni.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( N maDet  R )
2524, 1, 2, 3mdetf 18365 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  E : B
--> K )
2623, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E : B --> K )
2726ffvelrnda 5840 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( E `  a )  e.  K )
283, 7rngcl 16648 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 a )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  e.  K )
2915, 22, 27, 28syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  e.  K )
30 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
313, 30grpsubcl 15599 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  a )  e.  K  /\  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  e.  K )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  e.  K
)
3212, 14, 29, 31syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  e.  K
)
33 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) )  =  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) )
3432, 33fmptd 5864 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) : B --> K )
35 simpr1 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N ) )  -> 
b  e.  B )
36 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  ( D `  a )  =  ( D `  b ) )
37 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  ( E `  a )  =  ( E `  b ) )
3837oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) )
3936, 38oveq12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
40 ovex 6115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) )  e.  _V
4139, 33, 40fvmpt 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  B  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) ) )
4235, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
43423adant3 1003 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
44 simp1 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ph )
45 simp21 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  b  e.  B
)
46 simp3r 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) )
47 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  w  ->  (
c b e )  =  ( c b w ) )
48 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  w  ->  (
d b e )  =  ( d b w ) )
4947, 48eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  w  ->  (
( c b e )  =  ( d b e )  <->  ( c
b w )  =  ( d b w ) ) )
5049cbvralv 2945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. e  e.  N  (
c b e )  =  ( d b e )  <->  A. w  e.  N  ( c
b w )  =  ( d b w ) )
5146, 50sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  A. w  e.  N  ( c b w )  =  ( d b w ) )
52 simp22 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  c  e.  N
)
53 simp23 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  d  e.  N
)
54 simp3l 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  c  =/=  d
)
55 mdetuni.al . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
56 mdetuni.li . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
57 mdetuni.sc . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem1 18377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( c
b w )  =  ( d b w ) )  /\  (
c  e.  N  /\  d  e.  N  /\  c  =/=  d ) )  ->  ( D `  b )  =  .0.  )
5944, 45, 51, 52, 53, 54, 58syl33anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( D `  b )  =  .0.  )
60233ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  R  e.  CRing )
6124, 1, 2, 4, 60, 45, 52, 53, 54, 46mdetralt 18373 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( E `  b )  =  .0.  )
6261oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) )  =  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  .0.  ) )
6359, 62oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) )  =  (  .0.  ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  .0.  ) ) )
643, 7, 4rngrz 16672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
659, 21, 64syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6665oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  .0.  ) )  =  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  ) )
673, 4grpidcl 15559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  K )
6811, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
693, 4, 30grpsubid 15603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  K )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
7011, 68, 69syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
7166, 70eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  .0.  ) )  =  .0.  )
72713ad2ant1 1004 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  (  .0.  ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  .0.  ) )  =  .0.  )
7343, 63, 723eqtrd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  .0.  )
74733expia 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N ) )  -> 
( ( c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c
b e )  =  ( d b e ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  .0.  ) )
7574ralrimivvva 2807 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c
b e )  =  ( d b e ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  .0.  ) )
76 simp1 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ph )
77 simp2ll 1050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  b  e.  B )
78 simp2lr 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  c  e.  B )
79 simp2rl 1052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  d  e.  B )
80 simp2rr 1053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  e  e.  N )
81 simp31 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( {
e }  X.  N
) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) ) )
82 simp32 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )
83 simp33 1021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem3 18379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  N  /\  ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) ) )  /\  (
( b  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( ( D `  c
)  .+  ( D `  d ) ) )
8576, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84syl332anc 1244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) )
86233ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  R  e.  CRing )
8724, 1, 2, 6, 86, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83mdetrlin 18368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( E `  b )  =  ( ( E `
 c )  .+  ( E `  d ) ) )
8887oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  b ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) ) )
8985, 88oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) )  =  ( ( ( D `  c )  .+  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) ) )
90 simprll 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
b  e.  B )
9190, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
92913adant3 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) ) )
93 simprlr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
c  e.  B )
94 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  c  ->  ( D `  a )  =  ( D `  c ) )
95 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  c  ->  ( E `  a )  =  ( E `  c ) )
9695oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  c  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 c ) ) )
9794, 96oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  c  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  c
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) ) )
98 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D `  c ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) )  e.  _V
9997, 33, 98fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  B  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  =  ( ( D `
 c ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 c ) ) ) )
10093, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  =  ( ( D `  c ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) ) )
101 simprrl 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
d  e.  B )
102 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  d  ->  ( D `  a )  =  ( D `  d ) )
103 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  d  ->  ( E `  a )  =  ( E `  d ) )
104103oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  d  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) )
105102, 104oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )
106 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D `  d ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) )  e.  _V
107105, 33, 106fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  B  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d )  =  ( ( D `
 d ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )
108101, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  d
)  =  ( ( D `  d ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )
109100, 108oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  .+  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( ( D `  c
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) )  .+  (
( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) ) )
110 rngabl 16664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
1119, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
112111adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  R  e.  Abel )
11313adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  D : B --> K )
114113, 93ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  c
)  e.  K )
115113, 101ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  d
)  e.  K )
1169adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  R  e.  Ring )
11721adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
11826adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  E : B --> K )
119118, 93ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( E `  c
)  e.  K )
1203, 7rngcl 16648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 c )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  e.  K )
121116, 117, 119, 120syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 c ) )  e.  K )
122118, 101ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( E `  d
)  e.  K )
1233, 7rngcl 16648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 d )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) )  e.  K )
124116, 117, 122, 123syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) )  e.  K )
1253, 6, 30ablsub4 16295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  (
( D `  c
)  e.  K  /\  ( D `  d )  e.  K )  /\  ( ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) )  e.  K  /\  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) )  e.  K ) )  ->  ( ( ( D `  c ) 
.+  ( D `  d ) ) (
-g `  R )
( ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) ) )  =  ( ( ( D `  c
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) )  .+  (
( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) ) )
126112, 114, 115, 121, 124, 125syl122anc 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )  =  ( ( ( D `  c ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) ) ) 
.+  ( ( D `
 d ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) ) )
1273, 6, 7rngdi 16653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `  c )  e.  K  /\  ( E `  d )  e.  K ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) )  =  ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )
128116, 117, 119, 122, 127syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) )  =  ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )
129128eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) )
130129oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )  =  ( ( ( D `  c )  .+  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) ) )
131109, 126, 1303eqtr2d 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  .+  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( ( D `  c
)  .+  ( D `  d ) ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) ) ) )
1321313adant3 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) ) )
13389, 92, 1323eqtr4d 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  .+  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) )
1341333expia 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
135134anassrs 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
136135ralrimivva 2806 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B ) )  ->  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
137136ralrimivva 2806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  A. c  e.  B  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
138 simp1 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ph )
139 simp2ll 1050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  b  e.  B )
140 simp2lr 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  c  e.  K )
141 simp2rl 1052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  d  e.  B )
142 simp2rr 1053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  e  e.  N )
143 simp3l 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X. 
{ c } )  oF  .x.  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) ) )
144 simp3r 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )
1451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem4 18380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  K  /\  d  e.  B )  /\  (
e  e.  N  /\  ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( c  .x.  ( D `  d ) ) )
146138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145syl133anc 1236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( c  .x.  ( D `  d ) ) )
147233ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  R  e.  CRing )
14824, 1, 2, 3, 7, 147, 139, 140, 141, 142, 143, 144mdetrsca 18369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( E `  b )  =  ( c  .x.  ( E `  d ) ) )
149148oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  b ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( c 
.x.  ( E `  d ) ) ) )
150146, 149oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
151 simprll 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
b  e.  B )
152151, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
1531523adant3 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) ) )
154 simprrl 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
d  e.  B )
155154, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  d
)  =  ( ( D `  d ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )
156155oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( c 
.x.  ( ( D `
 d ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) ) )
1579adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  R  e.  Ring )
158 simprlr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
c  e.  K )
15913adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  D : B --> K )
160159, 154ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  d
)  e.  K )
16121adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
16226adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  E : B --> K )
163162, 154ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( E `  d
)  e.  K )
164157, 161, 163, 123syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) )  e.  K )
1653, 7, 30, 157, 158, 160, 164rngsubdi 16680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( c  .x.  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) ) )
166 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
167166crngmgp 16643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
16823, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
169168adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
(mulGrp `  R )  e. CMnd )
170166, 3mgpbas 16587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
171166, 7mgpplusg 16585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
172170, 171cmn12 16290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( c  e.  K  /\  ( D `
 ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 d )  e.  K ) )  -> 
( c  .x.  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) )
173169, 158, 161, 163, 172syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) )
174173oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( c  .x.  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( c  .x.  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
175156, 165, 1743eqtrd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `
 d ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
1761753adant3 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
c  .x.  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
177150, 153, 1763eqtr4d 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  d
) ) )
1781773expia 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
179178anassrs 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  K )
)  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
180179ralrimivva 2806 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  K ) )  ->  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
181180ralrimivva 2806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  A. c  e.  K  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
182 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) )  =  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) )
183 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  ( D `  a )  =  ( D `  ( 1r `  A ) ) )
184 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  ( E `  a )  =  ( E `  ( 1r `  A ) ) )
185184oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 ( 1r `  A ) ) ) )
186183, 185oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  ( 1r
`  A ) ) ) ) )
18724, 1, 18, 5mdet1 18367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( E `  ( 1r `  A ) )  =  .1.  )
18823, 8, 187syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E `  ( 1r `  A ) )  =  .1.  )
189188oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 ( 1r `  A ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  .1.  ) )
1903, 7, 5rngridm 16659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  .1.  )  =  ( D `  ( 1r
`  A ) ) )
1919, 21, 190syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  .1.  )  =  ( D `  ( 1r `  A ) ) )
192189, 191eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 ( 1r `  A ) ) )  =  ( D `  ( 1r `  A ) ) )
193192oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  ( 1r
`  A ) ) ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
1943, 4, 30grpsubid 15603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( 1r
`  A ) )  e.  K )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  .0.  )
19511, 21, 194syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  .0.  )
196193, 195eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  ( 1r
`  A ) ) ) )  =  .0.  )
197186, 196sylan9eqr 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  ( 1r `  A ) )  ->  ( ( D `  a )
( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) )  =  .0.  )
198 fvex 5698 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1994, 198eqeltri 2511 . . . . . . 7  |-  .0.  e.  _V
200199a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
201182, 197, 20, 200fvmptd 5776 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
202 eqid 2441 . . . . 5  |-  { b  |  A. c  e.  B  A. d  e.  ( N  ^m  N
) ( A. e  e.  b  ( c `  e )  =  if ( e  e.  d ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  =  .0.  ) }  =  {
b  |  A. c  e.  B  A. d  e.  ( N  ^m  N
) ( A. e  e.  b  ( c `  e )  =  if ( e  e.  d ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  =  .0.  ) }
2031, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 34, 75, 137, 181, 201, 202mdetunilem9 18385 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) )  =  ( B  X.  {  .0.  }
) )
204203fveq1d 5690 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  F
)  =  ( ( B  X.  {  .0.  } ) `  F ) )
205 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( a  =  F  ->  ( D `  a )  =  ( D `  F ) )
206 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( a  =  F  ->  ( E `  a )  =  ( E `  F ) )
207206oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( a  =  F  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 F ) ) )
208205, 207oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( a  =  F  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  F
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) ) )
209208adantl 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  =  F )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  F
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) ) )
210 mdetuni.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
211 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( ( D `  F ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) )  e.  _V
212211a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )  e.  _V )
213182, 209, 210, 212fvmptd 5776 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  F
)  =  ( ( D `  F ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) ) )
214199fvconst2 5930 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  (
( B  X.  {  .0.  } ) `  F
)  =  .0.  )
215210, 214syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  {  .0.  } ) `  F )  =  .0.  )
216204, 213, 2153eqtr3d 2481 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )  =  .0.  )
21713, 210ffvelrnd 5841 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  K )
21826, 210ffvelrnd 5841 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  F
)  e.  K )
2193, 7rngcl 16648 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 F )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) )  e.  K )
2209, 21, 218, 219syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 F ) )  e.  K )
2213, 4, 30grpsubeq0 15605 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  F )  e.  K  /\  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) )  e.  K )  ->  (
( ( D `  F ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )  =  .0.  <->  ( D `  F )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) ) )
22211, 217, 220, 221syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 F ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 F ) ) )  =  .0.  <->  ( D `  F )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) ) )
223216, 222mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427    =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970    \ cdif 3322   ifcif 3788   {csn 3874    e. cmpt 4347    X. cxp 4834    |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   -gcsg 15409  CMndccmn 16270   Abelcabel 16271  mulGrpcmgp 16581   1rcur 16593   Ringcrg 16635   CRingccrg 16636   Mat cmat 18239   maDet cmdat 18354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-xor 1346  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-ot 3883  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-substr 12229  df-splice 12230  df-reverse 12231  df-s2 12471  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-prds 14382  df-pws 14384  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-symg 15876  df-pmtr 15941  df-psgn 15990  df-evpm 15991  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-cnfld 17778  df-zring 17843  df-zrh 17894  df-dsmm 18116  df-frlm 18131  df-mamu 18240  df-mat 18241  df-mdet 18355
This theorem is referenced by:  mdetuni  18387  mdetmul  18388
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