Theorem mdetuni0 18386

Description: Lemma for mdetuni 18387. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	|- A = ( N Mat R )
mdetuni.b	|- B = ( Base ` A )
mdetuni.k	|- K = ( Base ` R )
mdetuni.0g	|- .0. = ( 0g ` R )
mdetuni.1r	|- .1. = ( 1r ` R )
mdetuni.pg	|- .+ = ( +g ` R )
mdetuni.tg	|- .x. = ( .r ` R )
mdetuni.n	|- ( ph -> N e. Fin )
mdetuni.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mdetuni.ff	|- ( ph -> D : B --> K )
mdetuni.al	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
mdetuni.li	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
mdetuni.sc	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
mdetuni.e	|- E = ( N maDet R )
mdetuni.cr	|- ( ph -> R e. CRing )
mdetuni.f	|- ( ph -> F e. B )

Assertion

Ref	Expression
mdetuni0	|- ( ph -> ( D ` F ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z, w   x, B, y, z, w   x, K, y, z, w   x, N, y, z, w   x, D, y, z, w   x, .x. , y, z, w   x, .+ , y, z, w   x, .0. , y, z, w   x, .1. , y, z, w   x, R, y, z, w   x, A, y, z, w   x, E, y, z, w   x, F, y, z, w

Proof of Theorem mdetuni0

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetuni.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
2		mdetuni.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
3		mdetuni.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
4		mdetuni.0g	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
5		mdetuni.1r	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
6		mdetuni.pg	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
7		mdetuni.tg	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
8		mdetuni.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. Fin )
9		mdetuni.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
10		rnggrp 16640	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Grp )
12	11	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> R e. Grp )
13		mdetuni.ff	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D : B --> K )
14	13	ffvelrnda 5840	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( D ` a ) e. K )
15	9	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> R e. Ring )
16	8, 9	jca 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
17	1	matrng 18289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
18		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
19	2, 18	rngidcl 16655	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Ring -> ( 1r ` A ) e. B )
20	16, 17, 19	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1r ` A ) e. B )
21	13, 20	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K )
22	21	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K )
23		mdetuni.cr	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CRing )
24		mdetuni.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( N maDet R )
25	24, 1, 2, 3	mdetf 18365	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. CRing -> E : B --> K )
26	23, 25	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : B --> K )
27	26	ffvelrnda 5840	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( E ` a ) e. K )
28	3, 7	rngcl 16648	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` a ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) e. K )
29	15, 22, 27, 28	syl3anc 1213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) e. K )
30		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
31	3, 30	grpsubcl 15599	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ ( D ` a ) e. K /\ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) e. K ) -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) e. K )
32	12, 14, 29, 31	syl3anc 1213	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) e. K )
33		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) = ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) )
34	32, 33	fmptd 5864	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) : B --> K )
35		simpr1 989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> b e. B )
36		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( D ` a ) = ( D ` b ) )
37		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> ( E ` a ) = ( E ` b ) )
38	37	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) )
39	36, 38	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = b -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
40		ovex 6115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) e. _V
41	39, 33, 40	fvmpt 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. B -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
42	35, 41	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
43	42	3adant3 1003	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
44		simp1 983	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ph )
45		simp21 1016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> b e. B )
46		simp3r 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) )
47		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = w -> ( c b e ) = ( c b w ) )
48		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = w -> ( d b e ) = ( d b w ) )
49	47, 48	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = w -> ( ( c b e ) = ( d b e ) <-> ( c b w ) = ( d b w ) ) )
50	49	cbvralv 2945	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) <-> A. w e. N ( c b w ) = ( d b w ) )
51	46, 50	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> A. w e. N ( c b w ) = ( d b w ) )
52		simp22 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> c e. N )
53		simp23 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> d e. N )
54		simp3l 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> c =/= d )
55		mdetuni.al	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
56		mdetuni.li	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
57		mdetuni.sc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57	mdetunilem1 18377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. B /\ A. w e. N ( c b w ) = ( d b w ) ) /\ ( c e. N /\ d e. N /\ c =/= d ) ) -> ( D ` b ) = .0. )
59	44, 45, 51, 52, 53, 54, 58	syl33anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( D ` b ) = .0. )
60	23	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> R e. CRing )
61	24, 1, 2, 4, 60, 45, 52, 53, 54, 46	mdetralt 18373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( E ` b ) = .0. )
62	61	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) )
63	59, 62	oveq12d 6108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) = ( .0. ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) ) )
64	3, 7, 4	rngrz 16672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) = .0. )
65	9, 21, 64	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) = .0. )
66	65	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( .0. ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) ) = ( .0. ( -g ` R ) .0. ) )
67	3, 4	grpidcl 15559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Grp -> .0. e. K )
68	11, 67	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> .0. e. K )
69	3, 4, 30	grpsubid 15603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ .0. e. K ) -> ( .0. ( -g ` R ) .0. ) = .0. )
70	11, 68, 69	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( .0. ( -g ` R ) .0. ) = .0. )
71	66, 70	eqtrd 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( .0. ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) ) = .0. )
72	71	3ad2ant1 1004	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( .0. ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .0. ) ) = .0. )
73	43, 63, 72	3eqtrd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) /\ ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = .0. )
74	73	3expia 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. N /\ d e. N ) ) -> ( ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = .0. ) )
75	74	ralrimivvva 2807	. . . . 5 |- ( ph -> A. b e. B A. c e. N A. d e. N ( ( c =/= d /\ A. e e. N ( c b e ) = ( d b e ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = .0. ) )
76		simp1 983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ph )
77		simp2ll 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> b e. B )
78		simp2lr 1051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> c e. B )
79		simp2rl 1052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> d e. B )
80		simp2rr 1053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> e e. N )
81		simp31 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) )
82		simp32 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
83		simp33 1021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
84	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57	mdetunilem3 18379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N /\ ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) ) /\ ( ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` b ) = ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) )
85	76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84	syl332anc 1244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` b ) = ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) )
86	23	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> R e. CRing )
87	24, 1, 2, 6, 86, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83	mdetrlin 18368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( E ` b ) = ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) )
88	87	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) )
89	85, 88	oveq12d 6108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) = ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) ) )
90		simprll 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> b e. B )
91	90, 41	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
92	91	3adant3 1003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
93		simprlr 757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> c e. B )
94		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = c -> ( D ` a ) = ( D ` c ) )
95		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = c -> ( E ` a ) = ( E ` c ) )
96	95	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = c -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) )
97	94, 96	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = c -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) )
98		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) e. _V
99	97, 33, 98	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. B -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) = ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) )
100	93, 99	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) = ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) )
101		simprrl 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> d e. B )
102		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = d -> ( D ` a ) = ( D ` d ) )
103		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = d -> ( E ` a ) = ( E ` d ) )
104	103	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = d -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) )
105	102, 104	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = d -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
106		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) e. _V
107	105, 33, 106	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. B -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) = ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
108	101, 107	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) = ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
109	100, 108	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) .+ ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) )
110		rngabl 16664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. Ring -> R e. Abel )
111	9, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. Abel )
112	111	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> R e. Abel )
113	13	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> D : B --> K )
114	113, 93	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( D ` c ) e. K )
115	113, 101	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( D ` d ) e. K )
116	9	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> R e. Ring )
117	21	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K )
118	26	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> E : B --> K )
119	118, 93	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( E ` c ) e. K )
120	3, 7	rngcl 16648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` c ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) e. K )
121	116, 117, 119, 120	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) e. K )
122	118, 101	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( E ` d ) e. K )
123	3, 7	rngcl 16648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` d ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) e. K )
124	116, 117, 122, 123	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) e. K )
125	3, 6, 30	ablsub4 16295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Abel /\ ( ( D ` c ) e. K /\ ( D ` d ) e. K ) /\ ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) e. K /\ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) e. K ) ) -> ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) = ( ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) .+ ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) )
126	112, 114, 115, 121, 124, 125	syl122anc 1222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) = ( ( ( D ` c ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) ) .+ ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) )
127	3, 6, 7	rngdi 16653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` c ) e. K /\ ( E ` d ) e. K ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) = ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
128	116, 117, 119, 122, 127	syl13anc 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) = ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
129	128	eqcomd 2446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) )
130	129	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` c ) ) .+ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) = ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) ) )
131	109, 126, 130	3eqtr2d 2479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) ) )
132	131	3adant3 1003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( ( ( D ` c ) .+ ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( ( E ` c ) .+ ( E ` d ) ) ) ) )
133	89, 92, 132	3eqtr4d 2483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) )
134	133	3expia 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. B ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
135	134	anassrs 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
136	135	ralrimivva 2806	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
137	136	ralrimivva 2806	. . . . 5 |- ( ph -> A. b e. B A. c e. B A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( c |` ( { e } X. N ) ) oF .+ ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( c |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) .+ ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
138		simp1 983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ph )
139		simp2ll 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> b e. B )
140		simp2lr 1051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> c e. K )
141		simp2rl 1052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> d e. B )
142		simp2rr 1053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> e e. N )
143		simp3l 1011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) )
144		simp3r 1012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) )
145	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57	mdetunilem4 18380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. K /\ d e. B ) /\ ( e e. N /\ ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` b ) = ( c .x. ( D ` d ) ) )
146	138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145	syl133anc 1236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` b ) = ( c .x. ( D ` d ) ) )
147	23	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> R e. CRing )
148	24, 1, 2, 3, 7, 147, 139, 140, 141, 142, 143, 144	mdetrsca 18369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( E ` b ) = ( c .x. ( E ` d ) ) )
149	148	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) )
150	146, 149	oveq12d 6108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) = ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) ) )
151		simprll 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> b e. B )
152	151, 41	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
153	152	3adant3 1003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( ( D ` b ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` b ) ) ) )
154		simprrl 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> d e. B )
155	154, 107	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) = ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) )
156	155	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( c .x. ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) )
157	9	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> R e. Ring )
158		simprlr 757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> c e. K )
159	13	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> D : B --> K )
160	159, 154	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( D ` d ) e. K )
161	21	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K )
162	26	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> E : B --> K )
163	162, 154	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( E ` d ) e. K )
164	157, 161, 163, 123	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) e. K )
165	3, 7, 30, 157, 158, 160, 164	rngsubdi 16680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c .x. ( ( D ` d ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) = ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( c .x. ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) )
166		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
167	166	crngmgp 16643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. CRing -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
168	23, 167	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
169	168	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
170	166, 3	mgpbas 16587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
171	166, 7	mgpplusg 16585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
172	170, 171	cmn12 16290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. CMnd /\ ( c e. K /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` d ) e. K ) ) -> ( c .x. ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) )
173	169, 158, 161, 163, 172	syl13anc 1215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c .x. ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) )
174	173	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( c .x. ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` d ) ) ) ) = ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) ) )
175	156, 165, 174	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) ) )
176	175	3adant3 1003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) = ( ( c .x. ( D ` d ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( c .x. ( E ` d ) ) ) ) )
177	150, 153, 176	3eqtr4d 2483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) /\ ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) )
178	177	3expia 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( b e. B /\ c e. K ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
179	178	anassrs 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. K ) ) /\ ( d e. B /\ e e. N ) ) -> ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
180	179	ralrimivva 2806	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. K ) ) -> A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
181	180	ralrimivva 2806	. . . . 5 |- ( ph -> A. b e. B A. c e. K A. d e. B A. e e. N ( ( ( b |` ( { e } X. N ) ) = ( ( ( { e } X. N ) X. { c } ) oF .x. ( d |` ( { e } X. N ) ) ) /\ ( b |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) = ( d |` ( ( N \ { e } ) X. N ) ) ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` b ) = ( c .x. ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` d ) ) ) )
182		eqidd 2442	. . . . . 6 |- ( ph -> ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) = ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) )
183		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( a = ( 1r ` A ) -> ( D ` a ) = ( D ` ( 1r ` A ) ) )
184		fveq2 5688	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( 1r ` A ) -> ( E ` a ) = ( E ` ( 1r ` A ) ) )
185	184	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( a = ( 1r ` A ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) )
186	183, 185	oveq12d 6108	. . . . . . 7 |- ( a = ( 1r ` A ) -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) ) )
187	24, 1, 18, 5	mdet1 18367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. CRing /\ N e. Fin ) -> ( E ` ( 1r ` A ) ) = .1. )
188	23, 8, 187	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` ( 1r ` A ) ) = .1. )
189	188	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .1. ) )
190	3, 7, 5	rngridm 16659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .1. ) = ( D ` ( 1r ` A ) ) )
191	9, 21, 190	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. .1. ) = ( D ` ( 1r ` A ) ) )
192	189, 191	eqtrd 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) = ( D ` ( 1r ` A ) ) )
193	192	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( D ` ( 1r ` A ) ) ) )
194	3, 4, 30	grpsubid 15603	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( D ` ( 1r ` A ) ) ) = .0. )
195	11, 21, 194	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( D ` ( 1r ` A ) ) ) = .0. )
196	193, 195	eqtrd 2473	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` ( 1r ` A ) ) ) ) = .0. )
197	186, 196	sylan9eqr 2495	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a = ( 1r ` A ) ) -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = .0. )
198		fvex 5698	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) e. _V
199	4, 198	eqeltri 2511	. . . . . . 7 |- .0. e. _V
200	199	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> .0. e. _V )
201	182, 197, 20, 200	fvmptd 5776	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` ( 1r ` A ) ) = .0. )
202		eqid 2441	. . . . 5 |- { b | A. c e. B A. d e. ( N ^m N ) ( A. e e. b ( c ` e ) = if ( e e. d , .1. , .0. ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) = .0. ) } = { b | A. c e. B A. d e. ( N ^m N ) ( A. e e. b ( c ` e ) = if ( e e. d , .1. , .0. ) -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` c ) = .0. ) }
203	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 34, 75, 137, 181, 201, 202	mdetunilem9 18385	. . . 4 |- ( ph -> ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) = ( B X. { .0. } ) )
204	203	fveq1d 5690	. . 3 |- ( ph -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` F ) = ( ( B X. { .0. } ) ` F ) )
205		fveq2 5688	. . . . . 6 |- ( a = F -> ( D ` a ) = ( D ` F ) )
206		fveq2 5688	. . . . . . 7 |- ( a = F -> ( E ` a ) = ( E ` F ) )
207	206	oveq2d 6106	. . . . . 6 |- ( a = F -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) )
208	205, 207	oveq12d 6108	. . . . 5 |- ( a = F -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) )
209	208	adantl 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ a = F ) -> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) = ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) )
210		mdetuni.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. B )
211		ovex 6115	. . . . 5 |- ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) e. _V
212	211	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) e. _V )
213	182, 209, 210, 212	fvmptd 5776	. . 3 |- ( ph -> ( ( a e. B |-> ( ( D ` a ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` a ) ) ) ) ` F ) = ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) )
214	199	fvconst2 5930	. . . 4 |- ( F e. B -> ( ( B X. { .0. } ) ` F ) = .0. )
215	210, 214	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( ( B X. { .0. } ) ` F ) = .0. )
216	204, 213, 215	3eqtr3d 2481	. 2 |- ( ph -> ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) = .0. )
217	13, 210	ffvelrnd 5841	. . 3 |- ( ph -> ( D ` F ) e. K )
218	26, 210	ffvelrnd 5841	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` F ) e. K )
219	3, 7	rngcl 16648	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( 1r ` A ) ) e. K /\ ( E ` F ) e. K ) -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) e. K )
220	9, 21, 218, 219	syl3anc 1213	. . 3 |- ( ph -> ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) e. K )
221	3, 4, 30	grpsubeq0 15605	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( D ` F ) e. K /\ ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) e. K ) -> ( ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) = .0. <-> ( D ` F ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) )
222	11, 217, 220, 221	syl3anc 1213	. 2 |- ( ph -> ( ( ( D ` F ) ( -g ` R ) ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) = .0. <-> ( D ` F ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) ) )
223	216, 222	mpbid 210	1 |- ( ph -> ( D ` F ) = ( ( D ` ( 1r ` A ) ) .x. ( E ` F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   {cab 2427   =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   ifcif 3788   {csn 3874   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   oFcof 6317   ^m cmap 7210   Fincfn 7306   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   -gcsg 15409  CMndccmn 16270   Abelcabel 16271  mulGrpcmgp 16581   1rcur 16593   Ringcrg 16635   CRingccrg 16636   Mat cmat 18239   maDet cmdat 18354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-xor 1346  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-ot 3883  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-substr 12229  df-splice 12230  df-reverse 12231  df-s2 12471  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-prds 14382  df-pws 14384  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-symg 15876  df-pmtr 15941  df-psgn 15990  df-evpm 15991  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-cnfld 17778  df-zring 17843  df-zrh 17894  df-dsmm 18116  df-frlm 18131  df-mamu 18240  df-mat 18241  df-mdet 18355

This theorem is referenced by:  mdetuni  18387  mdetmul  18388