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Theorem mdetuni0 18432
Description: Lemma for mdetuni 18433. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetuni.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetuni.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetuni.0g  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetuni.1r  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mdetuni.pg  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetuni.tg  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetuni.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetuni.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdetuni.ff  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
mdetuni.al  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
mdetuni.li  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
mdetuni.sc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
mdetuni.e  |-  E  =  ( N maDet  R )
mdetuni.cr  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetuni.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mdetuni0  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z, w    x, B, y, z, w    x, K, y, z, w    x, N, y, z, w    x, D, y, z, w    x,  .x. , y, z, w    x,  .+ , y, z, w    x,  .0. , y, z, w    x,  .1. , y, z, w    x, R, y, z, w    x, A, y, z, w    x, E, y, z, w    x, F, y, z, w

Proof of Theorem mdetuni0
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mdetuni.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 mdetuni.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mdetuni.0g . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mdetuni.1r . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
6 mdetuni.pg . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
7 mdetuni.tg . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
8 mdetuni.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
9 mdetuni.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 rnggrp 16655 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
13 mdetuni.ff . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D : B --> K )
1413ffvelrnda 5848 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( D `  a )  e.  K )
159adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
168, 9jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
171matrng 18335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
18 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
192, 18rngidcl 16670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
2016, 17, 193syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  A
)  e.  B )
2113, 20ffvelrnd 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
23 mdetuni.cr . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
24 mdetuni.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( N maDet  R )
2524, 1, 2, 3mdetf 18411 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  E : B
--> K )
2623, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E : B --> K )
2726ffvelrnda 5848 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( E `  a )  e.  K )
283, 7rngcl 16663 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 a )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  e.  K )
2915, 22, 27, 28syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  e.  K )
30 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
313, 30grpsubcl 15611 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  a )  e.  K  /\  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  e.  K )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  e.  K
)
3212, 14, 29, 31syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  e.  K
)
33 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) )  =  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) )
3432, 33fmptd 5872 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) : B --> K )
35 simpr1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N ) )  -> 
b  e.  B )
36 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  ( D `  a )  =  ( D `  b ) )
37 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  ( E `  a )  =  ( E `  b ) )
3837oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) )
3936, 38oveq12d 6114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
40 ovex 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) )  e.  _V
4139, 33, 40fvmpt 5779 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  B  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) ) )
4235, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
43423adant3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
44 simp1 988 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ph )
45 simp21 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  b  e.  B
)
46 simp3r 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) )
47 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  w  ->  (
c b e )  =  ( c b w ) )
48 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  w  ->  (
d b e )  =  ( d b w ) )
4947, 48eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  w  ->  (
( c b e )  =  ( d b e )  <->  ( c
b w )  =  ( d b w ) ) )
5049cbvralv 2952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. e  e.  N  (
c b e )  =  ( d b e )  <->  A. w  e.  N  ( c
b w )  =  ( d b w ) )
5146, 50sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  A. w  e.  N  ( c b w )  =  ( d b w ) )
52 simp22 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  c  e.  N
)
53 simp23 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  d  e.  N
)
54 simp3l 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  c  =/=  d
)
55 mdetuni.al . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( y  =/=  z  /\  A. w  e.  N  ( y
x w )  =  ( z x w ) )  ->  ( D `  x )  =  .0.  ) )
56 mdetuni.li . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( y  |`  ( { w }  X.  N ) )  oF  .+  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( y  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( ( D `  y
)  .+  ( D `  z ) ) ) )
57 mdetuni.sc . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  K  A. z  e.  B  A. w  e.  N  ( ( ( x  |`  ( { w }  X.  N ) )  =  ( ( ( { w }  X.  N
)  X.  { y } )  oF  .x.  ( z  |`  ( { w }  X.  N ) ) )  /\  ( x  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) )  =  ( z  |`  ( ( N  \  { w } )  X.  N ) ) )  ->  ( D `  x )  =  ( y  .x.  ( D `
 z ) ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem1 18423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  B  /\  A. w  e.  N  ( c
b w )  =  ( d b w ) )  /\  (
c  e.  N  /\  d  e.  N  /\  c  =/=  d ) )  ->  ( D `  b )  =  .0.  )
5944, 45, 51, 52, 53, 54, 58syl33anc 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( D `  b )  =  .0.  )
60233ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  R  e.  CRing )
6124, 1, 2, 4, 60, 45, 52, 53, 54, 46mdetralt 18419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( E `  b )  =  .0.  )
6261oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) )  =  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  .0.  ) )
6359, 62oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) )  =  (  .0.  ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  .0.  ) ) )
643, 7, 4rngrz 16687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
659, 21, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6665oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  .0.  ) )  =  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  ) )
673, 4grpidcl 15571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  K )
6811, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
693, 4, 30grpsubid 15615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  K )  -> 
(  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
7011, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( -g `  R )  .0.  )  =  .0.  )
7166, 70eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  .0.  ) )  =  .0.  )
72713ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  (  .0.  ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  .0.  ) )  =  .0.  )
7343, 63, 723eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N )  /\  (
c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c b e )  =  ( d b e ) ) )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  .0.  )
74733expia 1189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  N  /\  d  e.  N ) )  -> 
( ( c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c
b e )  =  ( d b e ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  .0.  ) )
7574ralrimivvva 2814 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  A. c  e.  N  A. d  e.  N  ( ( c  =/=  d  /\  A. e  e.  N  ( c
b e )  =  ( d b e ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  .0.  ) )
76 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ph )
77 simp2ll 1055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  b  e.  B )
78 simp2lr 1056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  c  e.  B )
79 simp2rl 1057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  d  e.  B )
80 simp2rr 1058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  e  e.  N )
81 simp31 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( {
e }  X.  N
) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) ) )
82 simp32 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )
83 simp33 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem3 18425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  N  /\  ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) ) )  /\  (
( b  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  (
( N  \  {
e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( ( D `  c
)  .+  ( D `  d ) ) )
8576, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84syl332anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) )
86233ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  R  e.  CRing )
8724, 1, 2, 6, 86, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83mdetrlin 18414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( E `  b )  =  ( ( E `
 c )  .+  ( E `  d ) ) )
8887oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  b ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) ) )
8985, 88oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) )  =  ( ( ( D `  c )  .+  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) ) )
90 simprll 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
b  e.  B )
9190, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
92913adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) ) )
93 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
c  e.  B )
94 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  c  ->  ( D `  a )  =  ( D `  c ) )
95 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  c  ->  ( E `  a )  =  ( E `  c ) )
9695oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  c  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 c ) ) )
9794, 96oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  c  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  c
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) ) )
98 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D `  c ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) )  e.  _V
9997, 33, 98fvmpt 5779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  B  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  =  ( ( D `
 c ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 c ) ) ) )
10093, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  =  ( ( D `  c ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) ) )
101 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
d  e.  B )
102 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  d  ->  ( D `  a )  =  ( D `  d ) )
103 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  d  ->  ( E `  a )  =  ( E `  d ) )
104103oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  d  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) )
105102, 104oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )
106 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D `  d ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) )  e.  _V
107105, 33, 106fvmpt 5779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  B  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d )  =  ( ( D `
 d ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )
108101, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  d
)  =  ( ( D `  d ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )
109100, 108oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  .+  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( ( D `  c
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) )  .+  (
( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) ) )
110 rngabl 16679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
1119, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
112111adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  R  e.  Abel )
11313adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  D : B --> K )
114113, 93ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  c
)  e.  K )
115113, 101ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  d
)  e.  K )
1169adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  R  e.  Ring )
11721adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
11826adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  E : B --> K )
119118, 93ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( E `  c
)  e.  K )
1203, 7rngcl 16663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 c )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  e.  K )
121116, 117, 119, 120syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 c ) )  e.  K )
122118, 101ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( E `  d
)  e.  K )
1233, 7rngcl 16663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 d )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) )  e.  K )
124116, 117, 122, 123syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) )  e.  K )
1253, 6, 30ablsub4 16307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  (
( D `  c
)  e.  K  /\  ( D `  d )  e.  K )  /\  ( ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) )  e.  K  /\  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) )  e.  K ) )  ->  ( ( ( D `  c ) 
.+  ( D `  d ) ) (
-g `  R )
( ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) ) )  =  ( ( ( D `  c
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) ) )  .+  (
( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) ) )
126112, 114, 115, 121, 124, 125syl122anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )  =  ( ( ( D `  c ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) ) ) 
.+  ( ( D `
 d ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) ) )
1273, 6, 7rngdi 16668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `  c )  e.  K  /\  ( E `  d )  e.  K ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) )  =  ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )
128116, 117, 119, 122, 127syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) )  =  ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )
129128eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) )
130129oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  c ) )  .+  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )  =  ( ( ( D `  c )  .+  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) ) )
131109, 126, 1303eqtr2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  .+  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( ( D `  c
)  .+  ( D `  d ) ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c ) 
.+  ( E `  d ) ) ) ) )
1321313adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( ( D `
 c )  .+  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( ( E `  c )  .+  ( E `  d )
) ) ) )
13389, 92, 1323eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  .+  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) )
1341333expia 1189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  B )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
135134anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
136135ralrimivva 2813 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B ) )  ->  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
137136ralrimivva 2813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  A. c  e.  B  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( c  |`  ( { e }  X.  N ) )  oF  .+  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( c  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  c
)  .+  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
138 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ph )
139 simp2ll 1055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  b  e.  B )
140 simp2lr 1056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  c  e.  K )
141 simp2rl 1057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  d  e.  B )
142 simp2rr 1058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  e  e.  N )
143 simp3l 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X. 
{ c } )  oF  .x.  (
d  |`  ( { e }  X.  N ) ) ) )
144 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
b  |`  ( ( N 
\  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )
1451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 55, 56, 57mdetunilem4 18426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  K  /\  d  e.  B )  /\  (
e  e.  N  /\  ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( c  .x.  ( D `  d ) ) )
146138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145syl133anc 1241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( D `  b )  =  ( c  .x.  ( D `  d ) ) )
147233ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  R  e.  CRing )
14824, 1, 2, 3, 7, 147, 139, 140, 141, 142, 143, 144mdetrsca 18415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  ( E `  b )  =  ( c  .x.  ( E `  d ) ) )
149148oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  b ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( c 
.x.  ( E `  d ) ) ) )
150146, 149oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( D `  b
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
151 simprll 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
b  e.  B )
152151, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( D `  b ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  b ) ) ) )
1531523adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( ( D `
 b ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 b ) ) ) )
154 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
d  e.  B )
155154, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  d
)  =  ( ( D `  d ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )
156155oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( c 
.x.  ( ( D `
 d ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) ) )
1579adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  R  e.  Ring )
158 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
c  e.  K )
15913adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  D : B --> K )
160159, 154ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  d
)  e.  K )
16121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )
16226adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  ->  E : B --> K )
163162, 154ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( E `  d
)  e.  K )
164157, 161, 163, 123syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) )  e.  K )
1653, 7, 30, 157, 158, 160, 164rngsubdi 16695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( D `  d
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  d ) ) ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( c  .x.  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) ) )
166 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
167166crngmgp 16658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
16823, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
169168adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
(mulGrp `  R )  e. CMnd )
170166, 3mgpbas 16602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
171166, 7mgpplusg 16600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
172170, 171cmn12 16302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( c  e.  K  /\  ( D `
 ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 d )  e.  K ) )  -> 
( c  .x.  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) )
173169, 158, 161, 163, 172syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  d ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) )
174173oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( c  .x.  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( c  .x.  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 d ) ) ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d )
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
175156, 165, 1743eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( c  .x.  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `
 d ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
1761753adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
c  .x.  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) )  =  ( ( c  .x.  ( D `  d ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( c  .x.  ( E `  d )
) ) ) )
177150, 153, 1763eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) )  /\  (
( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N
)  X.  { c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) ) )  ->  (
( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  d
) ) )
1781773expia 1189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
b  e.  B  /\  c  e.  K )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N
) ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
179178anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  K )
)  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  N ) )  -> 
( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
180179ralrimivva 2813 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  K ) )  ->  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
181180ralrimivva 2813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. b  e.  B  A. c  e.  K  A. d  e.  B  A. e  e.  N  ( ( ( b  |`  ( { e }  X.  N ) )  =  ( ( ( { e }  X.  N )  X.  {
c } )  oF  .x.  ( d  |`  ( { e }  X.  N ) ) )  /\  ( b  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) )  =  ( d  |`  ( ( N  \  { e } )  X.  N ) ) )  ->  ( (
a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  b )  =  ( c  .x.  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  d ) ) ) )
182 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) )  =  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) )
183 fveq2 5696 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  ( D `  a )  =  ( D `  ( 1r `  A ) ) )
184 fveq2 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  ( E `  a )  =  ( E `  ( 1r `  A ) ) )
185184oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 ( 1r `  A ) ) ) )
186183, 185oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( 1r `  A )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  ( 1r
`  A ) ) ) ) )
18724, 1, 18, 5mdet1 18413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( E `  ( 1r `  A ) )  =  .1.  )
18823, 8, 187syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E `  ( 1r `  A ) )  =  .1.  )
189188oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 ( 1r `  A ) ) )  =  ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  .1.  ) )
1903, 7, 5rngridm 16674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  .1.  )  =  ( D `  ( 1r
`  A ) ) )
1919, 21, 190syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  .1.  )  =  ( D `  ( 1r `  A ) ) )
192189, 191eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 ( 1r `  A ) ) )  =  ( D `  ( 1r `  A ) ) )
193192oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  ( 1r
`  A ) ) ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( D `  ( 1r `  A ) ) ) )
1943, 4, 30grpsubid 15615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( 1r
`  A ) )  e.  K )  -> 
( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  .0.  )
19511, 21, 194syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( D `  ( 1r `  A ) ) )  =  .0.  )
196193, 195eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  ( 1r
`  A ) ) ) )  =  .0.  )
197186, 196sylan9eqr 2497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  ( 1r `  A ) )  ->  ( ( D `  a )
( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) )  =  .0.  )
198 fvex 5706 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1994, 198eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  .0.  e.  _V
200199a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
201182, 197, 20, 200fvmptd 5784 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  ( 1r `  A ) )  =  .0.  )
202 eqid 2443 . . . . 5  |-  { b  |  A. c  e.  B  A. d  e.  ( N  ^m  N
) ( A. e  e.  b  ( c `  e )  =  if ( e  e.  d ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  =  .0.  ) }  =  {
b  |  A. c  e.  B  A. d  e.  ( N  ^m  N
) ( A. e  e.  b  ( c `  e )  =  if ( e  e.  d ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) ) ) `  c )  =  .0.  ) }
2031, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 34, 75, 137, 181, 201, 202mdetunilem9 18431 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  |->  ( ( D `  a ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) ) ) )  =  ( B  X.  {  .0.  }
) )
204203fveq1d 5698 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  F
)  =  ( ( B  X.  {  .0.  } ) `  F ) )
205 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( a  =  F  ->  ( D `  a )  =  ( D `  F ) )
206 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( a  =  F  ->  ( E `  a )  =  ( E `  F ) )
207206oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( a  =  F  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  a ) )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 F ) ) )
208205, 207oveq12d 6114 . . . . 5  |-  ( a  =  F  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  F
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) ) )
209208adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  =  F )  ->  (
( D `  a
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  a ) ) )  =  ( ( D `  F
) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) ) )
210 mdetuni.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
211 ovex 6121 . . . . 5  |-  ( ( D `  F ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) )  e.  _V
212211a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )  e.  _V )
213182, 209, 210, 212fvmptd 5784 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  |->  ( ( D `
 a ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 a ) ) ) ) `  F
)  =  ( ( D `  F ) ( -g `  R
) ( ( D `
 ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `  F ) ) ) )
214199fvconst2 5938 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  (
( B  X.  {  .0.  } ) `  F
)  =  .0.  )
215210, 214syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  {  .0.  } ) `  F )  =  .0.  )
216204, 213, 2153eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )  =  .0.  )
21713, 210ffvelrnd 5849 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  K )
21826, 210ffvelrnd 5849 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E `  F
)  e.  K )
2193, 7rngcl 16663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( 1r `  A ) )  e.  K  /\  ( E `
 F )  e.  K )  ->  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) )  e.  K )
2209, 21, 218, 219syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 F ) )  e.  K )
2213, 4, 30grpsubeq0 15617 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  F )  e.  K  /\  (
( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) )  e.  K )  ->  (
( ( D `  F ) ( -g `  R ) ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )  =  .0.  <->  ( D `  F )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) ) )
22211, 217, 220, 221syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( D `
 F ) (
-g `  R )
( ( D `  ( 1r `  A ) )  .x.  ( E `
 F ) ) )  =  .0.  <->  ( D `  F )  =  ( ( D `  ( 1r `  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) ) )
223216, 222mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  ( ( D `  ( 1r
`  A ) ) 
.x.  ( E `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2611   A.wral 2720   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   ifcif 3796   {csn 3882    e. cmpt 4355    X. cxp 4843    |` cres 4847   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   .rcmulr 14244   0gc0g 14383   Grpcgrp 15415   -gcsg 15418  CMndccmn 16282   Abelcabel 16283  mulGrpcmgp 16596   1rcur 16608   Ringcrg 16650   CRingccrg 16651   Mat cmat 18285   maDet cmdat 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-word 12234  df-concat 12236  df-s1 12237  df-substr 12238  df-splice 12239  df-reverse 12240  df-s2 12480  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-prds 14391  df-pws 14393  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-gim 15792  df-cntz 15840  df-oppg 15866  df-symg 15888  df-pmtr 15953  df-psgn 16002  df-evpm 16003  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-rnghom 16811  df-drng 16839  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zrh 17940  df-dsmm 18162  df-frlm 18177  df-mamu 18286  df-mat 18287  df-mdet 18401
This theorem is referenced by:  mdetuni  18433  mdetmul  18434
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