MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdettpos Structured version   Unicode version

Theorem mdettpos 18920
Description: Determinant is invariant under transposition. Proposition 4.8 in [Lang] p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdettpos.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdettpos.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdettpos.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
mdettpos  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( D ` tpos  M )  =  ( D `  M
) )

Proof of Theorem mdettpos
Dummy variables  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovtpos 6971 . . . . . . 7  |-  ( ( p `  x )tpos 
M x )  =  ( x M ( p `  x ) )
21mpteq2i 4530 . . . . . 6  |-  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x )tpos 
M x ) )  =  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x
) ) )
32oveq2i 6296 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x )tpos  M x
) ) )  =  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) )
43oveq2i 6296 . . . 4  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x
)tpos  M x ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) )
54mpteq2i 4530 . . 3  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x )tpos  M x
) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) )
65oveq2i 6296 . 2  |-  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x
)tpos  M x ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `
 x ) ) ) ) ) ) )
7 mdettpos.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
8 mdettpos.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
97, 8mattposcl 18762 . . . 4  |-  ( M  e.  B  -> tpos  M  e.  B )
109adantl 466 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  -> tpos  M  e.  B )
11 mdettpos.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
14 eqid 2467 . . . 4  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
15 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
16 eqid 2467 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
1711, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16mdetleib 18896 . . 3  |-  (tpos  M  e.  B  ->  ( D `
tpos  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x
)tpos  M x ) ) ) ) ) ) )
1810, 17syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( D ` tpos  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x
)tpos  M x ) ) ) ) ) ) )
1911, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16mdetleib2 18897 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) ) )
206, 18, 193eqtr4a 2534 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( D ` tpos  M )  =  ( D `  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4505    o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6285  tpos ctpos 6955   Basecbs 14493   .rcmulr 14559    gsumg cgsu 14699   SymGrpcsymg 16216  pmSgncpsgn 16329  mulGrpcmgp 16955   CRingccrg 17013   ZRHomczrh 18344   Mat cmat 18716   maDet cmdat 18893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-word 12509  df-concat 12511  df-s1 12512  df-substr 12513  df-splice 12514  df-reverse 12515  df-s2 12779  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-gim 16121  df-cntz 16169  df-oppg 16195  df-symg 16217  df-pmtr 16282  df-psgn 16331  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-dvr 17145  df-rnghom 17177  df-drng 17210  df-subrg 17239  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-cnfld 18232  df-zring 18297  df-zrh 18348  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-mat 18717  df-mdet 18894
This theorem is referenced by:  madutpos  18951  madulid  18954
  Copyright terms: Public domain W3C validator