Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mdetrsca2 19641
 Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca2.k
mdetrsca2.t
mdetrsca2.r
mdetrsca2.n
mdetrsca2.x
mdetrsca2.y
mdetrsca2.f
mdetrsca2.i
Assertion
Ref Expression
mdetrsca2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mdetrsca2
StepHypRef Expression
2 eqid 2453 . 2 Mat Mat
3 eqid 2453 . 2 Mat Mat
4 mdetrsca2.k . 2
5 mdetrsca2.t . 2
6 mdetrsca2.r . 2
7 mdetrsca2.n . . 3
8 crngring 17803 . . . . . . 7
96, 8syl 17 . . . . . 6
1093ad2ant1 1030 . . . . 5
11 mdetrsca2.f . . . . . 6
12113ad2ant1 1030 . . . . 5
13 mdetrsca2.x . . . . 5
144, 5ringcl 17806 . . . . 5
1510, 12, 13, 14syl3anc 1269 . . . 4
16 mdetrsca2.y . . . 4
1715, 16ifcld 3926 . . 3
182, 4, 3, 7, 6, 17matbas2d 19460 . 2 Mat
1913, 16ifcld 3926 . . 3
202, 4, 3, 7, 6, 19matbas2d 19460 . 2 Mat
21 mdetrsca2.i . 2
22 snex 4644 . . . . . 6
2322a1i 11 . . . . 5
24113ad2ant1 1030 . . . . 5
2521snssd 4120 . . . . . . . 8
2625sselda 3434 . . . . . . 7
27263adant3 1029 . . . . . 6
2827, 13syld3an2 1316 . . . . 5
29 fconstmpt2 6396 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
31 eqidd 2454 . . . . 5
3223, 7, 24, 28, 30, 31offval22 6877 . . . 4
33 mpt2snif 6395 . . . . 5
3433oveq2i 6306 . . . 4
35 mpt2snif 6395 . . . 4
3632, 34, 353eqtr4g 2512 . . 3
37 ssid 3453 . . . . 5
38 resmpt2 6399 . . . . 5
3925, 37, 38sylancl 669 . . . 4
4039oveq2d 6311 . . 3
41 resmpt2 6399 . . . 4
4225, 37, 41sylancl 669 . . 3
4336, 40, 423eqtr4rd 2498 . 2
44 eldifsni 4101 . . . . . . 7
45443ad2ant2 1031 . . . . . 6
4645neneqd 2631 . . . . 5
47 iffalse 3892 . . . . . 6
48 iffalse 3892 . . . . . 6
4947, 48eqtr4d 2490 . . . . 5
5046, 49syl 17 . . . 4
5150mpt2eq3dva 6360 . . 3
52 difss 3562 . . . 4
53 resmpt2 6399 . . . 4
5452, 37, 53mp2an 679 . . 3
55 resmpt2 6399 . . . 4
5652, 37, 55mp2an 679 . . 3
5751, 54, 563eqtr4g 2512 . 2
581, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 43, 57mdetrsca 19640 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  cvv 3047   cdif 3403   wss 3406  cif 3883  csn 3970   cxp 4835   cres 4839  cfv 5585  (class class class)co 6295   cmpt2 6297   cof 6534  cfn 7574  cbs 15133  cmulr 15203  crg 17792  ccrg 17793   Mat cmat 19444   maDet cmdat 19621 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-addf 9623  ax-mulf 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-xor 1408  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-ot 3979  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-word 12671  df-lsw 12672  df-concat 12673  df-s1 12674  df-substr 12675  df-splice 12676  df-reverse 12677  df-s2 12951  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-prds 15358  df-pws 15360  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-gim 16935  df-cntz 16983  df-oppg 17009  df-symg 17031  df-pmtr 17095  df-psgn 17144  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-rnghom 17955  df-drng 17989  df-subrg 18018  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-zrh 19087  df-dsmm 19307  df-frlm 19322  df-mat 19445  df-mdet 19622 This theorem is referenced by:  mdetr0  19642  mdetero  19647  madugsum  19680
 Copyright terms: Public domain W3C validator