MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca2 Structured version   Unicode version

Theorem mdetrsca2 19233
Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca2.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrsca2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrsca2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetrsca2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrsca2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetrsca2.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
mdetrsca2.y  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
mdetrsca2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
mdetrsca2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
Assertion
Ref Expression
mdetrsca2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) ) )  =  ( F  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, F, j    i, K, j    i, N, j   
i, I, j    .x. , i,
j
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( i, j)    Y( i, j)

Proof of Theorem mdetrsca2
StepHypRef Expression
1 mdetrsca2.d . 2  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 eqid 2457 . 2  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
3 eqid 2457 . 2  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
4 mdetrsca2.k . 2  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 mdetrsca2.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 mdetrsca2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 mdetrsca2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
8 crngring 17336 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
96, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1093ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
11 mdetrsca2.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
12113ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  F  e.  K )
13 mdetrsca2.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
144, 5ringcl 17339 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K  /\  X  e.  K )  ->  ( F  .x.  X )  e.  K )
1510, 12, 13, 14syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( F  .x.  X )  e.  K
)
16 mdetrsca2.y . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
1715, 16ifcld 3987 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y )  e.  K )
182, 4, 3, 7, 6, 17matbas2d 19052 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F 
.x.  X ) ,  Y ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
1913, 16ifcld 3987 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  Y )  e.  K )
202, 4, 3, 7, 6, 19matbas2d 19052 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
21 mdetrsca2.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
22 snex 4697 . . . . . 6  |-  { I }  e.  _V
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { I }  e.  _V )
24113ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  F  e.  K )
2521snssd 4177 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { I }  C_  N )
2625sselda 3499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I } )  -> 
i  e.  N )
27263adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
2827, 13syld3an2 1275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
29 fconstmpt2 6396 . . . . . 6  |-  ( ( { I }  X.  N )  X.  { F } )  =  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  F )
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ F } )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  F ) )
31 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )
3223, 7, 24, 28, 30, 31offval22 6878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )  =  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  ( F  .x.  X ) ) )
33 mpt2snif 6395 . . . . 5  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )
3433oveq2i 6307 . . . 4  |-  ( ( ( { I }  X.  N )  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )
35 mpt2snif 6395 . . . 4  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F 
.x.  X ) ,  Y ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  ( F 
.x.  X ) )
3632, 34, 353eqtr4g 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
37 ssid 3518 . . . . 5  |-  N  C_  N
38 resmpt2 6399 . . . . 5  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
3925, 37, 38sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
4039oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) ) )
41 resmpt2 6399 . . . 4  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
4225, 37, 41sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
4336, 40, 423eqtr4rd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ) )
44 eldifsni 4158 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  i  =/=  I
)
45443ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  i  =/=  I )
4645neneqd 2659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  -.  i  =  I )
47 iffalse 3953 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  Y )
48 iffalse 3953 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
)  =  Y )
4947, 48eqtr4d 2501 . . . . 5  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
5046, 49syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
5150mpt2eq3dva 6360 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
52 difss 3627 . . . 4  |-  ( N 
\  { I }
)  C_  N
53 resmpt2 6399 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
5452, 37, 53mp2an 672 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) )
55 resmpt2 6399 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
5652, 37, 55mp2an 672 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
5751, 54, 563eqtr4g 2523 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 43, 57mdetrsca 19232 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) ) )  =  ( F  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032    X. cxp 5006    |` cres 5010   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    oFcof 6537   Fincfn 7535   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326   Mat cmat 19036   maDet cmdat 19213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-s1 12549  df-substr 12550  df-splice 12551  df-reverse 12552  df-s2 12825  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-gim 16434  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-symg 16530  df-pmtr 16594  df-psgn 16643  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-mat 19037  df-mdet 19214
This theorem is referenced by:  mdetr0  19234  mdetero  19239  madugsum  19272
  Copyright terms: Public domain W3C validator