MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca2 Structured version   Unicode version

Theorem mdetrsca2 18410
Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca2.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrsca2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrsca2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetrsca2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrsca2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetrsca2.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
mdetrsca2.y  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
mdetrsca2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
mdetrsca2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
Assertion
Ref Expression
mdetrsca2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) ) )  =  ( F  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, F, j    i, K, j    i, N, j   
i, I, j    .x. , i,
j
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( i, j)    Y( i, j)

Proof of Theorem mdetrsca2
StepHypRef Expression
1 mdetrsca2.d . 2  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 eqid 2442 . 2  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
3 eqid 2442 . 2  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
4 mdetrsca2.k . 2  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 mdetrsca2.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 mdetrsca2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 mdetrsca2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
8 crngrng 16654 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
96, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1093ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
11 mdetrsca2.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
12113ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  F  e.  K )
13 mdetrsca2.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
144, 5rngcl 16657 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K  /\  X  e.  K )  ->  ( F  .x.  X )  e.  K )
1510, 12, 13, 14syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( F  .x.  X )  e.  K
)
16 mdetrsca2.y . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
1715, 16ifcld 3831 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y )  e.  K )
182, 4, 3, 7, 6, 17matbas2d 18323 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F 
.x.  X ) ,  Y ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
1913, 16ifcld 3831 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  Y )  e.  K )
202, 4, 3, 7, 6, 19matbas2d 18323 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
21 mdetrsca2.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
22 snex 4532 . . . . . 6  |-  { I }  e.  _V
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { I }  e.  _V )
24113ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  F  e.  K )
2521snssd 4017 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { I }  C_  N )
2625sselda 3355 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I } )  -> 
i  e.  N )
27263adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
2827, 13syld3an2 1265 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
29 fconstmpt2 6184 . . . . . 6  |-  ( ( { I }  X.  N )  X.  { F } )  =  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  F )
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ F } )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  F ) )
31 eqidd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )
3223, 7, 24, 28, 30, 31offval22 6651 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )  =  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  ( F  .x.  X ) ) )
33 elsni 3901 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { I }  ->  i  =  I )
3433adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  { I }  /\  j  e.  N
)  ->  i  =  I )
35 iftrue 3796 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
)  =  X )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  { I }  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  Y )  =  X )
3736mpt2eq3ia 6150 . . . . 5  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )
3837oveq2i 6101 . . . 4  |-  ( ( ( { I }  X.  N )  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )
39 iftrue 3796 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  ( F 
.x.  X ) )
4034, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  { I }  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y )  =  ( F  .x.  X ) )
4140mpt2eq3ia 6150 . . . 4  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F 
.x.  X ) ,  Y ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  ( F 
.x.  X ) )
4232, 38, 413eqtr4g 2499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
43 ssid 3374 . . . . 5  |-  N  C_  N
44 resmpt2 6187 . . . . 5  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
4525, 43, 44sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
4645oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) ) )
47 resmpt2 6187 . . . 4  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
4825, 43, 47sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
4942, 46, 483eqtr4rd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ) )
50 eldifsni 4000 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  i  =/=  I
)
51503ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  i  =/=  I )
5251neneqd 2623 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  -.  i  =  I )
53 iffalse 3798 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  Y )
54 iffalse 3798 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
)  =  Y )
5553, 54eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
5652, 55syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
5756mpt2eq3dva 6149 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
58 difss 3482 . . . 4  |-  ( N 
\  { I }
)  C_  N
59 resmpt2 6187 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
6058, 43, 59mp2an 672 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) )
61 resmpt2 6187 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
6258, 43, 61mp2an 672 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
6357, 60, 623eqtr4g 2499 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) )
641, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 49, 63mdetrsca 18409 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) ) )  =  ( F  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   _Vcvv 2971    \ cdif 3324    C_ wss 3327   ifcif 3790   {csn 3876    X. cxp 4837    |` cres 4841   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092    oFcof 6317   Fincfn 7309   Basecbs 14173   .rcmulr 14238   Ringcrg 16644   CRingccrg 16645   Mat cmat 18279   maDet cmdat 18394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-ot 3885  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-word 12228  df-concat 12230  df-s1 12231  df-substr 12232  df-splice 12233  df-reverse 12234  df-s2 12474  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-prds 14385  df-pws 14387  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-ghm 15744  df-gim 15786  df-cntz 15834  df-oppg 15860  df-symg 15882  df-pmtr 15947  df-psgn 15996  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-cring 16647  df-oppr 16714  df-dvdsr 16732  df-unit 16733  df-invr 16763  df-dvr 16774  df-rnghom 16805  df-drng 16833  df-subrg 16862  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-cnfld 17818  df-zring 17883  df-zrh 17934  df-dsmm 18156  df-frlm 18171  df-mat 18281  df-mdet 18395
This theorem is referenced by:  mdetr0  18411  mdetero  18415  madugsum  18448
  Copyright terms: Public domain W3C validator