MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mdetrsca2 19641
Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca2.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrsca2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrsca2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetrsca2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrsca2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetrsca2.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
mdetrsca2.y  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
mdetrsca2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
mdetrsca2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
Assertion
Ref Expression
mdetrsca2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) ) )  =  ( F  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, F, j    i, K, j    i, N, j   
i, I, j    .x. , i,
j
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( i, j)    Y( i, j)

Proof of Theorem mdetrsca2
StepHypRef Expression
1 mdetrsca2.d . 2  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 eqid 2453 . 2  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
3 eqid 2453 . 2  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
4 mdetrsca2.k . 2  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 mdetrsca2.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 mdetrsca2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 mdetrsca2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
8 crngring 17803 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
96, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1093ad2ant1 1030 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
11 mdetrsca2.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
12113ad2ant1 1030 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  F  e.  K )
13 mdetrsca2.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
144, 5ringcl 17806 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K  /\  X  e.  K )  ->  ( F  .x.  X )  e.  K )
1510, 12, 13, 14syl3anc 1269 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( F  .x.  X )  e.  K
)
16 mdetrsca2.y . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
1715, 16ifcld 3926 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y )  e.  K )
182, 4, 3, 7, 6, 17matbas2d 19460 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F 
.x.  X ) ,  Y ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
1913, 16ifcld 3926 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  Y )  e.  K )
202, 4, 3, 7, 6, 19matbas2d 19460 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
21 mdetrsca2.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
22 snex 4644 . . . . . 6  |-  { I }  e.  _V
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { I }  e.  _V )
24113ad2ant1 1030 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  F  e.  K )
2521snssd 4120 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { I }  C_  N )
2625sselda 3434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I } )  -> 
i  e.  N )
27263adant3 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
2827, 13syld3an2 1316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
29 fconstmpt2 6396 . . . . . 6  |-  ( ( { I }  X.  N )  X.  { F } )  =  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  F )
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ F } )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  F ) )
31 eqidd 2454 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )
3223, 7, 24, 28, 30, 31offval22 6877 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )  =  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  ( F  .x.  X ) ) )
33 mpt2snif 6395 . . . . 5  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )
3433oveq2i 6306 . . . 4  |-  ( ( ( { I }  X.  N )  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )
35 mpt2snif 6395 . . . 4  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F 
.x.  X ) ,  Y ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  ( F 
.x.  X ) )
3632, 34, 353eqtr4g 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
37 ssid 3453 . . . . 5  |-  N  C_  N
38 resmpt2 6399 . . . . 5  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
3925, 37, 38sylancl 669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
4039oveq2d 6311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) ) )
41 resmpt2 6399 . . . 4  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
4225, 37, 41sylancl 669 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
4336, 40, 423eqtr4rd 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ) )
44 eldifsni 4101 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  i  =/=  I
)
45443ad2ant2 1031 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  i  =/=  I )
4645neneqd 2631 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  -.  i  =  I )
47 iffalse 3892 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  Y )
48 iffalse 3892 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
)  =  Y )
4947, 48eqtr4d 2490 . . . . 5  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
5046, 49syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
5150mpt2eq3dva 6360 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
52 difss 3562 . . . 4  |-  ( N 
\  { I }
)  C_  N
53 resmpt2 6399 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
5452, 37, 53mp2an 679 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) )
55 resmpt2 6399 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
5652, 37, 55mp2an 679 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
5751, 54, 563eqtr4g 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 43, 57mdetrsca 19640 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) ) )  =  ( F  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   _Vcvv 3047    \ cdif 3403    C_ wss 3406   ifcif 3883   {csn 3970    X. cxp 4835    |` cres 4839   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297    oFcof 6534   Fincfn 7574   Basecbs 15133   .rcmulr 15203   Ringcrg 17792   CRingccrg 17793   Mat cmat 19444   maDet cmdat 19621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-xor 1408  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-ot 3979  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-word 12671  df-lsw 12672  df-concat 12673  df-s1 12674  df-substr 12675  df-splice 12676  df-reverse 12677  df-s2 12951  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-prds 15358  df-pws 15360  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-gim 16935  df-cntz 16983  df-oppg 17009  df-symg 17031  df-pmtr 17095  df-psgn 17144  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-rnghom 17955  df-drng 17989  df-subrg 18018  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-zrh 19087  df-dsmm 19307  df-frlm 19322  df-mat 19445  df-mdet 19622
This theorem is referenced by:  mdetr0  19642  mdetero  19647  madugsum  19680
  Copyright terms: Public domain W3C validator