Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca2 Structured version   Unicode version

Theorem mdetrsca2 18868
 Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca2.k
mdetrsca2.t
mdetrsca2.r
mdetrsca2.n
mdetrsca2.x
mdetrsca2.y
mdetrsca2.f
mdetrsca2.i
Assertion
Ref Expression
mdetrsca2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mdetrsca2
StepHypRef Expression
2 eqid 2462 . 2 Mat Mat
3 eqid 2462 . 2 Mat Mat
4 mdetrsca2.k . 2
5 mdetrsca2.t . 2
6 mdetrsca2.r . 2
7 mdetrsca2.n . . 3
8 crngrng 16991 . . . . . . 7
96, 8syl 16 . . . . . 6
1093ad2ant1 1012 . . . . 5
11 mdetrsca2.f . . . . . 6
12113ad2ant1 1012 . . . . 5
13 mdetrsca2.x . . . . 5
144, 5rngcl 16994 . . . . 5
1510, 12, 13, 14syl3anc 1223 . . . 4
16 mdetrsca2.y . . . 4
1715, 16ifcld 3977 . . 3
182, 4, 3, 7, 6, 17matbas2d 18687 . 2 Mat
1913, 16ifcld 3977 . . 3
202, 4, 3, 7, 6, 19matbas2d 18687 . 2 Mat
21 mdetrsca2.i . 2
22 snex 4683 . . . . . 6
2322a1i 11 . . . . 5
24113ad2ant1 1012 . . . . 5
2521snssd 4167 . . . . . . . 8
2625sselda 3499 . . . . . . 7
27263adant3 1011 . . . . . 6
2827, 13syld3an2 1270 . . . . 5
29 fconstmpt2 6374 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
31 eqidd 2463 . . . . 5
3223, 7, 24, 28, 30, 31offval22 6854 . . . 4
33 elsni 4047 . . . . . . . 8
3433adantr 465 . . . . . . 7
35 iftrue 3940 . . . . . . 7
3634, 35syl 16 . . . . . 6
3736mpt2eq3ia 6339 . . . . 5
3837oveq2i 6288 . . . 4
39 iftrue 3940 . . . . . 6
4034, 39syl 16 . . . . 5
4140mpt2eq3ia 6339 . . . 4
4232, 38, 413eqtr4g 2528 . . 3
43 ssid 3518 . . . . 5
44 resmpt2 6377 . . . . 5
4525, 43, 44sylancl 662 . . . 4
4645oveq2d 6293 . . 3
47 resmpt2 6377 . . . 4
4825, 43, 47sylancl 662 . . 3
4942, 46, 483eqtr4rd 2514 . 2
50 eldifsni 4148 . . . . . . 7
51503ad2ant2 1013 . . . . . 6
5251neneqd 2664 . . . . 5
53 iffalse 3943 . . . . . 6
54 iffalse 3943 . . . . . 6
5553, 54eqtr4d 2506 . . . . 5
5652, 55syl 16 . . . 4
5756mpt2eq3dva 6338 . . 3
58 difss 3626 . . . 4
59 resmpt2 6377 . . . 4
6058, 43, 59mp2an 672 . . 3
61 resmpt2 6377 . . . 4
6258, 43, 61mp2an 672 . . 3
6357, 60, 623eqtr4g 2528 . 2
641, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 49, 63mdetrsca 18867 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762   wne 2657  cvv 3108   cdif 3468   wss 3471  cif 3934  csn 4022   cxp 4992   cres 4996  cfv 5581  (class class class)co 6277   cmpt2 6279   cof 6515  cfn 7508  cbs 14481  cmulr 14547  crg 16981  ccrg 16982   Mat cmat 18671   maDet cmdat 18848 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-addf 9562  ax-mulf 9563 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-xor 1356  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-ot 4031  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-word 12497  df-concat 12499  df-s1 12500  df-substr 12501  df-splice 12502  df-reverse 12503  df-s2 12765  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-prds 14694  df-pws 14696  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-gim 16097  df-cntz 16145  df-oppg 16171  df-symg 16193  df-pmtr 16258  df-psgn 16307  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-rnghom 17143  df-drng 17176  df-subrg 17205  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-cnfld 18187  df-zring 18252  df-zrh 18303  df-dsmm 18525  df-frlm 18540  df-mat 18672  df-mdet 18849 This theorem is referenced by:  mdetr0  18869  mdetero  18874  madugsum  18907
 Copyright terms: Public domain W3C validator