MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca2 Structured version   Unicode version

Theorem mdetrsca2 18868
Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca2.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrsca2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrsca2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetrsca2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrsca2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetrsca2.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
mdetrsca2.y  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
mdetrsca2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
mdetrsca2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
Assertion
Ref Expression
mdetrsca2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) ) )  =  ( F  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, F, j    i, K, j    i, N, j   
i, I, j    .x. , i,
j
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( i, j)    Y( i, j)

Proof of Theorem mdetrsca2
StepHypRef Expression
1 mdetrsca2.d . 2  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 eqid 2462 . 2  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
3 eqid 2462 . 2  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
4 mdetrsca2.k . 2  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 mdetrsca2.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 mdetrsca2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 mdetrsca2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
8 crngrng 16991 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
96, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1093ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
11 mdetrsca2.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
12113ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  F  e.  K )
13 mdetrsca2.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
144, 5rngcl 16994 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K  /\  X  e.  K )  ->  ( F  .x.  X )  e.  K )
1510, 12, 13, 14syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( F  .x.  X )  e.  K
)
16 mdetrsca2.y . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
1715, 16ifcld 3977 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y )  e.  K )
182, 4, 3, 7, 6, 17matbas2d 18687 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F 
.x.  X ) ,  Y ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
1913, 16ifcld 3977 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  Y )  e.  K )
202, 4, 3, 7, 6, 19matbas2d 18687 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
21 mdetrsca2.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
22 snex 4683 . . . . . 6  |-  { I }  e.  _V
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { I }  e.  _V )
24113ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  F  e.  K )
2521snssd 4167 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { I }  C_  N )
2625sselda 3499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I } )  -> 
i  e.  N )
27263adant3 1011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
2827, 13syld3an2 1270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
29 fconstmpt2 6374 . . . . . 6  |-  ( ( { I }  X.  N )  X.  { F } )  =  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  F )
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ F } )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  F ) )
31 eqidd 2463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )
3223, 7, 24, 28, 30, 31offval22 6854 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )  =  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  ( F  .x.  X ) ) )
33 elsni 4047 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { I }  ->  i  =  I )
3433adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  { I }  /\  j  e.  N
)  ->  i  =  I )
35 iftrue 3940 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
)  =  X )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  { I }  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  Y )  =  X )
3736mpt2eq3ia 6339 . . . . 5  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )
3837oveq2i 6288 . . . 4  |-  ( ( ( { I }  X.  N )  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )
39 iftrue 3940 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  ( F 
.x.  X ) )
4034, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  { I }  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y )  =  ( F  .x.  X ) )
4140mpt2eq3ia 6339 . . . 4  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F 
.x.  X ) ,  Y ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  ( F 
.x.  X ) )
4232, 38, 413eqtr4g 2528 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
43 ssid 3518 . . . . 5  |-  N  C_  N
44 resmpt2 6377 . . . . 5  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
4525, 43, 44sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
4645oveq2d 6293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) ) ) )
47 resmpt2 6377 . . . 4  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
4825, 43, 47sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
4942, 46, 483eqtr4rd 2514 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { F } )  oF  .x.  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ) )
50 eldifsni 4148 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  i  =/=  I
)
51503ad2ant2 1013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  i  =/=  I )
5251neneqd 2664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  -.  i  =  I )
53 iffalse 3943 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  Y )
54 iffalse 3943 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
)  =  Y )
5553, 54eqtr4d 2506 . . . . 5  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
5652, 55syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
5756mpt2eq3dva 6338 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
58 difss 3626 . . . 4  |-  ( N 
\  { I }
)  C_  N
59 resmpt2 6377 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) ) )
6058, 43, 59mp2an 672 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X
) ,  Y ) )
61 resmpt2 6377 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) )
6258, 43, 61mp2an 672 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )
6357, 60, 623eqtr4g 2528 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y ) )  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) )  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) )
641, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 49, 63mdetrsca 18867 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( F  .x.  X ) ,  Y
) ) )  =  ( F  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   _Vcvv 3108    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3934   {csn 4022    X. cxp 4992    |` cres 4996   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279    oFcof 6515   Fincfn 7508   Basecbs 14481   .rcmulr 14547   Ringcrg 16981   CRingccrg 16982   Mat cmat 18671   maDet cmdat 18848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-xor 1356  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-ot 4031  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-word 12497  df-concat 12499  df-s1 12500  df-substr 12501  df-splice 12502  df-reverse 12503  df-s2 12765  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-prds 14694  df-pws 14696  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-gim 16097  df-cntz 16145  df-oppg 16171  df-symg 16193  df-pmtr 16258  df-psgn 16307  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-rnghom 17143  df-drng 17176  df-subrg 17205  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-cnfld 18187  df-zring 18252  df-zrh 18303  df-dsmm 18525  df-frlm 18540  df-mat 18672  df-mdet 18849
This theorem is referenced by:  mdetr0  18869  mdetero  18874  madugsum  18907
  Copyright terms: Public domain W3C validator