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Theorem mdetrsca 18867
Description: The determinant function is homogeneous for each row: The matrices X and Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise product of the I's row of the matrix Z and the scalar Y. In this case the determinant of X is the determinant of Z multiplied by Y. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrsca.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetrsca.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetrsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrsca.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetrsca.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mdetrsca.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
mdetrsca.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
mdetrsca.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetrsca.eq  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
mdetrsca.ne  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetrsca  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( Y 
.x.  ( D `  Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrsca
Dummy variables  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetrsca.eq . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
21oveqd 6294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I ( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) ) )
32adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I ( ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I ) ) )
4 mdetrsca.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  N
)
6 snidg 4048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  N  ->  I  e.  { I } )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  {
I } )
8 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
9 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
108, 9symgbasf1o 16198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  ->  p : N -1-1-onto-> N
)
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N -1-1-onto-> N
)
12 f1of 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N --> N )
1413, 5ffvelrnd 6015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( p `  I )  e.  N
)
15 ovres 6419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
167, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
17 opelxpi 5025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )
187, 14, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  <. I ,  ( p `  I )
>.  e.  ( { I }  X.  N ) )
19 snfi 7588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { I }  e.  Fin
20 mdetrsca.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
21 mdetrsca.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A  =  ( N Mat  R )
22 mdetrsca.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( Base `  A
)
2321, 22matrcl 18676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
2524simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
27 xpfi 7782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { I }  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
Fin )
2819, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
Fin )
29 mdetrsca.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Y  e.  K
)
31 mdetrsca.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
32 mdetrsca.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  =  ( Base `  R
)
3321, 32, 22matbas2i 18686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  B  ->  Z  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
34 elmapi 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
3531, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
37 ffn 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z : ( N  X.  N ) --> K  ->  Z  Fn  ( N  X.  N ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z  Fn  ( N  X.  N ) )
395snssd 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  { I }  C_  N )
40 xpss1 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { I }  C_  N  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N
) )
42 fnssres 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Z  Fn  ( N  X.  N )  /\  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
4338, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
44 eqidd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )  ->  (
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
)
4528, 30, 43, 44ofc1 6540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )  ->  (
( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  ( Y  .x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) ) )
4618, 45mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( { I }  X.  N )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  ( Y  .x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) ) )
47 df-ov 6280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )
48 df-ov 6280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
4948oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y 
.x.  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) )
5046, 47, 493eqtr4g 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I ) )  =  ( Y  .x.  (
I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
513, 16, 503eqtr3d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( Y  .x.  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
52 ovres 6419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
537, 14, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
5453oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  .x.  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
5551, 54eqtrd 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
5655oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) 
.x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
57 mdetrsca.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
58 crngrng 16991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6136, 5, 14fovrnd 6424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Z ( p `  I
) )  e.  K
)
62 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
6362, 32mgpbas 16932 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
6462crngmgp 16989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
6557, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
67 difssd 3627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } ) 
C_  N )
68 ssfi 7732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { I } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
6926, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
70 eldifi 3621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( N  \  { I } )  ->  r  e.  N
)
7135ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  r  e.  N )
7313ffvelrnda 6014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
p `  r )  e.  N )
7471, 72, 73fovrnd 6424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  e.  K )
7570, 74sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Z ( p `  r
) )  e.  K
)
7675ralrimiva 2873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  ( N  \  { I } ) ( r Z ( p `  r ) )  e.  K )
7763, 66, 69, 76gsummptcl 16780 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )
78 mdetrsca.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
7932, 78rngass 16997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  K  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  e.  K ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( I Z ( p `  I
) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8060, 30, 61, 77, 79syl13anc 1225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( I Z ( p `  I
) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8156, 80eqtrd 2503 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8262, 78mgpplusg 16930 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
8321, 32, 22matbas2i 18686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
84 elmapi 7432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8520, 83, 843syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8786, 72, 73fovrnd 6424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r X ( p `
 r ) )  e.  K )
88 disjdif 3894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { I }  i^i  ( N  \  { I }
) )  =  (/)
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  i^i  ( N  \  { I } ) )  =  (/) )
90 undif 3902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { I }  C_  N  <->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9139, 90sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9291eqcomd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  =  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) ) )
9363, 82, 66, 26, 87, 89, 92gsummptfidmsplit 16736 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
94 cmnmnd 16604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
9566, 94syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
9685adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
9796, 5, 14fovrnd 6424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  e.  K
)
98 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  r  =  I )
99 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
p `  r )  =  ( p `  I ) )
10098, 99oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  I  ->  (
r X ( p `
 r ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
10163, 100gsumsn 16767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I X ( p `  I ) )  e.  K )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
10295, 5, 97, 101syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
103 mdetrsca.ne . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
104103oveqd 6294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  r  e.  ( N  \  { I } ) )
10770, 73sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( p `  r )  e.  N
)
108 ovres 6419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
110 ovres 6419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
111106, 107, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
112105, 109, 1113eqtr3d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r X ( p `  r
) )  =  ( r Z ( p `
 r ) ) )
113112mpteq2dva 4528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r X ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )
114113oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )
115102, 114oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
11693, 115eqtrd 2503 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( I X ( p `  I
) )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) )
11763, 82, 66, 26, 74, 89, 92gsummptfidmsplit 16736 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
11898, 99oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
11963, 118gsumsn 16767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  K )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
12095, 5, 61, 119syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
121120oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
122117, 121eqtrd 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( I Z ( p `  I
) )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) )
123122oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
12481, 116, 1233eqtr4d 2513 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )
125124oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( Y  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
12657adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  CRing )
127 zrhpsgnmhm 18382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
12859, 25, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
1299, 63mhmf 15777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> K )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
131130ffvelrnda 6014 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  e.  K )
13232, 78crngcom 16995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  Y  e.  K
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
) )
133126, 131, 30, 132syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
) )
134133oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
13574ralrimiva 2873 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Z ( p `  r ) )  e.  K )
13663, 66, 26, 135gsummptcl 16780 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )
13732, 78rngass 16997 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K ) )  -> 
( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
13860, 131, 30, 136, 137syl13anc 1225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
13932, 78rngass 16997 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  K  /\  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K ) )  -> 
( ( Y  .x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
14060, 30, 131, 136, 139syl13anc 1225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
141134, 138, 1403eqtr3d 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
142125, 141eqtrd 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
143142mpteq2dva 4528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
144143oveq2d 6293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( Y 
.x.  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
145 eqid 2462 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
146 eqid 2462 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1478, 9symgbasfi 16201 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
14825, 147syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  Fin )
14932, 78rngcl 16994 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  K )
15060, 131, 136, 149syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  K )
151 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
152 ovex 6302 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
153152a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V )
154 fvex 5869 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
155154a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
156151, 148, 153, 155fsuppmptdm 7831 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  R
) )
15732, 145, 146, 78, 59, 148, 29, 150, 156gsummulc2 17032 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( Y  .x.  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
158144, 157eqtrd 2503 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) ) )
159 mdetrsca.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
160 eqid 2462 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
161 eqid 2462 . . . 4  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
162159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 18852 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( D `  X )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
16357, 20, 162syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
164159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 18852 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Z  e.  B )  ->  ( D `  Z )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
16557, 31, 164syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Z
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
166165oveq2d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .x.  ( D `  Z )
)  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) ) )
167158, 163, 1663eqtr4d 2513 1  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( Y 
.x.  ( D `  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   {csn 4022   <.cop 4028    |-> cmpt 4500    X. cxp 4992    |` cres 4996    o. ccom 4998    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    oFcof 6515    ^m cmap 7412   Fincfn 7508   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   .rcmulr 14547   0gc0g 14686    gsumg cgsu 14687   Mndcmnd 15717   MndHom cmhm 15770   SymGrpcsymg 16192  pmSgncpsgn 16305  CMndccmn 16589  mulGrpcmgp 16926   Ringcrg 16981   CRingccrg 16982   ZRHomczrh 18299   Mat cmat 18671   maDet cmdat 18848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-xor 1356  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-ot 4031  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-word 12497  df-concat 12499  df-s1 12500  df-substr 12501  df-splice 12502  df-reverse 12503  df-s2 12765  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-prds 14694  df-pws 14696  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-gim 16097  df-cntz 16145  df-oppg 16171  df-symg 16193  df-pmtr 16258  df-psgn 16307  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-rnghom 17143  df-drng 17176  df-subrg 17205  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-cnfld 18187  df-zring 18252  df-zrh 18303  df-dsmm 18525  df-frlm 18540  df-mat 18672  df-mdet 18849
This theorem is referenced by:  mdetrsca2  18868  mdetuni0  18885  mdetmul  18887  smadiadetg  18937
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