MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca Structured version   Unicode version

Theorem mdetrsca 19083
Description: The determinant function is homogeneous for each row: The matrices X and Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise product of the I's row of the matrix Z and the scalar Y. In this case the determinant of X is the determinant of Z multiplied by Y. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrsca.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetrsca.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetrsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrsca.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetrsca.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mdetrsca.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
mdetrsca.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
mdetrsca.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetrsca.eq  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
mdetrsca.ne  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetrsca  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( Y 
.x.  ( D `  Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrsca
Dummy variables  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetrsca.eq . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
21oveqd 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I ( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) ) )
32adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I ( ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I ) ) )
4 mdetrsca.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  N
)
6 snidg 4040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  N  ->  I  e.  { I } )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  {
I } )
8 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
9 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
108, 9symgbasf1o 16387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  ->  p : N -1-1-onto-> N
)
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N -1-1-onto-> N
)
12 f1of 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N --> N )
1413, 5ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( p `  I )  e.  N
)
15 ovres 6427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
167, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
17 opelxpi 5021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )
187, 14, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  <. I ,  ( p `  I )
>.  e.  ( { I }  X.  N ) )
19 snfi 7598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { I }  e.  Fin
20 mdetrsca.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
21 mdetrsca.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A  =  ( N Mat  R )
22 mdetrsca.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( Base `  A
)
2321, 22matrcl 18892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
2524simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
27 xpfi 7793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { I }  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
Fin )
2819, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
Fin )
29 mdetrsca.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Y  e.  K
)
31 mdetrsca.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
32 mdetrsca.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  =  ( Base `  R
)
3321, 32, 22matbas2i 18902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  B  ->  Z  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
34 elmapi 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
3531, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
37 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z : ( N  X.  N ) --> K  ->  Z  Fn  ( N  X.  N ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z  Fn  ( N  X.  N ) )
395snssd 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  { I }  C_  N )
40 xpss1 5101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { I }  C_  N  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N
) )
42 fnssres 5684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Z  Fn  ( N  X.  N )  /\  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
4338, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
44 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )  ->  (
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
)
4528, 30, 43, 44ofc1 6548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )  ->  (
( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  ( Y  .x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) ) )
4618, 45mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( { I }  X.  N )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  ( Y  .x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) ) )
47 df-ov 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )
48 df-ov 6284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
4948oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y 
.x.  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) )
5046, 47, 493eqtr4g 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I ) )  =  ( Y  .x.  (
I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
513, 16, 503eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( Y  .x.  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
52 ovres 6427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
537, 14, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
5453oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  .x.  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
5551, 54eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
5655oveq1d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) 
.x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
57 mdetrsca.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
58 crngring 17188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6136, 5, 14fovrnd 6432 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Z ( p `  I
) )  e.  K
)
62 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
6362, 32mgpbas 17126 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
6462crngmgp 17185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
6557, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
67 difssd 3617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } ) 
C_  N )
68 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { I } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
6926, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
70 eldifi 3611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( N  \  { I } )  ->  r  e.  N
)
7135ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  r  e.  N )
7313ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
p `  r )  e.  N )
7471, 72, 73fovrnd 6432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  e.  K )
7570, 74sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Z ( p `  r
) )  e.  K
)
7675ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  ( N  \  { I } ) ( r Z ( p `  r ) )  e.  K )
7763, 66, 69, 76gsummptcl 16973 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )
78 mdetrsca.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
7932, 78ringass 17194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  K  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  e.  K ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( I Z ( p `  I
) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8060, 30, 61, 77, 79syl13anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( I Z ( p `  I
) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8156, 80eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8262, 78mgpplusg 17124 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
8321, 32, 22matbas2i 18902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
84 elmapi 7442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8520, 83, 843syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8786, 72, 73fovrnd 6432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r X ( p `
 r ) )  e.  K )
88 disjdif 3886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { I }  i^i  ( N  \  { I }
) )  =  (/)
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  i^i  ( N  \  { I } ) )  =  (/) )
90 undif 3894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { I }  C_  N  <->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9139, 90sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9291eqcomd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  =  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) ) )
9363, 82, 66, 26, 87, 89, 92gsummptfidmsplit 16929 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
94 cmnmnd 16792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
9566, 94syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
9685adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
9796, 5, 14fovrnd 6432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  e.  K
)
98 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  r  =  I )
99 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
p `  r )  =  ( p `  I ) )
10098, 99oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  I  ->  (
r X ( p `
 r ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
10163, 100gsumsn 16960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I X ( p `  I ) )  e.  K )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
10295, 5, 97, 101syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
103 mdetrsca.ne . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
104103oveqd 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  r  e.  ( N  \  { I } ) )
10770, 73sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( p `  r )  e.  N
)
108 ovres 6427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
110 ovres 6427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
111106, 107, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
112105, 109, 1113eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r X ( p `  r
) )  =  ( r Z ( p `
 r ) ) )
113112mpteq2dva 4523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r X ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )
114113oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )
115102, 114oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
11693, 115eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( I X ( p `  I
) )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) )
11763, 82, 66, 26, 74, 89, 92gsummptfidmsplit 16929 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
11898, 99oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
11963, 118gsumsn 16960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  K )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
12095, 5, 61, 119syl3anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
121120oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
122117, 121eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( I Z ( p `  I
) )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) )
123122oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
12481, 116, 1233eqtr4d 2494 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )
125124oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( Y  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
12657adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  CRing )
127 zrhpsgnmhm 18598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
12859, 25, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
1299, 63mhmf 15950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> K )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
131130ffvelrnda 6016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  e.  K )
13232, 78crngcom 17192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  Y  e.  K
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
) )
133126, 131, 30, 132syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
) )
134133oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
13574ralrimiva 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Z ( p `  r ) )  e.  K )
13663, 66, 26, 135gsummptcl 16973 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )
13732, 78ringass 17194 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K ) )  -> 
( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
13860, 131, 30, 136, 137syl13anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
13932, 78ringass 17194 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  K  /\  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K ) )  -> 
( ( Y  .x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
14060, 30, 131, 136, 139syl13anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
141134, 138, 1403eqtr3d 2492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
142125, 141eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
143142mpteq2dva 4523 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
144143oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( Y 
.x.  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
145 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
146 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1478, 9symgbasfi 16390 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
14825, 147syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  Fin )
14932, 78ringcl 17191 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  K )
15060, 131, 136, 149syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  K )
151 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
152 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
153152a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V )
154 fvex 5866 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
155154a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
156151, 148, 153, 155fsuppmptdm 7842 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  R
) )
15732, 145, 146, 78, 59, 148, 29, 150, 156gsummulc2 17232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( Y  .x.  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
158144, 157eqtrd 2484 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) ) )
159 mdetrsca.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
160 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
161 eqid 2443 . . . 4  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
162159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 19068 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( D `  X )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
16357, 20, 162syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
164159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 19068 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Z  e.  B )  ->  ( D `  Z )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
16557, 31, 164syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Z
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
166165oveq2d 6297 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .x.  ( D `  Z )
)  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) ) )
167158, 163, 1663eqtr4d 2494 1  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( Y 
.x.  ( D `  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   <.cop 4020    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987    |` cres 4991    o. ccom 4993    Fn wfn 5573   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523    ^m cmap 7422   Fincfn 7518   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   .rcmulr 14680   0gc0g 14819    gsumg cgsu 14820   Mndcmnd 15898   MndHom cmhm 15943   SymGrpcsymg 16381  pmSgncpsgn 16493  CMndccmn 16777  mulGrpcmgp 17120   Ringcrg 17177   CRingccrg 17178   ZRHomczrh 18515   Mat cmat 18887   maDet cmdat 19064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1365  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-substr 12528  df-splice 12529  df-reverse 12530  df-s2 12795  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-prds 14827  df-pws 14829  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-ghm 16244  df-gim 16286  df-cntz 16334  df-oppg 16360  df-symg 16382  df-pmtr 16446  df-psgn 16495  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-rnghom 17343  df-drng 17377  df-subrg 17406  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-cnfld 18400  df-zring 18468  df-zrh 18519  df-dsmm 18741  df-frlm 18756  df-mat 18888  df-mdet 19065
This theorem is referenced by:  mdetrsca2  19084  mdetuni0  19101  mdetmul  19103  smadiadetg  19153
  Copyright terms: Public domain W3C validator