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Theorem mdetrsca 18409
Description: The determinant function is homogeneous for each row: The matrices X and Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise product of the I's row of the matrix Z and the scalar Y. In this case the determinant of X is the determinant of Z multiplied by Y. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrsca.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetrsca.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetrsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrsca.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetrsca.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mdetrsca.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
mdetrsca.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
mdetrsca.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetrsca.eq  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
mdetrsca.ne  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetrsca  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( Y 
.x.  ( D `  Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrsca
Dummy variables  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetrsca.eq . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
21oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I ( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) ) )
32adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I ( ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I ) ) )
4 mdetrsca.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  N
)
6 snidg 3902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  N  ->  I  e.  { I } )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  {
I } )
8 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
9 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
108, 9symgbasf1o 15887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  ->  p : N -1-1-onto-> N
)
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N -1-1-onto-> N
)
12 f1of 5640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N --> N )
1413, 5ffvelrnd 5843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( p `  I )  e.  N
)
15 ovres 6229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
167, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
17 opelxpi 4870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )
187, 14, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  <. I ,  ( p `  I )
>.  e.  ( { I }  X.  N ) )
19 snfi 7389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { I }  e.  Fin
20 mdetrsca.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
21 mdetrsca.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A  =  ( N Mat  R )
22 mdetrsca.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( Base `  A
)
2321, 22matrcl 18311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
2524simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
27 xpfi 7582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { I }  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
Fin )
2819, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
Fin )
29 mdetrsca.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Y  e.  K
)
31 mdetrsca.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
32 mdetrsca.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  =  ( Base `  R
)
3321, 32, 22matbas2i 18322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  B  ->  Z  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
34 elmapi 7233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
3531, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
37 ffn 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z : ( N  X.  N ) --> K  ->  Z  Fn  ( N  X.  N ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z  Fn  ( N  X.  N ) )
395snssd 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  { I }  C_  N )
40 xpss1 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { I }  C_  N  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N
) )
42 fnssres 5523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Z  Fn  ( N  X.  N )  /\  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
4338, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
44 eqidd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )  ->  (
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
)
4528, 30, 43, 44ofc1 6342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )  ->  (
( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  ( Y  .x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) ) )
4618, 45mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( { I }  X.  N )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  ( Y  .x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) ) )
47 df-ov 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )
48 df-ov 6093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
4948oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y 
.x.  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) )
5046, 47, 493eqtr4g 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I ) )  =  ( Y  .x.  (
I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
513, 16, 503eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( Y  .x.  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
52 ovres 6229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
537, 14, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
5453oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  .x.  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
5551, 54eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
5655oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) 
.x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
57 mdetrsca.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
58 crngrng 16654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6136, 5, 14fovrnd 6234 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Z ( p `  I
) )  e.  K
)
62 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
6362, 32mgpbas 16596 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
6462crngmgp 16652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
6557, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
67 difssd 3483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } ) 
C_  N )
68 ssfi 7532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { I } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
6926, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
70 eldifi 3477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( N  \  { I } )  ->  r  e.  N
)
7135ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  r  e.  N )
7313ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
p `  r )  e.  N )
7471, 72, 73fovrnd 6234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  e.  K )
7570, 74sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Z ( p `  r
) )  e.  K
)
7675ralrimiva 2798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  ( N  \  { I } ) ( r Z ( p `  r ) )  e.  K )
7763, 66, 69, 76gsummptcl 16457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )
78 mdetrsca.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
7932, 78rngass 16660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  K  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  e.  K ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( I Z ( p `  I
) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8060, 30, 61, 77, 79syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( I Z ( p `  I
) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8156, 80eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8262, 78mgpplusg 16594 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
8321, 32, 22matbas2i 18322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
84 elmapi 7233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8520, 83, 843syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8786, 72, 73fovrnd 6234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r X ( p `
 r ) )  e.  K )
88 disjdif 3750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { I }  i^i  ( N  \  { I }
) )  =  (/)
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  i^i  ( N  \  { I } ) )  =  (/) )
90 undif 3758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { I }  C_  N  <->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9139, 90sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9291eqcomd 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  =  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) ) )
9363, 82, 66, 26, 87, 89, 92gsummptfidmsplit 16423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
94 cmnmnd 16291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
9566, 94syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
9685adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
9796, 5, 14fovrnd 6234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  e.  K
)
98 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  r  =  I )
99 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
p `  r )  =  ( p `  I ) )
10098, 99oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  I  ->  (
r X ( p `
 r ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
10163, 100gsumsn 16448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I X ( p `  I ) )  e.  K )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
10295, 5, 97, 101syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
103 mdetrsca.ne . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
104103oveqd 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  r  e.  ( N  \  { I } ) )
10770, 73sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( p `  r )  e.  N
)
108 ovres 6229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
110 ovres 6229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
111106, 107, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
112105, 109, 1113eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r X ( p `  r
) )  =  ( r Z ( p `
 r ) ) )
113112mpteq2dva 4377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r X ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )
114113oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )
115102, 114oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
11693, 115eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( I X ( p `  I
) )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) )
11763, 82, 66, 26, 74, 89, 92gsummptfidmsplit 16423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
11898, 99oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
11963, 118gsumsn 16448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  K )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
12095, 5, 61, 119syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
121120oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
122117, 121eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( I Z ( p `  I
) )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) )
123122oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
12481, 116, 1233eqtr4d 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )
125124oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( Y  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
12657adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  CRing )
127 zrhpsgnmhm 18013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
12859, 25, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
1299, 63mhmf 15468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> K )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
131130ffvelrnda 5842 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  e.  K )
13232, 78crngcom 16658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  Y  e.  K
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
) )
133126, 131, 30, 132syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
) )
134133oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
13574ralrimiva 2798 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Z ( p `  r ) )  e.  K )
13663, 66, 26, 135gsummptcl 16457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )
13732, 78rngass 16660 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K ) )  -> 
( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
13860, 131, 30, 136, 137syl13anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
13932, 78rngass 16660 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  K  /\  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K ) )  -> 
( ( Y  .x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
14060, 30, 131, 136, 139syl13anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
141134, 138, 1403eqtr3d 2482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
142125, 141eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
143142mpteq2dva 4377 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
144143oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( Y 
.x.  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
145 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
146 eqid 2442 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1478, 9symgbasfi 15890 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
14825, 147syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  Fin )
14932, 78rngcl 16657 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  K )
15060, 131, 136, 149syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  K )
151 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
152 ovex 6115 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
153152a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V )
154 fvex 5700 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
155154a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
156151, 148, 153, 155fsuppmptdm 7630 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  R
) )
15732, 145, 146, 78, 59, 148, 29, 150, 156gsummulc2 16695 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( Y  .x.  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
158144, 157eqtrd 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) ) )
159 mdetrsca.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
160 eqid 2442 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
161 eqid 2442 . . . 4  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
162159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 18398 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( D `  X )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
16357, 20, 162syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
164159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 18398 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Z  e.  B )  ->  ( D `  Z )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
16557, 31, 164syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Z
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
166165oveq2d 6106 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .x.  ( D `  Z )
)  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) ) )
167158, 163, 1663eqtr4d 2484 1  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( Y 
.x.  ( D `  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971    \ cdif 3324    u. cun 3325    i^i cin 3326    C_ wss 3327   (/)c0 3636   {csn 3876   <.cop 3882    e. cmpt 4349    X. cxp 4837    |` cres 4841    o. ccom 4843    Fn wfn 5412   -->wf 5413   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    oFcof 6317    ^m cmap 7213   Fincfn 7309   Basecbs 14173   +g cplusg 14237   .rcmulr 14238   0gc0g 14377    gsumg cgsu 14378   Mndcmnd 15408   MndHom cmhm 15461   SymGrpcsymg 15881  pmSgncpsgn 15994  CMndccmn 16276  mulGrpcmgp 16590   Ringcrg 16644   CRingccrg 16645   ZRHomczrh 17930   Mat cmat 18279   maDet cmdat 18394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-ot 3885  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-word 12228  df-concat 12230  df-s1 12231  df-substr 12232  df-splice 12233  df-reverse 12234  df-s2 12474  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-prds 14385  df-pws 14387  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-ghm 15744  df-gim 15786  df-cntz 15834  df-oppg 15860  df-symg 15882  df-pmtr 15947  df-psgn 15996  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-cring 16647  df-oppr 16714  df-dvdsr 16732  df-unit 16733  df-invr 16763  df-dvr 16774  df-rnghom 16805  df-drng 16833  df-subrg 16862  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-cnfld 17818  df-zring 17883  df-zrh 17934  df-dsmm 18156  df-frlm 18171  df-mat 18281  df-mdet 18395
This theorem is referenced by:  mdetrsca2  18410  mdetuni0  18426  mdetmul  18428  smadiadetg  18478
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