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Theorem mdetrsca 19190
Description: The determinant function is homogeneous for each row: The matrices X and Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise product of the I's row of the matrix Z and the scalar Y. In this case the determinant of X is the determinant of Z multiplied by Y. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrsca.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetrsca.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetrsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrsca.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetrsca.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mdetrsca.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
mdetrsca.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
mdetrsca.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetrsca.eq  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
mdetrsca.ne  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetrsca  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( Y 
.x.  ( D `  Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrsca
Dummy variables  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetrsca.eq . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
21oveqd 6213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I ( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) ) )
32adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I ( ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I ) ) )
4 mdetrsca.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
54adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  N
)
6 snidg 3970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  N  ->  I  e.  { I } )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  {
I } )
8 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
9 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
108, 9symgbasf1o 16525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  ->  p : N -1-1-onto-> N
)
1110adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N -1-1-onto-> N
)
12 f1of 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N --> N )
1413, 5ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( p `  I )  e.  N
)
15 ovres 6341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
167, 14, 15syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
17 opelxpi 4945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )
187, 14, 17syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  <. I ,  ( p `  I )
>.  e.  ( { I }  X.  N ) )
19 snfi 7515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { I }  e.  Fin
20 mdetrsca.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
21 mdetrsca.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A  =  ( N Mat  R )
22 mdetrsca.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( Base `  A
)
2321, 22matrcl 18999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
2524simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
2625adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
27 xpfi 7706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { I }  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
Fin )
2819, 26, 27sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
Fin )
29 mdetrsca.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
3029adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Y  e.  K
)
31 mdetrsca.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
32 mdetrsca.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  =  ( Base `  R
)
3321, 32, 22matbas2i 19009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  B  ->  Z  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
34 elmapi 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
3531, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
3635adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
37 ffn 5639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z : ( N  X.  N ) --> K  ->  Z  Fn  ( N  X.  N ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z  Fn  ( N  X.  N ) )
395snssd 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  { I }  C_  N )
40 xpss1 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { I }  C_  N  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N
) )
42 fnssres 5602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Z  Fn  ( N  X.  N )  /\  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
4338, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
44 eqidd 2383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )  ->  (
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
)
4528, 30, 43, 44ofc1 6462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )  ->  (
( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  ( Y  .x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) ) )
4618, 45mpdan 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( { I }  X.  N )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  ( Y  .x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) ) )
47 df-ov 6199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )
48 df-ov 6199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
4948oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y 
.x.  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) )
5046, 47, 493eqtr4g 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I ) )  =  ( Y  .x.  (
I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
513, 16, 503eqtr3d 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( Y  .x.  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
52 ovres 6341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
537, 14, 52syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
5453oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  .x.  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
5551, 54eqtrd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
5655oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) 
.x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
57 mdetrsca.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
58 crngring 17322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6059adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6136, 5, 14fovrnd 6346 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Z ( p `  I
) )  e.  K
)
62 eqid 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
6362, 32mgpbas 17260 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
6462crngmgp 17319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
6557, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
6665adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
67 difssd 3546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } ) 
C_  N )
68 ssfi 7656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { I } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
6926, 67, 68syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
70 eldifi 3540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( N  \  { I } )  ->  r  e.  N
)
7135ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
72 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  r  e.  N )
7313ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
p `  r )  e.  N )
7471, 72, 73fovrnd 6346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  e.  K )
7570, 74sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Z ( p `  r
) )  e.  K
)
7675ralrimiva 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  ( N  \  { I } ) ( r Z ( p `  r ) )  e.  K )
7763, 66, 69, 76gsummptcl 17108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )
78 mdetrsca.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
7932, 78ringass 17328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  K  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  e.  K ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( I Z ( p `  I
) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8060, 30, 61, 77, 79syl13anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( I Z ( p `  I
) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8156, 80eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8262, 78mgpplusg 17258 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
8321, 32, 22matbas2i 19009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
84 elmapi 7359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8520, 83, 843syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8685ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8786, 72, 73fovrnd 6346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r X ( p `
 r ) )  e.  K )
88 disjdif 3816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { I }  i^i  ( N  \  { I }
) )  =  (/)
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  i^i  ( N  \  { I } ) )  =  (/) )
90 undif 3824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { I }  C_  N  <->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9139, 90sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9291eqcomd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  =  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) ) )
9363, 82, 66, 26, 87, 89, 92gsummptfidmsplit 17066 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
94 cmnmnd 16930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
9566, 94syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
9685adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
9796, 5, 14fovrnd 6346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  e.  K
)
98 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  r  =  I )
99 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
p `  r )  =  ( p `  I ) )
10098, 99oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  I  ->  (
r X ( p `
 r ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
10163, 100gsumsn 17095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I X ( p `  I ) )  e.  K )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
10295, 5, 97, 101syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
103 mdetrsca.ne . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
104103oveqd 6213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
105104ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
106 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  r  e.  ( N  \  { I } ) )
10770, 73sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( p `  r )  e.  N
)
108 ovres 6341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
109106, 107, 108syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
110 ovres 6341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
111106, 107, 110syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
112105, 109, 1113eqtr3d 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r X ( p `  r
) )  =  ( r Z ( p `
 r ) ) )
113112mpteq2dva 4453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r X ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )
114113oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )
115102, 114oveq12d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
11693, 115eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( I X ( p `  I
) )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) )
11763, 82, 66, 26, 74, 89, 92gsummptfidmsplit 17066 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
11898, 99oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
11963, 118gsumsn 17095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  K )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
12095, 5, 61, 119syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
121120oveq1d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
122117, 121eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( I Z ( p `  I
) )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) )
123122oveq2d 6212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
12481, 116, 1233eqtr4d 2433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )
125124oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( Y  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
12657adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  CRing )
127 zrhpsgnmhm 18711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
12859, 25, 127syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
1299, 63mhmf 16088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> K )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
131130ffvelrnda 5933 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  e.  K )
13232, 78crngcom 17326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  Y  e.  K
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
) )
133126, 131, 30, 132syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
) )
134133oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
13574ralrimiva 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Z ( p `  r ) )  e.  K )
13663, 66, 26, 135gsummptcl 17108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )
13732, 78ringass 17328 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K ) )  -> 
( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
13860, 131, 30, 136, 137syl13anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
13932, 78ringass 17328 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  K  /\  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K ) )  -> 
( ( Y  .x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
14060, 30, 131, 136, 139syl13anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
141134, 138, 1403eqtr3d 2431 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
142125, 141eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
143142mpteq2dva 4453 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
144143oveq2d 6212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( Y 
.x.  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
145 eqid 2382 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
146 eqid 2382 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1478, 9symgbasfi 16528 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
14825, 147syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  Fin )
14932, 78ringcl 17325 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  K )
15060, 131, 136, 149syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  K )
151 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
152 ovex 6224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
153152a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V )
154 fvex 5784 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
155154a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
156151, 148, 153, 155fsuppmptdm 7755 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  R
) )
15732, 145, 146, 78, 59, 148, 29, 150, 156gsummulc2 17366 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( Y  .x.  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
158144, 157eqtrd 2423 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) ) )
159 mdetrsca.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
160 eqid 2382 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
161 eqid 2382 . . . 4  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
162159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 19175 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( D `  X )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
16357, 20, 162syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
164159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 19175 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Z  e.  B )  ->  ( D `  Z )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
16557, 31, 164syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Z
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
166165oveq2d 6212 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .x.  ( D `  Z )
)  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) ) )
167158, 163, 1663eqtr4d 2433 1  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( Y 
.x.  ( D `  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944   <.cop 3950    |-> cmpt 4425    X. cxp 4911    |` cres 4915    o. ccom 4917    Fn wfn 5491   -->wf 5492   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    oFcof 6437    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   .rcmulr 14703   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036   MndHom cmhm 16081   SymGrpcsymg 16519  pmSgncpsgn 16631  CMndccmn 16915  mulGrpcmgp 17254   Ringcrg 17311   CRingccrg 17312   ZRHomczrh 18630   Mat cmat 18994   maDet cmdat 19171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-word 12446  df-lsw 12447  df-concat 12448  df-s1 12449  df-substr 12450  df-splice 12451  df-reverse 12452  df-s2 12724  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-prds 14855  df-pws 14857  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-gim 16424  df-cntz 16472  df-oppg 16498  df-symg 16520  df-pmtr 16584  df-psgn 16633  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-rnghom 17477  df-drng 17511  df-subrg 17540  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-cnfld 18534  df-zring 18602  df-zrh 18634  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mat 18995  df-mdet 19172
This theorem is referenced by:  mdetrsca2  19191  mdetuni0  19208  mdetmul  19210  smadiadetg  19260
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