Theorem mdetrsca 19190

Description: The determinant function is homogeneous for each row: The matrices X and Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise product of the I's row of the matrix Z and the scalar Y. In this case the determinant of X is the determinant of Z multiplied by Y. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrsca.d	|- D = ( N maDet R )
mdetrsca.a	|- A = ( N Mat R )
mdetrsca.b	|- B = ( Base ` A )
mdetrsca.k	|- K = ( Base ` R )
mdetrsca.t	|- .x. = ( .r ` R )
mdetrsca.r	|- ( ph -> R e. CRing )
mdetrsca.x	|- ( ph -> X e. B )
mdetrsca.y	|- ( ph -> Y e. K )
mdetrsca.z	|- ( ph -> Z e. B )
mdetrsca.i	|- ( ph -> I e. N )
mdetrsca.eq	|- ( ph -> ( X |` ( { I } X. N ) ) = ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) )
mdetrsca.ne	|- ( ph -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mdetrsca	|- ( ph -> ( D ` X ) = ( Y .x. ( D ` Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrsca

Dummy variables p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetrsca.eq	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X |` ( { I } X. N ) ) = ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) )
2	1	oveqd 6213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) )
3	2	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) )
4		mdetrsca.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> I e. N )
5	4	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> I e. N )
6		snidg 3970	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. N -> I e. { I } )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> I e. { I } )
8		eqid 2382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
9		eqid 2382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
10	8, 9	symgbasf1o 16525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) -> p : N -1-1-onto-> N )
11	10	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> p : N -1-1-onto-> N )
12		f1of 5724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p : N -1-1-onto-> N -> p : N --> N )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> p : N --> N )
14	13, 5	ffvelrnd 5934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( p ` I ) e. N )
15		ovres 6341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
16	7, 14, 15	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
17		opelxpi 4945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) )
18	7, 14, 17	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) )
19		snfi 7515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { I } e. Fin
20		mdetrsca.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. B )
21		mdetrsca.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A = ( N Mat R )
22		mdetrsca.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B = ( Base ` A )
23	21, 22	matrcl 18999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
24	20, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
25	24	simpld 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. Fin )
26	25	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> N e. Fin )
27		xpfi 7706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { I } e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( { I } X. N ) e. Fin )
28	19, 26, 27	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } X. N ) e. Fin )
29		mdetrsca.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Y e. K )
30	29	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Y e. K )
31		mdetrsca.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Z e. B )
32		mdetrsca.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- K = ( Base ` R )
33	21, 32, 22	matbas2i 19009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Z e. B -> Z e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
34		elmapi 7359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Z e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> Z : ( N X. N ) --> K )
35	31, 33, 34	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Z : ( N X. N ) --> K )
36	35	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Z : ( N X. N ) --> K )
37		ffn 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Z : ( N X. N ) --> K -> Z Fn ( N X. N ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Z Fn ( N X. N ) )
39	5	snssd 4089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> { I } C_ N )
40		xpss1 5024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { I } C_ N -> ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) )
42		fnssres 5602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Z Fn ( N X. N ) /\ ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) ) -> ( Z |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) )
43	38, 41, 42	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Z |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) )
44		eqidd 2383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) ) -> ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) )
45	28, 30, 43, 44	ofc1 6462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) ) -> ( ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( Y .x. ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) ) )
46	18, 45	mpdan 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( Y .x. ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) ) )
47		df-ov 6199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) = ( ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. )
48		df-ov 6199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. )
49	48	oveq2i 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) = ( Y .x. ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) )
50	46, 47, 49	3eqtr4g 2448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) = ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) )
51	3, 16, 50	3eqtr3d 2431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) = ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) )
52		ovres 6341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
53	7, 14, 52	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
54	53	oveq2d 6212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) = ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) )
55	51, 54	eqtrd 2423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) = ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) )
56	55	oveq1d 6211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
57		mdetrsca.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. CRing )
58		crngring 17322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. Ring )
60	59	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> R e. Ring )
61	36, 5, 14	fovrnd 6346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I Z ( p ` I ) ) e. K )
62		eqid 2382	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
63	62, 32	mgpbas 17260	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
64	62	crngmgp 17319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
65	57, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
66	65	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
67		difssd 3546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( N \ { I } ) C_ N )
68		ssfi 7656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ ( N \ { I } ) C_ N ) -> ( N \ { I } ) e. Fin )
69	26, 67, 68	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( N \ { I } ) e. Fin )
70		eldifi 3540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. ( N \ { I } ) -> r e. N )
71	35	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> Z : ( N X. N ) --> K )
72		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> r e. N )
73	13	ffvelrnda 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( p ` r ) e. N )
74	71, 72, 73	fovrnd 6346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( r Z ( p ` r ) ) e. K )
75	70, 74	sylan2 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r Z ( p ` r ) ) e. K )
76	75	ralrimiva 2796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> A. r e. ( N \ { I } ) ( r Z ( p ` r ) ) e. K )
77	63, 66, 69, 76	gsummptcl 17108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K )
78		mdetrsca.t	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = ( .r ` R )
79	32, 78	ringass 17328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. K /\ ( I Z ( p ` I ) ) e. K /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) ) -> ( ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
80	60, 30, 61, 77, 79	syl13anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
81	56, 80	eqtrd 2423	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
82	62, 78	mgpplusg 17258	. . . . . . . . . 10 |- .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
83	21, 32, 22	matbas2i 19009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. B -> X e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
84		elmapi 7359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> X : ( N X. N ) --> K )
85	20, 83, 84	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X : ( N X. N ) --> K )
86	85	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> X : ( N X. N ) --> K )
87	86, 72, 73	fovrnd 6346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( r X ( p ` r ) ) e. K )
88		disjdif 3816	. . . . . . . . . . 11 |- ( { I } i^i ( N \ { I } ) ) = (/)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } i^i ( N \ { I } ) ) = (/) )
90		undif 3824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { I } C_ N <-> ( { I } u. ( N \ { I } ) ) = N )
91	39, 90	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } u. ( N \ { I } ) ) = N )
92	91	eqcomd 2390	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> N = ( { I } u. ( N \ { I } ) ) )
93	63, 82, 66, 26, 87, 89, 92	gsummptfidmsplit 17066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
94		cmnmnd 16930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mulGrp ` R ) e. CMnd -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
95	66, 94	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
96	85	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> X : ( N X. N ) --> K )
97	96, 5, 14	fovrnd 6346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) e. K )
98		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = I -> r = I )
99		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = I -> ( p ` r ) = ( p ` I ) )
100	98, 99	oveq12d 6214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = I -> ( r X ( p ` r ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
101	63, 100	gsumsn 17095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ I e. N /\ ( I X ( p ` I ) ) e. K ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
102	95, 5, 97, 101	syl3anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
103		mdetrsca.ne	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) )
104	103	oveqd 6213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) )
105	104	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) )
106		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> r e. ( N \ { I } ) )
107	70, 73	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( p ` r ) e. N )
108		ovres 6341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. ( N \ { I } ) /\ ( p ` r ) e. N ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r X ( p ` r ) ) )
109	106, 107, 108	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r X ( p ` r ) ) )
110		ovres 6341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. ( N \ { I } ) /\ ( p ` r ) e. N ) -> ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) )
111	106, 107, 110	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) )
112	105, 109, 111	3eqtr3d 2431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r X ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) )
113	112	mpteq2dva 4453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) = ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) )
114	113	oveq2d 6212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) )
115	102, 114	oveq12d 6214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
116	93, 115	eqtrd 2423	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
117	63, 82, 66, 26, 74, 89, 92	gsummptfidmsplit 17066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
118	98, 99	oveq12d 6214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = I -> ( r Z ( p ` r ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
119	63, 118	gsumsn 17095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ I e. N /\ ( I Z ( p ` I ) ) e. K ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
120	95, 5, 61, 119	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
121	120	oveq1d 6211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
122	117, 121	eqtrd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
123	122	oveq2d 6212	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
124	81, 116, 123	3eqtr4d 2433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
125	124	oveq2d 6212	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
126	57	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> R e. CRing )
127		zrhpsgnmhm 18711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
128	59, 25, 127	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
129	9, 63	mhmf 16088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
130	128, 129	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
131	130	ffvelrnda 5933	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K )
132	32, 78	crngcom 17326	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. CRing /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ Y e. K ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) = ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ) )
133	126, 131, 30, 132	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) = ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ) )
134	133	oveq1d 6211	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
135	74	ralrimiva 2796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> A. r e. N ( r Z ( p ` r ) ) e. K )
136	63, 66, 26, 135	gsummptcl 17108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K )
137	32, 78	ringass 17328	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ Y e. K /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) ) -> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
138	60, 131, 30, 136, 137	syl13anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
139	32, 78	ringass 17328	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. K /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) ) -> ( ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
140	60, 30, 131, 136, 139	syl13anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
141	134, 138, 140	3eqtr3d 2431	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
142	125, 141	eqtrd 2423	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
143	142	mpteq2dva 4453	. . . 4 |- ( ph -> ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
144	143	oveq2d 6212	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
145		eqid 2382	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
146		eqid 2382	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
147	8, 9	symgbasfi 16528	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. Fin )
148	25, 147	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. Fin )
149	32, 78	ringcl 17325	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. K )
150	60, 131, 136, 149	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. K )
151		eqid 2382	. . . . 5 |- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
152		ovex 6224	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. _V
153	152	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. _V )
154		fvex 5784	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) e. _V
155	154	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. _V )
156	151, 148, 153, 155	fsuppmptdm 7755	. . . 4 |- ( ph -> ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
157	32, 145, 146, 78, 59, 148, 29, 150, 156	gsummulc2 17366	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
158	144, 157	eqtrd 2423	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
159		mdetrsca.d	. . . 4 |- D = ( N maDet R )
160		eqid 2382	. . . 4 |- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R )
161		eqid 2382	. . . 4 |- (pmSgn ` N ) = (pmSgn ` N )
162	159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62	mdetleib2 19175	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( D ` X ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
163	57, 20, 162	syl2anc 659	. 2 |- ( ph -> ( D ` X ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
164	159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62	mdetleib2 19175	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ Z e. B ) -> ( D ` Z ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
165	57, 31, 164	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> ( D ` Z ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
166	165	oveq2d 6212	. 2 |- ( ph -> ( Y .x. ( D ` Z ) ) = ( Y .x. ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
167	158, 163, 166	3eqtr4d 2433	1 |- ( ph -> ( D ` X ) = ( Y .x. ( D ` Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   _Vcvv 3034   \ cdif 3386   u. cun 3387   i^i cin 3388   C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944   <.cop 3950   |-> cmpt 4425   X. cxp 4911   |` cres 4915   o. ccom 4917   Fn wfn 5491   -->wf 5492   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   oFcof 6437   ^m cmap 7338   Fincfn 7435   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   .rcmulr 14703   0gc0g 14847   gsum_g cgsu 14848   Mndcmnd 16036   MndHom cmhm 16081   SymGrpcsymg 16519  pmSgncpsgn 16631  CMndccmn 16915  mulGrpcmgp 17254   Ringcrg 17311   CRingccrg 17312   ZRHomczrh 18630   Mat cmat 18994   maDet cmdat 19171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-addf 9482  ax-mulf 9483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-word 12446  df-lsw 12447  df-concat 12448  df-s1 12449  df-substr 12450  df-splice 12451  df-reverse 12452  df-s2 12724  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-prds 14855  df-pws 14857  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-gim 16424  df-cntz 16472  df-oppg 16498  df-symg 16520  df-pmtr 16584  df-psgn 16633  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-rnghom 17477  df-drng 17511  df-subrg 17540  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-cnfld 18534  df-zring 18602  df-zrh 18634  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mat 18995  df-mdet 19172

This theorem is referenced by:  mdetrsca2  19191  mdetuni0  19208  mdetmul  19210  smadiadetg  19260