Theorem mdetrsca 19624

Description: The determinant function is homogeneous for each row: The matrices X and Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise product of the I's row of the matrix Z and the scalar Y. In this case the determinant of X is the determinant of Z multiplied by Y. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetrsca.d	|- D = ( N maDet R )
mdetrsca.a	|- A = ( N Mat R )
mdetrsca.b	|- B = ( Base ` A )
mdetrsca.k	|- K = ( Base ` R )
mdetrsca.t	|- .x. = ( .r ` R )
mdetrsca.r	|- ( ph -> R e. CRing )
mdetrsca.x	|- ( ph -> X e. B )
mdetrsca.y	|- ( ph -> Y e. K )
mdetrsca.z	|- ( ph -> Z e. B )
mdetrsca.i	|- ( ph -> I e. N )
mdetrsca.eq	|- ( ph -> ( X |` ( { I } X. N ) ) = ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) )
mdetrsca.ne	|- ( ph -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mdetrsca	|- ( ph -> ( D ` X ) = ( Y .x. ( D ` Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrsca

Dummy variables p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetrsca.eq	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X |` ( { I } X. N ) ) = ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) )
2	1	oveqd 6321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) )
3	2	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) )
4		mdetrsca.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> I e. N )
5	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> I e. N )
6		snidg 4024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. N -> I e. { I } )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> I e. { I } )
8		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
9		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
10	8, 9	symgbasf1o 17021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) -> p : N -1-1-onto-> N )
11	10	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> p : N -1-1-onto-> N )
12		f1of 5830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p : N -1-1-onto-> N -> p : N --> N )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> p : N --> N )
14	13, 5	ffvelrnd 6037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( p ` I ) e. N )
15		ovres 6449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
16	7, 14, 15	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( X |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
17		opelxpi 4884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) )
18	7, 14, 17	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) )
19		snfi 7659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { I } e. Fin
20		mdetrsca.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. B )
21		mdetrsca.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A = ( N Mat R )
22		mdetrsca.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B = ( Base ` A )
23	21, 22	matrcl 19433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
25	24	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. Fin )
26	25	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> N e. Fin )
27		xpfi 7850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { I } e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( { I } X. N ) e. Fin )
28	19, 26, 27	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } X. N ) e. Fin )
29		mdetrsca.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Y e. K )
30	29	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Y e. K )
31		mdetrsca.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Z e. B )
32		mdetrsca.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- K = ( Base ` R )
33	21, 32, 22	matbas2i 19443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Z e. B -> Z e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
34		elmapi 7503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Z e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> Z : ( N X. N ) --> K )
35	31, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Z : ( N X. N ) --> K )
36	35	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Z : ( N X. N ) --> K )
37		ffn 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Z : ( N X. N ) --> K -> Z Fn ( N X. N ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> Z Fn ( N X. N ) )
39	5	snssd 4144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> { I } C_ N )
40		xpss1 4961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { I } C_ N -> ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) )
42		fnssres 5706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Z Fn ( N X. N ) /\ ( { I } X. N ) C_ ( N X. N ) ) -> ( Z |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) )
43	38, 41, 42	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Z |` ( { I } X. N ) ) Fn ( { I } X. N ) )
44		eqidd 2424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) ) -> ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) )
45	28, 30, 43, 44	ofc1 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ <. I , ( p ` I ) >. e. ( { I } X. N ) ) -> ( ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( Y .x. ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) ) )
46	18, 45	mpdan 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) = ( Y .x. ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) ) )
47		df-ov 6307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) = ( ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. )
48		df-ov 6307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. )
49	48	oveq2i 6315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) = ( Y .x. ( ( Z |` ( { I } X. N ) ) ` <. I , ( p ` I ) >. ) )
50	46, 47, 49	3eqtr4g 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( ( ( { I } X. N ) X. { Y } ) oF .x. ( Z |` ( { I } X. N ) ) ) ( p ` I ) ) = ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) )
51	3, 16, 50	3eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) = ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) )
52		ovres 6449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. { I } /\ ( p ` I ) e. N ) -> ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
53	7, 14, 52	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
54	53	oveq2d 6320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Y .x. ( I ( Z |` ( { I } X. N ) ) ( p ` I ) ) ) = ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) )
55	51, 54	eqtrd 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) = ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) )
56	55	oveq1d 6319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
57		mdetrsca.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. CRing )
58		crngring 17788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. Ring )
60	59	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> R e. Ring )
61	36, 5, 14	fovrnd 6454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I Z ( p ` I ) ) e. K )
62		eqid 2423	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
63	62, 32	mgpbas 17726	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
64	62	crngmgp 17785	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
65	57, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
66	65	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> (mulGrp ` R ) e. CMnd )
67		difssd 3595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( N \ { I } ) C_ N )
68		ssfi 7800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ ( N \ { I } ) C_ N ) -> ( N \ { I } ) e. Fin )
69	26, 67, 68	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( N \ { I } ) e. Fin )
70		eldifi 3589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. ( N \ { I } ) -> r e. N )
71	35	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> Z : ( N X. N ) --> K )
72		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> r e. N )
73	13	ffvelrnda 6036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( p ` r ) e. N )
74	71, 72, 73	fovrnd 6454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( r Z ( p ` r ) ) e. K )
75	70, 74	sylan2 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r Z ( p ` r ) ) e. K )
76	75	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> A. r e. ( N \ { I } ) ( r Z ( p ` r ) ) e. K )
77	63, 66, 69, 76	gsummptcl 17596	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K )
78		mdetrsca.t	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = ( .r ` R )
79	32, 78	ringass 17794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. K /\ ( I Z ( p ` I ) ) e. K /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) ) -> ( ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
80	60, 30, 61, 77, 79	syl13anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( Y .x. ( I Z ( p ` I ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
81	56, 80	eqtrd 2464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
82	62, 78	mgpplusg 17724	. . . . . . . . . 10 |- .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
83	21, 32, 22	matbas2i 19443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. B -> X e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
84		elmapi 7503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> X : ( N X. N ) --> K )
85	20, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X : ( N X. N ) --> K )
86	85	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> X : ( N X. N ) --> K )
87	86, 72, 73	fovrnd 6454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. N ) -> ( r X ( p ` r ) ) e. K )
88		disjdif 3869	. . . . . . . . . . 11 |- ( { I } i^i ( N \ { I } ) ) = (/)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } i^i ( N \ { I } ) ) = (/) )
90		undif 3878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { I } C_ N <-> ( { I } u. ( N \ { I } ) ) = N )
91	39, 90	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( { I } u. ( N \ { I } ) ) = N )
92	91	eqcomd 2431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> N = ( { I } u. ( N \ { I } ) ) )
93	63, 82, 66, 26, 87, 89, 92	gsummptfidmsplit 17560	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) )
94		cmnmnd 17442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mulGrp ` R ) e. CMnd -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
95	66, 94	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
96	85	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> X : ( N X. N ) --> K )
97	96, 5, 14	fovrnd 6454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( I X ( p ` I ) ) e. K )
98		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = I -> r = I )
99		fveq2 5880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = I -> ( p ` r ) = ( p ` I ) )
100	98, 99	oveq12d 6322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = I -> ( r X ( p ` r ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
101	63, 100	gsumsn 17584	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ I e. N /\ ( I X ( p ` I ) ) e. K ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
102	95, 5, 97, 101	syl3anc 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( I X ( p ` I ) ) )
103		mdetrsca.ne	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) = ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) )
104	103	oveqd 6321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) )
105	104	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) )
106		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> r e. ( N \ { I } ) )
107	70, 73	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( p ` r ) e. N )
108		ovres 6449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. ( N \ { I } ) /\ ( p ` r ) e. N ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r X ( p ` r ) ) )
109	106, 107, 108	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( X |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r X ( p ` r ) ) )
110		ovres 6449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r e. ( N \ { I } ) /\ ( p ` r ) e. N ) -> ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) )
111	106, 107, 110	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r ( Z |` ( ( N \ { I } ) X. N ) ) ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) )
112	105, 109, 111	3eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) /\ r e. ( N \ { I } ) ) -> ( r X ( p ` r ) ) = ( r Z ( p ` r ) ) )
113	112	mpteq2dva 4509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) = ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) )
114	113	oveq2d 6320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) )
115	102, 114	oveq12d 6322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
116	93, 115	eqtrd 2464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( ( I X ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
117	63, 82, 66, 26, 74, 89, 92	gsummptfidmsplit 17560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
118	98, 99	oveq12d 6322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = I -> ( r Z ( p ` r ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
119	63, 118	gsumsn 17584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ I e. N /\ ( I Z ( p ` I ) ) e. K ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
120	95, 5, 61, 119	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( I Z ( p ` I ) ) )
121	120	oveq1d 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. { I } |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
122	117, 121	eqtrd 2464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) = ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
123	122	oveq2d 6320	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( I Z ( p ` I ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. ( N \ { I } ) |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
124	81, 116, 123	3eqtr4d 2474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) = ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
125	124	oveq2d 6320	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
126	57	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> R e. CRing )
127		zrhpsgnmhm 19148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
128	59, 25, 127	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
129	9, 63	mhmf 16584	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
131	130	ffvelrnda 6036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K )
132	32, 78	crngcom 17792	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. CRing /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ Y e. K ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) = ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ) )
133	126, 131, 30, 132	syl3anc 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) = ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ) )
134	133	oveq1d 6319	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
135	74	ralrimiva 2840	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> A. r e. N ( r Z ( p ` r ) ) e. K )
136	63, 66, 26, 135	gsummptcl 17596	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K )
137	32, 78	ringass 17794	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ Y e. K /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) ) -> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
138	60, 131, 30, 136, 137	syl13anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. Y ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
139	32, 78	ringass 17794	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y e. K /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) ) -> ( ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
140	60, 30, 131, 136, 139	syl13anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( Y .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
141	134, 138, 140	3eqtr3d 2472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( Y .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
142	125, 141	eqtrd 2464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) )
143	142	mpteq2dva 4509	. . . 4 |- ( ph -> ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
144	143	oveq2d 6320	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
145		eqid 2423	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
146		eqid 2423	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
147	8, 9	symgbasfi 17024	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. Fin )
148	25, 147	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) e. Fin )
149	32, 78	ringcl 17791	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) e. K /\ ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) e. K ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. K )
150	60, 131, 136, 149	syl3anc 1265	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. K )
151		eqid 2423	. . . . 5 |- ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) = ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) )
152		ovex 6332	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. _V
153	152	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) e. _V )
154		fvex 5890	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) e. _V
155	154	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. _V )
156	151, 148, 153, 155	fsuppmptdm 7902	. . . 4 |- ( ph -> ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
157	32, 145, 146, 78, 59, 148, 29, 150, 156	gsummulc2 17832	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( Y .x. ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
158	144, 157	eqtrd 2464	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) = ( Y .x. ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
159		mdetrsca.d	. . . 4 |- D = ( N maDet R )
160		eqid 2423	. . . 4 |- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R )
161		eqid 2423	. . . 4 |- (pmSgn ` N ) = (pmSgn ` N )
162	159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62	mdetleib2 19609	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B ) -> ( D ` X ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
163	57, 20, 162	syl2anc 666	. 2 |- ( ph -> ( D ` X ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r X ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
164	159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62	mdetleib2 19609	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ Z e. B ) -> ( D ` Z ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
165	57, 31, 164	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> ( D ` Z ) = ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) )
166	165	oveq2d 6320	. 2 |- ( ph -> ( Y .x. ( D ` Z ) ) = ( Y .x. ( R gsumg ( p e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) |-> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` p ) .x. ( (mulGrp ` R ) gsumg ( r e. N |-> ( r Z ( p ` r ) ) ) ) ) ) ) ) )
167	158, 163, 166	3eqtr4d 2474	1 |- ( ph -> ( D ` X ) = ( Y .x. ( D ` Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   _Vcvv 3082   \ cdif 3435   u. cun 3436   i^i cin 3437   C_ wss 3438   (/)c0 3763   {csn 3998   <.cop 4004   |-> cmpt 4481   X. cxp 4850   |` cres 4854   o. ccom 4856   Fn wfn 5595   -->wf 5596   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600  (class class class)co 6304   oFcof 6542   ^m cmap 7482   Fincfn 7579   Basecbs 15118   +g cplusg 15187   .rcmulr 15188   0gc0g 15335   gsum_g cgsu 15336   Mndcmnd 16532   MndHom cmhm 16577   SymGrpcsymg 17015  pmSgncpsgn 17127  CMndccmn 17427  mulGrpcmgp 17720   Ringcrg 17777   CRingccrg 17778   ZRHomczrh 19067   Mat cmat 19428   maDet cmdat 19605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-inf2 8154  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-addf 9624  ax-mulf 9625

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-xor 1402  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-ot 4007  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-iin 4301  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-of 6544  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-supp 6925  df-tpos 6983  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-2o 7193  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-pm 7485  df-ixp 7533  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-fsupp 7892  df-sup 7964  df-oi 8033  df-card 8380  df-cda 8604  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-10 10682  df-n0 10876  df-z 10944  df-dec 11058  df-uz 11166  df-rp 11309  df-fz 11791  df-fzo 11922  df-seq 12219  df-exp 12278  df-hash 12521  df-word 12666  df-lsw 12667  df-concat 12668  df-s1 12669  df-substr 12670  df-splice 12671  df-reverse 12672  df-s2 12944  df-struct 15120  df-ndx 15121  df-slot 15122  df-base 15123  df-sets 15124  df-ress 15125  df-plusg 15200  df-mulr 15201  df-starv 15202  df-sca 15203  df-vsca 15204  df-ip 15205  df-tset 15206  df-ple 15207  df-ds 15209  df-unif 15210  df-hom 15211  df-cco 15212  df-0g 15337  df-gsum 15338  df-prds 15343  df-pws 15345  df-mre 15489  df-mrc 15490  df-acs 15492  df-mgm 16485  df-sgrp 16524  df-mnd 16534  df-mhm 16579  df-submnd 16580  df-grp 16670  df-minusg 16671  df-mulg 16673  df-subg 16811  df-ghm 16878  df-gim 16920  df-cntz 16968  df-oppg 16994  df-symg 17016  df-pmtr 17080  df-psgn 17129  df-cmn 17429  df-abl 17430  df-mgp 17721  df-ur 17733  df-ring 17779  df-cring 17780  df-oppr 17848  df-dvdsr 17866  df-unit 17867  df-invr 17897  df-dvr 17908  df-rnghom 17940  df-drng 17974  df-subrg 18003  df-sra 18392  df-rgmod 18393  df-cnfld 18968  df-zring 19036  df-zrh 19071  df-dsmm 19291  df-frlm 19306  df-mat 19429  df-mdet 19606

This theorem is referenced by:  mdetrsca2  19625  mdetuni0  19642  mdetmul  19644  smadiadetg  19694