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Theorem mdetrsca 19705
Description: The determinant function is homogeneous for each row: The matrices X and Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise product of the I's row of the matrix Z and the scalar Y. In this case the determinant of X is the determinant of Z multiplied by Y. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrsca.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetrsca.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetrsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrsca.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetrsca.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mdetrsca.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
mdetrsca.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
mdetrsca.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetrsca.eq  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
mdetrsca.ne  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetrsca  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( Y 
.x.  ( D `  Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrsca
Dummy variables  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetrsca.eq . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
21oveqd 6325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I ( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) ) )
32adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I ( ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I ) ) )
4 mdetrsca.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
54adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  N
)
6 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  N  ->  I  e.  { I } )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  {
I } )
8 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
9 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
108, 9symgbasf1o 17102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  ->  p : N -1-1-onto-> N
)
1110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N -1-1-onto-> N
)
12 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N --> N )
1413, 5ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( p `  I )  e.  N
)
15 ovres 6455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
167, 14, 15syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
17 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )
187, 14, 17syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  <. I ,  ( p `  I )
>.  e.  ( { I }  X.  N ) )
19 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { I }  e.  Fin
20 mdetrsca.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
21 mdetrsca.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A  =  ( N Mat  R )
22 mdetrsca.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( Base `  A
)
2321, 22matrcl 19514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
2524simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
27 xpfi 7860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { I }  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
Fin )
2819, 26, 27sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
Fin )
29 mdetrsca.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
3029adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Y  e.  K
)
31 mdetrsca.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
32 mdetrsca.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  K  =  ( Base `  R
)
3321, 32, 22matbas2i 19524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  B  ->  Z  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
34 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Z  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
3531, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
37 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z : ( N  X.  N ) --> K  ->  Z  Fn  ( N  X.  N ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z  Fn  ( N  X.  N ) )
395snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  { I }  C_  N )
40 xpss1 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { I }  C_  N  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N
) )
42 fnssres 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Z  Fn  ( N  X.  N )  /\  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
4338, 41, 42syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
44 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )  ->  (
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
)
4528, 30, 43, 44ofc1 6573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  <. I ,  ( p `  I
) >.  e.  ( { I }  X.  N
) )  ->  (
( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  ( Y  .x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) ) )
4618, 45mpdan 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( { I }  X.  N )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  ( Y  .x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) ) )
47 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( ( ( { I }  X.  N
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )
48 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
4948oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y 
.x.  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
) )
5046, 47, 493eqtr4g 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( ( ( { I }  X.  N )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I ) )  =  ( Y  .x.  (
I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
513, 16, 503eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( Y  .x.  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
52 ovres 6455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
537, 14, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
5453oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  .x.  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
5551, 54eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
5655oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( Y  .x.  ( I Z ( p `  I ) ) ) 
.x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
57 mdetrsca.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
58 crngring 17869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
6059adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6136, 5, 14fovrnd 6460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Z ( p `  I
) )  e.  K
)
62 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
6362, 32mgpbas 17807 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
6462crngmgp 17866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
6557, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
6665adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
67 difssd 3550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } ) 
C_  N )
68 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { I } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
6926, 67, 68syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
70 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( N  \  { I } )  ->  r  e.  N
)
7135ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> K )
72 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  r  e.  N )
7313ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
p `  r )  e.  N )
7471, 72, 73fovrnd 6460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  e.  K )
7570, 74sylan2 482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Z ( p `  r
) )  e.  K
)
7675ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  ( N  \  { I } ) ( r Z ( p `  r ) )  e.  K )
7763, 66, 69, 76gsummptcl 17677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )
78 mdetrsca.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
7932, 78ringass 17875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  K  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  e.  K ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( I Z ( p `  I
) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8060, 30, 61, 77, 79syl13anc 1294 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( I Z ( p `  I
) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8156, 80eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) ) )
8262, 78mgpplusg 17805 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
8321, 32, 22matbas2i 19524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
84 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8520, 83, 843syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8685ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
8786, 72, 73fovrnd 6460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r X ( p `
 r ) )  e.  K )
88 disjdif 3830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { I }  i^i  ( N  \  { I }
) )  =  (/)
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  i^i  ( N  \  { I } ) )  =  (/) )
90 undif 3839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { I }  C_  N  <->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9139, 90sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9291eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  =  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) ) )
9363, 82, 66, 26, 87, 89, 92gsummptfidmsplit 17641 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
94 cmnmnd 17523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
9566, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
9685adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> K )
9796, 5, 14fovrnd 6460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  e.  K
)
98 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  r  =  I )
99 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
p `  r )  =  ( p `  I ) )
10098, 99oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  I  ->  (
r X ( p `
 r ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
10163, 100gsumsn 17665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I X ( p `  I ) )  e.  K )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
10295, 5, 97, 101syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
103 mdetrsca.ne . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
104103oveqd 6325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
105104ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
106 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  r  e.  ( N  \  { I } ) )
10770, 73sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( p `  r )  e.  N
)
108 ovres 6455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
109106, 107, 108syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
110 ovres 6455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
111106, 107, 110syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
112105, 109, 1113eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r X ( p `  r
) )  =  ( r Z ( p `
 r ) ) )
113112mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r X ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )
114113oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )
115102, 114oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I X ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
11693, 115eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( I X ( p `  I
) )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) )
11763, 82, 66, 26, 74, 89, 92gsummptfidmsplit 17641 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
11898, 99oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
11963, 118gsumsn 17665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  K )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
12095, 5, 61, 119syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
121120oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
122117, 121eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( I Z ( p `  I
) )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) ) ) )
123122oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( I Z ( p `  I ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
12481, 116, 1233eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )
125124oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( Y  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
12657adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  CRing )
127 zrhpsgnmhm 19229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
12859, 25, 127syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
1299, 63mhmf 16665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> K )
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> K )
131130ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  e.  K )
13232, 78crngcom 17873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  Y  e.  K
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
) )
133126, 131, 30, 132syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
) )
134133oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
13574ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Z ( p `  r ) )  e.  K )
13663, 66, 26, 135gsummptcl 17677 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )
13732, 78ringass 17875 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  Y  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K ) )  -> 
( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
13860, 131, 30, 136, 137syl13anc 1294 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  Y
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
13932, 78ringass 17875 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y  e.  K  /\  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K ) )  -> 
( ( Y  .x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) )  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
14060, 30, 131, 136, 139syl13anc 1294 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( Y 
.x.  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
)  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
141134, 138, 1403eqtr3d 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  ( Y  .x.  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
142125, 141eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )
143142mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( Y  .x.  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
144143oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( Y 
.x.  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
145 eqid 2471 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
146 eqid 2471 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1478, 9symgbasfi 17105 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
14825, 147syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  Fin )
14932, 78ringcl 17872 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  K  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  K )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  K )
15060, 131, 136, 149syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  K )
151 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
152 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
153152a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V )
154 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
155154a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
156151, 148, 153, 155fsuppmptdm 7912 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  R
) )
15732, 145, 146, 78, 59, 148, 29, 150, 156gsummulc2 17913 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( Y  .x.  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
158144, 157eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) ) )
159 mdetrsca.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
160 eqid 2471 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
161 eqid 2471 . . . 4  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
162159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 19690 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( D `  X )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
16357, 20, 162syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
164159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 19690 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Z  e.  B )  ->  ( D `  Z )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
16557, 31, 164syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Z
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  .x.  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
166165oveq2d 6324 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .x.  ( D `  Z )
)  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  .x.  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) ) )
167158, 163, 1663eqtr4d 2515 1  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( Y 
.x.  ( D `  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    |` cres 4841    o. ccom 4843    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548    ^m cmap 7490   Fincfn 7587   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417   Mndcmnd 16613   MndHom cmhm 16658   SymGrpcsymg 17096  pmSgncpsgn 17208  CMndccmn 17508  mulGrpcmgp 17801   Ringcrg 17858   CRingccrg 17859   ZRHomczrh 19148   Mat cmat 19509   maDet cmdat 19686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-symg 17097  df-pmtr 17161  df-psgn 17210  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mat 19510  df-mdet 19687
This theorem is referenced by:  mdetrsca2  19706  mdetuni0  19723  mdetmul  19725  smadiadetg  19775
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