MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin2 Structured version   Unicode version

Theorem mdetrlin2 18411
Description: The determinant function is additive for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin2.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrlin2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrlin2.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetrlin2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrlin2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetrlin2.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
mdetrlin2.y  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
mdetrlin2.z  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Z  e.  K )
mdetrlin2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
Assertion
Ref Expression
mdetrlin2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
) ) )  =  ( ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) ) 
.+  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, K, j    i, N, j    i, I, j    .+ , i, j
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( i, j)    Y( i, j)    Z( i, j)

Proof of Theorem mdetrlin2
StepHypRef Expression
1 mdetrlin2.d . 2  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 eqid 2441 . 2  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
3 eqid 2441 . 2  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
4 mdetrlin2.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
5 mdetrlin2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
6 mdetrlin2.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
7 mdetrlin2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
8 crngrng 16653 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
95, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1093ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
11 mdetrlin2.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
12 mdetrlin2.y . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
136, 4rngacl 16670 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X  .+  Y )  e.  K )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( X  .+  Y )  e.  K
)
15 mdetrlin2.z . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Z  e.  K )
1614, 15ifcld 3830 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z )  e.  K )
172, 6, 3, 7, 5, 16matbas2d 18322 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X 
.+  Y ) ,  Z ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
1811, 15ifcld 3830 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  Z )  e.  K )
192, 6, 3, 7, 5, 18matbas2d 18322 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
2012, 15ifcld 3830 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  Y ,  Z )  e.  K )
212, 6, 3, 7, 5, 20matbas2d 18322 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
22 mdetrlin2.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
23 snex 4531 . . . . . . 7  |-  { I }  e.  _V
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { I }  e.  _V )
2522snssd 4016 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { I }  C_  N )
26253ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  { I }  C_  N )
27 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  { I } )
2826, 27sseldd 3355 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
2928, 11syld3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
3028, 12syld3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  K )
31 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )
32 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  Y )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  Y ) )
3324, 7, 29, 30, 31, 32offval22 6650 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X )  oF  .+  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  Y ) )  =  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  ( X  .+  Y
) ) )
3433eqcomd 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  X )  oF  .+  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  Y ) ) )
35 elsni 3900 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  { I }  ->  i  =  I )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  { I }  /\  j  e.  N
)  ->  i  =  I )
37 iftrue 3795 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  ( X 
.+  Y ) )
3836, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  { I }  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z )  =  ( X  .+  Y ) )
3938mpt2eq3ia 6149 . . . 4  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X 
.+  Y ) ,  Z ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  ( X 
.+  Y ) )
40 iftrue 3795 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
)  =  X )
4136, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  { I }  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  Z )  =  X )
4241mpt2eq3ia 6149 . . . . 5  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )
43 iftrue 3795 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
)  =  Y )
4436, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  { I }  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  Y ,  Z )  =  Y )
4544mpt2eq3ia 6149 . . . . 5  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  Y )
4642, 45oveq12i 6101 . . . 4  |-  ( ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  oF  .+  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) )  =  ( ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  X )  oF  .+  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  Y ) )
4734, 39, 463eqtr4g 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) )  =  ( ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  oF  .+  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) ) )
48 ssid 3373 . . . 4  |-  N  C_  N
49 resmpt2 6186 . . . 4  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) ) )
5025, 48, 49sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) ) )
51 resmpt2 6186 . . . . 5  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) )
5225, 48, 51sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) )
53 resmpt2 6186 . . . . 5  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) )
5425, 48, 53sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) )
5552, 54oveq12d 6107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) )  oF  .+  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) )  =  ( ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
) )  oF  .+  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
) ) ) )
5647, 50, 553eqtr4d 2483 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) )  oF  .+  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ) )
57 eldifsni 3999 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  i  =/=  I
)
5857neneqd 2622 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  -.  i  =  I )
59 iffalse 3797 . . . . . . 7  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  Z )
60 iffalse 3797 . . . . . . 7  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
)  =  Z )
6159, 60eqtr4d 2476 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )
6258, 61syl 16 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z )  =  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )
63623ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )
6463mpt2eq3dva 6148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) )
65 difss 3481 . . . 4  |-  ( N 
\  { I }
)  C_  N
66 resmpt2 6186 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) ) )
6765, 48, 66mp2an 672 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) )
68 resmpt2 6186 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) )
6965, 48, 68mp2an 672 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )
7064, 67, 693eqtr4g 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z ) )  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) )
71 iffalse 3797 . . . . . . 7  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
)  =  Z )
7259, 71eqtr4d 2476 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )
7358, 72syl 16 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z )  =  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )
74733ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )
7574mpt2eq3dva 6148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) )
76 resmpt2 6186 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) )
7765, 48, 76mp2an 672 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )
7875, 67, 773eqtr4g 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z ) )  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) )
791, 2, 3, 4, 5, 17, 19, 21, 22, 56, 70, 78mdetrlin 18407 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
) ) )  =  ( ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) ) 
.+  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2970    \ cdif 3323    C_ wss 3326   ifcif 3789   {csn 3875    X. cxp 4836    |` cres 4840   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091    oFcof 6316   Fincfn 7308   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   Ringcrg 16643   CRingccrg 16644   Mat cmat 18278   maDet cmdat 18393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-ot 3884  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-word 12227  df-concat 12229  df-s1 12230  df-substr 12231  df-splice 12232  df-reverse 12233  df-s2 12473  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-prds 14384  df-pws 14386  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-mulg 15546  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-gim 15785  df-cntz 15833  df-oppg 15859  df-symg 15881  df-pmtr 15946  df-psgn 15995  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-rnghom 16804  df-drng 16832  df-subrg 16861  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-cnfld 17817  df-zring 17882  df-zrh 17933  df-dsmm 18155  df-frlm 18170  df-mat 18280  df-mdet 18394
This theorem is referenced by:  mdetero  18414  madugsum  18447
  Copyright terms: Public domain W3C validator