Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin2 Structured version   Unicode version

Theorem mdetrlin2 18904
 Description: The determinant function is additive for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin2.d maDet
mdetrlin2.k
mdetrlin2.p
mdetrlin2.r
mdetrlin2.n
mdetrlin2.x
mdetrlin2.y
mdetrlin2.z
mdetrlin2.i
Assertion
Ref Expression
mdetrlin2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mdetrlin2
StepHypRef Expression
1 mdetrlin2.d . 2 maDet
2 eqid 2467 . 2 Mat Mat
3 eqid 2467 . 2 Mat Mat
4 mdetrlin2.p . 2
5 mdetrlin2.r . 2
6 mdetrlin2.k . . 3
7 mdetrlin2.n . . 3
8 crngrng 17010 . . . . . . 7
95, 8syl 16 . . . . . 6
1093ad2ant1 1017 . . . . 5
11 mdetrlin2.x . . . . 5
12 mdetrlin2.y . . . . 5
136, 4rngacl 17027 . . . . 5
1410, 11, 12, 13syl3anc 1228 . . . 4
15 mdetrlin2.z . . . 4
1614, 15ifcld 3982 . . 3
172, 6, 3, 7, 5, 16matbas2d 18720 . 2 Mat
1811, 15ifcld 3982 . . 3
192, 6, 3, 7, 5, 18matbas2d 18720 . 2 Mat
2012, 15ifcld 3982 . . 3
212, 6, 3, 7, 5, 20matbas2d 18720 . 2 Mat
22 mdetrlin2.i . 2
23 snex 4688 . . . . . . 7
2423a1i 11 . . . . . 6
2522snssd 4172 . . . . . . . . 9
26253ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
27 simp2 997 . . . . . . . 8
2826, 27sseldd 3505 . . . . . . 7
2928, 11syld3an2 1275 . . . . . 6
3028, 12syld3an2 1275 . . . . . 6
31 eqidd 2468 . . . . . 6
32 eqidd 2468 . . . . . 6
3324, 7, 29, 30, 31, 32offval22 6862 . . . . 5
3433eqcomd 2475 . . . 4
35 elsni 4052 . . . . . . 7
3635adantr 465 . . . . . 6
37 iftrue 3945 . . . . . 6
3836, 37syl 16 . . . . 5
3938mpt2eq3ia 6346 . . . 4
40 iftrue 3945 . . . . . . 7
4136, 40syl 16 . . . . . 6
4241mpt2eq3ia 6346 . . . . 5
43 iftrue 3945 . . . . . . 7
4436, 43syl 16 . . . . . 6
4544mpt2eq3ia 6346 . . . . 5
4642, 45oveq12i 6296 . . . 4
4734, 39, 463eqtr4g 2533 . . 3
48 ssid 3523 . . . 4
49 resmpt2 6384 . . . 4
5025, 48, 49sylancl 662 . . 3
51 resmpt2 6384 . . . . 5
5225, 48, 51sylancl 662 . . . 4
53 resmpt2 6384 . . . . 5
5425, 48, 53sylancl 662 . . . 4
5552, 54oveq12d 6302 . . 3
5647, 50, 553eqtr4d 2518 . 2
57 eldifsni 4153 . . . . . . 7
5857neneqd 2669 . . . . . 6
59 iffalse 3948 . . . . . . 7
60 iffalse 3948 . . . . . . 7
6159, 60eqtr4d 2511 . . . . . 6
6258, 61syl 16 . . . . 5
63623ad2ant2 1018 . . . 4
6463mpt2eq3dva 6345 . . 3
65 difss 3631 . . . 4
66 resmpt2 6384 . . . 4
6765, 48, 66mp2an 672 . . 3
68 resmpt2 6384 . . . 4
6965, 48, 68mp2an 672 . . 3
7064, 67, 693eqtr4g 2533 . 2
71 iffalse 3948 . . . . . . 7
7259, 71eqtr4d 2511 . . . . . 6
7358, 72syl 16 . . . . 5
74733ad2ant2 1018 . . . 4
7574mpt2eq3dva 6345 . . 3
76 resmpt2 6384 . . . 4
7765, 48, 76mp2an 672 . . 3
7875, 67, 773eqtr4g 2533 . 2
791, 2, 3, 4, 5, 17, 19, 21, 22, 56, 70, 78mdetrlin 18899 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   cdif 3473   wss 3476  cif 3939  csn 4027   cxp 4997   cres 5001  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286   cof 6522  cfn 7516  cbs 14490   cplusg 14555  crg 17000  ccrg 17001   Mat cmat 18704   maDet cmdat 18881 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-addf 9571  ax-mulf 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-word 12508  df-concat 12510  df-s1 12511  df-substr 12512  df-splice 12513  df-reverse 12514  df-s2 12776  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-gim 16112  df-cntz 16160  df-oppg 16186  df-symg 16208  df-pmtr 16273  df-psgn 16322  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-rnghom 17165  df-drng 17198  df-subrg 17227  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-cnfld 18220  df-zring 18285  df-zrh 18336  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-mat 18705  df-mdet 18882 This theorem is referenced by:  mdetero  18907  madugsum  18940
 Copyright terms: Public domain W3C validator