MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrlin2 Structured version   Unicode version

Theorem mdetrlin2 19563
Description: The determinant function is additive for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin2.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrlin2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetrlin2.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetrlin2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrlin2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetrlin2.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
mdetrlin2.y  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
mdetrlin2.z  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Z  e.  K )
mdetrlin2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
Assertion
Ref Expression
mdetrlin2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
) ) )  =  ( ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) ) 
.+  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, K, j    i, N, j    i, I, j    .+ , i, j
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( i, j)    Y( i, j)    Z( i, j)

Proof of Theorem mdetrlin2
StepHypRef Expression
1 mdetrlin2.d . 2  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 eqid 2429 . 2  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
3 eqid 2429 . 2  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
4 mdetrlin2.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  R )
5 mdetrlin2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
6 mdetrlin2.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
7 mdetrlin2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
8 crngring 17726 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
95, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1093ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
11 mdetrlin2.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
12 mdetrlin2.y . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
136, 4ringacl 17743 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X  .+  Y )  e.  K )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( X  .+  Y )  e.  K
)
15 mdetrlin2.z . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Z  e.  K )
1614, 15ifcld 3958 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z )  e.  K )
172, 6, 3, 7, 5, 16matbas2d 19379 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X 
.+  Y ) ,  Z ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
1811, 15ifcld 3958 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  Z )  e.  K )
192, 6, 3, 7, 5, 18matbas2d 19379 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
2012, 15ifcld 3958 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  Y ,  Z )  e.  K )
212, 6, 3, 7, 5, 20matbas2d 19379 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
22 mdetrlin2.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
23 snex 4663 . . . . . . 7  |-  { I }  e.  _V
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { I }  e.  _V )
2522snssd 4148 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { I }  C_  N )
26253ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  { I }  C_  N )
27 simp2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  { I } )
2826, 27sseldd 3471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
2928, 11syld3an2 1311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
3028, 12syld3an2 1311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { I }  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  K )
31 eqidd 2430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X ) )
32 eqidd 2430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  Y )  =  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  Y ) )
3324, 7, 29, 30, 31, 32offval22 6886 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  X )  oF  .+  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  Y ) )  =  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  ( X  .+  Y
) ) )
3433eqcomd 2437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  X )  oF  .+  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  Y ) ) )
35 mpt2snif 6404 . . . 4  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X 
.+  Y ) ,  Z ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  ( X 
.+  Y ) )
36 mpt2snif 6404 . . . . 5  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  X )
37 mpt2snif 6404 . . . . 5  |-  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  Y )
3836, 37oveq12i 6317 . . . 4  |-  ( ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  oF  .+  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) )  =  ( ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  X )  oF  .+  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  Y ) )
3934, 35, 383eqtr4g 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) )  =  ( ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  oF  .+  ( i  e.  { I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) ) )
40 ssid 3489 . . . 4  |-  N  C_  N
41 resmpt2 6408 . . . 4  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) ) )
4225, 40, 41sylancl 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) ) )
43 resmpt2 6408 . . . . 5  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) )
4425, 40, 43sylancl 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) )
45 resmpt2 6408 . . . . 5  |-  ( ( { I }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) )
4625, 40, 45sylancl 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( i  e.  {
I } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) )
4744, 46oveq12d 6323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) )  oF  .+  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) )  =  ( ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
) )  oF  .+  ( i  e. 
{ I } , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
) ) ) )
4839, 42, 473eqtr4d 2480 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z ) )  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) )  oF  .+  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ) )
49 eldifsni 4129 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  i  =/=  I
)
5049neneqd 2632 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  -.  i  =  I )
51 iffalse 3924 . . . . . . 7  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  Z )
52 iffalse 3924 . . . . . . 7  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
)  =  Z )
5351, 52eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )
5450, 53syl 17 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z )  =  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )
55543ad2ant2 1027 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )
5655mpt2eq3dva 6369 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) )
57 difss 3598 . . . 4  |-  ( N 
\  { I }
)  C_  N
58 resmpt2 6408 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) ) )
5957, 40, 58mp2an 676 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) )
60 resmpt2 6408 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) )
6157, 40, 60mp2an 676 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )
6256, 59, 613eqtr4g 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z ) )  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) )  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) )
63 iffalse 3924 . . . . . . 7  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
)  =  Z )
6451, 63eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( -.  i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )
6550, 64syl 17 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( N  \  { I } )  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z )  =  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )
66653ad2ant2 1027 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( N  \  { I } )  /\  j  e.  N )  ->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
)  =  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )
6766mpt2eq3dva 6369 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y
) ,  Z ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) )
68 resmpt2 6408 . . . 4  |-  ( ( ( N  \  {
I } )  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) )
6957, 40, 68mp2an 676 . . 3  |-  ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z
) )  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { I } ) ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )
7067, 59, 693eqtr4g 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z ) )  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) )  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) )
711, 2, 3, 4, 5, 17, 19, 21, 22, 48, 62, 70mdetrlin 19558 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  Y ) ,  Z
) ) )  =  ( ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  Z ) ) ) 
.+  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  Z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    C_ wss 3442   ifcif 3915   {csn 4002    X. cxp 4852    |` cres 4856   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307    oFcof 6543   Fincfn 7577   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   Ringcrg 17715   CRingccrg 17716   Mat cmat 19363   maDet cmdat 19540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-xor 1401  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-word 12651  df-lsw 12652  df-concat 12653  df-s1 12654  df-substr 12655  df-splice 12656  df-reverse 12657  df-s2 12929  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-gim 16874  df-cntz 16922  df-oppg 16948  df-symg 16970  df-pmtr 17034  df-psgn 17083  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zrh 19006  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mat 19364  df-mdet 19541
This theorem is referenced by:  mdetero  19566  madugsum  19599
  Copyright terms: Public domain W3C validator