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Theorem mdetrlin 18887
Description: The determinant function is additive for each row: The matrices X, Y, Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise sum of the I's row of the matrices Y and Z. In this case the determinant of X is the sum of the determinants of Y and Z. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrlin.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetrlin.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetrlin.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetrlin.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrlin.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mdetrlin.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
mdetrlin.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
mdetrlin.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetrlin.eq  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
mdetrlin.ne1  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Y  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
mdetrlin.ne2  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetrlin  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( ( D `  Y ) 
.+  ( D `  Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrlin
Dummy variables  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5875 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  e.  _V
2 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
3 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )
42, 3fnmpti 5708 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
5 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
6 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
75, 6fnmpti 5708 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
8 ofmpteq 6541 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  _V  /\  (
p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  /\  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  ->  (
( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) )  oF  .+  (
p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
91, 4, 7, 8mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) )  oF  .+  (
p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
10 mdetrlin.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
11 crngrng 17005 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
14 mdetrlin.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
15 mdetrlin.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  ( N Mat  R )
16 mdetrlin.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  A
)
1715, 16matrcl 18697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1814, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
1918simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
20 zrhpsgnmhm 18403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
2112, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
24 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2523, 24mgpbas 16946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
2622, 25mhmf 15788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> ( Base `  R
) )
2721, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> ( Base `  R
) )
2827ffvelrnda 6020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  e.  ( Base `  R
) )
2923crngmgp 17003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
3010, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
3130adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
3219adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
3315, 24, 16matbas2i 18707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
34 elmapi 7440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
3514, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )
)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Y : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  r  e.  N )
38 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
3938, 22symgbasf 16211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  ->  p : N --> N )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N --> N )
4140ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
p `  r )  e.  N )
4236, 37, 41fovrnd 6430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Y ( p `
 r ) )  e.  ( Base `  R
) )
4342ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Y ( p `  r ) )  e.  ( Base `  R ) )
4425, 31, 32, 43gsummptcl 16794 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
45 mdetrlin.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
4615, 24, 16matbas2i 18707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  B  ->  Z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
47 elmapi 7440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
4845, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )
)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
5049, 37, 41fovrnd 6430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  e.  ( Base `  R
) )
5150ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Z ( p `  r ) )  e.  ( Base `  R ) )
5225, 31, 32, 51gsummptcl 16794 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
53 mdetrlin.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  R )
54 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5524, 53, 54rngdi 17013 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
5613, 28, 44, 52, 55syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
57 cmnmnd 16616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
5831, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
59 mdetrlin.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  N
)
6135adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Y : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
6240, 60ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( p `  I )  e.  N
)
6361, 60, 62fovrnd 6430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Y ( p `  I
) )  e.  (
Base `  R )
)
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  I  ->  r  =  I )
65 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  I  ->  (
p `  r )  =  ( p `  I ) )
6664, 65oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Y ( p `
 r ) )  =  ( I Y ( p `  I
) ) )
6725, 66gsumsn 16781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Y ( p `  I ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Y ( p `  I
) ) )
6858, 60, 63, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Y ( p `  I ) ) )
6968, 63eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
7048adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
7170, 60, 62fovrnd 6430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Z ( p `  I
) )  e.  (
Base `  R )
)
7264, 65oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
7325, 72gsumsn 16781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
7458, 60, 71, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
7574, 71eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
76 difssd 3632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } ) 
C_  N )
77 ssfi 7740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { I } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
7832, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
79 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( N  \  { I } )  ->  r  e.  N
)
80 mdetrlin.x . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8115, 24, 16matbas2i 18707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
82 elmapi 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
8380, 81, 823syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )
)
8483ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  X : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
8584, 37, 41fovrnd 6430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r X ( p `
 r ) )  e.  ( Base `  R
) )
8679, 85sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r X ( p `  r
) )  e.  (
Base `  R )
)
8786ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  ( N  \  { I } ) ( r X ( p `  r ) )  e.  ( Base `  R
) )
8825, 31, 78, 87gsummptcl 16794 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
8924, 53, 54rngdir 17014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R )  /\  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) ) 
.+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  .+  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
9013, 69, 75, 88, 89syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) ) 
.+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  .+  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
9123, 54mgpplusg 16944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
92 disjdif 3899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { I }  i^i  ( N  \  { I }
) )  =  (/)
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  i^i  ( N  \  { I } ) )  =  (/) )
9459snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { I }  C_  N )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  { I }  C_  N )
96 undif 3907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { I }  C_  N  <->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9795, 96sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9897eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  =  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) ) )
9925, 91, 31, 32, 85, 93, 98gsummptfidmsplit 16750 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
100 mdetrlin.eq . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
102101oveqd 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) ) )
103 xpss1 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { I }  C_  N  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )
10495, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N
) )
105 fssres 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )  /\  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
10661, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
107 ffn 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
109 fssres 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Z : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )  /\  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
11070, 104, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
111 ffn 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
113 snex 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { I }  e.  _V
114 xpexg 6710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
_V )
115113, 32, 114sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
_V )
116 snidg 4053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  N  ->  I  e.  { I } )
11760, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  {
I } )
118 opelxp 5028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
I ,  ( p `
 I ) >.  e.  ( { I }  X.  N )  <->  ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I
)  e.  N ) )
119117, 62, 118sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  <. I ,  ( p `  I )
>.  e.  ( { I }  X.  N ) )
120 fnfvof 6536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N )  /\  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )  /\  ( ( { I }  X.  N
)  e.  _V  /\  <.
I ,  ( p `
 I ) >.  e.  ( { I }  X.  N ) ) )  ->  ( ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  (
( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  .+  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. ) ) )
121108, 112, 115, 119, 120syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  (
( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  .+  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. ) ) )
122 df-ov 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )
123 df-ov 6286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
124 df-ov 6286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
125123, 124oveq12i 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  .+  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. ) )
126121, 122, 1253eqtr4g 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
127102, 126eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
128 ovres 6425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
129117, 62, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
130 ovres 6425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Y ( p `  I ) ) )
131117, 62, 130syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Y ( p `  I
) ) )
132 ovres 6425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
133117, 62, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
134131, 133oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( ( I Y ( p `  I ) )  .+  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
135127, 129, 1343eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( ( I Y ( p `  I ) )  .+  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
13683adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
137136, 60, 62fovrnd 6430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  e.  (
Base `  R )
)
13864, 65oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  I  ->  (
r X ( p `
 r ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
13925, 138gsumsn 16781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I X ( p `  I ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
14058, 60, 137, 139syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
14168, 74oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I Y ( p `  I ) )  .+  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
142135, 140, 1413eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) ) 
.+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
143142oveq1d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) ) )
14499, 143eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) ) )
14525, 91, 31, 32, 42, 93, 98gsummptfidmsplit 16750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )
146 mdetrlin.ne1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Y  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
147146ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( Y  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) )
148147oveqd 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Y  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
149 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  r  e.  ( N  \  { I } ) )
15079, 41sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( p `  r )  e.  N
)
151 ovres 6425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
152149, 150, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
153 ovres 6425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Y  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Y ( p `  r ) ) )
154149, 150, 153syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Y  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Y ( p `  r ) ) )
155148, 152, 1543eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Y ( p `  r
) )  =  ( r X ( p `
 r ) ) )
156155mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r X ( p `  r ) ) ) )
157156oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )
158157oveq2d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
159145, 158eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
16025, 91, 31, 32, 50, 93, 98gsummptfidmsplit 16750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
161 mdetrlin.ne2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
162161ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) )
163162oveqd 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
164 ovres 6425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
165149, 150, 164syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
166163, 152, 1653eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Z ( p `  r
) )  =  ( r X ( p `
 r ) ) )
167166mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r X ( p `  r ) ) ) )
168167oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )
169168oveq2d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
170160, 169eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
171159, 170oveq12d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  .+  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
17290, 144, 1713eqtr4rd 2519 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )
173172oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )
17456, 173eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )
175174mpteq2dva 4533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) 
.+  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
1769, 175syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  oF  .+  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
177176oveq2d 6299 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  oF  .+  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
178 rngcmn 17025 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
17910, 11, 1783syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
18038, 22symgbasfi 16213 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
18119, 180syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  Fin )
18224, 54rngcl 17008 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18313, 28, 44, 182syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18424, 54rngcl 17008 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18513, 28, 52, 184syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18624, 53, 179, 181, 183, 185, 3, 6gsummptfidmadd2 16743 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  oF  .+  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
187177, 186eqtr3d 2510 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
188 mdetrlin.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
189 eqid 2467 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
190 eqid 2467 . . . 4  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
191188, 15, 16, 22, 189, 190, 54, 23mdetleib2 18873 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( D `  X )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
19210, 80, 191syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
193188, 15, 16, 22, 189, 190, 54, 23mdetleib2 18873 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Y  e.  B )  ->  ( D `  Y )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
19410, 14, 193syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
195188, 15, 16, 22, 189, 190, 54, 23mdetleib2 18873 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Z  e.  B )  ->  ( D `  Z )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
19610, 45, 195syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Z
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
197194, 196oveq12d 6301 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  Y )  .+  ( D `  Z )
)  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
198187, 192, 1973eqtr4d 2518 1  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( ( D `  Y ) 
.+  ( D `  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997    |` cres 5001    o. ccom 5003    Fn wfn 5582   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    oFcof 6521    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   .rcmulr 14555    gsumg cgsu 14695   Mndcmnd 15725   MndHom cmhm 15781   SymGrpcsymg 16204  pmSgncpsgn 16317  CMndccmn 16601  mulGrpcmgp 16940   Ringcrg 16995   CRingccrg 16996   ZRHomczrh 18320   Mat cmat 18692   maDet cmdat 18869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-word 12507  df-concat 12509  df-s1 12510  df-substr 12511  df-splice 12512  df-reverse 12513  df-s2 12775  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-prds 14702  df-pws 14704  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-mhm 15783  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-ghm 16067  df-gim 16109  df-cntz 16157  df-oppg 16183  df-symg 16205  df-pmtr 16270  df-psgn 16319  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-cring 16998  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-dvr 17128  df-rnghom 17160  df-drng 17193  df-subrg 17222  df-sra 17613  df-rgmod 17614  df-cnfld 18208  df-zring 18273  df-zrh 18324  df-dsmm 18546  df-frlm 18561  df-mat 18693  df-mdet 18870
This theorem is referenced by:  mdetrlin2  18892  mdetuni0  18906  mdetmul  18908
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