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Theorem mdetrlin 18409
Description: The determinant function is additive for each row: The matrices X, Y, Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise sum of the I's row of the matrices Y and Z. In this case the determinant of X is the sum of the determinants of Y and Z. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrlin.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetrlin.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetrlin.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetrlin.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrlin.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mdetrlin.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
mdetrlin.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
mdetrlin.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetrlin.eq  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
mdetrlin.ne1  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Y  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
mdetrlin.ne2  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetrlin  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( ( D `  Y ) 
.+  ( D `  Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrlin
Dummy variables  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  e.  _V
2 ovex 6116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
3 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )
42, 3fnmpti 5539 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
5 ovex 6116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
6 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
75, 6fnmpti 5539 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
8 ofmpteq 6338 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  _V  /\  (
p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  /\  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  ->  (
( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) )  oF  .+  (
p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
91, 4, 7, 8mp3an 1314 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) )  oF  .+  (
p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
10 mdetrlin.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
11 crngrng 16655 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
14 mdetrlin.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
15 mdetrlin.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  ( N Mat  R )
16 mdetrlin.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  A
)
1715, 16matrcl 18312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1814, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
1918simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
20 zrhpsgnmhm 18014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
2112, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2523, 24mgpbas 16597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
2622, 25mhmf 15469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> ( Base `  R
) )
2721, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> ( Base `  R
) )
2827ffvelrnda 5843 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  e.  ( Base `  R
) )
2923crngmgp 16653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
3010, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
3130adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
3219adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
3315, 24, 16matbas2i 18323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
34 elmapi 7234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
3514, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )
)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Y : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  r  e.  N )
38 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
3938, 22symgbasf 15889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  ->  p : N --> N )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N --> N )
4140ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
p `  r )  e.  N )
4236, 37, 41fovrnd 6235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Y ( p `
 r ) )  e.  ( Base `  R
) )
4342ralrimiva 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Y ( p `  r ) )  e.  ( Base `  R ) )
4425, 31, 32, 43gsummptcl 16458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
45 mdetrlin.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
4615, 24, 16matbas2i 18323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  B  ->  Z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
47 elmapi 7234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
4845, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )
)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
5049, 37, 41fovrnd 6235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  e.  ( Base `  R
) )
5150ralrimiva 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Z ( p `  r ) )  e.  ( Base `  R ) )
5225, 31, 32, 51gsummptcl 16458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
53 mdetrlin.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  R )
54 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5524, 53, 54rngdi 16663 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
5613, 28, 44, 52, 55syl13anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
57 cmnmnd 16292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
5831, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
59 mdetrlin.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  N
)
6135adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Y : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
6240, 60ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( p `  I )  e.  N
)
6361, 60, 62fovrnd 6235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Y ( p `  I
) )  e.  (
Base `  R )
)
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  I  ->  r  =  I )
65 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  I  ->  (
p `  r )  =  ( p `  I ) )
6664, 65oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Y ( p `
 r ) )  =  ( I Y ( p `  I
) ) )
6725, 66gsumsn 16449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Y ( p `  I ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Y ( p `  I
) ) )
6858, 60, 63, 67syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Y ( p `  I ) ) )
6968, 63eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
7048adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
7170, 60, 62fovrnd 6235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Z ( p `  I
) )  e.  (
Base `  R )
)
7264, 65oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
7325, 72gsumsn 16449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
7458, 60, 71, 73syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
7574, 71eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
76 difssd 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } ) 
C_  N )
77 ssfi 7533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { I } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
7832, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
79 eldifi 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( N  \  { I } )  ->  r  e.  N
)
80 mdetrlin.x . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8115, 24, 16matbas2i 18323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
82 elmapi 7234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
8380, 81, 823syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )
)
8483ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  X : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
8584, 37, 41fovrnd 6235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r X ( p `
 r ) )  e.  ( Base `  R
) )
8679, 85sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r X ( p `  r
) )  e.  (
Base `  R )
)
8786ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  ( N  \  { I } ) ( r X ( p `  r ) )  e.  ( Base `  R
) )
8825, 31, 78, 87gsummptcl 16458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
8924, 53, 54rngdir 16664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R )  /\  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) ) 
.+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  .+  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
9013, 69, 75, 88, 89syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) ) 
.+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  .+  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
9123, 54mgpplusg 16595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
92 disjdif 3751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { I }  i^i  ( N  \  { I }
) )  =  (/)
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  i^i  ( N  \  { I } ) )  =  (/) )
9459snssd 4018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { I }  C_  N )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  { I }  C_  N )
96 undif 3759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { I }  C_  N  <->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9795, 96sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9897eqcomd 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  =  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) ) )
9925, 91, 31, 32, 85, 93, 98gsummptfidmsplit 16424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
100 mdetrlin.eq . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
102101oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) ) )
103 xpss1 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { I }  C_  N  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )
10495, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N
) )
105 fssres 5578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )  /\  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
10661, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
107 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
109 fssres 5578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Z : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )  /\  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
11070, 104, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
111 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
113 snex 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { I }  e.  _V
114 xpexg 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
_V )
115113, 32, 114sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
_V )
116 snidg 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  N  ->  I  e.  { I } )
11760, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  {
I } )
118 opelxp 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
I ,  ( p `
 I ) >.  e.  ( { I }  X.  N )  <->  ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I
)  e.  N ) )
119117, 62, 118sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  <. I ,  ( p `  I )
>.  e.  ( { I }  X.  N ) )
120 fnfvof 6333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N )  /\  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )  /\  ( ( { I }  X.  N
)  e.  _V  /\  <.
I ,  ( p `
 I ) >.  e.  ( { I }  X.  N ) ) )  ->  ( ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  (
( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  .+  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. ) ) )
121108, 112, 115, 119, 120syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  (
( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  .+  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. ) ) )
122 df-ov 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )
123 df-ov 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
124 df-ov 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
125123, 124oveq12i 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  .+  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. ) )
126121, 122, 1253eqtr4g 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
127102, 126eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
128 ovres 6230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
129117, 62, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
130 ovres 6230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Y ( p `  I ) ) )
131117, 62, 130syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Y ( p `  I
) ) )
132 ovres 6230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
133117, 62, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
134131, 133oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( ( I Y ( p `  I ) )  .+  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
135127, 129, 1343eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( ( I Y ( p `  I ) )  .+  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
13683adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
137136, 60, 62fovrnd 6235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  e.  (
Base `  R )
)
13864, 65oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  I  ->  (
r X ( p `
 r ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
13925, 138gsumsn 16449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I X ( p `  I ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
14058, 60, 137, 139syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
14168, 74oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I Y ( p `  I ) )  .+  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
142135, 140, 1413eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) ) 
.+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
143142oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) ) )
14499, 143eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) ) )
14525, 91, 31, 32, 42, 93, 98gsummptfidmsplit 16424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )
146 mdetrlin.ne1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Y  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
147146ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( Y  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) )
148147oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Y  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
149 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  r  e.  ( N  \  { I } ) )
15079, 41sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( p `  r )  e.  N
)
151 ovres 6230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
152149, 150, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
153 ovres 6230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Y  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Y ( p `  r ) ) )
154149, 150, 153syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Y  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Y ( p `  r ) ) )
155148, 152, 1543eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Y ( p `  r
) )  =  ( r X ( p `
 r ) ) )
156155mpteq2dva 4378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r X ( p `  r ) ) ) )
157156oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )
158157oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
159145, 158eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
16025, 91, 31, 32, 50, 93, 98gsummptfidmsplit 16424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
161 mdetrlin.ne2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
162161ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) )
163162oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
164 ovres 6230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
165149, 150, 164syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
166163, 152, 1653eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Z ( p `  r
) )  =  ( r X ( p `
 r ) ) )
167166mpteq2dva 4378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r X ( p `  r ) ) ) )
168167oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )
169168oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
170160, 169eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
171159, 170oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  .+  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
17290, 144, 1713eqtr4rd 2486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )
173172oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )
17456, 173eqtr3d 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )
175174mpteq2dva 4378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) 
.+  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
1769, 175syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  oF  .+  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
177176oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  oF  .+  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
178 rngcmn 16675 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
17910, 11, 1783syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
18038, 22symgbasfi 15891 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
18119, 180syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  Fin )
18224, 54rngcl 16658 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18313, 28, 44, 182syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18424, 54rngcl 16658 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18513, 28, 52, 184syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18624, 53, 179, 181, 183, 185, 3, 6gsummptfidmadd2 16417 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  oF  .+  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
187177, 186eqtr3d 2477 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
188 mdetrlin.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
189 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
190 eqid 2443 . . . 4  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
191188, 15, 16, 22, 189, 190, 54, 23mdetleib2 18399 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( D `  X )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
19210, 80, 191syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
193188, 15, 16, 22, 189, 190, 54, 23mdetleib2 18399 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Y  e.  B )  ->  ( D `  Y )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
19410, 14, 193syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
195188, 15, 16, 22, 189, 190, 54, 23mdetleib2 18399 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Z  e.  B )  ->  ( D `  Z )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
19610, 45, 195syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Z
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
197194, 196oveq12d 6109 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  Y )  .+  ( D `  Z )
)  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
198187, 192, 1973eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( ( D `  Y ) 
.+  ( D `  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   <.cop 3883    e. cmpt 4350    X. cxp 4838    |` cres 4842    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318    ^m cmap 7214   Fincfn 7310   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239    gsumg cgsu 14379   Mndcmnd 15409   MndHom cmhm 15462   SymGrpcsymg 15882  pmSgncpsgn 15995  CMndccmn 16277  mulGrpcmgp 16591   Ringcrg 16645   CRingccrg 16646   ZRHomczrh 17931   Mat cmat 18280   maDet cmdat 18395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-ot 3886  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-s1 12232  df-substr 12233  df-splice 12234  df-reverse 12235  df-s2 12475  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-prds 14386  df-pws 14388  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-gim 15787  df-cntz 15835  df-oppg 15861  df-symg 15883  df-pmtr 15948  df-psgn 15997  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-rnghom 16806  df-drng 16834  df-subrg 16863  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-cnfld 17819  df-zring 17884  df-zrh 17935  df-dsmm 18157  df-frlm 18172  df-mat 18282  df-mdet 18396
This theorem is referenced by:  mdetrlin2  18413  mdetuni0  18427  mdetmul  18429
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