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Theorem mdetrlin 19271
Description: The determinant function is additive for each row: The matrices X, Y, Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise sum of the I's row of the matrices Y and Z. In this case the determinant of X is the sum of the determinants of Y and Z. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrlin.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetrlin.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetrlin.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetrlin.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetrlin.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetrlin.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mdetrlin.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
mdetrlin.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
mdetrlin.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetrlin.eq  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
mdetrlin.ne1  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Y  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
mdetrlin.ne2  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
mdetrlin  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( ( D `  Y ) 
.+  ( D `  Z ) ) )

Proof of Theorem mdetrlin
Dummy variables  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  e.  _V
2 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
3 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )
42, 3fnmpti 5691 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
5 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e. 
_V
6 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
75, 6fnmpti 5691 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
8 ofmpteq 6531 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  _V  /\  (
p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  /\  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  Fn  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  ->  (
( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) )  oF  .+  (
p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
91, 4, 7, 8mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) )  oF  .+  (
p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
10 mdetrlin.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
11 crngring 17404 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1312adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
14 mdetrlin.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
15 mdetrlin.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  ( N Mat  R )
16 mdetrlin.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  A
)
1715, 16matrcl 19081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1814, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
1918simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
20 zrhpsgnmhm 18793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
2112, 19, 20syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
22 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
23 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
24 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2523, 24mgpbas 17342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
2622, 25mhmf 16170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : ( Base `  ( SymGrp `  N )
) --> ( Base `  R
) )
2721, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) : ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) --> ( Base `  R
) )
2827ffvelrnda 6007 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )  e.  ( Base `  R
) )
2923crngmgp 17401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
3010, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
3130adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
3219adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
3315, 24, 16matbas2i 19091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
34 elmapi 7433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
3514, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )
)
3635ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Y : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
37 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  r  e.  N )
38 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
3938, 22symgbasf 16608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  ->  p : N --> N )
4039adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  p : N --> N )
4140ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
p `  r )  e.  N )
4236, 37, 41fovrnd 6420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Y ( p `
 r ) )  e.  ( Base `  R
) )
4342ralrimiva 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Y ( p `  r ) )  e.  ( Base `  R ) )
4425, 31, 32, 43gsummptcl 17190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
45 mdetrlin.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
4615, 24, 16matbas2i 19091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  B  ->  Z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
47 elmapi 7433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
4845, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )
)
4948ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
5049, 37, 41fovrnd 6420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  e.  ( Base `  R
) )
5150ralrimiva 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  N  ( r Z ( p `  r ) )  e.  ( Base `  R ) )
5225, 31, 32, 51gsummptcl 17190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
53 mdetrlin.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  R )
54 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5524, 53, 54ringdi 17412 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
5613, 28, 44, 52, 55syl13anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
57 cmnmnd 17012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
5831, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
59 mdetrlin.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
6059adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  N
)
6135adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Y : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
6240, 60ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( p `  I )  e.  N
)
6361, 60, 62fovrnd 6420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Y ( p `  I
) )  e.  (
Base `  R )
)
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  I  ->  r  =  I )
65 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  I  ->  (
p `  r )  =  ( p `  I ) )
6664, 65oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Y ( p `
 r ) )  =  ( I Y ( p `  I
) ) )
6725, 66gsumsn 17177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Y ( p `  I ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Y ( p `  I
) ) )
6858, 60, 63, 67syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Y ( p `  I ) ) )
6968, 63eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
7048adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  Z : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
7170, 60, 62fovrnd 6420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I Z ( p `  I
) )  e.  (
Base `  R )
)
7264, 65oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  I  ->  (
r Z ( p `
 r ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
7325, 72gsumsn 17177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I Z ( p `  I ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
7458, 60, 71, 73syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
7574, 71eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
76 difssd 3618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } ) 
C_  N )
77 ssfi 7733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { I } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
7832, 76, 77syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( N  \  { I } )  e.  Fin )
79 eldifi 3612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( N  \  { I } )  ->  r  e.  N
)
80 mdetrlin.x . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8115, 24, 16matbas2i 19091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
82 elmapi 7433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
8380, 81, 823syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X : ( N  X.  N ) --> (
Base `  R )
)
8483ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  X : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
8584, 37, 41fovrnd 6420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  N )  ->  (
r X ( p `
 r ) )  e.  ( Base `  R
) )
8679, 85sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r X ( p `  r
) )  e.  (
Base `  R )
)
8786ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  A. r  e.  ( N  \  { I } ) ( r X ( p `  r ) )  e.  ( Base `  R
) )
8825, 31, 78, 87gsummptcl 17190 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
8924, 53, 54ringdir 17413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R )  /\  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Z ( p `  r
) ) ) )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) ) 
.+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  .+  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
9013, 69, 75, 88, 89syl13anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) ) 
.+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  .+  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
9123, 54mgpplusg 17340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
92 disjdif 3888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { I }  i^i  ( N  \  { I }
) )  =  (/)
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  i^i  ( N  \  { I } ) )  =  (/) )
9459snssd 4161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { I }  C_  N )
9594adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  { I }  C_  N )
96 undif 3896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { I }  C_  N  <->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9795, 96sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) )  =  N )
9897eqcomd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  N  =  ( { I }  u.  ( N  \  { I } ) ) )
9925, 91, 31, 32, 85, 93, 98gsummptfidmsplit 17148 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
100 mdetrlin.eq . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
101100adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( X  |`  ( { I }  X.  N ) )  =  ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) )
102101oveqd 6287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) ) )
103 xpss1 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { I }  C_  N  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N ) )
10495, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  C_  ( N  X.  N
) )
10561, 104fssresd 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
106 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
10870, 104fssresd 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
109 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) : ( { I }  X.  N ) --> ( Base `  R )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )
111 snex 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { I }  e.  _V
112 xpexg 6575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
_V )
113111, 32, 112sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( { I }  X.  N )  e. 
_V )
114 snidg 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  N  ->  I  e.  { I } )
11560, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  I  e.  {
I } )
116 opelxp 5018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
I ,  ( p `
 I ) >.  e.  ( { I }  X.  N )  <->  ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I
)  e.  N ) )
117115, 62, 116sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  <. I ,  ( p `  I )
>.  e.  ( { I }  X.  N ) )
118 fnfvof 6526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N )  /\  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) )  Fn  ( { I }  X.  N ) )  /\  ( ( { I }  X.  N
)  e.  _V  /\  <.
I ,  ( p `
 I ) >.  e.  ( { I }  X.  N ) ) )  ->  ( ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  (
( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  .+  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. ) ) )
119107, 110, 113, 117, 118syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )  =  (
( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  .+  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. ) ) )
120 df-ov 6273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. )
121 df-ov 6273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
122 df-ov 6273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) `  <. I ,  ( p `  I ) >. )
123121, 122oveq12i 6282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) `  <. I ,  ( p `
 I ) >.
)  .+  ( ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) `
 <. I ,  ( p `  I )
>. ) )
124119, 120, 1233eqtr4g 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) )  oF  .+  ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ) ( p `  I
) )  =  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
125102, 124eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) ) )
126 ovres 6415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( X  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
127115, 62, 126syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( X  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
128 ovres 6415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Y ( p `  I ) ) )
129115, 62, 128syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Y  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Y ( p `  I
) ) )
130 ovres 6415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  { I }  /\  ( p `  I )  e.  N
)  ->  ( I
( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  =  ( I Z ( p `  I ) ) )
131115, 62, 130syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I ( Z  |`  ( {
I }  X.  N
) ) ( p `
 I ) )  =  ( I Z ( p `  I
) ) )
132129, 131oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( I ( Y  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) )  .+  ( I ( Z  |`  ( { I }  X.  N ) ) ( p `  I ) ) )  =  ( ( I Y ( p `  I ) )  .+  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
133125, 127, 1323eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  =  ( ( I Y ( p `  I ) )  .+  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
13483adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  X : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
135134, 60, 62fovrnd 6420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( I X ( p `  I
) )  e.  (
Base `  R )
)
13664, 65oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  I  ->  (
r X ( p `
 r ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
13725, 136gsumsn 17177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  I  e.  N  /\  ( I X ( p `  I ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) )  =  ( I X ( p `  I
) ) )
13858, 60, 135, 137syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( I X ( p `  I ) ) )
13968, 74oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( I Y ( p `  I ) )  .+  ( I Z ( p `  I ) ) ) )
140133, 138, 1393eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  { I }  |->  ( r Y ( p `  r
) ) ) ) 
.+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
141140oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) ) )
14299, 141eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  |->  ( r X ( p `  r
) ) ) ) ) )
14325, 91, 31, 32, 42, 93, 98gsummptfidmsplit 17148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )
144 mdetrlin.ne1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Y  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
145144ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( Y  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) )
146145oveqd 6287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Y  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
147 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  r  e.  ( N  \  { I } ) )
14879, 41sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( p `  r )  e.  N
)
149 ovres 6415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
150147, 148, 149syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r X ( p `  r ) ) )
151 ovres 6415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Y  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Y ( p `  r ) ) )
152147, 148, 151syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Y  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Y ( p `  r ) ) )
153146, 150, 1523eqtr3rd 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Y ( p `  r
) )  =  ( r X ( p `
 r ) ) )
154153mpteq2dva 4525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r X ( p `  r ) ) ) )
155154oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )
156155oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
157143, 156eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
15825, 91, 31, 32, 50, 93, 98gsummptfidmsplit 17148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )
159 mdetrlin.ne2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) )
160159ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( X  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) )  =  ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) )
161160oveqd 6287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( X  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I } )  X.  N ) ) ( p `  r
) ) )
162 ovres 6415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  ( N 
\  { I }
)  /\  ( p `  r )  e.  N
)  ->  ( r
( Z  |`  (
( N  \  {
I } )  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
163147, 148, 162syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r ( Z  |`  ( ( N  \  { I }
)  X.  N ) ) ( p `  r ) )  =  ( r Z ( p `  r ) ) )
164161, 150, 1633eqtr3rd 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )  /\  r  e.  ( N  \  {
I } ) )  ->  ( r Z ( p `  r
) )  =  ( r X ( p `
 r ) ) )
165164mpteq2dva 4525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( r  e.  ( N  \  {
I } )  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) )  =  ( r  e.  ( N  \  { I } ) 
|->  ( r X ( p `  r ) ) ) )
166165oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )
167166oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
168158, 167eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  =  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) )
169157, 168oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )  .+  (
( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  {
I }  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  ( N  \  { I } )  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
17090, 142, 1693eqtr4rd 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  =  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) )
171170oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  .+  ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )
17256, 171eqtr3d 2497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  .+  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) )
173172mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) 
.+  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
1749, 173syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  oF  .+  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) )
175174oveq2d 6286 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  oF  .+  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
176 ringcmn 17424 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
17710, 11, 1763syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
17838, 22symgbasfi 16610 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
17919, 178syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  Fin )
18024, 54ringcl 17407 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18113, 28, 44, 180syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18224, 54ringcl 17407 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p )  e.  (
Base `  R )  /\  ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18313, 28, 52, 182syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
18424, 53, 177, 179, 181, 183, 3, 6gsummptfidmadd2 17142 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) )  oF  .+  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
185175, 184eqtr3d 2497 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
186 mdetrlin.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
187 eqid 2454 . . . 4  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
188 eqid 2454 . . . 4  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
189186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23mdetleib2 19257 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( D `  X )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
19010, 80, 189syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r X ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
191186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23mdetleib2 19257 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Y  e.  B )  ->  ( D `  Y )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
19210, 14, 191syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Y
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
193186, 15, 16, 22, 187, 188, 54, 23mdetleib2 19257 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  Z  e.  B )  ->  ( D `  Z )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `  r ) ) ) ) ) ) ) )
19410, 45, 193syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  Z
)  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) )
195192, 194oveq12d 6288 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  Y )  .+  ( D `  Z )
)  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Y ( p `
 r ) ) ) ) ) ) )  .+  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r Z ( p `
 r ) ) ) ) ) ) ) ) )
196185, 190, 1953eqtr4d 2505 1  |-  ( ph  ->  ( D `  X
)  =  ( ( D `  Y ) 
.+  ( D `  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986    |` cres 4990    o. ccom 4992    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   .rcmulr 14785    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118   MndHom cmhm 16163   SymGrpcsymg 16601  pmSgncpsgn 16713  CMndccmn 16997  mulGrpcmgp 17336   Ringcrg 17393   CRingccrg 17394   ZRHomczrh 18712   Mat cmat 19076   maDet cmdat 19253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-word 12526  df-lsw 12527  df-concat 12528  df-s1 12529  df-substr 12530  df-splice 12531  df-reverse 12532  df-s2 12804  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-gim 16506  df-cntz 16554  df-oppg 16580  df-symg 16602  df-pmtr 16666  df-psgn 16715  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-rnghom 17559  df-drng 17593  df-subrg 17622  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-cnfld 18616  df-zring 18684  df-zrh 18716  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mat 19077  df-mdet 19254
This theorem is referenced by:  mdetrlin2  19276  mdetuni0  19290  mdetmul  19292
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