MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt2 Structured version   Unicode version

Theorem mdetralt2 18413
Description: The determinant function is alternating regarding rows (matrix is given explicitly by its entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt2.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetralt2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetralt2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetralt2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetralt2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetralt2.x  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
mdetralt2.y  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
mdetralt2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetralt2.j  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
mdetralt2.ij  |-  ( ph  ->  I  =/=  J )
Assertion
Ref Expression
mdetralt2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, K, j    i, N, j    i, I, j   
i, J, j    i, X
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( j)    Y( i, j)    .0. ( i,
j)

Proof of Theorem mdetralt2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt2.d . 2  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 eqid 2441 . 2  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
3 eqid 2441 . 2  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
4 mdetralt2.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mdetralt2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
6 mdetralt2.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
7 mdetralt2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
8 mdetralt2.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
983adant2 1007 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
10 mdetralt2.y . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
119, 10ifcld 3830 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  J ,  X ,  Y )  e.  K )
129, 11ifcld 3830 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  e.  K )
132, 6, 3, 7, 5, 12matbas2d 18322 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
14 mdetralt2.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
15 mdetralt2.j . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
16 mdetralt2.ij . 2  |-  ( ph  ->  I  =/=  J )
17 eqidd 2442 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) )
18 iftrue 3795 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) )  =  X )
1918ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  I  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  X )
20 csbeq1a 3295 . . . . . . 7  |-  ( j  =  w  ->  X  =  [_ w  /  j ]_ X )
2120ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  I  /\  j  =  w )
)  ->  X  =  [_ w  /  j ]_ X )
2219, 21eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  I  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  [_ w  /  j ]_ X
)
23 eqidd 2442 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  i  =  I )  ->  N  =  N )
2414adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  I  e.  N )
25 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  w  e.  N )
26 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ph  /\  w  e.  N )
27 nfcsb1v 3302 . . . . . . . 8  |-  F/_ j [_ w  /  j ]_ X
2827nfel1 2587 . . . . . . 7  |-  F/ j
[_ w  /  j ]_ X  e.  K
2926, 28nfim 1853 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ph  /\  w  e.  N )  ->  [_ w  /  j ]_ X  e.  K
)
30 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  w  ->  (
j  e.  N  <->  w  e.  N ) )
3130anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( j  =  w  ->  (
( ph  /\  j  e.  N )  <->  ( ph  /\  w  e.  N ) ) )
3220eleq1d 2507 . . . . . . 7  |-  ( j  =  w  ->  ( X  e.  K  <->  [_ w  / 
j ]_ X  e.  K
) )
3331, 32imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( j  =  w  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  N )  ->  [_ w  /  j ]_ X  e.  K
) ) )
3429, 33, 8chvar 1957 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  [_ w  /  j ]_ X  e.  K )
35 nfv 1673 . . . . 5  |-  F/ i ( ph  /\  w  e.  N )
36 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ j
I
37 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ i
w
38 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ i [_ w  /  j ]_ X
3917, 22, 23, 24, 25, 34, 35, 26, 36, 37, 38, 27ovmpt2dxf 6214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  (
I ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w )  =  [_ w  /  j ]_ X
)
40 iftrue 3795 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  J  ->  if ( i  =  J ,  X ,  Y
)  =  X )
4140ifeq2d 3806 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  J  ->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) )  =  if ( i  =  I ,  X ,  X
) )
42 ifid 3824 . . . . . . . 8  |-  if ( i  =  I ,  X ,  X )  =  X
4341, 42syl6eq 2489 . . . . . . 7  |-  ( i  =  J  ->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) )  =  X )
4443ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  J  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  X )
4520ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  J  /\  j  =  w )
)  ->  X  =  [_ w  /  j ]_ X )
4644, 45eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  J  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  [_ w  /  j ]_ X
)
47 eqidd 2442 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  i  =  J )  ->  N  =  N )
4815adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  J  e.  N )
49 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ j J
5017, 46, 47, 48, 25, 34, 35, 26, 49, 37, 38, 27ovmpt2dxf 6214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  ( J ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w )  =  [_ w  /  j ]_ X
)
5139, 50eqtr4d 2476 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  (
I ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w )  =  ( J ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w ) )
5251ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  N  ( I ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
) ) w )  =  ( J ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) w ) )
531, 2, 3, 4, 5, 13, 14, 15, 16, 52mdetralt 18412 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   [_csb 3286   ifcif 3789   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   Fincfn 7308   Basecbs 14172   0gc0g 14376   CRingccrg 16644   Mat cmat 18278   maDet cmdat 18393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-ot 3884  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-word 12227  df-concat 12229  df-s1 12230  df-substr 12231  df-splice 12232  df-reverse 12233  df-s2 12473  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-prds 14384  df-pws 14386  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-mulg 15546  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-gim 15785  df-cntz 15833  df-oppg 15859  df-symg 15881  df-pmtr 15946  df-psgn 15995  df-evpm 15996  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-rnghom 16804  df-drng 16832  df-subrg 16861  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-cnfld 17817  df-zring 17882  df-zrh 17933  df-dsmm 18155  df-frlm 18170  df-mat 18280  df-mdet 18394
This theorem is referenced by:  mdetero  18414  madurid  18448
  Copyright terms: Public domain W3C validator