MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt2 Structured version   Unicode version

Theorem mdetralt2 18875
Description: The determinant function is alternating regarding rows (matrix is given explicitly by its entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt2.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetralt2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetralt2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetralt2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetralt2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetralt2.x  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
mdetralt2.y  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
mdetralt2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetralt2.j  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
mdetralt2.ij  |-  ( ph  ->  I  =/=  J )
Assertion
Ref Expression
mdetralt2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, K, j    i, N, j    i, I, j   
i, J, j    i, X
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( j)    Y( i, j)    .0. ( i,
j)

Proof of Theorem mdetralt2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt2.d . 2  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 eqid 2467 . 2  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
3 eqid 2467 . 2  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
4 mdetralt2.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mdetralt2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
6 mdetralt2.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
7 mdetralt2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
8 mdetralt2.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
983adant2 1015 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
10 mdetralt2.y . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
119, 10ifcld 3982 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  J ,  X ,  Y )  e.  K )
129, 11ifcld 3982 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  e.  K )
132, 6, 3, 7, 5, 12matbas2d 18689 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
14 mdetralt2.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
15 mdetralt2.j . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
16 mdetralt2.ij . 2  |-  ( ph  ->  I  =/=  J )
17 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) )
18 iftrue 3945 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) )  =  X )
1918ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  I  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  X )
20 csbeq1a 3444 . . . . . . 7  |-  ( j  =  w  ->  X  =  [_ w  /  j ]_ X )
2120ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  I  /\  j  =  w )
)  ->  X  =  [_ w  /  j ]_ X )
2219, 21eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  I  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  [_ w  /  j ]_ X
)
23 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  i  =  I )  ->  N  =  N )
2414adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  I  e.  N )
25 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  w  e.  N )
26 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ph  /\  w  e.  N )
27 nfcsb1v 3451 . . . . . . . 8  |-  F/_ j [_ w  /  j ]_ X
2827nfel1 2645 . . . . . . 7  |-  F/ j
[_ w  /  j ]_ X  e.  K
2926, 28nfim 1867 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ph  /\  w  e.  N )  ->  [_ w  /  j ]_ X  e.  K
)
30 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  w  ->  (
j  e.  N  <->  w  e.  N ) )
3130anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( j  =  w  ->  (
( ph  /\  j  e.  N )  <->  ( ph  /\  w  e.  N ) ) )
3220eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( j  =  w  ->  ( X  e.  K  <->  [_ w  / 
j ]_ X  e.  K
) )
3331, 32imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( j  =  w  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  N )  ->  [_ w  /  j ]_ X  e.  K
) ) )
3429, 33, 8chvar 1982 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  [_ w  /  j ]_ X  e.  K )
35 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ i ( ph  /\  w  e.  N )
36 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ j
I
37 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ i
w
38 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ i [_ w  /  j ]_ X
3917, 22, 23, 24, 25, 34, 35, 26, 36, 37, 38, 27ovmpt2dxf 6410 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  (
I ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w )  =  [_ w  /  j ]_ X
)
40 iftrue 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  J  ->  if ( i  =  J ,  X ,  Y
)  =  X )
4140ifeq2d 3958 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  J  ->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) )  =  if ( i  =  I ,  X ,  X
) )
42 ifid 3976 . . . . . . . 8  |-  if ( i  =  I ,  X ,  X )  =  X
4341, 42syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( i  =  J  ->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) )  =  X )
4443ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  J  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  X )
4520ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  J  /\  j  =  w )
)  ->  X  =  [_ w  /  j ]_ X )
4644, 45eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  J  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  [_ w  /  j ]_ X
)
47 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  i  =  J )  ->  N  =  N )
4815adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  J  e.  N )
49 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ j J
5017, 46, 47, 48, 25, 34, 35, 26, 49, 37, 38, 27ovmpt2dxf 6410 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  ( J ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w )  =  [_ w  /  j ]_ X
)
5139, 50eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  (
I ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w )  =  ( J ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w ) )
5251ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  N  ( I ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
) ) w )  =  ( J ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) w ) )
531, 2, 3, 4, 5, 13, 14, 15, 16, 52mdetralt 18874 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   [_csb 3435   ifcif 3939   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   Fincfn 7513   Basecbs 14483   0gc0g 14688   CRingccrg 16984   Mat cmat 18673   maDet cmdat 18850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-word 12502  df-concat 12504  df-s1 12505  df-substr 12506  df-splice 12507  df-reverse 12508  df-s2 12770  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-prds 14696  df-pws 14698  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-gim 16099  df-cntz 16147  df-oppg 16173  df-symg 16195  df-pmtr 16260  df-psgn 16309  df-evpm 16310  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-rnghom 17145  df-drng 17178  df-subrg 17207  df-sra 17598  df-rgmod 17599  df-cnfld 18189  df-zring 18254  df-zrh 18305  df-dsmm 18527  df-frlm 18542  df-mat 18674  df-mdet 18851
This theorem is referenced by:  mdetero  18876  madurid  18910
  Copyright terms: Public domain W3C validator