MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt2 Structured version   Unicode version

Theorem mdetralt2 19237
Description: The determinant function is alternating regarding rows (matrix is given explicitly by its entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt2.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetralt2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetralt2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetralt2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetralt2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetralt2.x  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
mdetralt2.y  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
mdetralt2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetralt2.j  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
mdetralt2.ij  |-  ( ph  ->  I  =/=  J )
Assertion
Ref Expression
mdetralt2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, K, j    i, N, j    i, I, j   
i, J, j    i, X
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( j)    Y( i, j)    .0. ( i,
j)

Proof of Theorem mdetralt2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt2.d . 2  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 eqid 2457 . 2  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
3 eqid 2457 . 2  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
4 mdetralt2.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mdetralt2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
6 mdetralt2.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
7 mdetralt2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
8 mdetralt2.x . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
983adant2 1015 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
10 mdetralt2.y . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
119, 10ifcld 3987 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  J ,  X ,  Y )  e.  K )
129, 11ifcld 3987 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  e.  K )
132, 6, 3, 7, 5, 12matbas2d 19051 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
14 mdetralt2.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
15 mdetralt2.j . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
16 mdetralt2.ij . 2  |-  ( ph  ->  I  =/=  J )
17 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) )
18 iftrue 3950 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) )  =  X )
1918ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  I  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  X )
20 csbeq1a 3439 . . . . . . 7  |-  ( j  =  w  ->  X  =  [_ w  /  j ]_ X )
2120ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  I  /\  j  =  w )
)  ->  X  =  [_ w  /  j ]_ X )
2219, 21eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  I  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  [_ w  /  j ]_ X
)
23 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  i  =  I )  ->  N  =  N )
2414adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  I  e.  N )
25 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  w  e.  N )
26 nfv 1708 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ph  /\  w  e.  N )
27 nfcsb1v 3446 . . . . . . . 8  |-  F/_ j [_ w  /  j ]_ X
2827nfel1 2635 . . . . . . 7  |-  F/ j
[_ w  /  j ]_ X  e.  K
2926, 28nfim 1921 . . . . . 6  |-  F/ j ( ( ph  /\  w  e.  N )  ->  [_ w  /  j ]_ X  e.  K
)
30 eleq1 2529 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  w  ->  (
j  e.  N  <->  w  e.  N ) )
3130anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( j  =  w  ->  (
( ph  /\  j  e.  N )  <->  ( ph  /\  w  e.  N ) ) )
3220eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( j  =  w  ->  ( X  e.  K  <->  [_ w  / 
j ]_ X  e.  K
) )
3331, 32imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( j  =  w  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )  <-> 
( ( ph  /\  w  e.  N )  ->  [_ w  /  j ]_ X  e.  K
) ) )
3429, 33, 8chvar 2014 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  [_ w  /  j ]_ X  e.  K )
35 nfv 1708 . . . . 5  |-  F/ i ( ph  /\  w  e.  N )
36 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ j
I
37 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ i
w
38 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ i [_ w  /  j ]_ X
3917, 22, 23, 24, 25, 34, 35, 26, 36, 37, 38, 27ovmpt2dxf 6427 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  (
I ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w )  =  [_ w  /  j ]_ X
)
40 iftrue 3950 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  J  ->  if ( i  =  J ,  X ,  Y
)  =  X )
4140ifeq2d 3963 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  J  ->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) )  =  if ( i  =  I ,  X ,  X
) )
42 ifid 3981 . . . . . . . 8  |-  if ( i  =  I ,  X ,  X )  =  X
4341, 42syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( i  =  J  ->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) )  =  X )
4443ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  J  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  X )
4520ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  J  /\  j  =  w )
)  ->  X  =  [_ w  /  j ]_ X )
4644, 45eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  (
i  =  J  /\  j  =  w )
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
)  =  [_ w  /  j ]_ X
)
47 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  N )  /\  i  =  J )  ->  N  =  N )
4815adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  J  e.  N )
49 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ j J
5017, 46, 47, 48, 25, 34, 35, 26, 49, 37, 38, 27ovmpt2dxf 6427 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  ( J ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w )  =  [_ w  /  j ]_ X
)
5139, 50eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  N )  ->  (
I ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w )  =  ( J ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y ) ) ) w ) )
5251ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  N  ( I ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y )
) ) w )  =  ( J ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) w ) )
531, 2, 3, 4, 5, 13, 14, 15, 16, 52mdetralt 19236 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  X ,  Y
) ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   [_csb 3430   ifcif 3944   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   Fincfn 7535   Basecbs 14643   0gc0g 14856   CRingccrg 17325   Mat cmat 19035   maDet cmdat 19212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-word 12545  df-lsw 12546  df-concat 12547  df-s1 12548  df-substr 12549  df-splice 12550  df-reverse 12551  df-s2 12824  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-prds 14864  df-pws 14866  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-gim 16433  df-cntz 16481  df-oppg 16507  df-symg 16529  df-pmtr 16593  df-psgn 16642  df-evpm 16643  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-rnghom 17490  df-drng 17524  df-subrg 17553  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-cnfld 18547  df-zring 18615  df-zrh 18667  df-dsmm 18889  df-frlm 18904  df-mat 19036  df-mdet 19213
This theorem is referenced by:  mdetero  19238  madurid  19272
  Copyright terms: Public domain W3C validator