Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetralt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mdetralt 19710
 Description: The determinant function is alternating regarding rows: if a matrix has two identical rows, its determinant is 0. Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetralt.a Mat
mdetralt.b
mdetralt.z
mdetralt.r
mdetralt.x
mdetralt.i
mdetralt.j
mdetralt.ij
mdetralt.eq
Assertion
Ref Expression
mdetralt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem mdetralt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetralt.x . . 3
2 mdetralt.d . . . 4 maDet
3 mdetralt.a . . . 4 Mat
4 mdetralt.b . . . 4
5 eqid 2471 . . . 4
6 eqid 2471 . . . 4 RHom RHom
7 eqid 2471 . . . 4 pmSgn pmSgn
8 eqid 2471 . . . 4
9 eqid 2471 . . . 4 mulGrp mulGrp
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mdetleib 19689 . . 3 g RHom pmSgnmulGrp g
111, 10syl 17 . 2 g RHom pmSgnmulGrp g
12 eqid 2471 . . 3
13 eqid 2471 . . 3
14 mdetralt.r . . . . 5
15 crngring 17869 . . . . 5
1614, 15syl 17 . . . 4
17 ringcmn 17889 . . . 4 CMnd
1816, 17syl 17 . . 3 CMnd
193, 4matrcl 19514 . . . . . 6
201, 19syl 17 . . . . 5
2120simpld 466 . . . 4
22 eqid 2471 . . . . 5
2322, 5symgbasfi 17105 . . . 4
2421, 23syl 17 . . 3
2516adantr 472 . . . 4
26 zrhpsgnmhm 19229 . . . . . . 7 RHom pmSgn MndHom mulGrp
2716, 21, 26syl2anc 673 . . . . . 6 RHom pmSgn MndHom mulGrp
289, 12mgpbas 17807 . . . . . . 7 mulGrp
295, 28mhmf 16665 . . . . . 6 RHom pmSgn MndHom mulGrp RHom pmSgn
3027, 29syl 17 . . . . 5 RHom pmSgn
3130ffvelrnda 6037 . . . 4 RHom pmSgn
329crngmgp 17866 . . . . . . 7 mulGrp CMnd
3314, 32syl 17 . . . . . 6 mulGrp CMnd
3433adantr 472 . . . . 5 mulGrp CMnd
3521adantr 472 . . . . 5
363, 12, 4matbas2i 19524 . . . . . . . . . 10
371, 36syl 17 . . . . . . . . 9
38 elmapi 7511 . . . . . . . . 9
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8
4039ad2antrr 740 . . . . . . 7
4122, 5symgbasf1o 17102 . . . . . . . . . 10
4241adantl 473 . . . . . . . . 9
43 f1of 5828 . . . . . . . . 9
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8
4544ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
46 simpr 468 . . . . . . 7
4740, 45, 46fovrnd 6460 . . . . . 6
4847ralrimiva 2809 . . . . 5
4928, 34, 35, 48gsummptcl 17677 . . . 4 mulGrp g
5012, 8ringcl 17872 . . . 4 RHom pmSgn mulGrp g RHom pmSgnmulGrp g
5125, 31, 49, 50syl3anc 1292 . . 3 RHom pmSgnmulGrp g
52 disjdif 3830 . . . 4 pmEven pmEven
5352a1i 11 . . 3 pmEven pmEven
5422, 5evpmss 19231 . . . . . 6 pmEven
55 undif 3839 . . . . . 6 pmEven pmEven pmEven
5654, 55mpbi 213 . . . . 5 pmEven pmEven
5756eqcomi 2480 . . . 4 pmEven pmEven
5857a1i 11 . . 3 pmEven pmEven
59 eqid 2471 . . 3 RHom pmSgnmulGrp g RHom pmSgnmulGrp g
6012, 13, 18, 24, 51, 53, 58, 59gsummptfidmsplitres 17642 . 2 g RHom pmSgnmulGrp g g RHom pmSgnmulGrp g pmEven g RHom pmSgnmulGrp g pmEven
61 resmpt 5160 . . . . . . 7 pmEven RHom pmSgnmulGrp g pmEven pmEven RHom pmSgnmulGrp g
6254, 61ax-mp 5 . . . . . 6 RHom pmSgnmulGrp g pmEven pmEven RHom pmSgnmulGrp g
6316adantr 472 . . . . . . . . . 10 pmEven
6421adantr 472 . . . . . . . . . 10 pmEven
65 simpr 468 . . . . . . . . . 10 pmEven pmEven
66 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
676, 7, 66zrhpsgnevpm 19236 . . . . . . . . . 10 pmEven RHom pmSgn
6863, 64, 65, 67syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 pmEven RHom pmSgn
6968oveq1d 6323 . . . . . . . 8 pmEven RHom pmSgnmulGrp g mulGrp g
7054sseli 3414 . . . . . . . . . 10 pmEven
7170, 49sylan2 482 . . . . . . . . 9 pmEven mulGrp g
7212, 8, 66ringlidm 17882 . . . . . . . . 9 mulGrp g mulGrp g mulGrp g
7363, 71, 72syl2anc 673 . . . . . . . 8 pmEven mulGrp g mulGrp g
7469, 73eqtrd 2505 . . . . . . 7 pmEven RHom pmSgnmulGrp g mulGrp g
7574mpteq2dva 4482 . . . . . 6 pmEven RHom pmSgnmulGrp g pmEven mulGrp g
7662, 75syl5eq 2517 . . . . 5 RHom pmSgnmulGrp g pmEven pmEven mulGrp g
7776oveq2d 6324 . . . 4 g RHom pmSgnmulGrp g pmEven g pmEven mulGrp g
78 difss 3549 . . . . . . . 8 pmEven
79 resmpt 5160 . . . . . . . 8 pmEven RHom pmSgnmulGrp g pmEven pmEven RHom pmSgnmulGrp g
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . 7 RHom pmSgnmulGrp g pmEven pmEven RHom pmSgnmulGrp g
8116adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 pmEven
8221adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 pmEven
83 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 pmEven pmEven
84 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
856, 7, 66, 5, 84zrhpsgnodpm 19237 . . . . . . . . . . . 12 pmEven RHom pmSgn
8681, 82, 83, 85syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 pmEven RHom pmSgn
8786oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10 pmEven RHom pmSgnmulGrp g mulGrp g
88 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . 12 pmEven
8988, 49sylan2 482 . . . . . . . . . . 11 pmEven mulGrp g
9012, 8, 66, 84, 81, 89ringnegl 17900 . . . . . . . . . 10 pmEven mulGrp g mulGrp g
9187, 90eqtrd 2505 . . . . . . . . 9 pmEven RHom pmSgnmulGrp g mulGrp g
9291mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8 pmEven RHom pmSgnmulGrp g pmEven mulGrp g
93 eqidd 2472 . . . . . . . . 9 pmEven mulGrp g pmEven mulGrp g
94 ringgrp 17863 . . . . . . . . . . . 12
9516, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11
9612, 84grpinvf 16788 . . . . . . . . . . 11
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . 10
9897feqmptd 5932 . . . . . . . . 9
99 fveq2 5879 . . . . . . . . 9 mulGrp g mulGrp g
10089, 93, 98, 99fmptco 6072 . . . . . . . 8 pmEven mulGrp g pmEven mulGrp g
10192, 100eqtr4d 2508 . . . . . . 7 pmEven RHom pmSgnmulGrp g pmEven mulGrp g
10280, 101syl5eq 2517 . . . . . 6 RHom pmSgnmulGrp g pmEven pmEven mulGrp g
103102oveq2d 6324 . . . . 5 g RHom pmSgnmulGrp g pmEven g pmEven mulGrp g
104 mdetralt.z . . . . . 6
105 ringabl 17888 . . . . . . 7
10616, 105syl 17 . . . . . 6
107 difssd 3550 . . . . . . 7 pmEven
108 ssfi 7810 . . . . . . 7 pmEven pmEven
10924, 107, 108syl2anc 673 . . . . . 6 pmEven
110 eqid 2471 . . . . . 6 pmEven mulGrp g pmEven mulGrp g
11112, 104, 84, 106, 109, 89, 110gsummptfidminv 17658 . . . . 5 g pmEven mulGrp g g pmEven mulGrp g
11289ralrimiva 2809 . . . . . . . 8 pmEvenmulGrp g
113 mdetralt.i . . . . . . . . . . . 12
114 mdetralt.j . . . . . . . . . . . 12
115 prssi 4119 . . . . . . . . . . . 12
116113, 114, 115syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
117 mdetralt.ij . . . . . . . . . . . 12
118 pr2nelem 8453 . . . . . . . . . . . 12
119113, 114, 117, 118syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
120 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 pmTrsp pmTrsp
121 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 pmTrsp pmTrsp
122120, 121pmtrrn 17176 . . . . . . . . . . 11 pmTrsp pmTrsp
12321, 116, 119, 122syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 pmTrsp pmTrsp
12422, 5, 121pmtrodpm 19242 . . . . . . . . . 10 pmTrsp pmTrsp pmTrsp pmEven
12521, 123, 124syl2anc 673 . . . . . . . . 9 pmTrsp pmEven
12622, 5evpmodpmf1o 19241 . . . . . . . . 9 pmTrsp pmEven pmEven pmTrsp pmEven pmEven
12721, 125, 126syl2anc 673 . . . . . . . 8 pmEven pmTrsp pmEven pmEven
12812, 18, 109, 112, 110, 127gsummptfif1o 17678 . . . . . . 7 g pmEven mulGrp g g pmEven mulGrp g pmEven pmTrsp
129 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13 pmEven pmEven
130129anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12 pmEven pmEven
131 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13 pmTrsp pmTrsp
132131eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12 pmTrsp pmEven pmTrsp pmEven
133130, 132imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11 pmEven pmTrsp pmEven pmEven pmTrsp pmEven
13422symggrp 17119 . . . . . . . . . . . . . . 15
13521, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
136135adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 pmEven
137121, 22, 5symgtrf 17188 . . . . . . . . . . . . . 14 pmTrsp
138123adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 pmEven pmTrsp pmTrsp
139137, 138sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13 pmEven pmTrsp
14070adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 pmEven
141 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
1425, 141grpcl 16757 . . . . . . . . . . . . 13 pmTrsp pmTrsp
143136, 139, 140, 142syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 pmEven pmTrsp
144 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrpflds mulGrpflds
14522, 7, 144psgnghm2 19226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmSgn mulGrpflds
14621, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmSgn mulGrpflds
147146adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 pmEven pmSgn mulGrpflds
148 prex 4642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrpfld mulGrpfld
150 cnfldmul 19053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld
151149, 150mgpplusg 17805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrpfld
152144, 151ressplusg 15317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrpflds
153148, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrpflds
1545, 141, 153ghmlin 16966 . . . . . . . . . . . . . 14 pmSgn mulGrpflds pmTrsp pmSgnpmTrsp pmSgnpmTrsp pmSgn
155147, 139, 140, 154syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 pmEven pmSgnpmTrsp pmSgnpmTrsp pmSgn
15622, 121, 7psgnpmtr 17229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmTrsp pmTrsp pmSgnpmTrsp
157138, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmEven pmSgnpmTrsp
15822, 5, 7psgnevpm 19234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmEven pmSgn
15921, 158sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmEven pmSgn
160157, 159oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14 pmEven pmSgnpmTrsp pmSgn
161 neg1cn 10735 . . . . . . . . . . . . . . 15
162161mulid1i 9663 . . . . . . . . . . . . . 14
163160, 162syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13 pmEven pmSgnpmTrsp pmSgn
164155, 163eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12 pmEven pmSgnpmTrsp
16522, 5, 7psgnodpmr 19235 . . . . . . . . . . . 12 pmTrsp pmSgnpmTrsp pmTrsp pmEven
16664, 143, 164, 165syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 pmEven pmTrsp pmEven
167133, 166chvarv 2120 . . . . . . . . . 10 pmEven pmTrsp pmEven
168 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10 pmEven pmTrsp pmEven pmTrsp
169 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13 pmTrsp pmTrsp
170169oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12 pmTrsp pmTrsp
171170mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11 pmTrsp pmTrsp
172171oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10 pmTrsp mulGrp g mulGrp g pmTrsp
173167, 168, 93, 172fmptco 6072 . . . . . . . . 9 pmEven mulGrp g pmEven pmTrsp pmEven mulGrp g pmTrsp
174 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmTrsp pmTrsp
175174fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14 pmTrsp pmTrsp
176175oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13 pmTrsp pmTrsp
177176mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . 12 pmTrsp pmTrsp
178177oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11 mulGrp g pmTrsp mulGrp g pmTrsp
179178cbvmptv 4488 . . . . . . . . . 10 pmEven mulGrp g pmTrsp pmEven mulGrp g pmTrsp
180179a1i 11 . . . . . . . . 9 pmEven mulGrp g pmTrsp pmEven mulGrp g pmTrsp
181139adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmEven pmTrsp
182140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmEven
18322, 5, 141symgov 17109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
184181, 182, 183syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmEven pmTrsp pmTrsp
185184fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmEven pmTrsp pmTrsp
18670, 44sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmEven
187 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmTrsp pmTrsp
188186, 187sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmEven pmTrsp pmTrsp
189185, 188eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14 pmEven pmTrsp pmTrsp
190189oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13 pmEven pmTrsp pmTrsp
191120pmtrprfv 17172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp
19221, 113, 114, 117, 191syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmTrsp
193192ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmEven pmTrsp
194193oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmEven pmTrsp
195 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmEven
196 mdetralt.eq . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
197196ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmEven
198 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
199 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
200198, 199eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
201200rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
202195, 197, 201sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmEven
203194, 202eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmEven pmTrsp
204 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmTrsp pmTrsp
205204oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmTrsp pmTrsp
206 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16
207205, 206eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmTrsp pmTrsp
208203, 207syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . 14 pmEven pmTrsp
209 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
210209fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 pmTrsp pmTrsp
211210fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp pmTrsp
212117necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
213120pmtrprfv 17172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 pmTrsp
21421, 114, 113, 212, 213syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp
215211, 214syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmTrsp
216215oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp
217216ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmEven pmTrsp
218217, 202eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmEven pmTrsp
219 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmTrsp pmTrsp
220219oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmTrsp pmTrsp
221 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
222220, 221eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmTrsp pmTrsp
223218, 222syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmEven pmTrsp
224223a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmEven pmTrsp
225 neanior 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
226 elpri 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
227226orcomd 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
228227con3i 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
229225, 228sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2302293adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmEven
231120pmtrmvd 17175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 pmTrsp
23221, 116, 119, 231syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp
233232ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmEven pmTrsp
2342333ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmEven pmTrsp
235230, 234neleqtrrd 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmEven pmTrsp
236120pmtrf 17174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 pmTrsp
23721, 116, 119, 236syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 pmTrsp
238 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 pmTrsp pmTrsp
239237, 238syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 pmTrsp
240239ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmEven pmTrsp
241186ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmEven
242 fnelnfp 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 pmTrsp pmTrsp pmTrsp
243240, 241, 242syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 pmEven pmTrsp pmTrsp
2442433ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 pmEven pmTrsp pmTrsp
245244necon2bbid 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 pmEven pmTrsp pmTrsp
246235, 245mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pmEven pmTrsp
247246oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pmEven pmTrsp
2482473exp 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15 pmEven pmTrsp
249224, 248pm2.61dne 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 pmEven pmTrsp
250208, 249pm2.61dne 2729 . . . . . . . . . . . . 13 pmEven pmTrsp
251190, 250eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12 pmEven pmTrsp
252251mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . 11 pmEven pmTrsp
253252oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10 pmEven mulGrp g pmTrsp mulGrp g
254253mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9 pmEven mulGrp g pmTrsp pmEven mulGrp g
255173, 180, 2543eqtrd 2509 . . . . . . . 8 pmEven mulGrp g pmEven pmTrsp pmEven mulGrp g
256255oveq2d 6324 . . . . . . 7 g pmEven mulGrp g pmEven pmTrsp g pmEven mulGrp g
257128, 256eqtrd 2505 . . . . . 6 g pmEven mulGrp g g pmEven mulGrp g
258257fveq2d 5883 . . . . 5 g pmEven mulGrp g g pmEven mulGrp g
259103, 111, 2583eqtrd 2509 . . . 4 g RHom pmSgnmulGrp g pmEven g pmEven mulGrp g
26077, 259oveq12d 6326 . . 3 g RHom pmSgnmulGrp g pmEven g RHom pmSgnmulGrp g pmEven g pmEven mulGrp g g pmEven mulGrp g
26154a1i 11 . . . . . 6 pmEven
262 ssfi 7810 . . . . . 6 pmEven pmEven
26324, 261, 262syl2anc 673 . . . . 5 pmEven
26471ralrimiva 2809 . . . . 5 pmEvenmulGrp g
26512, 18, 263, 264gsummptcl 17677 . . . 4 g pmEven mulGrp g
26612, 13, 104, 84grprinv 16791 . . . 4 g pmEven mulGrp g g pmEven mulGrp g g pmEven mulGrp g
26795, 265, 266syl2anc 673 . . 3 g pmEven mulGrp g g pmEven mulGrp g
268260, 267eqtrd 2505 . 2 g RHom pmSgnmulGrp g pmEven g RHom pmSgnmulGrp g pmEven
26911, 60, 2683eqtrd 2509 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cid 4749   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840   cres 4841   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  c2o 7194   cmap 7490   cen 7584  cfn 7587  c1 9558   cmul 9562  cneg 9881  cbs 15199   ↾s cress 15200   cplusg 15268  cmulr 15269  c0g 15416   g cgsu 15417   MndHom cmhm 16658  cgrp 16747  cminusg 16748   cghm 16958  csymg 17096  pmTrspcpmtr 17160  pmSgncpsgn 17208  pmEvencevpm 17209  CMndccmn 17508  cabl 17509  mulGrpcmgp 17801  cur 17813  crg 17858  ccrg 17859  ℂfldccnfld 19047  RHomczrh 19148   Mat cmat 19509   maDet cmdat 19686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-symg 17097  df-pmtr 17161  df-psgn 17210  df-evpm 17211  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mat 19510  df-mdet 19687 This theorem is referenced by:  mdetralt2  19711  mdetuni0  19723  mdetmul  19725
 Copyright terms: Public domain W3C validator