MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetr0 Structured version   Unicode version

Theorem mdetr0 18427
Description: The determinant of a matrix with a row containing only 0's is 0. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetr0.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetr0.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetr0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetr0.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetr0.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetr0.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
mdetr0.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
Assertion
Ref Expression
mdetr0  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X
) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, K, j    i, N, j    i, I, j    .0. , i, j    R, i, j
Allowed substitution hints:    D( i, j)    X( i, j)

Proof of Theorem mdetr0
StepHypRef Expression
1 mdetr0.d . . 3  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 mdetr0.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mdetr0.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
5 mdetr0.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
6 crngrng 16670 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
74, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 mdetr0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
92, 8rng0cl 16681 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
107, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
11103ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  .0.  e.  K )
12 mdetr0.x . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
13 mdetr0.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
141, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 10, 13mdetrsca2 18426 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  (  .0.  ( .r `  R )  .0.  ) ,  X ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( D `
 ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) ) ) )
152, 3, 8rnglz 16696 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  K )  ->  (  .0.  ( .r `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
167, 10, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
1716ifeq1d 3822 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( i  =  I ,  (  .0.  ( .r `  R
)  .0.  ) ,  X )  =  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X
) )
1817mpt2eq3dv 6167 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  (  .0.  ( .r `  R
)  .0.  ) ,  X ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) )
1918fveq2d 5710 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  (  .0.  ( .r `  R )  .0.  ) ,  X ) ) )  =  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) ) )
20 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
21 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
221, 20, 21, 2mdetf 18421 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  D :
( Base `  ( N Mat  R ) ) --> K )
234, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : ( Base `  ( N Mat  R ) ) --> K )
2411, 12ifcld 3847 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  .0.  ,  X )  e.  K )
2520, 2, 21, 5, 4, 24matbas2d 18339 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
2623, 25ffvelrnd 5859 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X
) ) )  e.  K )
272, 3, 8rnglz 16696 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) )  e.  K )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) ) )  =  .0.  )
287, 26, 27syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( .r
`  R ) ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) ) )  =  .0.  )
2914, 19, 283eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X
) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3806   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106    e. cmpt2 6108   Fincfn 7325   Basecbs 14189   .rcmulr 14254   0gc0g 14393   Ringcrg 16660   CRingccrg 16661   Mat cmat 18295   maDet cmdat 18410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-addf 9376  ax-mulf 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-ot 3901  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-tpos 6760  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-rp 11007  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-word 12244  df-concat 12246  df-s1 12247  df-substr 12248  df-splice 12249  df-reverse 12250  df-s2 12490  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-prds 14401  df-pws 14403  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-mhm 15479  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-mulg 15563  df-subg 15693  df-ghm 15760  df-gim 15802  df-cntz 15850  df-oppg 15876  df-symg 15898  df-pmtr 15963  df-psgn 16012  df-cmn 16294  df-abl 16295  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-cring 16663  df-oppr 16730  df-dvdsr 16748  df-unit 16749  df-invr 16779  df-dvr 16790  df-rnghom 16821  df-drng 16849  df-subrg 16878  df-sra 17268  df-rgmod 17269  df-cnfld 17834  df-zring 17899  df-zrh 17950  df-dsmm 18172  df-frlm 18187  df-mat 18297  df-mdet 18411
This theorem is referenced by:  madugsum  18464  mdet0  30952
  Copyright terms: Public domain W3C validator