MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetr0 Structured version   Unicode version

Theorem mdetr0 18976
Description: The determinant of a matrix with a row containing only 0's is 0. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetr0.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetr0.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetr0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetr0.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetr0.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetr0.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
mdetr0.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
Assertion
Ref Expression
mdetr0  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X
) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, K, j    i, N, j    i, I, j    .0. , i, j    R, i, j
Allowed substitution hints:    D( i, j)    X( i, j)

Proof of Theorem mdetr0
StepHypRef Expression
1 mdetr0.d . . 3  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 mdetr0.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mdetr0.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
5 mdetr0.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
6 crngring 17081 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
74, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 mdetr0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
92, 8ring0cl 17092 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
107, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
11103ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  .0.  e.  K )
12 mdetr0.x . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
13 mdetr0.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
141, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 10, 13mdetrsca2 18975 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  (  .0.  ( .r `  R )  .0.  ) ,  X ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( D `
 ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) ) ) )
152, 3, 8ringlz 17107 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  K )  ->  (  .0.  ( .r `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
167, 10, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
1716ifeq1d 3963 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( i  =  I ,  (  .0.  ( .r `  R
)  .0.  ) ,  X )  =  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X
) )
1817mpt2eq3dv 6358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  (  .0.  ( .r `  R
)  .0.  ) ,  X ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) )
1918fveq2d 5876 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  (  .0.  ( .r `  R )  .0.  ) ,  X ) ) )  =  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) ) )
20 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
21 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
221, 20, 21, 2mdetf 18966 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  D :
( Base `  ( N Mat  R ) ) --> K )
234, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : ( Base `  ( N Mat  R ) ) --> K )
2411, 12ifcld 3988 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  .0.  ,  X )  e.  K )
2520, 2, 21, 5, 4, 24matbas2d 18794 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
2623, 25ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X
) ) )  e.  K )
272, 3, 8ringlz 17107 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) )  e.  K )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) ) )  =  .0.  )
287, 26, 27syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( .r
`  R ) ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X ) ) ) )  =  .0.  )
2914, 19, 283eqtr3d 2516 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  .0.  ,  X
) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3945   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Fincfn 7528   Basecbs 14507   .rcmulr 14573   0gc0g 14712   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071   Mat cmat 18778   maDet cmdat 18955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-reverse 12529  df-s2 12793  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-gim 16179  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-symg 16275  df-pmtr 16340  df-psgn 16389  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mat 18779  df-mdet 18956
This theorem is referenced by:  mdet0  18977  madugsum  19014
  Copyright terms: Public domain W3C validator