Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetpmtr12 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mdetpmtr12 28725
 Description: The determinant of a matrix with permuted rows and columns is the determinant of the original matrix multiplied by the product of the signs of the permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a Mat
mdetpmtr.b
mdetpmtr.g
mdetpmtr.s pmSgn
mdetpmtr.z RHom
mdetpmtr.t
mdetpmtr12.e
mdetmptr12.r
mdetmptr12.n
mdetmptr12.m
mdetmptr12.p
mdetmptr12.q
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr12
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mdetpmtr12
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetmptr12.r . . 3
2 mdetmptr12.n . . 3
3 mdetmptr12.m . . 3
4 mdetmptr12.p . . 3
5 mdetpmtr.a . . . 4 Mat
6 mdetpmtr.b . . . 4
7 mdetpmtr.d . . . 4 maDet
8 mdetpmtr.g . . . 4
9 mdetpmtr.s . . . 4 pmSgn
10 mdetpmtr.z . . . 4 RHom
11 mdetpmtr.t . . . 4
12 fveq2 5879 . . . . . 6
1312oveq1d 6323 . . . . 5
14 oveq2 6316 . . . . 5
1513, 14cbvmpt2v 6390 . . . 4
165, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15mdetpmtr1 28723 . . 3
171, 2, 3, 4, 16syl22anc 1293 . 2
18 eqid 2471 . . . . . 6
1943ad2ant1 1051 . . . . . . . 8
20 simp2 1031 . . . . . . . 8
21 eqid 2471 . . . . . . . . 9
2221, 8symgfv 17106 . . . . . . . 8
2319, 20, 22syl2anc 673 . . . . . . 7
24 simp3 1032 . . . . . . 7
2533ad2ant1 1051 . . . . . . 7
265, 18, 6, 23, 24, 25matecld 19528 . . . . . 6
275, 18, 6, 2, 1, 26matbas2d 19525 . . . . 5
28 mdetmptr12.q . . . . 5
29 eqid 2471 . . . . . 6
305, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 29mdetpmtr2 28724 . . . . 5
311, 2, 27, 28, 30syl22anc 1293 . . . 4
32 eqidd 2472 . . . . 5
33 simp2 1031 . . . . . . . . 9
34283ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10
35 simp3 1032 . . . . . . . . . 10
3621, 8symgfv 17106 . . . . . . . . . 10
3734, 35, 36syl2anc 673 . . . . . . . . 9
38 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
39 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
40 ovex 6336 . . . . . . . . . 10
4113, 38, 39, 40ovmpt2 6451 . . . . . . . . 9
4233, 37, 41syl2anc 673 . . . . . . . 8
4342mpt2eq3dva 6374 . . . . . . 7
44 mdetpmtr12.e . . . . . . 7
4543, 44syl6reqr 2524 . . . . . 6
4645fveq2d 5883 . . . . 5
4732, 46oveq12d 6326 . . . 4
4831, 47eqtr4d 2508 . . 3
4948oveq2d 6324 . 2
50 crngring 17869 . . . . 5
511, 50syl 17 . . . 4
528, 9, 10zrhcopsgnelbas 19240 . . . . 5
5351, 2, 4, 52syl3anc 1292 . . . 4
548, 9, 10zrhcopsgnelbas 19240 . . . . 5
5551, 2, 28, 54syl3anc 1292 . . . 4
5643ad2ant1 1051 . . . . . . . . 9
5721, 8symgfv 17106 . . . . . . . . 9
5856, 33, 57syl2anc 673 . . . . . . . 8
5933ad2ant1 1051 . . . . . . . 8
605, 18, 6, 58, 37, 59matecld 19528 . . . . . . 7
615, 18, 6, 2, 1, 60matbas2d 19525 . . . . . 6
6244, 61syl5eqel 2553 . . . . 5
637, 5, 6, 18mdetcl 19698 . . . . 5
641, 62, 63syl2anc 673 . . . 4
6518, 11ringass 17875 . . . 4
6651, 53, 55, 64, 65syl13anc 1294 . . 3
678, 10, 9zrhcofipsgn 19238 . . . . . . 7
682, 4, 67syl2anc 673 . . . . . 6
698, 10, 9zrhcofipsgn 19238 . . . . . . 7
702, 28, 69syl2anc 673 . . . . . 6
7168, 70oveq12d 6326 . . . . 5
7210zrhrhm 19160 . . . . . . 7 ring RingHom
7351, 72syl 17 . . . . . 6 ring RingHom
74 1z 10991 . . . . . . . 8
75 neg1z 10997 . . . . . . . 8
76 prssi 4119 . . . . . . . 8
7774, 75, 76mp2an 686 . . . . . . 7
788, 9psgnran 17234 . . . . . . . 8
792, 4, 78syl2anc 673 . . . . . . 7
8077, 79sseldi 3416 . . . . . 6
818, 9psgnran 17234 . . . . . . . 8
822, 28, 81syl2anc 673 . . . . . . 7
8377, 82sseldi 3416 . . . . . 6
84 zringbas 19122 . . . . . . 7 ring
85 zringmulr 19125 . . . . . . 7 ring
8684, 85, 11rhmmul 18033 . . . . . 6 ring RingHom
8773, 80, 83, 86syl3anc 1292 . . . . 5
8871, 87eqtr4d 2508 . . . 4
8988oveq1d 6323 . . 3
9066, 89eqtr3d 2507 . 2
9117, 49, 903eqtrd 2509 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wss 3390  cpr 3961   ccom 4843  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cfn 7587  c1 9558   cmul 9562  cneg 9881  cz 10961  cbs 15199  cmulr 15269  csymg 17096  pmSgncpsgn 17208  crg 17858  ccrg 17859   RingHom crh 18018  ℤringzring 19116  RHomczrh 19148   Mat cmat 19509   maDet cmdat 19686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-symg 17097  df-pmtr 17161  df-psgn 17210  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mat 19510  df-mdet 19687 This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  28727
 Copyright terms: Public domain W3C validator