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Theorem mdetleib2 18512
Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetfval.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetfval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetfval.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
mdetfval.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
mdetfval.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
mdetfval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetfval.u  |-  U  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
mdetleib2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, p, M    N, p, x    R, p, x    B, p, x    P, p, x    S, p    U, p    Y, p    .x. , p
Allowed substitution hints:    A( x, p)    D( x, p)    S( x)    .x. (
x)    U( x)    Y( x)

Proof of Theorem mdetleib2
Dummy variables  y 
q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetfval.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 mdetfval.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 mdetfval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 mdetfval.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
5 mdetfval.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
6 mdetfval.s . . . 4  |-  S  =  (pmSgn `  N )
7 mdetfval.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
8 mdetfval.u . . . 4  |-  U  =  (mulGrp `  R )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib 18511 . . 3  |-  ( M  e.  B  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) ) ) )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) ) ) )
11 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
12 crngrng 16763 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
13 rngcmn 16783 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e. CMnd )
1514adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e. CMnd )
162, 3matrcl 18423 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1716adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1817simpld 459 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
19 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
2019, 4symgbasfi 15995 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  P  e.  Fin )
2118, 20syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  P  e.  Fin )
2212ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  R  e.  Ring )
2312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
245, 6coeq12i 5103 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  o.  S )  =  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )
25 zrhpsgnmhm 18125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
2624, 25syl5eqel 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( Y  o.  S )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
2723, 18, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( Y  o.  S )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
28 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2928, 11mgpbas 16704 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
304, 29mhmf 15573 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  o.  S )  e.  ( ( SymGrp `  N ) MndHom  (mulGrp `  R ) )  -> 
( Y  o.  S
) : P --> ( Base `  R ) )
3127, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( Y  o.  S ) : P --> ( Base `  R
) )
3231ffvelrnda 5944 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  q )  e.  (
Base `  R )
)
338, 11mgpbas 16704 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  U )
348crngmgp 16761 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  U  e. CMnd )
3534ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  U  e. CMnd )
3618adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  N  e.  Fin )
37 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  B )
382, 11, 3matbas2i 18434 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
39 elmapi 7336 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  q  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
4219, 4symgbasf1o 15992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  P  ->  q : N -1-1-onto-> N )
4342adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  q : N
-1-1-onto-> N )
44 f1of 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( q : N -1-1-onto-> N  ->  q : N
--> N )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  q : N
--> N )
4645ffvelrnda 5944 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  q  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
q `  y )  e.  N )
47 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  q  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
4841, 46, 47fovrnd 6337 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  q  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( q `  y
) M y )  e.  ( Base `  R
) )
4948ralrimiva 2822 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  A. y  e.  N  ( (
q `  y ) M y )  e.  ( Base `  R
) )
5033, 35, 36, 49gsummptcl 16565 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y
) M y ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5111, 7rngcl 16766 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( Y  o.  S
) `  q )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y
) M y ) ) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
5222, 32, 50, 51syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
5352ralrimiva 2822 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  A. q  e.  P  ( (
( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
54 eqid 2451 . . 3  |-  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )  =  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )
55 eqid 2451 . . . 4  |-  ( invg `  ( SymGrp `  N ) )  =  ( invg `  ( SymGrp `  N )
)
5619symggrp 16009 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( SymGrp `
 N )  e. 
Grp )
5718, 56syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( SymGrp `
 N )  e. 
Grp )
584, 55, 57grpinvf1o 15700 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) : P -1-1-onto-> P )
5911, 15, 21, 53, 54, 58gsummptfif1o 16566 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )  o.  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) ) ) )
60 f1of 5741 . . . . . . 7  |-  ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) : P -1-1-onto-> P  ->  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) : P --> P )
6158, 60syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) : P --> P )
6261ffvelrnda 5944 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  e.  P
)
6361feqmptd 5845 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( invg `  ( SymGrp `  N ) )  =  ( p  e.  P  |->  ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
) )
64 eqidd 2452 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  q
)  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y
) M y ) ) ) ) )  =  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) ) )
65 fveq2 5791 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  (
( Y  o.  S
) `  q )  =  ( ( Y  o.  S ) `  ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
) )
66 fveq1 5790 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  (
q `  y )  =  ( ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) `
 p ) `  y ) )
6766oveq1d 6207 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  (
( q `  y
) M y )  =  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y ) )
6867mpteq2dv 4479 . . . . . . 7  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  (
y  e.  N  |->  ( ( q `  y
) M y ) )  =  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y ) ) )
6968oveq2d 6208 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) )  =  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) `
 p ) `  y ) M y ) ) ) )
7065, 69oveq12d 6210 . . . . 5  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  (
( ( Y  o.  S ) `  q
)  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y
) M y ) ) ) )  =  ( ( ( Y  o.  S ) `  ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
)  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) ) ) ) )
7162, 63, 64, 70fmptco 5977 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )  o.  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) )  =  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) `
 p ) `  y ) M y ) ) ) ) ) )
7219, 4, 55symginv 16011 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  P  ->  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )  =  `' p )
7372adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  =  `' p )
7473fveq2d 5795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
)  =  ( ( Y  o.  S ) `
 `' p ) )
7512ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  R  e.  Ring )
7618adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  N  e.  Fin )
77 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  p  e.  P )
784, 5, 6zrhpsgninv 18126 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  p  e.  P )  ->  (
( Y  o.  S
) `  `' p
)  =  ( ( Y  o.  S ) `
 p ) )
7975, 76, 77, 78syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  `' p )  =  ( ( Y  o.  S
) `  p )
)
8074, 79eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
)  =  ( ( Y  o.  S ) `
 p ) )
81 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
8234ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  U  e. CMnd )
8340ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
8472ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )  =  `' p )
8584fveq1d 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y )  =  ( `' p `  y ) )
8619, 4symgbasf1o 15992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  P  ->  p : N -1-1-onto-> N )
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  p : N
-1-1-onto-> N )
88 f1ocnv 5753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  `' p : N -1-1-onto-> N )
89 f1of 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' p : N -1-1-onto-> N  ->  `' p : N --> N )
9087, 88, 893syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  `' p : N --> N )
9190ffvelrnda 5944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  ( `' p `  y )  e.  N )
9285, 91eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y )  e.  N
)
93 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
9483, 92, 93fovrnd 6337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y )  e.  ( Base `  R
) )
9594, 33syl6eleq 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y )  e.  ( Base `  U
) )
9695ralrimiva 2822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  A. y  e.  N  ( (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y )  e.  ( Base `  U ) )
97 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y ) )  =  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) )
9881, 82, 76, 96, 97, 87gsummptfif1o 16566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) ) )  =  ( U  gsumg  ( ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y ) )  o.  p
) ) )
99 f1of 5741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
10087, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  p : N
--> N )
101100ffvelrnda 5944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  (
p `  x )  e.  N )
102100feqmptd 5845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  p  =  ( x  e.  N  |->  ( p `  x
) ) )
103 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y ) )  =  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) ) )
104 fveq2 5791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( p `  x )  ->  (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y )  =  ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) ) )
105 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( p `  x )  ->  y  =  ( p `  x ) )
106104, 105oveq12d 6210 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( p `  x )  ->  (
( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y )  =  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) ) M ( p `  x ) ) )
107101, 102, 103, 106fmptco 5977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( (
y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) )  o.  p )  =  ( x  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) ) M ( p `  x ) ) ) )
10872ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )  =  `' p )
109108fveq1d 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) )  =  ( `' p `  ( p `
 x ) ) )
110 f1ocnvfv1 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  x  e.  N )  ->  ( `' p `  ( p `  x
) )  =  x )
11187, 110sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  ( `' p `  ( p `
 x ) )  =  x )
112109, 111eqtrd 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) )  =  x )
113112oveq1d 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  (
( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  (
p `  x )
) M ( p `
 x ) )  =  ( x M ( p `  x
) ) )
114113mpteq2dva 4478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( x  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) ) M ( p `  x ) ) )  =  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `
 x ) ) ) )
115107, 114eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( (
y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) )  o.  p )  =  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x
) ) ) )
116115oveq2d 6208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( U  gsumg  ( ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) `
 p ) `  y ) M y ) )  o.  p
) )  =  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) )
11798, 116eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) ) )  =  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) )
11880, 117oveq12d 6210 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) `
 p ) `  y ) M y ) ) ) )  =  ( ( ( Y  o.  S ) `
 p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) )
119118mpteq2dva 4478 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
)  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) ) ) ) )  =  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) )
12071, 119eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )  o.  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) )  =  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) )
121120oveq2d 6208 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )  o.  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) ) )
12210, 59, 1213eqtrd 2496 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    |-> cmpt 4450    X. cxp 4938   `'ccnv 4939    o. ccom 4944   -->wf 5514   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    ^m cmap 7316   Fincfn 7412   Basecbs 14278   .rcmulr 14343    gsumg cgsu 14483   Grpcgrp 15514   invgcminusg 15515   MndHom cmhm 15566   SymGrpcsymg 15986  pmSgncpsgn 16099  CMndccmn 16383  mulGrpcmgp 16698   Ringcrg 16753   CRingccrg 16754   ZRHomczrh 18042   Mat cmat 18391   maDet cmdat 18508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-tpos 6847  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-word 12333  df-concat 12335  df-s1 12336  df-substr 12337  df-splice 12338  df-reverse 12339  df-s2 12579  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-prds 14490  df-pws 14492  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-mulg 15652  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-gim 15891  df-cntz 15939  df-oppg 15965  df-symg 15987  df-pmtr 16052  df-psgn 16101  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-cring 16756  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-dvr 16883  df-rnghom 16914  df-drng 16942  df-subrg 16971  df-sra 17361  df-rgmod 17362  df-cnfld 17930  df-zring 17995  df-zrh 18046  df-dsmm 18268  df-frlm 18283  df-mat 18393  df-mdet 18509
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