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Theorem mdetleib2 18959
Description: Leibniz' formula can also be expanded by rows. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetfval.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetfval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetfval.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
mdetfval.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
mdetfval.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
mdetfval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetfval.u  |-  U  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
mdetleib2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, p, M    N, p, x    R, p, x    B, p, x    P, p, x    S, p    U, p    Y, p    .x. , p
Allowed substitution hints:    A( x, p)    D( x, p)    S( x)    .x. (
x)    U( x)    Y( x)

Proof of Theorem mdetleib2
Dummy variables  y 
q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetfval.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 mdetfval.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 mdetfval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 mdetfval.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
5 mdetfval.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
6 mdetfval.s . . . 4  |-  S  =  (pmSgn `  N )
7 mdetfval.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
8 mdetfval.u . . . 4  |-  U  =  (mulGrp `  R )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib 18958 . . 3  |-  ( M  e.  B  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) ) ) )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) ) ) )
11 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
12 crngring 17081 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
13 ringcmn 17101 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e. CMnd )
1514adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e. CMnd )
162, 3matrcl 18783 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1716adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1817simpld 459 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
19 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
2019, 4symgbasfi 16283 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  P  e.  Fin )
2118, 20syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  P  e.  Fin )
2212ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  R  e.  Ring )
2312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
245, 6coeq12i 5172 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  o.  S )  =  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )
25 zrhpsgnmhm 18489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
2624, 25syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  ( Y  o.  S )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
2723, 18, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( Y  o.  S )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
28 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2928, 11mgpbas 17019 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
304, 29mhmf 15844 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  o.  S )  e.  ( ( SymGrp `  N ) MndHom  (mulGrp `  R ) )  -> 
( Y  o.  S
) : P --> ( Base `  R ) )
3127, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( Y  o.  S ) : P --> ( Base `  R
) )
3231ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  q )  e.  (
Base `  R )
)
338, 11mgpbas 17019 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  U )
348crngmgp 17078 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  U  e. CMnd )
3534ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  U  e. CMnd )
3618adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  N  e.  Fin )
37 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  B )
382, 11, 3matbas2i 18793 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
39 elmapi 7452 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  q  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
4219, 4symgbasf1o 16280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  P  ->  q : N -1-1-onto-> N )
4342adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  q : N
-1-1-onto-> N )
44 f1of 5822 . . . . . . . . . 10  |-  ( q : N -1-1-onto-> N  ->  q : N
--> N )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  q : N
--> N )
4645ffvelrnda 6032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  q  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
q `  y )  e.  N )
47 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  q  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
4841, 46, 47fovrnd 6442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  q  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( q `  y
) M y )  e.  ( Base `  R
) )
4948ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  A. y  e.  N  ( (
q `  y ) M y )  e.  ( Base `  R
) )
5033, 35, 36, 49gsummptcl 16867 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y
) M y ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5111, 7ringcl 17084 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( Y  o.  S
) `  q )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y
) M y ) ) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
5222, 32, 50, 51syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  q  e.  P
)  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
5352ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  A. q  e.  P  ( (
( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
54 eqid 2467 . . 3  |-  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )  =  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )
55 eqid 2467 . . . 4  |-  ( invg `  ( SymGrp `  N ) )  =  ( invg `  ( SymGrp `  N )
)
5619symggrp 16297 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( SymGrp `
 N )  e. 
Grp )
5718, 56syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( SymGrp `
 N )  e. 
Grp )
584, 55, 57grpinvf1o 15980 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) : P -1-1-onto-> P )
5911, 15, 21, 53, 54, 58gsummptfif1o 16868 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )  o.  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) ) ) )
60 f1of 5822 . . . . . . 7  |-  ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) : P -1-1-onto-> P  ->  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) : P --> P )
6158, 60syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) : P --> P )
6261ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  e.  P
)
6361feqmptd 5927 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( invg `  ( SymGrp `  N ) )  =  ( p  e.  P  |->  ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
) )
64 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  q
)  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y
) M y ) ) ) ) )  =  ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) ) )
65 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  (
( Y  o.  S
) `  q )  =  ( ( Y  o.  S ) `  ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
) )
66 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  (
q `  y )  =  ( ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) `
 p ) `  y ) )
6766oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  (
( q `  y
) M y )  =  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y ) )
6867mpteq2dv 4540 . . . . . . 7  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  (
y  e.  N  |->  ( ( q `  y
) M y ) )  =  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y ) ) )
6968oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) )  =  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) `
 p ) `  y ) M y ) ) ) )
7065, 69oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( q  =  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  ->  (
( ( Y  o.  S ) `  q
)  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y
) M y ) ) ) )  =  ( ( ( Y  o.  S ) `  ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
)  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) ) ) ) )
7162, 63, 64, 70fmptco 6065 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )  o.  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) )  =  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) `
 p ) `  y ) M y ) ) ) ) ) )
7219, 4, 55symginv 16299 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  P  ->  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )  =  `' p )
7372adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p )  =  `' p )
7473fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
)  =  ( ( Y  o.  S ) `
 `' p ) )
7512ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  R  e.  Ring )
7618adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  N  e.  Fin )
77 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  p  e.  P )
784, 5, 6zrhpsgninv 18490 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  p  e.  P )  ->  (
( Y  o.  S
) `  `' p
)  =  ( ( Y  o.  S ) `
 p ) )
7975, 76, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  `' p )  =  ( ( Y  o.  S
) `  p )
)
8074, 79eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( ( Y  o.  S ) `  ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
)  =  ( ( Y  o.  S ) `
 p ) )
81 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
8234ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  U  e. CMnd )
8340ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
8472ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )  =  `' p )
8584fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y )  =  ( `' p `  y ) )
8619, 4symgbasf1o 16280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  P  ->  p : N -1-1-onto-> N )
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  p : N
-1-1-onto-> N )
88 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  `' p : N -1-1-onto-> N )
89 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' p : N -1-1-onto-> N  ->  `' p : N --> N )
9087, 88, 893syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  `' p : N --> N )
9190ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  ( `' p `  y )  e.  N )
9285, 91eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y )  e.  N
)
93 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  y  e.  N )
9483, 92, 93fovrnd 6442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y )  e.  ( Base `  R
) )
9594, 33syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  y  e.  N )  ->  (
( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y )  e.  ( Base `  U
) )
9695ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  A. y  e.  N  ( (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y )  e.  ( Base `  U ) )
97 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y ) )  =  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) )
9881, 82, 76, 96, 97, 87gsummptfif1o 16868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) ) )  =  ( U  gsumg  ( ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y ) )  o.  p
) ) )
99 f1of 5822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
10087, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  p : N
--> N )
101100ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  (
p `  x )  e.  N )
102100feqmptd 5927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  p  =  ( x  e.  N  |->  ( p `  x
) ) )
103 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y ) M y ) )  =  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) ) )
104 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( p `  x )  ->  (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  y )  =  ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) ) )
105 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( p `  x )  ->  y  =  ( p `  x ) )
106104, 105oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( p `  x )  ->  (
( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y )  =  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) ) M ( p `  x ) ) )
107101, 102, 103, 106fmptco 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( (
y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) )  o.  p )  =  ( x  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) ) M ( p `  x ) ) ) )
10872ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )  =  `' p )
109108fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) )  =  ( `' p `  ( p `
 x ) ) )
110 f1ocnvfv1 6181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  x  e.  N )  ->  ( `' p `  ( p `  x
) )  =  x )
11187, 110sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  ( `' p `  ( p `
 x ) )  =  x )
112109, 111eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  (
( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) )  =  x )
113112oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  M  e.  B
)  /\  p  e.  P )  /\  x  e.  N )  ->  (
( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  (
p `  x )
) M ( p `
 x ) )  =  ( x M ( p `  x
) ) )
114113mpteq2dva 4539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( x  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p ) `  ( p `  x
) ) M ( p `  x ) ) )  =  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `
 x ) ) ) )
115107, 114eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( (
y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) )  o.  p )  =  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x
) ) ) )
116115oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( U  gsumg  ( ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) `
 p ) `  y ) M y ) )  o.  p
) )  =  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) )
11798, 116eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) ) )  =  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) )
11880, 117oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  p  e.  P
)  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `
 N ) ) `
 p ) `  y ) M y ) ) ) )  =  ( ( ( Y  o.  S ) `
 p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) )
119118mpteq2dva 4539 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  (
( invg `  ( SymGrp `  N )
) `  p )
)  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( ( ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) `  p ) `  y
) M y ) ) ) ) )  =  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) )
12071, 119eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )  o.  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) )  =  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) )
121120oveq2d 6311 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( ( q  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 q )  .x.  ( U  gsumg  ( y  e.  N  |->  ( ( q `  y ) M y ) ) ) ) )  o.  ( invg `  ( SymGrp `  N ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) ) )
12210, 59, 1213eqtrd 2512 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( x M ( p `  x ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   `'ccnv 5004    o. ccom 5009   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   Basecbs 14507   .rcmulr 14573    gsumg cgsu 14713   MndHom cmhm 15837   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926   SymGrpcsymg 16274  pmSgncpsgn 16387  CMndccmn 16671  mulGrpcmgp 17013   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071   ZRHomczrh 18406   Mat cmat 18778   maDet cmdat 18955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-reverse 12529  df-s2 12793  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-gim 16179  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-symg 16275  df-pmtr 16340  df-psgn 16389  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mat 18779  df-mdet 18956
This theorem is referenced by:  mdetrlin  18973  mdetrsca  18974  mdettpos  18982  smadiadet  19041
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