Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetleib Structured version   Unicode version

Theorem mdetleib 18526
 Description: Full substitution of our determinant definition (also known as Leibniz' Formula, expanding by columns). Proposition 4.6 in [Lang] p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2015.) (Revised by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval.a Mat
mdetfval.b
mdetfval.p
mdetfval.y RHom
mdetfval.s pmSgn
mdetfval.t
mdetfval.u mulGrp
Assertion
Ref Expression
mdetleib g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mdetleib
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq 6207 . . . . . . 7
21mpteq2dv 4488 . . . . . 6
32oveq2d 6217 . . . . 5 g g
43oveq2d 6217 . . . 4 g g
54mpteq2dv 4488 . . 3 g g
65oveq2d 6217 . 2 g g g g
7 mdetfval.d . . 3 maDet
8 mdetfval.a . . 3 Mat
9 mdetfval.b . . 3
10 mdetfval.p . . 3
11 mdetfval.y . . 3 RHom
12 mdetfval.s . . 3 pmSgn
13 mdetfval.t . . 3
14 mdetfval.u . . 3 mulGrp
157, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14mdetfval 18525 . 2 g g
16 ovex 6226 . 2 g g
176, 15, 16fvmpt 5884 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1370   wcel 1758   cmpt 4459   ccom 4953  cfv 5527  (class class class)co 6201  cbs 14293  cmulr 14359   g cgsu 14499  csymg 16002  pmSgncpsgn 16115  mulGrpcmgp 16714  RHomczrh 18057   Mat cmat 18406   maDet cmdat 18523 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-slot 14297  df-base 14298  df-mat 18408  df-mdet 18524 This theorem is referenced by:  mdetleib2  18527  m1detdiag  18536  mdetdiag  18538  mdetralt  18547  mdettpos  18550  cpmatval2  31319
 Copyright terms: Public domain W3C validator