MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetfval1 Structured version   Unicode version

Theorem mdetfval1 18529
Description: First substitution of an alternative determinant definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Sep-2015.) (Revised by AV, 27-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval1.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetfval1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetfval1.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetfval1.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
mdetfval1.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
mdetfval1.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
mdetfval1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetfval1.u  |-  U  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
mdetfval1  |-  D  =  ( m  e.  B  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `  p ) )  .x.  ( U 
gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, p, B    x, m, N, p    P, m, p    R, m, p, x    S, m    U, m    m, Y    .x. , m
Allowed substitution hints:    A( x, m, p)    B( x)    D( x, m, p)    P( x)    S( x, p)    .x. ( x, p)    U( x, p)    Y( x, p)

Proof of Theorem mdetfval1
StepHypRef Expression
1 mdetfval1.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 mdetfval1.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 mdetfval1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 mdetfval1.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
5 mdetfval1.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
6 mdetfval1.s . . . 4  |-  S  =  (pmSgn `  N )
7 mdetfval1.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
8 mdetfval1.u . . . 4  |-  U  =  (mulGrp `  R )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetfval 18525 . . 3  |-  D  =  ( m  e.  B  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) )
104, 5, 6zrhcofipsgn 18149 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  p  e.  P )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  p
)  =  ( Y `
 ( S `  p ) ) )
1110oveq1d 6216 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  p  e.  P )  ->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) )  =  ( ( Y `
 ( S `  p ) )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) )
1211mpteq2dva 4487 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  (
p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p
)  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x
) m x ) ) ) ) )  =  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `
 ( S `  p ) )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) )
1312oveq2d 6217 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `  p ) )  .x.  ( U 
gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) )
1413mpteq2dv 4488 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  (
m  e.  B  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) )  =  ( m  e.  B  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `  p ) )  .x.  ( U 
gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) ) )
159, 14syl5eq 2507 . 2  |-  ( N  e.  Fin  ->  D  =  ( m  e.  B  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `
 p ) ) 
.x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) ) )
16 df-nel 2651 . . 3  |-  ( N  e/  Fin  <->  -.  N  e.  Fin )
171nfimdetndef 18528 . . . 4  |-  ( N  e/  Fin  ->  D  =  (/) )
182fveq2i 5803 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  ( N Mat  R ) )
193, 18eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
2016biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e/  Fin  ->  -.  N  e.  Fin )
2120intnanrd 908 . . . . . . . 8  |-  ( N  e/  Fin  ->  -.  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
22 matbas0 18413 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  (/) )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e/  Fin  ->  ( Base `  ( N Mat  R
) )  =  (/) )
2419, 23syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( N  e/  Fin  ->  B  =  (/) )
2524mpteq1d 4482 . . . . 5  |-  ( N  e/  Fin  ->  (
m  e.  B  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `  p ) )  .x.  ( U 
gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) )  =  ( m  e.  (/)  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `  p ) )  .x.  ( U 
gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) ) )
26 mpt0 5647 . . . . 5  |-  ( m  e.  (/)  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `
 p ) ) 
.x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) )  =  (/)
2725, 26syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( N  e/  Fin  ->  (
m  e.  B  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `  p ) )  .x.  ( U 
gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) )  =  (/) )
2817, 27eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( N  e/  Fin  ->  D  =  ( m  e.  B  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `
 p ) ) 
.x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) ) )
2916, 28sylbir 213 . 2  |-  ( -.  N  e.  Fin  ->  D  =  ( m  e.  B  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `
 p ) ) 
.x.  ( U  gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) ) )
3015, 29pm2.61i 164 1  |-  D  =  ( m  e.  B  |->  ( R  gsumg  ( p  e.  P  |->  ( ( Y `  ( S `  p ) )  .x.  ( U 
gsumg  ( x  e.  N  |->  ( ( p `  x ) m x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    e/ wnel 2649   _Vcvv 3078   (/)c0 3746    |-> cmpt 4459    o. ccom 4953   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   Basecbs 14293   .rcmulr 14359    gsumg cgsu 14499   SymGrpcsymg 16002  pmSgncpsgn 16115  mulGrpcmgp 16714   ZRHomczrh 18057   Mat cmat 18406   maDet cmdat 18523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-word 12348  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-plusg 14371  df-tset 14377  df-symg 16003  df-psgn 16117  df-mat 18408  df-mdet 18524
This theorem is referenced by:  mdetleib1  18530
  Copyright terms: Public domain W3C validator