MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetero Structured version   Unicode version

Theorem mdetero 19566
Description: The determinant function is multilinear (additive and homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetero.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetero.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetero.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetero.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetero.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetero.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetero.x  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
mdetero.y  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  K )
mdetero.z  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Z  e.  K )
mdetero.w  |-  ( ph  ->  W  e.  K )
mdetero.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetero.j  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
mdetero.ij  |-  ( ph  ->  I  =/=  J )
Assertion
Ref Expression
mdetero  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  ( W  .x.  Y ) ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
) ) )  =  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, K, j    i, N, j    i, I, j   
i, J, j    i, X    i, Y    i, W, j    .x. , i, j    .+ , i,
j
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( j)    Y( j)    Z( i, j)

Proof of Theorem mdetero
StepHypRef Expression
1 mdetero.d . . 3  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 mdetero.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 mdetero.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 mdetero.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
5 mdetero.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
6 mdetero.x . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
763adant2 1024 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
8 crngring 17726 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
94, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1093ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
11 mdetero.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  K )
12113ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  W  e.  K )
13 mdetero.y . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  K )
14133adant2 1024 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
15 mdetero.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
162, 15ringcl 17729 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  W  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( W  .x.  Y )  e.  K )
1710, 12, 14, 16syl3anc 1264 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( W  .x.  Y )  e.  K
)
18 mdetero.z . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Z  e.  K )
1914, 18ifcld 3958 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  J ,  Y ,  Z )  e.  K )
20 mdetero.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
211, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 19, 20mdetrlin2 19563 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  ( W  .x.  Y ) ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
) ) )  =  ( ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( W 
.x.  Y ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z ) ) ) ) ) )
221, 2, 15, 4, 5, 14, 19, 11, 20mdetrsca2 19560 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( W  .x.  Y ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) )  =  ( W  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
) ) ) ) )
23 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
24 mdetero.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
25 mdetero.ij . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  =/=  J )
261, 2, 23, 4, 5, 13, 18, 20, 24, 25mdetralt2 19565 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
2726oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z ) ) ) ) )  =  ( W  .x.  ( 0g
`  R ) ) )
282, 15, 23ringrz 17753 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  W  e.  K )  ->  ( W  .x.  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
299, 11, 28syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  .x.  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
3022, 27, 293eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( W  .x.  Y ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
3130oveq2d 6321 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( W 
.x.  Y ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z ) ) ) ) )  =  ( ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) 
.+  ( 0g `  R ) ) )
32 ringgrp 17720 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
339, 32syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
34 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
35 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
361, 34, 35, 2mdetf 19551 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  D :
( Base `  ( N Mat  R ) ) --> K )
374, 36syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : ( Base `  ( N Mat  R ) ) --> K )
387, 19ifcld 3958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
)  e.  K )
3934, 2, 35, 5, 4, 38matbas2d 19379 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
4037, 39ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) )  e.  K )
412, 3, 23grprid 16648 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
) ) )  e.  K )  ->  (
( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) 
.+  ( 0g `  R ) )  =  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) )
4233, 40, 41syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) 
.+  ( 0g `  R ) )  =  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) )
4321, 31, 423eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  ( W  .x.  Y ) ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
) ) )  =  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   ifcif 3915   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   Fincfn 7577   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   Ringcrg 17715   CRingccrg 17716   Mat cmat 19363   maDet cmdat 19540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-xor 1401  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-word 12651  df-lsw 12652  df-concat 12653  df-s1 12654  df-substr 12655  df-splice 12656  df-reverse 12657  df-s2 12929  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-gim 16874  df-cntz 16922  df-oppg 16948  df-symg 16970  df-pmtr 17034  df-psgn 17083  df-evpm 17084  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zrh 19006  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mat 19364  df-mdet 19541
This theorem is referenced by:  maducoeval2  19596
  Copyright terms: Public domain W3C validator