MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetero Structured version   Unicode version

Theorem mdetero 18907
Description: The determinant function is multilinear (additive and homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetero.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetero.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdetero.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mdetero.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mdetero.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mdetero.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mdetero.x  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
mdetero.y  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  K )
mdetero.z  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Z  e.  K )
mdetero.w  |-  ( ph  ->  W  e.  K )
mdetero.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mdetero.j  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
mdetero.ij  |-  ( ph  ->  I  =/=  J )
Assertion
Ref Expression
mdetero  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  ( W  .x.  Y ) ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
) ) )  =  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, K, j    i, N, j    i, I, j   
i, J, j    i, X    i, Y    i, W, j    .x. , i, j    .+ , i,
j
Allowed substitution hints:    D( i, j)    R( i, j)    X( j)    Y( j)    Z( i, j)

Proof of Theorem mdetero
StepHypRef Expression
1 mdetero.d . . 3  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 mdetero.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 mdetero.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 mdetero.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
5 mdetero.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
6 mdetero.x . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  K )
763adant2 1015 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  X  e.  K )
8 crngrng 17010 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
94, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1093ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  R  e.  Ring )
11 mdetero.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  K )
12113ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  W  e.  K )
13 mdetero.y . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  K )
14133adant2 1015 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Y  e.  K )
15 mdetero.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
162, 15rngcl 17013 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  W  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( W  .x.  Y )  e.  K )
1710, 12, 14, 16syl3anc 1228 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( W  .x.  Y )  e.  K
)
18 mdetero.z . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  Z  e.  K )
1914, 18ifcld 3982 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  J ,  Y ,  Z )  e.  K )
20 mdetero.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
211, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 19, 20mdetrlin2 18904 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  ( W  .x.  Y ) ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
) ) )  =  ( ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( W 
.x.  Y ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z ) ) ) ) ) )
221, 2, 15, 4, 5, 14, 19, 11, 20mdetrsca2 18901 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( W  .x.  Y ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) )  =  ( W  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
) ) ) ) )
23 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
24 mdetero.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
25 mdetero.ij . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  =/=  J )
261, 2, 23, 4, 5, 13, 18, 20, 24, 25mdetralt2 18906 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
2726oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  .x.  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  Y ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z ) ) ) ) )  =  ( W  .x.  ( 0g
`  R ) ) )
282, 15, 23rngrz 17037 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  W  e.  K )  ->  ( W  .x.  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
299, 11, 28syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  .x.  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
3022, 27, 293eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( W  .x.  Y ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
3130oveq2d 6300 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) 
.+  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( W 
.x.  Y ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z ) ) ) ) )  =  ( ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) 
.+  ( 0g `  R ) ) )
32 rnggrp 17005 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
339, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
34 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( N Mat 
R )  =  ( N Mat  R )
35 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
361, 34, 35, 2mdetf 18892 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  D :
( Base `  ( N Mat  R ) ) --> K )
374, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : ( Base `  ( N Mat  R ) ) --> K )
387, 19ifcld 3982 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  if (
i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
)  e.  K )
3934, 2, 35, 5, 4, 38matbas2d 18720 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
4037, 39ffvelrnd 6022 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) )  e.  K )
412, 3, 23grprid 15891 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
) ) )  e.  K )  ->  (
( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) 
.+  ( 0g `  R ) )  =  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) )
4233, 40, 41syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) 
.+  ( 0g `  R ) )  =  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) )
4321, 31, 423eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  ( X  .+  ( W  .x.  Y ) ) ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z )
) ) )  =  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  I ,  X ,  if ( i  =  J ,  Y ,  Z
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ifcif 3939   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   Fincfn 7516   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   0gc0g 14695   Grpcgrp 15727   Ringcrg 17000   CRingccrg 17001   Mat cmat 18704   maDet cmdat 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-word 12508  df-concat 12510  df-s1 12511  df-substr 12512  df-splice 12513  df-reverse 12514  df-s2 12776  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-gim 16112  df-cntz 16160  df-oppg 16186  df-symg 16208  df-pmtr 16273  df-psgn 16322  df-evpm 16323  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-rnghom 17165  df-drng 17198  df-subrg 17227  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-cnfld 18220  df-zring 18285  df-zrh 18336  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-mat 18705  df-mdet 18882
This theorem is referenced by:  maducoeval2  18937
  Copyright terms: Public domain W3C validator