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Theorem mdetdiaglem 30932
Description: Lemma for mdetdiag 30933. Part of proof for mdet1 18406 (TODO-AV: could be shortened, see mdetdiagid 30934). (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetdiag.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetdiag.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetdiag.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
mdetdiag.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetdiaglem.g  |-  H  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
mdetdiaglem.z  |-  Z  =  ( ZRHom `  R
)
mdetdiaglem.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
mdetdiaglem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mdetdiaglem  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    B, k    k, G    k, H    i, M, j, k    i, N, j, k    P, i, j, k    R, k    .0. , i, j, k
Allowed substitution hints:    A( i, j, k)    B( i, j)    D( i, j, k)    R( i, j)    S( i, j, k)    .x. ( i, j, k)    G( i, j)    H( i, j)    Z( i, j, k)

Proof of Theorem mdetdiaglem
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiaglem.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZRHom `  R
)
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  Z  =  ( ZRHom `  R )
)
3 mdetdiaglem.s . . . . . 6  |-  S  =  (pmSgn `  N )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  S  =  (pmSgn `  N ) )
52, 4coeq12d 5002 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( Z  o.  S )  =  ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) )
65fveq1d 5691 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( ( Z  o.  S ) `  P )  =  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P ) )
7 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
8 mdetdiaglem.g . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
97, 8symgbasf1o 15886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  H  ->  P : N -1-1-onto-> N )
10 f1ofn 5640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P : N -1-1-onto-> N  ->  P  Fn  N )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  H  ->  P  Fn  N )
12 fnnfpeq0 5907 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  Fn  N  ->  ( dom  ( P  \  _I  )  =  (/)  <->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  H  ->  ( dom  ( P  \  _I  )  =  (/)  <->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( dom  ( P 
\  _I  )  =  (/) 
<->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1514bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =  (  _I  |`  N )  <->  dom  ( P  \  _I  )  =  (/) ) )
1615necon3bid 2641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =/=  (  _I  |`  N )  <->  dom  ( P 
\  _I  )  =/=  (/) ) )
17 n0 3644 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( P  \  _I  )  =/=  (/)  <->  E. s  s  e. 
dom  ( P  \  _I  ) )
18 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
19 mdetdiag.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (mulGrp `  R )
20 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2119, 20mgpplusg 16593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  G
)
2219crngmgp 16651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
23223ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  G  e. CMnd )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  G  e. CMnd )
25 simpll2 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  N  e.  Fin )
26 mdetdiag.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  =  ( N Mat  R )
27 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
28 mdetdiag.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  A
)
2926, 27, 28matbas2i 18321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
30293ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
31 elmapi 7232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
33 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( N  X.  N )  =  ( N  X.  N
) )
3419, 27mgpbas 16595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
3534eqcomi 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  R )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  R
) )
3733, 36feq23d 5552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G )  <->  M :
( N  X.  N
) --> ( Base `  R
) ) )
3832, 37mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G ) )
3938ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G ) )
407, 8symgbasf 15887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  H  ->  P : N --> N )
4140ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P : N --> N )
4241ffvelrnda 5841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( P `  k )  e.  N )
43 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
4439, 42, 43fovrnd 6233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
( P `  k
) M k )  e.  ( Base `  G
) )
45 disjdif 3749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { s }  i^i  ( N  \  { s } ) )  =  (/)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( { s }  i^i  ( N  \  { s } ) )  =  (/) )
47 difss 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P 
\  _I  )  C_  P
48 dmss 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  \  _I  )  C_  P  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  dom  P )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  P
5040adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  P : N --> N )
51 fdm 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P : N --> N  ->  dom  P  =  N )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  dom  P  =  N )
5349, 52syl5sseq 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  dom  ( P  \  _I  )  C_  N )
5453sseld 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  s  e.  N ) )
5554impr 619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  N )
5655snssd 4016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  { s }  C_  N )
57 undif 3757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { s }  C_  N  <->  ( { s }  u.  ( N  \  { s } ) )  =  N )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( { s }  u.  ( N  \  { s } ) )  =  N )
5958eqcomd 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  N  =  ( { s }  u.  ( N 
\  { s } ) ) )
6018, 21, 24, 25, 44, 46, 59gsummptfidmsplit 16422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  { s } 
|->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ) )
61 crngrng 16653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  R  e.  Ring )
6319rngmgp 16649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  G  e.  Mnd )
65643adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  Mnd )
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  G  e.  Mnd )
67 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  s  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  _V )
6932ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
7041, 55ffvelrnd 5842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  e.  N )
7169, 70, 55fovrnd 6233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
) M s )  e.  ( Base `  R
) )
72 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  s  ->  ( P `  k )  =  ( P `  s ) )
73 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  s  ->  k  =  s )
7472, 73oveq12d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  s  ->  (
( P `  k
) M k )  =  ( ( P `
 s ) M s ) )
7534, 74gsumsn 16447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  s  e.  _V  /\  (
( P `  s
) M s )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( P `  s ) M s ) )
7666, 68, 71, 75syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( P `  s ) M s ) )
77 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
7811ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P  Fn  N )
79 fnelnfp 5906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  Fn  N  /\  s  e.  N )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  <->  ( P `  s )  =/=  s ) )
8078, 55, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
s  e.  dom  ( P  \  _I  )  <->  ( P `  s )  =/=  s
) )
8177, 80mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  =/=  s )
8240ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P : N --> N )
8340adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  P : N
--> N )
8483, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  dom  P  =  N )
8549, 84syl5sseq 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  N )
8685sseld 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  s  e.  N ) )
8786impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  N )
8882, 87ffvelrnd 5842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  e.  N )
89 neeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
i  =/=  j  <->  ( P `  s )  =/=  j
) )
90 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
i M j )  =  ( ( P `
 s ) M j ) )
9190eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
( i M j )  =  .0.  <->  ( ( P `  s ) M j )  =  .0.  ) )
9289, 91imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  <->  ( ( P `  s
)  =/=  j  -> 
( ( P `  s ) M j )  =  .0.  )
) )
93 neeq2 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  s  ->  (
( P `  s
)  =/=  j  <->  ( P `  s )  =/=  s
) )
94 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  s  ->  (
( P `  s
) M j )  =  ( ( P `
 s ) M s ) )
9594eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  s  ->  (
( ( P `  s ) M j )  =  .0.  <->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  ) )
9693, 95imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  s  ->  (
( ( P `  s )  =/=  j  ->  ( ( P `  s ) M j )  =  .0.  )  <->  ( ( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9792, 96rspc2v 3077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P `  s
)  e.  N  /\  s  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  (
( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9888, 87, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  ( ( P `  s )  =/=  s  ->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9998impancom 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P 
\  _I  ) )  ->  ( ( P `
 s )  =/=  s  ->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
)
10181, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
) M s )  =  .0.  )
10276, 101eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
103102oveq1d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ) )
104613ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  R  e.  Ring )
10623adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  G  e. CMnd )
107 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  N  e.  Fin )
108 difss 3481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N 
\  { s } )  C_  N
109 ssfi 7531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { s } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { s } )  e.  Fin )
110107, 108, 109sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( N  \  { s } )  e.  Fin )
11132ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
11283adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  ->  P : N --> N )
113 eldifi 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( N  \  { s } )  ->  k  e.  N
)
114113adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
k  e.  N )
115112, 114ffvelrnd 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
( P `  k
)  e.  N )
116111, 115, 114fovrnd 6233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
( ( P `  k ) M k )  e.  ( Base `  R ) )
117116ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  A. k  e.  ( N  \  {
s } ) ( ( P `  k
) M k )  e.  ( Base `  R
) )
11834, 106, 110, 117gsummptcl 16456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N 
\  { s } )  |->  ( ( P `
 k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
119118ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
120 mdetdiag.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12127, 20, 120rnglz 16679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
122105, 119, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } ) 
|->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
12360, 103, 1223eqtrd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
124123expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
125124exlimdv 1690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( E. s  s  e.  dom  ( P 
\  _I  )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
12617, 125syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( dom  ( P 
\  _I  )  =/=  (/)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
)
12716, 126sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =/=  (  _I  |`  N )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
128127expimpd 603 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k
) M k ) ) )  =  .0.  ) )
1291283impia 1184 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k
) M k ) ) )  =  .0.  )
1306, 129oveq12d 6107 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  ) )
131 3simpa 985 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin ) )
132 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) )  ->  P  e.  H )
13361ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  R  e.  Ring )
134 zrhpsgnmhm 18012 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
13561, 134sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
136 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (mulGrp `  R )
)  =  ( Base `  (mulGrp `  R )
)
1378, 136mhmf 15467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : H --> ( Base `  (mulGrp `  R )
) )
138135, 137syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) : H --> ( Base `  (mulGrp `  R ) ) )
139138ffvelrnda 5841 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  ( (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  e.  (
Base `  (mulGrp `  R
) ) )
140 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
141140, 27mgpbas 16595 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
142141eqcomi 2445 . . . . . 6  |-  ( Base `  (mulGrp `  R )
)  =  ( Base `  R )
143 mdetdiaglem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
144142, 143, 120rngrz 16680 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  e.  (
Base `  (mulGrp `  R
) ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
145133, 139, 144syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
146131, 132, 145syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
1471463adant2 1007 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
148130, 147eqtrd 2473 1  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970    \ cdif 3323    u. cun 3324    i^i cin 3325    C_ wss 3326   (/)c0 3635   {csn 3875    e. cmpt 4348    _I cid 4629    X. cxp 4836   dom cdm 4838    |` cres 4840    o. ccom 4842    Fn wfn 5411   -->wf 5412   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   Basecbs 14172   .rcmulr 14237   0gc0g 14376    gsumg cgsu 14377   Mndcmnd 15407   MndHom cmhm 15460   SymGrpcsymg 15880  pmSgncpsgn 15993  CMndccmn 16275  mulGrpcmgp 16589   Ringcrg 16643   CRingccrg 16644   ZRHomczrh 17929   Mat cmat 18278   maDet cmdat 18393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-ot 3884  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-word 12227  df-concat 12229  df-s1 12230  df-substr 12231  df-splice 12232  df-reverse 12233  df-s2 12473  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-prds 14384  df-pws 14386  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-mulg 15546  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-gim 15785  df-cntz 15833  df-oppg 15859  df-symg 15881  df-pmtr 15946  df-psgn 15995  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-rnghom 16804  df-drng 16832  df-subrg 16861  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-cnfld 17817  df-zring 17882  df-zrh 17933  df-dsmm 18155  df-frlm 18170  df-mat 18280
This theorem is referenced by:  mdetdiag  30933
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