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Theorem mdetdiaglem 19227
Description: Lemma for mdetdiag 19228. Previously part of proof for mdet1 19230. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetdiag.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetdiag.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetdiag.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
mdetdiag.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetdiaglem.g  |-  H  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
mdetdiaglem.z  |-  Z  =  ( ZRHom `  R
)
mdetdiaglem.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
mdetdiaglem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mdetdiaglem  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    B, k    k, G    k, H    i, M, j, k    i, N, j, k    P, i, j, k    R, k    .0. , i, j, k
Allowed substitution hints:    A( i, j, k)    B( i, j)    D( i, j, k)    R( i, j)    S( i, j, k)    .x. ( i, j, k)    G( i, j)    H( i, j)    Z( i, j, k)

Proof of Theorem mdetdiaglem
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiaglem.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZRHom `  R
)
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  Z  =  ( ZRHom `  R )
)
3 mdetdiaglem.s . . . . . 6  |-  S  =  (pmSgn `  N )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  S  =  (pmSgn `  N ) )
52, 4coeq12d 5177 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( Z  o.  S )  =  ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) )
65fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( ( Z  o.  S ) `  P )  =  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P ) )
7 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
8 mdetdiaglem.g . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
97, 8symgbasf1o 16535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  H  ->  P : N -1-1-onto-> N )
10 f1ofn 5823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P : N -1-1-onto-> N  ->  P  Fn  N )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  H  ->  P  Fn  N )
12 fnnfpeq0 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  Fn  N  ->  ( dom  ( P  \  _I  )  =  (/)  <->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  H  ->  ( dom  ( P  \  _I  )  =  (/)  <->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( dom  ( P 
\  _I  )  =  (/) 
<->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1514bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =  (  _I  |`  N )  <->  dom  ( P  \  _I  )  =  (/) ) )
1615necon3bid 2715 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =/=  (  _I  |`  N )  <->  dom  ( P 
\  _I  )  =/=  (/) ) )
17 n0 3803 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( P  \  _I  )  =/=  (/)  <->  E. s  s  e. 
dom  ( P  \  _I  ) )
18 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
19 mdetdiag.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (mulGrp `  R )
20 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2119, 20mgpplusg 17272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  G
)
2219crngmgp 17333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
23223ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  G  e. CMnd )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  G  e. CMnd )
25 simpll2 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  N  e.  Fin )
26 mdetdiag.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  =  ( N Mat  R )
27 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
28 mdetdiag.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  A
)
2926, 27, 28matbas2i 19051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
30293ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
31 elmapi 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
3319, 27mgpbas 17274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
3433eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  R )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  R
) )
3635feq3d 5725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G )  <->  M :
( N  X.  N
) --> ( Base `  R
) ) )
3732, 36mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G ) )
3837ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G ) )
397, 8symgbasf 16536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  H  ->  P : N --> N )
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P : N --> N )
4140ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( P `  k )  e.  N )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
4338, 41, 42fovrnd 6446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
( P `  k
) M k )  e.  ( Base `  G
) )
44 disjdif 3903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { s }  i^i  ( N  \  { s } ) )  =  (/)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( { s }  i^i  ( N  \  { s } ) )  =  (/) )
46 difss 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P 
\  _I  )  C_  P
47 dmss 5212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  \  _I  )  C_  P  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  dom  P )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  P
4939adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  P : N --> N )
50 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P : N --> N  ->  dom  P  =  N )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  dom  P  =  N )
5248, 51syl5sseq 3547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  dom  ( P  \  _I  )  C_  N )
5352sseld 3498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  s  e.  N ) )
5453impr 619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  N )
5554snssd 4177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  { s }  C_  N )
56 undif 3911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { s }  C_  N  <->  ( { s }  u.  ( N  \  { s } ) )  =  N )
5755, 56sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( { s }  u.  ( N  \  { s } ) )  =  N )
5857eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  N  =  ( { s }  u.  ( N 
\  { s } ) ) )
5918, 21, 24, 25, 43, 45, 58gsummptfidmsplit 17077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  { s } 
|->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ) )
60 crngring 17336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  R  e.  Ring )
6219ringmgp 17331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  G  e.  Mnd )
64633adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  Mnd )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  G  e.  Mnd )
66 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  s  e. 
_V
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  _V )
6832ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
6940, 54ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  e.  N )
7068, 69, 54fovrnd 6446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
) M s )  e.  ( Base `  R
) )
71 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  s  ->  ( P `  k )  =  ( P `  s ) )
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  s  ->  k  =  s )
7371, 72oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  s  ->  (
( P `  k
) M k )  =  ( ( P `
 s ) M s ) )
7433, 73gsumsn 17108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  s  e.  _V  /\  (
( P `  s
) M s )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( P `  s ) M s ) )
7565, 67, 70, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( P `  s ) M s ) )
76 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
7711ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P  Fn  N )
78 fnelnfp 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  Fn  N  /\  s  e.  N )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  <->  ( P `  s )  =/=  s ) )
7977, 54, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
s  e.  dom  ( P  \  _I  )  <->  ( P `  s )  =/=  s
) )
8076, 79mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  =/=  s )
8139ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P : N --> N )
8239adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  P : N
--> N )
8382, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  dom  P  =  N )
8448, 83syl5sseq 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  N )
8584sseld 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  s  e.  N ) )
8685impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  N )
8781, 86ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  e.  N )
88 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
i  =/=  j  <->  ( P `  s )  =/=  j
) )
89 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
i M j )  =  ( ( P `
 s ) M j ) )
9089eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
( i M j )  =  .0.  <->  ( ( P `  s ) M j )  =  .0.  ) )
9188, 90imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  <->  ( ( P `  s
)  =/=  j  -> 
( ( P `  s ) M j )  =  .0.  )
) )
92 neeq2 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  s  ->  (
( P `  s
)  =/=  j  <->  ( P `  s )  =/=  s
) )
93 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  s  ->  (
( P `  s
) M j )  =  ( ( P `
 s ) M s ) )
9493eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  s  ->  (
( ( P `  s ) M j )  =  .0.  <->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  ) )
9592, 94imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  s  ->  (
( ( P `  s )  =/=  j  ->  ( ( P `  s ) M j )  =  .0.  )  <->  ( ( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9691, 95rspc2v 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P `  s
)  e.  N  /\  s  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  (
( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9787, 86, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  ( ( P `  s )  =/=  s  ->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9897impancom 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P 
\  _I  ) )  ->  ( ( P `
 s )  =/=  s  ->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  ) ) )
9998imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
)
10080, 99mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
) M s )  =  .0.  )
10175, 100eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
102101oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ) )
103603ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
104103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  R  e.  Ring )
10523adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  G  e. CMnd )
106 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  N  e.  Fin )
107 difss 3627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N 
\  { s } )  C_  N
108 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { s } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { s } )  e.  Fin )
109106, 107, 108sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( N  \  { s } )  e.  Fin )
11032ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
11182adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  ->  P : N --> N )
112 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( N  \  { s } )  ->  k  e.  N
)
113112adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
k  e.  N )
114111, 113ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
( P `  k
)  e.  N )
115110, 114, 113fovrnd 6446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
( ( P `  k ) M k )  e.  ( Base `  R ) )
116115ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  A. k  e.  ( N  \  {
s } ) ( ( P `  k
) M k )  e.  ( Base `  R
) )
11733, 105, 109, 116gsummptcl 17121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N 
\  { s } )  |->  ( ( P `
 k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
118117ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
119 mdetdiag.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12027, 20, 119ringlz 17362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
121104, 118, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } ) 
|->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
12259, 102, 1213eqtrd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
123122expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
124123exlimdv 1725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( E. s  s  e.  dom  ( P 
\  _I  )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
12517, 124syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( dom  ( P 
\  _I  )  =/=  (/)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
)
12616, 125sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =/=  (  _I  |`  N )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
127126expimpd 603 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k
) M k ) ) )  =  .0.  ) )
1281273impia 1193 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k
) M k ) ) )  =  .0.  )
1296, 128oveq12d 6314 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  ) )
130 3simpa 993 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin ) )
131 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) )  ->  P  e.  H )
13260ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  R  e.  Ring )
133 zrhpsgnmhm 18747 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
13460, 133sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
135 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (mulGrp `  R )
)  =  ( Base `  (mulGrp `  R )
)
1368, 135mhmf 16098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : H --> ( Base `  (mulGrp `  R )
) )
137134, 136syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) : H --> ( Base `  (mulGrp `  R ) ) )
138137ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  ( (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  e.  (
Base `  (mulGrp `  R
) ) )
139 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
140139, 27mgpbas 17274 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
141140eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ( Base `  (mulGrp `  R )
)  =  ( Base `  R )
142 mdetdiaglem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
143141, 142, 119ringrz 17363 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  e.  (
Base `  (mulGrp `  R
) ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
144132, 138, 143syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
145130, 131, 144syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
1461453adant2 1015 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
147129, 146eqtrd 2498 1  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032    |-> cmpt 4515    _I cid 4799    X. cxp 5006   dom cdm 5008    |` cres 5010    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046   MndHom cmhm 16091   SymGrpcsymg 16529  pmSgncpsgn 16641  CMndccmn 16925  mulGrpcmgp 17268   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326   ZRHomczrh 18664   Mat cmat 19036   maDet cmdat 19213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-s1 12549  df-substr 12550  df-splice 12551  df-reverse 12552  df-s2 12825  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-gim 16434  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-symg 16530  df-pmtr 16594  df-psgn 16643  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-mat 19037
This theorem is referenced by:  mdetdiag  19228
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