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Theorem mdetdiaglem 19700
Description: Lemma for mdetdiag 19701. Previously part of proof for mdet1 19703. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetdiag.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetdiag.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetdiag.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
mdetdiag.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetdiaglem.g  |-  H  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
mdetdiaglem.z  |-  Z  =  ( ZRHom `  R
)
mdetdiaglem.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
mdetdiaglem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mdetdiaglem  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    B, k    k, G    k, H    i, M, j, k    i, N, j, k    P, i, j, k    R, k    .0. , i, j, k
Allowed substitution hints:    A( i, j, k)    B( i, j)    D( i, j, k)    R( i, j)    S( i, j, k)    .x. ( i, j, k)    G( i, j)    H( i, j)    Z( i, j, k)

Proof of Theorem mdetdiaglem
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiaglem.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZRHom `  R
)
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  Z  =  ( ZRHom `  R )
)
3 mdetdiaglem.s . . . . . 6  |-  S  =  (pmSgn `  N )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  S  =  (pmSgn `  N ) )
52, 4coeq12d 5004 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( Z  o.  S )  =  ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) )
65fveq1d 5881 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( ( Z  o.  S ) `  P )  =  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P ) )
7 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
8 mdetdiaglem.g . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
97, 8symgbasf1o 17102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  H  ->  P : N -1-1-onto-> N )
10 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P : N -1-1-onto-> N  ->  P  Fn  N )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  H  ->  P  Fn  N )
12 fnnfpeq0 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  Fn  N  ->  ( dom  ( P  \  _I  )  =  (/)  <->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  H  ->  ( dom  ( P  \  _I  )  =  (/)  <->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1413adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( dom  ( P 
\  _I  )  =  (/) 
<->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1514bicomd 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =  (  _I  |`  N )  <->  dom  ( P  \  _I  )  =  (/) ) )
1615necon3bid 2687 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =/=  (  _I  |`  N )  <->  dom  ( P 
\  _I  )  =/=  (/) ) )
17 n0 3732 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( P  \  _I  )  =/=  (/)  <->  E. s  s  e. 
dom  ( P  \  _I  ) )
18 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
19 mdetdiag.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (mulGrp `  R )
20 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2119, 20mgpplusg 17805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  G
)
2219crngmgp 17866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
23223ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  G  e. CMnd )
2423ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  G  e. CMnd )
25 simpll2 1070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  N  e.  Fin )
26 mdetdiag.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  =  ( N Mat  R )
27 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
28 mdetdiag.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  A
)
2926, 27, 28matbas2i 19524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
30293ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
31 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
3319, 27mgpbas 17807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
3433eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  R )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  R
) )
3635feq3d 5726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G )  <->  M :
( N  X.  N
) --> ( Base `  R
) ) )
3732, 36mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G ) )
3837ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G ) )
397, 8symgbasf 17103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  H  ->  P : N --> N )
4039ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P : N --> N )
4140ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( P `  k )  e.  N )
42 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
4338, 41, 42fovrnd 6460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
( P `  k
) M k )  e.  ( Base `  G
) )
44 disjdif 3830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { s }  i^i  ( N  \  { s } ) )  =  (/)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( { s }  i^i  ( N  \  { s } ) )  =  (/) )
46 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P 
\  _I  )  C_  P
47 dmss 5039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  \  _I  )  C_  P  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  dom  P )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  P
4939adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  P : N --> N )
50 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P : N --> N  ->  dom  P  =  N )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  dom  P  =  N )
5248, 51syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  dom  ( P  \  _I  )  C_  N )
5352sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  s  e.  N ) )
5453impr 631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  N )
5554snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  { s }  C_  N )
56 undif 3839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { s }  C_  N  <->  ( { s }  u.  ( N  \  { s } ) )  =  N )
5755, 56sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( { s }  u.  ( N  \  { s } ) )  =  N )
5857eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  N  =  ( { s }  u.  ( N 
\  { s } ) ) )
5918, 21, 24, 25, 43, 45, 58gsummptfidmsplit 17641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  { s } 
|->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ) )
60 crngring 17869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  R  e.  Ring )
6219ringmgp 17864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  G  e.  Mnd )
64633adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  Mnd )
6564ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  G  e.  Mnd )
66 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  s  e. 
_V
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  _V )
6832ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
6940, 54ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  e.  N )
7068, 69, 54fovrnd 6460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
) M s )  e.  ( Base `  R
) )
71 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  s  ->  ( P `  k )  =  ( P `  s ) )
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  s  ->  k  =  s )
7371, 72oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  s  ->  (
( P `  k
) M k )  =  ( ( P `
 s ) M s ) )
7433, 73gsumsn 17665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  s  e.  _V  /\  (
( P `  s
) M s )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( P `  s ) M s ) )
7565, 67, 70, 74syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( P `  s ) M s ) )
76 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
7711ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P  Fn  N )
78 fnelnfp 6110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  Fn  N  /\  s  e.  N )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  <->  ( P `  s )  =/=  s ) )
7977, 54, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
s  e.  dom  ( P  \  _I  )  <->  ( P `  s )  =/=  s
) )
8076, 79mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  =/=  s )
8139ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P : N --> N )
8239adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  P : N
--> N )
8382, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  dom  P  =  N )
8448, 83syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  N )
8584sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  s  e.  N ) )
8685impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  N )
8781, 86ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  e.  N )
88 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
i  =/=  j  <->  ( P `  s )  =/=  j
) )
89 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
i M j )  =  ( ( P `
 s ) M j ) )
9089eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
( i M j )  =  .0.  <->  ( ( P `  s ) M j )  =  .0.  ) )
9188, 90imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  <->  ( ( P `  s
)  =/=  j  -> 
( ( P `  s ) M j )  =  .0.  )
) )
92 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  s  ->  (
( P `  s
)  =/=  j  <->  ( P `  s )  =/=  s
) )
93 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  s  ->  (
( P `  s
) M j )  =  ( ( P `
 s ) M s ) )
9493eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  s  ->  (
( ( P `  s ) M j )  =  .0.  <->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  ) )
9592, 94imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  s  ->  (
( ( P `  s )  =/=  j  ->  ( ( P `  s ) M j )  =  .0.  )  <->  ( ( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9691, 95rspc2v 3147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P `  s
)  e.  N  /\  s  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  (
( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9787, 86, 96syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  ( ( P `  s )  =/=  s  ->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9897impancom 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P 
\  _I  ) )  ->  ( ( P `
 s )  =/=  s  ->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  ) ) )
9998imp 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
)
10080, 99mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
) M s )  =  .0.  )
10175, 100eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
102101oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ) )
103603ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
104103ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  R  e.  Ring )
10523adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  G  e. CMnd )
106 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  N  e.  Fin )
107 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N 
\  { s } )  C_  N
108 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { s } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { s } )  e.  Fin )
109106, 107, 108sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( N  \  { s } )  e.  Fin )
11032ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
11182adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  ->  P : N --> N )
112 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( N  \  { s } )  ->  k  e.  N
)
113112adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
k  e.  N )
114111, 113ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
( P `  k
)  e.  N )
115110, 114, 113fovrnd 6460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
( ( P `  k ) M k )  e.  ( Base `  R ) )
116115ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  A. k  e.  ( N  \  {
s } ) ( ( P `  k
) M k )  e.  ( Base `  R
) )
11733, 105, 109, 116gsummptcl 17677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N 
\  { s } )  |->  ( ( P `
 k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
118117ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
119 mdetdiag.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12027, 20, 119ringlz 17895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
121104, 118, 120syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } ) 
|->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
12259, 102, 1213eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
123122expr 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
124123exlimdv 1787 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( E. s  s  e.  dom  ( P 
\  _I  )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
12517, 124syl5bi 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( dom  ( P 
\  _I  )  =/=  (/)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
)
12616, 125sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =/=  (  _I  |`  N )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
127126expimpd 614 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k
) M k ) ) )  =  .0.  ) )
1281273impia 1228 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k
) M k ) ) )  =  .0.  )
1296, 128oveq12d 6326 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  ) )
130 3simpa 1027 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin ) )
131 simpl 464 . . . 4  |-  ( ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) )  ->  P  e.  H )
13260ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  R  e.  Ring )
133 zrhpsgnmhm 19229 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
13460, 133sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
135 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (mulGrp `  R )
)  =  ( Base `  (mulGrp `  R )
)
1368, 135mhmf 16665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : H --> ( Base `  (mulGrp `  R )
) )
137134, 136syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) : H --> ( Base `  (mulGrp `  R ) ) )
138137ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  ( (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  e.  (
Base `  (mulGrp `  R
) ) )
139 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
140139, 27mgpbas 17807 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
141140eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  ( Base `  (mulGrp `  R )
)  =  ( Base `  R )
142 mdetdiaglem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
143141, 142, 119ringrz 17896 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  e.  (
Base `  (mulGrp `  R
) ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
144132, 138, 143syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
145130, 131, 144syl2an 485 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
1461453adant2 1049 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
147129, 146eqtrd 2505 1  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959    |-> cmpt 4454    _I cid 4749    X. cxp 4837   dom cdm 4839    |` cres 4841    o. ccom 4843    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   Fincfn 7587   Basecbs 15199   .rcmulr 15269   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417   Mndcmnd 16613   MndHom cmhm 16658   SymGrpcsymg 17096  pmSgncpsgn 17208  CMndccmn 17508  mulGrpcmgp 17801   Ringcrg 17858   CRingccrg 17859   ZRHomczrh 19148   Mat cmat 19509   maDet cmdat 19686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-symg 17097  df-pmtr 17161  df-psgn 17210  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mat 19510
This theorem is referenced by:  mdetdiag  19701
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