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Theorem mdetdiaglem 19615
Description: Lemma for mdetdiag 19616. Previously part of proof for mdet1 19618. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetdiag.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetdiag.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetdiag.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
mdetdiag.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdetdiaglem.g  |-  H  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
mdetdiaglem.z  |-  Z  =  ( ZRHom `  R
)
mdetdiaglem.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
mdetdiaglem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mdetdiaglem  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    B, k    k, G    k, H    i, M, j, k    i, N, j, k    P, i, j, k    R, k    .0. , i, j, k
Allowed substitution hints:    A( i, j, k)    B( i, j)    D( i, j, k)    R( i, j)    S( i, j, k)    .x. ( i, j, k)    G( i, j)    H( i, j)    Z( i, j, k)

Proof of Theorem mdetdiaglem
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiaglem.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZRHom `  R
)
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  Z  =  ( ZRHom `  R )
)
3 mdetdiaglem.s . . . . . 6  |-  S  =  (pmSgn `  N )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  S  =  (pmSgn `  N ) )
52, 4coeq12d 5016 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( Z  o.  S )  =  ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) )
65fveq1d 5881 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( ( Z  o.  S ) `  P )  =  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P ) )
7 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
8 mdetdiaglem.g . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
97, 8symgbasf1o 17017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  H  ->  P : N -1-1-onto-> N )
10 f1ofn 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P : N -1-1-onto-> N  ->  P  Fn  N )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  H  ->  P  Fn  N )
12 fnnfpeq0 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  Fn  N  ->  ( dom  ( P  \  _I  )  =  (/)  <->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  H  ->  ( dom  ( P  \  _I  )  =  (/)  <->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1413adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( dom  ( P 
\  _I  )  =  (/) 
<->  P  =  (  _I  |`  N ) ) )
1514bicomd 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =  (  _I  |`  N )  <->  dom  ( P  \  _I  )  =  (/) ) )
1615necon3bid 2683 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =/=  (  _I  |`  N )  <->  dom  ( P 
\  _I  )  =/=  (/) ) )
17 n0 3772 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( P  \  _I  )  =/=  (/)  <->  E. s  s  e. 
dom  ( P  \  _I  ) )
18 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
19 mdetdiag.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (mulGrp `  R )
20 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2119, 20mgpplusg 17720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  G
)
2219crngmgp 17781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
23223ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  G  e. CMnd )
2423ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  G  e. CMnd )
25 simpll2 1046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  N  e.  Fin )
26 mdetdiag.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A  =  ( N Mat  R )
27 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
28 mdetdiag.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  A
)
2926, 27, 28matbas2i 19439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
30293ad2ant3 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
31 elmapi 7499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
3319, 27mgpbas 17722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
3433eqcomi 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  R )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  R
) )
3635feq3d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G )  <->  M :
( N  X.  N
) --> ( Base `  R
) ) )
3732, 36mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G ) )
3837ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  G ) )
397, 8symgbasf 17018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  H  ->  P : N --> N )
4039ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P : N --> N )
4140ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( P `  k )  e.  N )
42 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
4338, 41, 42fovrnd 6453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
( P `  k
) M k )  e.  ( Base `  G
) )
44 disjdif 3868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { s }  i^i  ( N  \  { s } ) )  =  (/)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( { s }  i^i  ( N  \  { s } ) )  =  (/) )
46 difss 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P 
\  _I  )  C_  P
47 dmss 5051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  \  _I  )  C_  P  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  dom  P )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  P
4939adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  P : N --> N )
50 fdm 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P : N --> N  ->  dom  P  =  N )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  dom  P  =  N )
5248, 51syl5sseq 3513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  dom  ( P  \  _I  )  C_  N )
5352sseld 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  s  e.  N ) )
5453impr 624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  N )
5554snssd 4143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  { s }  C_  N )
56 undif 3877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { s }  C_  N  <->  ( { s }  u.  ( N  \  { s } ) )  =  N )
5755, 56sylib 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( { s }  u.  ( N  \  { s } ) )  =  N )
5857eqcomd 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  N  =  ( { s }  u.  ( N 
\  { s } ) ) )
5918, 21, 24, 25, 43, 45, 58gsummptfidmsplit 17556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  { s } 
|->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ) )
60 crngring 17784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
6160adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  R  e.  Ring )
6219ringmgp 17779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  G  e.  Mnd )
64633adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  Mnd )
6564ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  G  e.  Mnd )
66 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  s  e. 
_V
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  _V )
6832ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
6940, 54ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  e.  N )
7068, 69, 54fovrnd 6453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
) M s )  e.  ( Base `  R
) )
71 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  s  ->  ( P `  k )  =  ( P `  s ) )
72 id 23 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  s  ->  k  =  s )
7371, 72oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  s  ->  (
( P `  k
) M k )  =  ( ( P `
 s ) M s ) )
7433, 73gsumsn 17580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  s  e.  _V  /\  (
( P `  s
) M s )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( P `  s ) M s ) )
7565, 67, 70, 74syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  ( ( P `  s ) M s ) )
76 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
7711ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P  Fn  N )
78 fnelnfp 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  Fn  N  /\  s  e.  N )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  <->  ( P `  s )  =/=  s ) )
7977, 54, 78syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
s  e.  dom  ( P  \  _I  )  <->  ( P `  s )  =/=  s
) )
8076, 79mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  =/=  s )
8139ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  P : N --> N )
8239adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  P : N
--> N )
8382, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  dom  P  =  N )
8448, 83syl5sseq 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  N )
8584sseld 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  s  e.  N ) )
8685impr 624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  s  e.  N )
8781, 86ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( P `  s )  e.  N )
88 neeq1 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
i  =/=  j  <->  ( P `  s )  =/=  j
) )
89 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
i M j )  =  ( ( P `
 s ) M j ) )
9089eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
( i M j )  =  .0.  <->  ( ( P `  s ) M j )  =  .0.  ) )
9188, 90imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( P `  s )  ->  (
( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  <->  ( ( P `  s
)  =/=  j  -> 
( ( P `  s ) M j )  =  .0.  )
) )
92 neeq2 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  s  ->  (
( P `  s
)  =/=  j  <->  ( P `  s )  =/=  s
) )
93 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  s  ->  (
( P `  s
) M j )  =  ( ( P `
 s ) M s ) )
9493eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  s  ->  (
( ( P `  s ) M j )  =  .0.  <->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  ) )
9592, 94imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  s  ->  (
( ( P `  s )  =/=  j  ->  ( ( P `  s ) M j )  =  .0.  )  <->  ( ( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9691, 95rspc2v 3192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P `  s
)  e.  N  /\  s  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  (
( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9787, 86, 96syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  ( ( P `  s )  =/=  s  ->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
) )
9897impancom 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P 
\  _I  ) )  ->  ( ( P `
 s )  =/=  s  ->  ( ( P `  s ) M s )  =  .0.  ) ) )
9998imp 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
)  =/=  s  -> 
( ( P `  s ) M s )  =  .0.  )
)
10080, 99mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( P `  s
) M s )  =  .0.  )
10175, 100eqtrd 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
102101oveq1d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (
( G  gsumg  ( k  e.  {
s }  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) ) )
103603ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
104103ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  R  e.  Ring )
10523adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  G  e. CMnd )
106 simpl2 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  N  e.  Fin )
107 difss 3593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N 
\  { s } )  C_  N
108 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  ( N  \  { s } )  C_  N
)  ->  ( N  \  { s } )  e.  Fin )
109106, 107, 108sylancl 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( N  \  { s } )  e.  Fin )
11032ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
11182adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  ->  P : N --> N )
112 eldifi 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( N  \  { s } )  ->  k  e.  N
)
113112adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
k  e.  N )
114111, 113ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
( P `  k
)  e.  N )
115110, 114, 113fovrnd 6453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  /\  k  e.  ( N  \  { s } ) )  -> 
( ( P `  k ) M k )  e.  ( Base `  R ) )
116115ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  A. k  e.  ( N  \  {
s } ) ( ( P `  k
) M k )  e.  ( Base `  R
) )
11733, 105, 109, 116gsummptcl 17592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  P  e.  H
)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N 
\  { s } )  |->  ( ( P `
 k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
118117ad2ant2r 752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
119 mdetdiag.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12027, 20, 119ringlz 17810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } )  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
121104, 118, 120syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  ( N  \  { s } ) 
|->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
12259, 102, 1213eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  ( P  e.  H  /\  s  e.  dom  ( P  \  _I  )
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
123122expr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( s  e.  dom  ( P  \  _I  )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
124123exlimdv 1769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( E. s  s  e.  dom  ( P 
\  _I  )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
12517, 124syl5bi 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( dom  ( P 
\  _I  )  =/=  (/)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  )
)
12616, 125sylbid 219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  P  e.  H )  ->  ( P  =/=  (  _I  |`  N )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) )  =  .0.  ) )
127126expimpd 607 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k
) M k ) ) )  =  .0.  ) )
1281273impia 1203 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k
) M k ) ) )  =  .0.  )
1296, 128oveq12d 6321 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  ) )
130 3simpa 1003 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin ) )
131 simpl 459 . . . 4  |-  ( ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) )  ->  P  e.  H )
13260ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  R  e.  Ring )
133 zrhpsgnmhm 19144 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
13460, 133sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
135 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (mulGrp `  R )
)  =  ( Base `  (mulGrp `  R )
)
1368, 135mhmf 16580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
)  ->  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) : H --> ( Base `  (mulGrp `  R )
) )
137134, 136syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) : H --> ( Base `  (mulGrp `  R ) ) )
138137ffvelrnda 6035 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  ( (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  e.  (
Base `  (mulGrp `  R
) ) )
139 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
140139, 27mgpbas 17722 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (mulGrp `  R
) )
141140eqcomi 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  (mulGrp `  R )
)  =  ( Base `  R )
142 mdetdiaglem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
143141, 142, 119ringrz 17811 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  e.  (
Base `  (mulGrp `  R
) ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
144132, 138, 143syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  P  e.  H
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
145130, 131, 144syl2an 480 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
1461453adant2 1025 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  P )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
147129, 146eqtrd 2464 1  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( P  e.  H  /\  P  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  ( (
( Z  o.  S
) `  P )  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( P `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997    |-> cmpt 4480    _I cid 4761    X. cxp 4849   dom cdm 4851    |` cres 4853    o. ccom 4855    Fn wfn 5594   -->wf 5595   -1-1-onto->wf1o 5598   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    ^m cmap 7478   Fincfn 7575   Basecbs 15114   .rcmulr 15184   0gc0g 15331    gsumg cgsu 15332   Mndcmnd 16528   MndHom cmhm 16573   SymGrpcsymg 17011  pmSgncpsgn 17123  CMndccmn 17423  mulGrpcmgp 17716   Ringcrg 17773   CRingccrg 17774   ZRHomczrh 19063   Mat cmat 19424   maDet cmdat 19601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-xor 1402  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-ot 4006  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-tpos 6979  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-word 12662  df-lsw 12663  df-concat 12664  df-s1 12665  df-substr 12666  df-splice 12667  df-reverse 12668  df-s2 12940  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-prds 15339  df-pws 15341  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-gim 16916  df-cntz 16964  df-oppg 16990  df-symg 17012  df-pmtr 17076  df-psgn 17125  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-cnfld 18964  df-zring 19032  df-zrh 19067  df-dsmm 19287  df-frlm 19302  df-mat 19425
This theorem is referenced by:  mdetdiag  19616
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