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Theorem mdetdiag 18540
Description: The determinant of a diagonal matrix is the product of the entries in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetdiag.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetdiag.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetdiag.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
mdetdiag.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
mdetdiag  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  ( D `  M
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, G    i, M, j, k    i, N, j, k    R, k    .0. , i,
j, k
Allowed substitution hints:    A( i, j, k)    B( i, j)    D( i, j, k)    R( i, j)    G( i, j)

Proof of Theorem mdetdiag
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 993 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  M  e.  B )
2 mdetdiag.d . . . . 5  |-  D  =  ( N maDet  R )
3 mdetdiag.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
4 mdetdiag.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
7 eqid 2454 . . . . 5  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
9 mdetdiag.g . . . . 5  |-  G  =  (mulGrp `  R )
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mdetleib 18528 . . . 4  |-  ( M  e.  B  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) ) ) ) )
111, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) ) ) ) )
12 simpl1 991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  R  e.  CRing
)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  R  e.  CRing
)
141ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  M  e.  B )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  p  =  (  _I  |`  N ) )
163, 4, 9, 6, 7, 8madetsumid 18476 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) )
18 iftrue 3908 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  (  _I  |`  N )  ->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) )
1918eqcomd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  (  _I  |`  N )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) )  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  ) )
2019adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) )  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
2117, 20eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
22 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  -> 
( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )
)
23 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)
25 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  ->  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )
26 df-ne 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =/=  (  _I  |`  N )  <->  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )
2726biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  p  =  (  _I  |`  N )  ->  p  =/=  (  _I  |`  N ) )
2825, 27anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  -> 
( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  /\  p  =/=  (  _I  |`  N ) ) )
29 mdetdiag.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
302, 3, 4, 9, 29, 5, 6, 7, 8mdetdiaglem 18539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  /\  p  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
3122, 24, 28, 30syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
32 iffalse 3910 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  p  =  (  _I  |`  N )  ->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
3332adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
3433eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  .0.  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
3531, 34eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
3621, 35pm2.61dan 789 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
3736mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) ) )  =  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
) )
3837oveq2d 6219 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
) ) )
39 crngrng 16781 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
40 rngmnd 16780 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Mnd )
42413ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Mnd )
4342adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  R  e.  Mnd )
44 fvex 5812 . . . . 5  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  e.  _V
4544a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  e.  _V )
46 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
4746symgid 16028 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  (  _I  |`  N )  =  ( 0g `  ( SymGrp `
 N ) ) )
48473ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  (  _I  |`  N )  =  ( 0g `  ( SymGrp `
 N ) ) )
4946symggrp 16027 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( SymGrp `
 N )  e. 
Grp )
50493ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( SymGrp `
 N )  e. 
Grp )
51 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  ( SymGrp `  N
) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  N ) )
525, 51grpidcl 15688 . . . . . . 7  |-  ( (
SymGrp `  N )  e. 
Grp  ->  ( 0g `  ( SymGrp `  N )
)  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )
5350, 52syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( 0g `  ( SymGrp `  N
) )  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) ) )
5448, 53eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  (  _I  |`  N )  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )
5554adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  (  _I  |`  N )  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) ) )
56 eqid 2454 . . . 4  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
57 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
589, 57mgpbas 16722 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
599crngmgp 16779 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
60593ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  G  e. CMnd )
6160adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  G  e. CMnd )
62 simpl2 992 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  N  e.  Fin )
63 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
644eleq2i 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  B  <->  M  e.  ( Base `  A )
)
6564biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
66653ad2ant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
6766ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  k  e.  N )  ->  M  e.  ( Base `  A ) )
683, 57matecl 18454 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  N  /\  k  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( k M k )  e.  ( Base `  R ) )
6963, 63, 67, 68syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( k M k )  e.  ( Base `  R ) )
7069ralrimiva 2830 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  A. k  e.  N  ( k M k )  e.  ( Base `  R
) )
7158, 61, 62, 70gsummptcl 16583 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
7229, 43, 45, 55, 56, 71gsummptif1n0 16582 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) )
7311, 38, 723eqtrd 2499 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( D `  M )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) )
7473ex 434 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  ( D `  M
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   _Vcvv 3078   ifcif 3902    |-> cmpt 4461    _I cid 4742    |` cres 4953    o. ccom 4955   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   Basecbs 14295   .rcmulr 14361   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501   Mndcmnd 15531   Grpcgrp 15532   SymGrpcsymg 16004  pmSgncpsgn 16117  CMndccmn 16401  mulGrpcmgp 16716   Ringcrg 16771   CRingccrg 16772   ZRHomczrh 18059   Mat cmat 18408   maDet cmdat 18525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-word 12350  df-concat 12352  df-s1 12353  df-substr 12354  df-splice 12355  df-reverse 12356  df-s2 12596  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-prds 14508  df-pws 14510  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-mulg 15670  df-subg 15800  df-ghm 15867  df-gim 15909  df-cntz 15957  df-oppg 15983  df-symg 16005  df-pmtr 16070  df-psgn 16119  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-cring 16774  df-oppr 16841  df-dvdsr 16859  df-unit 16860  df-invr 16890  df-dvr 16901  df-rnghom 16932  df-drng 16960  df-subrg 16989  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-cnfld 17947  df-zring 18012  df-zrh 18063  df-dsmm 18285  df-frlm 18300  df-mat 18410  df-mdet 18526
This theorem is referenced by:  mdetdiagid  18541  cpdmat  31347
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