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Theorem mdetdiag 19283
Description: The determinant of a diagonal matrix is the product of the entries in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdetdiag.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdetdiag.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdetdiag.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
mdetdiag.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
mdetdiag  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  ( D `  M
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, G    i, M, j, k    i, N, j, k    R, k    .0. , i,
j, k
Allowed substitution hints:    A( i, j, k)    B( i, j)    D( i, j, k)    R( i, j)    G( i, j)

Proof of Theorem mdetdiag
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1000 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  M  e.  B )
2 mdetdiag.d . . . . 5  |-  D  =  ( N maDet  R )
3 mdetdiag.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
4 mdetdiag.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
5 eqid 2400 . . . . 5  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
6 eqid 2400 . . . . 5  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
7 eqid 2400 . . . . 5  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
8 eqid 2400 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
9 mdetdiag.g . . . . 5  |-  G  =  (mulGrp `  R )
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mdetleib 19271 . . . 4  |-  ( M  e.  B  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) ) ) ) )
111, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( D `  M )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) ) ) ) )
12 simpl1 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  R  e.  CRing
)
1312ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  R  e.  CRing
)
141ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  M  e.  B )
15 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  p  =  (  _I  |`  N ) )
163, 4, 9, 6, 7, 8madetsumid 19145 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) )
18 iftrue 3888 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  (  _I  |`  N )  ->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) )
1918eqcomd 2408 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  (  _I  |`  N )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) )  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  ) )
2019adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) )  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
2117, 20eqtrd 2441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
22 simplll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  -> 
( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )
)
23 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )
2423ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)
25 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  ->  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )
26 df-ne 2598 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =/=  (  _I  |`  N )  <->  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )
2726biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  p  =  (  _I  |`  N )  ->  p  =/=  (  _I  |`  N ) )
2825, 27anim12i 564 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  -> 
( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  /\  p  =/=  (  _I  |`  N ) ) )
29 mdetdiag.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
302, 3, 4, 9, 29, 5, 6, 7, 8mdetdiaglem 19282 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  /\  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  /\  p  =/=  (  _I  |`  N ) ) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
3122, 24, 28, 30syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  .0.  )
32 iffalse 3891 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  p  =  (  _I  |`  N )  ->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
3332adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )  =  .0.  )
3433eqcomd 2408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  ->  .0.  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
3531, 34eqtrd 2441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  /\  -.  p  =  (  _I  |`  N ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
3621, 35pm2.61dan 790 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) )  =  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
3736mpteq2dva 4478 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) ) )  =  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
) )
3837oveq2d 6248 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( p `  k ) M k ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
) ) )
39 crngring 17419 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
40 ringmnd 17417 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
4139, 40syl 17 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Mnd )
42413ad2ant1 1016 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Mnd )
4342adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  R  e.  Mnd )
44 fvex 5813 . . . . 5  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  e.  _V
4544a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  e.  _V )
46 eqid 2400 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
4746symgid 16640 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  (  _I  |`  N )  =  ( 0g `  ( SymGrp `
 N ) ) )
48473ad2ant2 1017 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  (  _I  |`  N )  =  ( 0g `  ( SymGrp `
 N ) ) )
4946symggrp 16639 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( SymGrp `
 N )  e. 
Grp )
50493ad2ant2 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( SymGrp `
 N )  e. 
Grp )
51 eqid 2400 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  ( SymGrp `  N
) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  N ) )
525, 51grpidcl 16292 . . . . . . 7  |-  ( (
SymGrp `  N )  e. 
Grp  ->  ( 0g `  ( SymGrp `  N )
)  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
) )
5350, 52syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( 0g `  ( SymGrp `  N
) )  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) ) )
5448, 53eqeltrd 2488 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  (  _I  |`  N )  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )
5554adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  (  _I  |`  N )  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) ) )
56 eqid 2400 . . . 4  |-  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)  =  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
)
57 eqid 2400 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
589, 57mgpbas 17357 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
599crngmgp 17416 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
60593ad2ant1 1016 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  G  e. CMnd )
6160adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  G  e. CMnd )
62 simpl2 999 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  N  e.  Fin )
63 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
644eleq2i 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  B  <->  M  e.  ( Base `  A )
)
6564biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
66653ad2ant3 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
6766ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  k  e.  N )  ->  M  e.  ( Base `  A ) )
683, 57matecl 19109 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  N  /\  k  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( k M k )  e.  ( Base `  R ) )
6963, 63, 67, 68syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( k M k )  e.  ( Base `  R ) )
7069ralrimiva 2815 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  A. k  e.  N  ( k M k )  e.  ( Base `  R
) )
7158, 61, 62, 70gsummptcl 17205 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
7229, 43, 45, 55, 56, 71gsummptif1n0 17204 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |->  if ( p  =  (  _I  |`  N ) ,  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ,  .0.  )
) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) )
7311, 38, 723eqtrd 2445 . 2  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )
)  ->  ( D `  M )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) )
7473ex 432 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  M  e.  B )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i M j )  =  .0.  )  ->  ( D `  M
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( k M k ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   _Vcvv 3056   ifcif 3882    |-> cmpt 4450    _I cid 4730    |` cres 4942    o. ccom 4944   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Fincfn 7472   Basecbs 14731   .rcmulr 14800   0gc0g 14944    gsumg cgsu 14945   Mndcmnd 16133   Grpcgrp 16267   SymGrpcsymg 16616  pmSgncpsgn 16728  CMndccmn 17012  mulGrpcmgp 17351   Ringcrg 17408   CRingccrg 17409   ZRHomczrh 18727   Mat cmat 19091   maDet cmdat 19268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-xor 1365  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-ot 3978  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-tpos 6910  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-word 12496  df-lsw 12497  df-concat 12498  df-s1 12499  df-substr 12500  df-splice 12501  df-reverse 12502  df-s2 12774  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-prds 14952  df-pws 14954  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-mulg 16274  df-subg 16412  df-ghm 16479  df-gim 16521  df-cntz 16569  df-oppg 16595  df-symg 16617  df-pmtr 16681  df-psgn 16730  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-unit 17501  df-invr 17531  df-dvr 17542  df-rnghom 17574  df-drng 17608  df-subrg 17637  df-sra 18028  df-rgmod 18029  df-cnfld 18631  df-zring 18699  df-zrh 18731  df-dsmm 18951  df-frlm 18966  df-mat 19092  df-mdet 19269
This theorem is referenced by:  mdetdiagid  19284  chpdmat  19524
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