MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet1 Structured version   Unicode version

Theorem mdet1 19188
Description: The determinant of the identity matrix is 1, i.e. the determinant function is normalized, see also definition in [Lang] p. 513. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdet1.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdet1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdet1.n  |-  I  =  ( 1r `  A
)
mdet1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
mdet1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( D `  I )  =  .1.  )

Proof of Theorem mdet1
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin ) )
2 crngring 17322 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
32anim1i 566 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
43ancomd 449 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
5 mdet1.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
65matring 19030 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
7 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
8 mdet1.n . . . . . 6  |-  I  =  ( 1r `  A
)
97, 8ringidcl 17332 . . . . 5  |-  ( A  e.  Ring  ->  I  e.  ( Base `  A
) )
104, 6, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  I  e.  ( Base `  A
) )
11 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
12 mdet1.o . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
1311, 12ringidcl 17332 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
142, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
1514adantr 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  .1.  e.  ( Base `  R
) )
161, 10, 15jca32 533 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  (
Base `  A )  /\  .1.  e.  ( Base `  R ) ) ) )
17 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
18 simplr 753 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
192adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  R  e.  Ring )
2019adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
21 simprl 754 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  i  e.  N )
22 simprr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  j  e.  N )
235, 12, 17, 18, 20, 21, 22, 8mat1ov 19035 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i I j )  =  if ( i  =  j ,  .1.  ,  ( 0g `  R
) ) )
2423ralrimivva 2803 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
I j )  =  if ( i  =  j ,  .1.  , 
( 0g `  R
) ) )
25 mdet1.d . . . 4  |-  D  =  ( N maDet  R )
26 eqid 2382 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
27 eqid 2382 . . . 4  |-  (.g `  (mulGrp `  R ) )  =  (.g `  (mulGrp `  R
) )
2825, 5, 7, 26, 17, 11, 27mdetdiagid 19187 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  (
Base `  A )  /\  .1.  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
I j )  =  if ( i  =  j ,  .1.  , 
( 0g `  R
) )  ->  ( D `  I )  =  ( ( # `  N ) (.g `  (mulGrp `  R ) )  .1.  ) ) )
2916, 24, 28sylc 60 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( D `  I )  =  ( ( # `  N ) (.g `  (mulGrp `  R ) )  .1.  ) )
30 ringsrg 17350 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. SRing
)
312, 30syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e. SRing )
32 hashcl 12330 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( # `
 N )  e. 
NN0 )
3326, 27, 12srg1expzeq1 17303 . . 3  |-  ( ( R  e. SRing  /\  ( # `
 N )  e. 
NN0 )  ->  (
( # `  N ) (.g `  (mulGrp `  R
) )  .1.  )  =  .1.  )
3431, 32, 33syl2an 475 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( # `  N ) (.g `  (mulGrp `  R
) )  .1.  )  =  .1.  )
3529, 34eqtrd 2423 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( D `  I )  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   ifcif 3857   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   NN0cn0 10712   #chash 12307   Basecbs 14634   0gc0g 14847  .gcmg 16173  mulGrpcmgp 17254   1rcur 17266  SRingcsrg 17270   Ringcrg 17311   CRingccrg 17312   Mat cmat 18994   maDet cmdat 19171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-word 12446  df-lsw 12447  df-concat 12448  df-s1 12449  df-substr 12450  df-splice 12451  df-reverse 12452  df-s2 12724  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-prds 14855  df-pws 14857  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-gim 16424  df-cntz 16472  df-oppg 16498  df-symg 16520  df-pmtr 16584  df-psgn 16633  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-srg 17271  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-rnghom 17477  df-drng 17511  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-cnfld 18534  df-zring 18602  df-zrh 18634  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mamu 18971  df-mat 18995  df-mdet 19172
This theorem is referenced by:  mdetuni0  19208  matunit  19265  cramerimplem1  19270
  Copyright terms: Public domain W3C validator