Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdet0 Structured version   Unicode version

Theorem mdet0 30774
Description: The determinant of the zero matrix (of dimension greater 0!) is 0. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdet0.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdet0.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdet0.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdet0.z  |-  Z  =  ( 0g `  A
)
mdet0.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
mdet0  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/) )  ->  ( D `
 Z )  =  .0.  )

Proof of Theorem mdet0
Dummy variables  i  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3643 . . 3  |-  ( N  =/=  (/)  <->  E. i  i  e.  N )
2 crngrng 16645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
32anim1i 565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
43ancomd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
54adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
6 mdet0.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( 0g `  A
)
7 mdet0.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( N Mat  R )
8 mdet0.0 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
97, 8mat0op 18279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  )
)
106, 9syl5eq 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Z  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  ) )
115, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  Z  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  ) )
1211fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  Z )  =  ( D `  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  )
) )
13 ifid 3823 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
1413eqcomi 2445 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  )
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  .0.  =  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) )
1615mpt2eq3dv 6151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) ) )
1716fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  ) )  =  ( D `  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) ) ) )
18 mdet0.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( N maDet  R )
19 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
20 simpll 748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  R  e.  CRing
)
21 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  N  e.  Fin )
2221adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  N  e.  Fin )
23 rngmnd 16644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
242, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Mnd )
2524adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  R  e.  Mnd )
2619, 8mndidcl 15435 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
2827adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
29283ad2ant1 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
30 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  i  e.  N )
3118, 19, 8, 20, 22, 29, 30mdetr0 18371 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
3212, 17, 313eqtrd 2477 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  Z )  =  .0.  )
3332ex 434 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
i  e.  N  -> 
( D `  Z
)  =  .0.  )
)
3433exlimdv 1695 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( E. i  i  e.  N  ->  ( D `  Z )  =  .0.  ) )
351, 34syl5bi 217 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  =/=  (/)  ->  ( D `  Z )  =  .0.  ) )
36353impia 1179 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/) )  ->  ( D `
 Z )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   (/)c0 3634   ifcif 3788   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   Fincfn 7306   Basecbs 14170   0gc0g 14374   Mndcmnd 15405   Ringcrg 16635   CRingccrg 16636   Mat cmat 18239   maDet cmdat 18354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-xor 1346  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-ot 3883  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-substr 12229  df-splice 12230  df-reverse 12231  df-s2 12471  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-prds 14382  df-pws 14384  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-symg 15876  df-pmtr 15941  df-psgn 15990  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-cnfld 17778  df-zring 17843  df-zrh 17894  df-dsmm 18116  df-frlm 18131  df-mat 18241  df-mdet 18355
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator