Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdet0 Structured version   Unicode version

Theorem mdet0 30956
Description: The determinant of the zero matrix (of dimension greater 0!) is 0. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdet0.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdet0.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdet0.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdet0.z  |-  Z  =  ( 0g `  A
)
mdet0.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
mdet0  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/) )  ->  ( D `
 Z )  =  .0.  )

Proof of Theorem mdet0
Dummy variables  i  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3665 . . 3  |-  ( N  =/=  (/)  <->  E. i  i  e.  N )
2 crngrng 16674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
32anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
43ancomd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
6 mdet0.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( 0g `  A
)
7 mdet0.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( N Mat  R )
8 mdet0.0 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
97, 8mat0op 18339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  )
)
106, 9syl5eq 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Z  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  ) )
115, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  Z  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  ) )
1211fveq2d 5714 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  Z )  =  ( D `  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  )
) )
13 ifid 3845 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
1413eqcomi 2447 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  )
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  .0.  =  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) )
1615mpt2eq3dv 6171 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) ) )
1716fveq2d 5714 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  ) )  =  ( D `  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) ) ) )
18 mdet0.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( N maDet  R )
19 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
20 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  R  e.  CRing
)
21 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  N  e.  Fin )
2221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  N  e.  Fin )
23 rngmnd 16673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
242, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Mnd )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  R  e.  Mnd )
2619, 8mndidcl 15458 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
2827adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
29283ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
30 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  i  e.  N )
3118, 19, 8, 20, 22, 29, 30mdetr0 18431 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
3212, 17, 313eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  Z )  =  .0.  )
3332ex 434 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
i  e.  N  -> 
( D `  Z
)  =  .0.  )
)
3433exlimdv 1690 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( E. i  i  e.  N  ->  ( D `  Z )  =  .0.  ) )
351, 34syl5bi 217 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  =/=  (/)  ->  ( D `  Z )  =  .0.  ) )
36353impia 1184 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/) )  ->  ( D `
 Z )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2620   (/)c0 3656   ifcif 3810   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   Fincfn 7329   Basecbs 14193   0gc0g 14397   Mndcmnd 15428   Ringcrg 16664   CRingccrg 16665   Mat cmat 18299   maDet cmdat 18414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-ot 3905  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-tpos 6764  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-rp 11011  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-word 12248  df-concat 12250  df-s1 12251  df-substr 12252  df-splice 12253  df-reverse 12254  df-s2 12494  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-hom 14281  df-cco 14282  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-prds 14405  df-pws 14407  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-mhm 15483  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-sbg 15566  df-mulg 15567  df-subg 15697  df-ghm 15764  df-gim 15806  df-cntz 15854  df-oppg 15880  df-symg 15902  df-pmtr 15967  df-psgn 16016  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-cring 16667  df-oppr 16734  df-dvdsr 16752  df-unit 16753  df-invr 16783  df-dvr 16794  df-rnghom 16825  df-drng 16853  df-subrg 16882  df-lmod 16969  df-lss 17033  df-sra 17272  df-rgmod 17273  df-cnfld 17838  df-zring 17903  df-zrh 17954  df-dsmm 18176  df-frlm 18191  df-mat 18301  df-mdet 18415
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator