MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet0 Structured version   Unicode version

Theorem mdet0 18975
Description: The determinant of the zero matrix (of dimension greater 0!) is 0. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdet0.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
mdet0.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mdet0.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mdet0.z  |-  Z  =  ( 0g `  A
)
mdet0.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
mdet0  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/) )  ->  ( D `
 Z )  =  .0.  )

Proof of Theorem mdet0
Dummy variables  i  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3799 . . 3  |-  ( N  =/=  (/)  <->  E. i  i  e.  N )
2 crngring 17079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
32anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
43ancomd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
6 mdet0.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( 0g `  A
)
7 mdet0.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( N Mat  R )
8 mdet0.0 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
97, 8mat0op 18788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  )
)
106, 9syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Z  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  ) )
115, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  Z  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  ) )
1211fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  Z )  =  ( D `  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  )
) )
13 ifid 3982 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
1413eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  )
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  .0.  =  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) )
1615mpt2eq3dv 6358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) ) )
1716fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  .0.  ) )  =  ( D `  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) ) ) )
18 mdet0.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( N maDet  R )
19 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
20 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  R  e.  CRing
)
21 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  N  e.  Fin )
2221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  N  e.  Fin )
23 ringmnd 17077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
242, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Mnd )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  R  e.  Mnd )
2619, 8mndidcl 15810 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
2827adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
29283ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
30 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  i  e.  N )
3118, 19, 8, 20, 22, 29, 30mdetr0 18974 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  i ,  .0.  ,  .0.  ) ) )  =  .0.  )
3212, 17, 313eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  i  e.  N
)  ->  ( D `  Z )  =  .0.  )
3332ex 434 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
i  e.  N  -> 
( D `  Z
)  =  .0.  )
)
3433exlimdv 1700 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( E. i  i  e.  N  ->  ( D `  Z )  =  .0.  ) )
351, 34syl5bi 217 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  =/=  (/)  ->  ( D `  Z )  =  .0.  ) )
36353impia 1193 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin  /\  N  =/=  (/) )  ->  ( D `
 Z )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3790   ifcif 3945   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Fincfn 7528   Basecbs 14506   0gc0g 14711   Mndcmnd 15792   Ringcrg 17068   CRingccrg 17069   Mat cmat 18776   maDet cmdat 18953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-word 12522  df-concat 12524  df-s1 12525  df-substr 12526  df-splice 12527  df-reverse 12528  df-s2 12792  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-prds 14719  df-pws 14721  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-ghm 16136  df-gim 16178  df-cntz 16226  df-oppg 16252  df-symg 16274  df-pmtr 16338  df-psgn 16387  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-cring 17071  df-oppr 17142  df-dvdsr 17160  df-unit 17161  df-invr 17191  df-dvr 17202  df-rnghom 17234  df-drng 17267  df-subrg 17296  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-sra 17687  df-rgmod 17688  df-cnfld 18289  df-zring 18357  df-zrh 18408  df-dsmm 18630  df-frlm 18645  df-mat 18777  df-mdet 18954
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator