MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegxrf Structured version   Unicode version

Theorem mdegxrf 22634
Description: Functionality of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegxrcl.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegxrcl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mdegxrcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mdegxrf  |-  D : B
--> RR*

Proof of Theorem mdegxrf
Dummy variables  x  y  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11350 . . . 4  |-  <  Or  RR*
21supex 7914 . . 3  |-  sup (
( ( y  e. 
{ x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) ) "
( z supp  ( 0g
`  R ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V
3 mdegxrcl.d . . . 4  |-  D  =  ( I mDeg  R )
4 mdegxrcl.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
5 mdegxrcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
6 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
7 eqid 2454 . . . 4  |-  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) )  =  ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) )
93, 4, 5, 6, 7, 8mdegfval 22626 . . 3  |-  D  =  ( z  e.  B  |->  sup ( ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( z supp  ( 0g `  R
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
102, 9fnmpti 5691 . 2  |-  D  Fn  B
113, 4, 5mdegxrcl 22633 . . 3  |-  ( f  e.  B  ->  ( D `  f )  e.  RR* )
1211rgen 2814 . 2  |-  A. f  e.  B  ( D `  f )  e.  RR*
13 ffnfv 6033 . 2  |-  ( D : B --> RR*  <->  ( D  Fn  B  /\  A. f  e.  B  ( D `  f )  e.  RR* ) )
1410, 12, 13mpbir2an 918 1  |-  D : B
--> RR*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   "cima 4991    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supp csupp 6891    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   supcsup 7892   RR*cxr 9616    < clt 9617   NNcn 10531   NN0cn0 10791   Basecbs 14716   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   mPoly cmpl 18197  ℂfldccnfld 18615   mDeg cmdg 22617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-psr 18200  df-mpl 18202  df-cnfld 18616  df-mdeg 22619
This theorem is referenced by:  deg1xrf  22647
  Copyright terms: Public domain W3C validator