MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegxrcl Structured version   Unicode version

Theorem mdegxrcl 21656
Description: Closure of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegxrcl.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegxrcl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mdegxrcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mdegxrcl  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )

Proof of Theorem mdegxrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegxrcl.d . . 3  |-  D  =  ( I mDeg  R )
2 mdegxrcl.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 mdegxrcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 eqid 2451 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5 eqid 2451 . . 3  |-  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
6 eqid 2451 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) )  =  ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 21651 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( F supp  ( 0g `  R
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
8 imassrn 5280 . . . 4  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( F supp  ( 0g `  R
) ) )  C_  ran  ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) )
92, 3mplrcl 17680 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  I  e.  _V )
105, 6tdeglem1 21645 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  (
y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) : { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } --> NN0 )
11 frn 5665 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) : { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } --> NN0  ->  ran  ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) )  C_  NN0 )
129, 10, 113syl 20 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  ran  ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) )  C_  NN0 )
13 nn0ssre 10686 . . . . . 6  |-  NN0  C_  RR
14 ressxr 9530 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
1513, 14sstri 3465 . . . . 5  |-  NN0  C_  RR*
1612, 15syl6ss 3468 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  ran  ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) )  C_  RR* )
178, 16syl5ss 3467 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  (
( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) ) "
( F supp  ( 0g `  R ) ) ) 
C_  RR* )
18 supxrcl 11380 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) ) "
( F supp  ( 0g `  R ) ) ) 
C_  RR*  ->  sup (
( ( y  e. 
{ x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) ) "
( F supp  ( 0g `  R ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  sup ( ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( F supp  ( 0g `  R
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
207, 19eqeltrd 2539 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   _Vcvv 3070    C_ wss 3428    |-> cmpt 4450   `'ccnv 4939   ran crn 4941   "cima 4943   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   supp csupp 6792    ^m cmap 7316   Fincfn 7412   supcsup 7793   RRcr 9384   RR*cxr 9520    < clt 9521   NNcn 10425   NN0cn0 10682   Basecbs 14278   0gc0g 14482    gsumg cgsu 14483   mPoly cmpl 17528  ℂfldccnfld 17929   mDeg cmdg 21640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-hash 12207  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-cring 16756  df-psr 17531  df-mpl 17533  df-cnfld 17930  df-mdeg 21642
This theorem is referenced by:  mdegxrf  21657  mdegaddle  21663  mdegvscale  21664  mdegmullem  21667
  Copyright terms: Public domain W3C validator