MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvscale Structured version   Unicode version

Theorem mdegvscale 22767
Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegvscale.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegvscale.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mdegvscale.p  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
mdegvscale.f  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
mdegvscale.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mdegvscale  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( D `  G ) )

Proof of Theorem mdegvscale
Dummy variables  x  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegvscale.p . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
3 mdegvscale.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 mdegvscale.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
7 mdegvscale.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  K )
87adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  F  e.  K )
9 mdegvscale.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
109adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  G  e.  B )
11 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  x  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mplvscaval 18430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( F ( .r `  R ) ( G `
 x ) ) )
1312adantrr 715 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x ) ) )  ->  ( ( F 
.x.  G ) `  x )  =  ( F ( .r `  R ) ( G `
 x ) ) )
14 mdegaddle.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( I mDeg  R )
15 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
16 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) )  =  ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) )
179adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x ) ) )  ->  G  e.  B
)
18 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x ) ) )  ->  x  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
19 simprr 758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x ) ) )  ->  ( D `  G )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  x ) )
2014, 1, 4, 15, 6, 16, 17, 18, 19mdeglt 22757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( 0g `  R ) )
2120oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x ) ) )  ->  ( F ( .r `  R ) ( G `  x
) )  =  ( F ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
22 mdegaddle.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
233, 5, 15ringrz 17556 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  ( F ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
2422, 7, 23syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( .r
`  R ) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
2524adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x ) ) )  ->  ( F ( .r `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
2613, 21, 253eqtrd 2447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x ) ) )  ->  ( ( F 
.x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )
2726expr 613 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x )  ->  (
( F  .x.  G
) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
2827ralrimiva 2818 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  ( ( D `  G )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  x )  ->  (
( F  .x.  G
) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
29 mdegaddle.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
301mpllmod 18433 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  LMod )
3129, 22, 30syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
321, 29, 22mplsca 18427 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  Y ) )
3332fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
343, 33syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
357, 34eleqtrd 2492 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
36 eqid 2402 . . . . 5  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
37 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
384, 36, 2, 37lmodvscl 17849 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  F  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
3931, 35, 9, 38syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
4014, 1, 4mdegxrcl 22759 . . . 4  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
419, 40syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
4214, 1, 4, 15, 6, 16mdegleb 22756 . . 3  |-  ( ( ( F  .x.  G
)  e.  B  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  (
( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( D `  G )  <->  A. x  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  ( ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x )  ->  (
( F  .x.  G
) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4339, 41, 42syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( D `  G )  <->  A. x  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  ( ( D `  G )  <  ( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  x )  ->  (
( F  .x.  G
) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4428, 43mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   "cima 4826   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   Fincfn 7554   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   NNcn 10576   NN0cn0 10836   Basecbs 14841   .rcmulr 14910  Scalarcsca 14912   .scvsca 14913   0gc0g 15054    gsumg cgsu 15055   Ringcrg 17518   LModclmod 17832   mPoly cmpl 18322  ℂfldccnfld 18740   mDeg cmdg 22743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-psr 18325  df-mpl 18327  df-cnfld 18741  df-mdeg 22745
This theorem is referenced by:  deg1vscale  22797
  Copyright terms: Public domain W3C validator