MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvsca Structured version   Unicode version

Theorem mdegvsca 21675
Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a non-zero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegvsca.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegvsca.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
mdegvsca.p  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
mdegvsca.f  |-  ( ph  ->  F  e.  E )
mdegvsca.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mdegvsca  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  =  ( D `  G ) )

Proof of Theorem mdegvsca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegvsca.p . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
3 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 mdegvsca.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
7 mdegvsca.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  (RLReg `  R )
87, 3rrgss 17482 . . . . . . . 8  |-  E  C_  ( Base `  R )
9 mdegvsca.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  E )
108, 9sseldi 3457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  R ) )
11 mdegvsca.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mplvsca 17645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  =  ( ( { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  X.  { F }
)  oF ( .r `  R ) G ) )
1312oveq1d 6210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  .x.  G ) supp  ( 0g `  R ) )  =  ( ( ( { x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  X.  { F }
)  oF ( .r `  R ) G ) supp  ( 0g
`  R ) ) )
14 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
15 ovex 6220 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4546 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
18 mdegaddle.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
191, 3, 4, 6, 11mplelf 17628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
207, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19rrgsupp 17480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( { x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  X.  { F }
)  oF ( .r `  R ) G ) supp  ( 0g
`  R ) )  =  ( G supp  ( 0g `  R ) ) )
2113, 20eqtrd 2493 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  .x.  G ) supp  ( 0g `  R ) )  =  ( G supp  ( 0g
`  R ) ) )
2221imaeq2d 5272 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) ) "
( ( F  .x.  G ) supp  ( 0g `  R ) ) )  =  ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( G supp  ( 0g `  R
) ) ) )
2322supeq1d 7802 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( ( F  .x.  G ) supp  ( 0g `  R
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( G supp  ( 0g `  R
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
24 mdegaddle.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
251mpllmod 17649 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  LMod )
2624, 18, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
271, 24, 18mplsca 17643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  Y ) )
2827fveq2d 5798 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
2910, 28eleqtrd 2542 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
30 eqid 2452 . . . . 5  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
31 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
324, 30, 2, 31lmodvscl 17083 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  F  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
3326, 29, 11, 32syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
34 mdegaddle.d . . . 4  |-  D  =  ( I mDeg  R )
35 eqid 2452 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) )  =  ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) )
3634, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 21661 . . 3  |-  ( ( F  .x.  G )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  =  sup ( ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( ( F  .x.  G ) supp  ( 0g `  R
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
3733, 36syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  =  sup ( ( ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) ) "
( ( F  .x.  G ) supp  ( 0g `  R ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3834, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 21661 . . 3  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( G supp  ( 0g `  R
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
3911, 38syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  =  sup (
( ( y  e. 
{ x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) ) "
( G supp  ( 0g `  R ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
4023, 37, 393eqtr4d 2503 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  =  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2800   _Vcvv 3072   {csn 3980    |-> cmpt 4453    X. cxp 4941   `'ccnv 4942   "cima 4946   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    oFcof 6423   supp csupp 6795    ^m cmap 7319   Fincfn 7415   supcsup 7796   RR*cxr 9523    < clt 9524   NNcn 10428   NN0cn0 10685   Basecbs 14287   .rcmulr 14353  Scalarcsca 14355   .scvsca 14356   0gc0g 14492    gsumg cgsu 14493   Ringcrg 16763   LModclmod 17066  RLRegcrlreg 17468   mPoly cmpl 17538  ℂfldccnfld 17938   mDeg cmdg 21650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-tset 14371  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-rlreg 17472  df-psr 17541  df-mpl 17543  df-mdeg 21652
This theorem is referenced by:  deg1vsca  21705
  Copyright terms: Public domain W3C validator