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Theorem mdegmullem 22213
Description: Lemma for mdegmulle2 22214. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegmulle2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegmulle2.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mdegmulle2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mdegmulle2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
mdegmulle2.j1  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
mdegmulle2.k1  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
mdegmulle2.j2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
mdegmulle2.k2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
mdegmullem.a  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
mdegmullem.h  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
Assertion
Ref Expression
mdegmullem  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Distinct variable groups:    I, a,
b    R, b    V, b    A, b
Allowed substitution hints:    ph( a, b)    A( a)    B( a, b)    D( a, b)    R( a)    .x. ( a, b)    F( a, b)    G( a, b)    H( a, b)    J( a, b)    K( a, b)    V( a)    Y( a, b)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables  c 
d  x  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 17876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  =  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) )
98fveq1d 5866 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
11 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
e  oR  <_ 
c  <->  e  oR  <_  x ) )
1211rabbidv 3105 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  =  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
)
13 oveq1 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  x  ->  (
c  oF  -  d )  =  ( x  oF  -  d ) )
1413fveq2d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  ( c  oF  -  d
) )  =  ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )
1514oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( c  oF  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) ) )
1612, 15mpteq12dv 4525 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
c  oF  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) ) ) )
1716oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
18 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) )  =  ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  oF  -  d
) ) ) ) ) )
19 ovex 6307 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5948 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
2120ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  oF  -  d
) ) ) ) ) ) `  x
)  =  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
22 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( I mDeg  R )
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
24 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
256ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  ->  F  e.  B )
26 elrabi 3258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  ->  d  e.  A )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  d  e.  A )
2827adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
d  e.  A )
2922, 1, 2mdegxrcl 22202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
306, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
32 nn0ssre 10795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  C_  RR
33 ressxr 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
3432, 33sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  C_  RR*
35 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
3634, 35sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  RR* )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  RR* )
38 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
395, 24tdeglem1 22191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  H : A --> NN0 )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  H : A --> NN0 )
4241, 27ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  NN0 )
4334, 42sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR* )
4431, 37, 433jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* ) )
4544adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `  d )  e.  RR* ) )
46 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  F )  <_  J )
4847anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( D `  F
)  <_  J  /\  J  <  ( H `  d ) ) )
4948anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) ) )
50 xrlelttr 11355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* )  ->  (
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) )  ->  ( D `  F )  <  ( H `  d )
) )
5145, 49, 50sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( D `  F
)  <  ( H `  d ) )
5222, 1, 2, 23, 5, 24, 25, 28, 51mdeglt 22200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( F `  d
)  =  ( 0g
`  R ) )
5352oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
54 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
56 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
571, 56, 2, 5, 7mplelf 17863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : A --> ( Base `  R ) )
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  G : A --> ( Base `  R
) )
59 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  C_  A
6038ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  I  e.  V )
61 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  x  e.  A )
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  d  e.  { e  e.  A  |  e  oR 
<_  x } )
63 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  =  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
645, 63psrbagconcl 17796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A  /\  d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
)  ->  ( x  oF  -  d
)  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x } )
6560, 61, 62, 64syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
x  oF  -  d )  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )
6659, 65sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
x  oF  -  d )  e.  A
)
6758, 66ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( G `  ( x  oF  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)
6856, 3, 23rnglz 17022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( x  oF  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
6955, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
7069adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7153, 70eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7271anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
737ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  G  e.  B )
7466adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( x  oF  -  d
)  e.  A )
7522, 1, 2mdegxrcl 22202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
767, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
7776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
78 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
7934, 78sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  RR* )
8079ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  RR* )
8141, 66ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  NN0 )
8234, 81sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  RR* )
8377, 80, 823jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* )
)
8483adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  e.  RR*  /\  K  e. 
RR*  /\  ( H `  ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* ) )
85 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  G )  <_  K )
8786anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
8887anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  <_  K  /\  K  < 
( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
89 xrlelttr 11355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  -> 
( D `  G
)  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) )
9084, 88, 89sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( D `  G )  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )
9122, 1, 2, 23, 5, 24, 73, 74, 90mdeglt 22200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( G `  ( x  oF  -  d ) )  =  ( 0g `  R ) )
9291oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( 0g `  R ) ) )
931, 56, 2, 5, 6mplelf 17863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  R ) )
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  F : A --> ( Base `  R
) )
9594, 27ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )
9656, 3, 23rngrz 17023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9755, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9897adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
9992, 98eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
10099anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) )  ->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
101 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) )
10242nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR )
10381nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  RR )
10435ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  NN0 )
105104nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  RR )
10678ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  NN0 )
107106nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  RR )
108 le2add 10030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( H `  d )  e.  RR  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  e.  RR )  /\  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( H `
 d )  <_  J  /\  ( H `  ( x  oF  -  d ) )  <_  K )  -> 
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
) ) )
109102, 103, 105, 107, 108syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  <_  ( J  +  K )
) )
1105, 24tdeglem3 22192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  ( x  oF  -  d )  e.  A )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
11160, 27, 66, 110syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
1125psrbagf 17785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
1131123adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
114113ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  NN0 )
115114nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  CC )
1165psrbagf 17785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
1171163adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
118117ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  NN0 )
119118nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  CC )
120115, 119pncan3d 9929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( d `  b
)  +  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) ) )  =  ( x `  b ) )
121120mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `  b
)  -  ( d `
 b ) ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( x `  b ) ) )
122 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  I  e.  V )
123 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d `
 b )  e. 
_V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  _V )
125 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) )  e. 
_V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( x `  b
)  -  ( d `
 b ) )  e.  _V )
127113feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d  =  ( b  e.  I  |->  ( d `
 b ) ) )
128 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x `
 b )  e. 
_V
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  _V )
130117feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  =  ( b  e.  I  |->  ( x `
 b ) ) )
131122, 129, 124, 130, 127offval2 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  oF  -  d )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( x `  b )  -  (
d `  b )
) ) )
132122, 124, 126, 127, 131offval2 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `
 b )  -  ( d `  b
) ) ) ) )
133121, 132, 1303eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  x )
13460, 27, 61, 133syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  x )
135134fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
136111, 135eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
137136breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
)  <->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K )
) )
138109, 137sylibd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  ->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K
) ) )
139102, 105lenltd 9726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  <_  J  <->  -.  J  <  ( H `  d
) ) )
140103, 107lenltd 9726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K 
<->  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
141139, 140anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )
142 ioran 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) )
143141, 142syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  <->  -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) ) )
14441, 61ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  NN0 )
145144nn0red 10849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  RR )
14635, 78nn0addcld 10852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  NN0 )
147146ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  NN0 )
148147nn0red 10849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  RR )
149145, 148lenltd 9726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  x
)  <_  ( J  +  K )  <->  -.  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )
150138, 143, 1493imtr3d 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  ->  -.  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )
151101, 150mt4d 138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
15272, 100, 151mpjaodan 784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
153152mpteq2dva 4533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( 0g `  R ) ) )
154153oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) ) )
155 rngmnd 16995 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
15654, 155syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
157156adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  ->  R  e.  Mnd )
158 ovex 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
159158rabex 4598 . . . . . . . . 9  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1605, 159eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
161160rabex 4598 . . . . . . 7  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  e.  _V
16223gsumz 15824 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
163157, 161, 162sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
164154, 163eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
16510, 21, 1643eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) )
166165expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( J  +  K
)  <  ( H `  x )  ->  (
( F  .x.  G
) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
167166ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x )  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
1681mplrng 17885 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
16938, 54, 168syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
1702, 4rngcl 16999 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .x.  G )  e.  B )
171169, 6, 7, 170syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
17234, 146sseldi 3502 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  RR* )
17322, 1, 2, 23, 5, 24mdegleb 22199 . . 3  |-  ( ( ( F  .x.  G
)  e.  B  /\  ( J  +  K
)  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
174171, 172, 173syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
175167, 174mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520    oRcofr 6521    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   RRcr 9487    + caddc 9491   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   NN0cn0 10791   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692   Mndcmnd 15722   Ringcrg 16986   mPoly cmpl 17773  ℂfldccnfld 18191   mDeg cmdg 22186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-subrg 17210  df-psr 17776  df-mpl 17778  df-cnfld 18192  df-mdeg 22188
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  22214
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