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Theorem mdegmullem 22772
Description: Lemma for mdegmulle2 22773. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegmulle2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegmulle2.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mdegmulle2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mdegmulle2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
mdegmulle2.j1  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
mdegmulle2.k1  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
mdegmulle2.j2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
mdegmulle2.k2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
mdegmullem.a  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
mdegmullem.h  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
Assertion
Ref Expression
mdegmullem  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Distinct variable groups:    I, a,
b    R, b    V, b    A, b
Allowed substitution hints:    ph( a, b)    A( a)    B( a, b)    D( a, b)    R( a)    .x. ( a, b)    F( a, b)    G( a, b)    H( a, b)    J( a, b)    K( a, b)    V( a)    Y( a, b)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables  c 
d  x  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 18427 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  =  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) )
98fveq1d 5853 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
11 breq2 4401 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
e  oR  <_ 
c  <->  e  oR  <_  x ) )
1211rabbidv 3053 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  =  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
)
13 oveq1 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  x  ->  (
c  oF  -  d )  =  ( x  oF  -  d ) )
1413fveq2d 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  ( c  oF  -  d
) )  =  ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )
1514oveq2d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( c  oF  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) ) )
1612, 15mpteq12dv 4475 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
c  oF  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) ) ) )
1716oveq2d 6296 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
18 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) )  =  ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  oF  -  d
) ) ) ) ) )
19 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5934 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
2120ad2antrl 728 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  oF  -  d
) ) ) ) ) ) `  x
)  =  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
22 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( I mDeg  R )
23 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
24 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
256ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  ->  F  e.  B )
26 elrabi 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  ->  d  e.  A )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  d  e.  A )
2827adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
d  e.  A )
2922, 1, 2mdegxrcl 22761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
306, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
3130ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
32 nn0ssre 10842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  C_  RR
33 ressxr 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
3432, 33sstri 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  C_  RR*
35 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
3634, 35sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  RR* )
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  RR* )
38 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
395, 24tdeglem1 22750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  H : A --> NN0 )
4140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  H : A --> NN0 )
4241, 27ffvelrnd 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  NN0 )
4334, 42sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR* )
4431, 37, 433jca 1179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* ) )
4544adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `  d )  e.  RR* ) )
46 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
4746ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  F )  <_  J )
4847anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( D `  F
)  <_  J  /\  J  <  ( H `  d ) ) )
4948anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) ) )
50 xrlelttr 11414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* )  ->  (
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) )  ->  ( D `  F )  <  ( H `  d )
) )
5145, 49, 50sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( D `  F
)  <  ( H `  d ) )
5222, 1, 2, 23, 5, 24, 25, 28, 51mdeglt 22759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( F `  d
)  =  ( 0g
`  R ) )
5352oveq1d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
54 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
56 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
571, 56, 2, 5, 7mplelf 18414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : A --> ( Base `  R ) )
5857ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  G : A --> ( Base `  R
) )
59 ssrab2 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  C_  A
6038ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  I  e.  V )
61 simplrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  x  e.  A )
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  d  e.  { e  e.  A  |  e  oR 
<_  x } )
63 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  =  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
645, 63psrbagconcl 18347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A  /\  d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
)  ->  ( x  oF  -  d
)  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x } )
6560, 61, 62, 64syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
x  oF  -  d )  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )
6659, 65sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
x  oF  -  d )  e.  A
)
6758, 66ffvelrnd 6012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( G `  ( x  oF  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)
6856, 3, 23ringlz 17557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( x  oF  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
6955, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
7069adantrr 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7153, 70eqtrd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7271anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
737ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  G  e.  B )
7466adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( x  oF  -  d
)  e.  A )
7522, 1, 2mdegxrcl 22761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
767, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
7776ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
78 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
7934, 78sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  RR* )
8079ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  RR* )
8141, 66ffvelrnd 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  NN0 )
8234, 81sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  RR* )
8377, 80, 823jca 1179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* )
)
8483adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  e.  RR*  /\  K  e. 
RR*  /\  ( H `  ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* ) )
85 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
8685ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  G )  <_  K )
8786anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
8887anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  <_  K  /\  K  < 
( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
89 xrlelttr 11414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  -> 
( D `  G
)  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) )
9084, 88, 89sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( D `  G )  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )
9122, 1, 2, 23, 5, 24, 73, 74, 90mdeglt 22759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( G `  ( x  oF  -  d ) )  =  ( 0g `  R ) )
9291oveq2d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( 0g `  R ) ) )
931, 56, 2, 5, 6mplelf 18414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  R ) )
9493ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  F : A --> ( Base `  R
) )
9594, 27ffvelrnd 6012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )
9656, 3, 23ringrz 17558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9755, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9897adantrr 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
9992, 98eqtrd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
10099anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) )  ->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
101 simplrr 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) )
10242nn0red 10896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR )
10381nn0red 10896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  RR )
10435ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  NN0 )
105104nn0red 10896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  RR )
10678ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  NN0 )
107106nn0red 10896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  RR )
108 le2add 10077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( H `  d )  e.  RR  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  e.  RR )  /\  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( H `
 d )  <_  J  /\  ( H `  ( x  oF  -  d ) )  <_  K )  -> 
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
) ) )
109102, 103, 105, 107, 108syl22anc 1233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  <_  ( J  +  K )
) )
1105, 24tdeglem3 22751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  ( x  oF  -  d )  e.  A )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
11160, 27, 66, 110syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
1125psrbagf 18336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
1131123adant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
114113ffvelrnda 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  NN0 )
115114nn0cnd 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  CC )
1165psrbagf 18336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
1171163adant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
118117ffvelrnda 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  NN0 )
119118nn0cnd 10897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  CC )
120115, 119pncan3d 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( d `  b
)  +  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) ) )  =  ( x `  b ) )
121120mpteq2dva 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `  b
)  -  ( d `
 b ) ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( x `  b ) ) )
122 simp1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  I  e.  V )
123 fvex 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d `
 b )  e. 
_V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  _V )
125 ovex 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) )  e. 
_V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( x `  b
)  -  ( d `
 b ) )  e.  _V )
127113feqmptd 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d  =  ( b  e.  I  |->  ( d `
 b ) ) )
128 fvex 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x `
 b )  e. 
_V
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  _V )
130117feqmptd 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  =  ( b  e.  I  |->  ( x `
 b ) ) )
131122, 129, 124, 130, 127offval2 6540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  oF  -  d )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( x `  b )  -  (
d `  b )
) ) )
132122, 124, 126, 127, 131offval2 6540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `
 b )  -  ( d `  b
) ) ) ) )
133121, 132, 1303eqtr4d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  x )
13460, 27, 61, 133syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  x )
135134fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
136111, 135eqtr3d 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
137136breq1d 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
)  <->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K )
) )
138109, 137sylibd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  ->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K
) ) )
139102, 105lenltd 9765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  <_  J  <->  -.  J  <  ( H `  d
) ) )
140103, 107lenltd 9765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K 
<->  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
141139, 140anbi12d 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )
142 ioran 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) )
143141, 142syl6bbr 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  <->  -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) ) )
14441, 61ffvelrnd 6012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  NN0 )
145144nn0red 10896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  RR )
14635, 78nn0addcld 10899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  NN0 )
147146ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  NN0 )
148147nn0red 10896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  RR )
149145, 148lenltd 9765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  x
)  <_  ( J  +  K )  <->  -.  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )
150138, 143, 1493imtr3d 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  ->  -.  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )
151101, 150mt4d 140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
15272, 100, 151mpjaodan 789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
153152mpteq2dva 4483 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( 0g `  R ) ) )
154153oveq2d 6296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) ) )
155 ringmnd 17529 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
15654, 155syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
157156adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  ->  R  e.  Mnd )
158 ovex 6308 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1595, 158rab2ex 4550 . . . . . . 7  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  e.  _V
16023gsumz 16331 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
161157, 159, 160sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
162154, 161eqtrd 2445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
16310, 21, 1623eqtrd 2449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) )
164163expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( J  +  K
)  <  ( H `  x )  ->  (
( F  .x.  G
) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
165164ralrimiva 2820 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x )  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
1661mplring 18436 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
16738, 54, 166syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
1682, 4ringcl 17534 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .x.  G )  e.  B )
169167, 6, 7, 168syl3anc 1232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
17034, 146sseldi 3442 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  RR* )
17122, 1, 2, 23, 5, 24mdegleb 22758 . . 3  |-  ( ( ( F  .x.  G
)  e.  B  /\  ( J  +  K
)  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
172169, 170, 171syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
173165, 172mpbird 234 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3061   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   `'ccnv 4824   "cima 4828   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    oFcof 6521    oRcofr 6522    ^m cmap 7459   Fincfn 7556   RRcr 9523    + caddc 9527   RR*cxr 9659    < clt 9660    <_ cle 9661    - cmin 9843   NNcn 10578   NN0cn0 10838   Basecbs 14843   .rcmulr 14912   0gc0g 15056    gsumg cgsu 15057   Mndcmnd 16245   Ringcrg 17520   mPoly cmpl 18324  ℂfldccnfld 18742   mDeg cmdg 22745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-hash 12455  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-ghm 16591  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-subrg 17749  df-psr 18327  df-mpl 18329  df-cnfld 18743  df-mdeg 22747
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  22773
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