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Theorem mdegmullem 21554
Description: Lemma for mdegmulle2 21555. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegmulle2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegmulle2.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mdegmulle2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mdegmulle2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
mdegmulle2.j1  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
mdegmulle2.k1  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
mdegmulle2.j2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
mdegmulle2.k2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
mdegmullem.a  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
mdegmullem.h  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
Assertion
Ref Expression
mdegmullem  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Distinct variable groups:    I, a,
b    R, b    V, b    A, b
Allowed substitution hints:    ph( a, b)    A( a)    B( a, b)    D( a, b)    R( a)    .x. ( a, b)    F( a, b)    G( a, b)    H( a, b)    J( a, b)    K( a, b)    V( a)    Y( a, b)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables  c 
d  x  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 17527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  =  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) )
98fveq1d 5698 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
11 breq2 4301 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
e  oR  <_ 
c  <->  e  oR  <_  x ) )
1211rabbidv 2969 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  =  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
)
13 oveq1 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  x  ->  (
c  oF  -  d )  =  ( x  oF  -  d ) )
1413fveq2d 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  ( c  oF  -  d
) )  =  ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )
1514oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( c  oF  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) ) )
1612, 15mpteq12dv 4375 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
c  oF  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) ) ) )
1716oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
18 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) )  =  ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  oF  -  d
) ) ) ) ) )
19 ovex 6121 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5779 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  oF  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
2120ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  oF  -  d
) ) ) ) ) ) `  x
)  =  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) ) )
22 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( I mDeg  R )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
24 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
256ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  ->  F  e.  B )
26 elrabi 3119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  ->  d  e.  A )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  d  e.  A )
2827adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
d  e.  A )
2922, 1, 2mdegxrcl 21543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
306, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
32 nn0ssre 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  C_  RR
33 ressxr 9432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
3432, 33sstri 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  C_  RR*
35 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
3634, 35sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  RR* )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  RR* )
38 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
395, 24tdeglem1 21532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  H : A --> NN0 )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  H : A --> NN0 )
4241, 27ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  NN0 )
4334, 42sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR* )
4431, 37, 433jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* ) )
4544adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `  d )  e.  RR* ) )
46 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  F )  <_  J )
4847anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( D `  F
)  <_  J  /\  J  <  ( H `  d ) ) )
4948anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) ) )
50 xrlelttr 11135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* )  ->  (
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) )  ->  ( D `  F )  <  ( H `  d )
) )
5145, 49, 50sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( D `  F
)  <  ( H `  d ) )
5222, 1, 2, 23, 5, 24, 25, 28, 51mdeglt 21541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( F `  d
)  =  ( 0g
`  R ) )
5352oveq1d 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
54 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
56 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
571, 56, 2, 5, 7mplelf 17514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : A --> ( Base `  R ) )
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  G : A --> ( Base `  R
) )
59 ssrab2 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  C_  A
6038ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  I  e.  V )
61 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  x  e.  A )
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  d  e.  { e  e.  A  |  e  oR 
<_  x } )
63 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  =  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
645, 63psrbagconcl 17448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A  /\  d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }
)  ->  ( x  oF  -  d
)  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x } )
6560, 61, 62, 64syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
x  oF  -  d )  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )
6659, 65sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
x  oF  -  d )  e.  A
)
6758, 66ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( G `  ( x  oF  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)
6856, 3, 23rnglz 16686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( x  oF  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
6955, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
7069adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7153, 70eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  oF  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7271anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
737ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  G  e.  B )
7466adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( x  oF  -  d
)  e.  A )
7522, 1, 2mdegxrcl 21543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
767, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
7776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
78 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
7934, 78sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  RR* )
8079ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  RR* )
8141, 66ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  NN0 )
8234, 81sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  RR* )
8377, 80, 823jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* )
)
8483adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  e.  RR*  /\  K  e. 
RR*  /\  ( H `  ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* ) )
85 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( D `  G )  <_  K )
8786anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
8887anasss 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  <_  K  /\  K  < 
( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
89 xrlelttr 11135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  oF  -  d ) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  -> 
( D `  G
)  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) )
9084, 88, 89sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( D `  G )  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )
9122, 1, 2, 23, 5, 24, 73, 74, 90mdeglt 21541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( G `  ( x  oF  -  d ) )  =  ( 0g `  R ) )
9291oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( 0g `  R ) ) )
931, 56, 2, 5, 6mplelf 17514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  R ) )
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  F : A --> ( Base `  R
) )
9594, 27ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )
9656, 3, 23rngrz 16687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9755, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9897adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
9992, 98eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  oR 
<_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
10099anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) )  ->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
101 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) )
10242nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR )
10381nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  oF  -  d
) )  e.  RR )
10435ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  NN0 )
105104nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  J  e.  RR )
10678ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  NN0 )
107106nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  K  e.  RR )
108 le2add 9826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( H `  d )  e.  RR  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  e.  RR )  /\  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( H `
 d )  <_  J  /\  ( H `  ( x  oF  -  d ) )  <_  K )  -> 
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
) ) )
109102, 103, 105, 107, 108syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  <_  ( J  +  K )
) )
1105, 24tdeglem3 21533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  ( x  oF  -  d )  e.  A )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
11160, 27, 66, 110syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
1125psrbagf 17437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
1131123adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
114113ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  NN0 )
115114nn0cnd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  CC )
1165psrbagf 17437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
1171163adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
118117ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  NN0 )
119118nn0cnd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  CC )
120115, 119pncan3d 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( d `  b
)  +  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) ) )  =  ( x `  b ) )
121120mpteq2dva 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `  b
)  -  ( d `
 b ) ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( x `  b ) ) )
122 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  I  e.  V )
123 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d `
 b )  e. 
_V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  _V )
125 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) )  e. 
_V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( x `  b
)  -  ( d `
 b ) )  e.  _V )
127113feqmptd 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d  =  ( b  e.  I  |->  ( d `
 b ) ) )
128 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x `
 b )  e. 
_V
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  _V )
130117feqmptd 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  =  ( b  e.  I  |->  ( x `
 b ) ) )
131122, 129, 124, 130, 127offval2 6341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  oF  -  d )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( x `  b )  -  (
d `  b )
) ) )
132122, 124, 126, 127, 131offval2 6341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `
 b )  -  ( d `  b
) ) ) ) )
133121, 132, 1303eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  x )
13460, 27, 61, 133syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
d  oF  +  ( x  oF  -  d ) )  =  x )
135134fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  oF  +  (
x  oF  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
136111, 135eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
137136breq1d 4307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
)  <->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K )
) )
138109, 137sylibd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  ->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K
) ) )
139102, 105lenltd 9525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  <_  J  <->  -.  J  <  ( H `  d
) ) )
140103, 107lenltd 9525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K 
<->  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d
) ) ) )
141139, 140anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )
142 ioran 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  oF  -  d ) ) ) )
143141, 142syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  oF  -  d ) )  <_  K )  <->  -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) ) )
14441, 61ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  NN0 )
145144nn0red 10642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  RR )
14635, 78nn0addcld 10645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  NN0 )
147146ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  NN0 )
148147nn0red 10642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  RR )
149145, 148lenltd 9525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( H `  x
)  <_  ( J  +  K )  <->  -.  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )
150138, 143, 1493imtr3d 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  oF  -  d ) ) )  ->  -.  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )
151101, 150mt4d 138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  oF  -  d ) ) ) )
15272, 100, 151mpjaodan 784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  oF  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
153152mpteq2dva 4383 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( 0g `  R ) ) )
154153oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) ) )
155 rngmnd 16659 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
15654, 155syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
157156adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  ->  R  e.  Mnd )
158 ovex 6121 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
159158rabex 4448 . . . . . . . . 9  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1605, 159eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
161160rabex 4448 . . . . . . 7  |-  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  e.  _V
16223gsumz 15516 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  oR  <_  x }  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
163157, 161, 162sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
164154, 163eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  oF  -  d ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
16510, 21, 1643eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) )
166165expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( J  +  K
)  <  ( H `  x )  ->  (
( F  .x.  G
) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
167166ralrimiva 2804 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x )  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
1681mplrng 17536 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
16938, 54, 168syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
1702, 4rngcl 16663 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .x.  G )  e.  B )
171169, 6, 7, 170syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
17234, 146sseldi 3359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  RR* )
17322, 1, 2, 23, 5, 24mdegleb 21540 . . 3  |-  ( ( ( F  .x.  G
)  e.  B  /\  ( J  +  K
)  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
174171, 172, 173syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
175167, 174mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323    oRcofr 6324    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   RRcr 9286    + caddc 9290   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   NNcn 10327   NN0cn0 10584   Basecbs 14179   .rcmulr 14244   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384   Mndcmnd 15414   Ringcrg 16650   mPoly cmpl 17425  ℂfldccnfld 17823   mDeg cmdg 21527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-subrg 16868  df-psr 17428  df-mpl 17430  df-cnfld 17824  df-mdeg 21529
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