MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegmulle2 Structured version   Unicode version

Theorem mdegmulle2 22663
Description: The multivariate degree of a product of polynomials is at most the sum of the degrees of the polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegmulle2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegmulle2.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mdegmulle2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mdegmulle2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
mdegmulle2.j1  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
mdegmulle2.k1  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
mdegmulle2.j2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
mdegmulle2.k2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
Assertion
Ref Expression
mdegmulle2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )

Proof of Theorem mdegmulle2
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . 2  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegaddle.d . 2  |-  D  =  ( I mDeg  R )
3 mdegaddle.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4 mdegaddle.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mdegmulle2.b . 2  |-  B  =  ( Base `  Y
)
6 mdegmulle2.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
7 mdegmulle2.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
8 mdegmulle2.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
9 mdegmulle2.j1 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
10 mdegmulle2.k1 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
11 mdegmulle2.j2 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
12 mdegmulle2.k2 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
13 eqid 2402 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
14 eqid 2402 . 2  |-  ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) )  =  ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14mdegmullem 22662 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4941   "cima 4945   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    ^m cmap 7377   Fincfn 7474    + caddc 9445    <_ cle 9579   NNcn 10496   NN0cn0 10756   Basecbs 14733   .rcmulr 14802    gsumg cgsu 14947   Ringcrg 17410   mPoly cmpl 18214  ℂfldccnfld 18632   mDeg cmdg 22635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-ofr 6478  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-hash 12360  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-ghm 16481  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-cring 17413  df-subrg 17639  df-psr 18217  df-mpl 18219  df-cnfld 18633  df-mdeg 22637
This theorem is referenced by:  deg1mulle2  22694
  Copyright terms: Public domain W3C validator