MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Unicode version

Theorem mdeglt 21511
Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mdegval.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mdegval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdegval.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
mdegval.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
mdeglt.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
medglt.x  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
mdeglt.lt  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <  ( H `  X ) )
Assertion
Ref Expression
mdeglt  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
Distinct variable groups:    A, h    m, I    .0. , h    h, I, m
Allowed substitution hints:    ph( h, m)    A( m)    B( h, m)    D( h, m)    P( h, m)    R( h, m)    F( h, m)    H( h, m)    X( h, m)    .0. ( m)

Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <  ( H `  X ) )
2 medglt.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
3 mdeglt.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
4 mdegval.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( I mDeg  R )
5 mdegval.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mdegval.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 mdegval.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
8 mdegval.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
9 mdegval.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
104, 5, 6, 7, 8, 9mdegval 21508 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( H
" ( F supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  ) )
113, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  sup (
( H " ( F supp  .0.  ) ) , 
RR* ,  <  ) )
12 imassrn 5175 . . . . . . . 8  |-  ( H
" ( F supp  .0.  ) )  C_  ran  H
135, 6mplrcl 17546 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  B  ->  I  e.  _V )
148, 9tdeglem1 21502 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  H : A --> NN0 )
15 frn 5560 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : A --> NN0  ->  ran 
H  C_  NN0 )
163, 13, 14, 154syl 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  NN0 )
17 nn0ssre 10575 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  RR
18 ressxr 9419 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
1917, 18sstri 3360 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR*
2016, 19syl6ss 3363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  RR* )
2112, 20syl5ss 3362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H " ( F supp  .0.  ) )  C_  RR* )
22 supxrcl 11269 . . . . . . 7  |-  ( ( H " ( F supp 
.0.  ) )  C_  RR* 
->  sup ( ( H
" ( F supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ( H
" ( F supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
2411, 23eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
25 xrleid 11119 . . . . 5  |-  ( ( D `  F )  e.  RR*  ->  ( D `
 F )  <_ 
( D `  F
) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  ( D `  F ) )
274, 5, 6, 7, 8, 9mdegleb 21510 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  (
( D `  F
)  <_  ( D `  F )  <->  A. x  e.  A  ( ( D `  F )  <  ( H `  x
)  ->  ( F `  x )  =  .0.  ) ) )
283, 24, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  <_  ( D `  F )  <->  A. x  e.  A  ( ( D `  F
)  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x )  =  .0.  ) ) )
2926, 28mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( D `  F )  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x
)  =  .0.  )
)
30 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( H `  x )  =  ( H `  X ) )
3130breq2d 4299 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( D `  F
)  <  ( H `  x )  <->  ( D `  F )  <  ( H `  X )
) )
32 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
3332eqeq1d 2446 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  =  .0.  <->  ( F `  X )  =  .0.  ) )
3431, 33imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( D `  F )  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x
)  =  .0.  )  <->  ( ( D `  F
)  <  ( H `  X )  ->  ( F `  X )  =  .0.  ) ) )
3534rspcva 3066 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ( D `  F
)  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x )  =  .0.  ) )  -> 
( ( D `  F )  <  ( H `  X )  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
)
362, 29, 35syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  <  ( H `  X )  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
)
371, 36mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   ran crn 4836   "cima 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supp csupp 6685    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   supcsup 7682   RRcr 9273   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371   mPoly cmpl 17397  ℂfldccnfld 17793   mDeg cmdg 21497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-psr 17400  df-mpl 17402  df-cnfld 17794  df-mdeg 21499
This theorem is referenced by:  mdegaddle  21520  mdegvscale  21521  mdegmullem  21524
  Copyright terms: Public domain W3C validator