Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Unicode version

Theorem mdeglt 21511
 Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d mDeg
mdegval.p mPoly
mdegval.b
mdegval.z
mdegval.a
mdegval.h fld g
mdeglt.f
medglt.x
mdeglt.lt
Assertion
Ref Expression
mdeglt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2
2 medglt.x . . 3
3 mdeglt.f . . . . . . 7
4 mdegval.d . . . . . . . 8 mDeg
5 mdegval.p . . . . . . . 8 mPoly
6 mdegval.b . . . . . . . 8
7 mdegval.z . . . . . . . 8
8 mdegval.a . . . . . . . 8
9 mdegval.h . . . . . . . 8 fld g
104, 5, 6, 7, 8, 9mdegval 21508 . . . . . . 7 supp
113, 10syl 16 . . . . . 6 supp
12 imassrn 5175 . . . . . . . 8 supp
135, 6mplrcl 17546 . . . . . . . . . 10
148, 9tdeglem1 21502 . . . . . . . . . 10
15 frn 5560 . . . . . . . . . 10
163, 13, 14, 154syl 21 . . . . . . . . 9
17 nn0ssre 10575 . . . . . . . . . 10
18 ressxr 9419 . . . . . . . . . 10
1917, 18sstri 3360 . . . . . . . . 9
2016, 19syl6ss 3363 . . . . . . . 8
2112, 20syl5ss 3362 . . . . . . 7 supp
22 supxrcl 11269 . . . . . . 7 supp supp
2321, 22syl 16 . . . . . 6 supp
2411, 23eqeltrd 2512 . . . . 5
25 xrleid 11119 . . . . 5
2624, 25syl 16 . . . 4
274, 5, 6, 7, 8, 9mdegleb 21510 . . . . 5
283, 24, 27syl2anc 661 . . . 4
2926, 28mpbid 210 . . 3
30 fveq2 5686 . . . . . 6
3130breq2d 4299 . . . . 5
32 fveq2 5686 . . . . . 6
3332eqeq1d 2446 . . . . 5
3431, 33imbi12d 320 . . . 4
3534rspcva 3066 . . 3
362, 29, 35syl2anc 661 . 2
371, 36mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1369   wcel 1756  wral 2710  crab 2714  cvv 2967   wss 3323   class class class wbr 4287   cmpt 4345  ccnv 4834   crn 4836  cima 4838  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6086   supp csupp 6685   cmap 7206  cfn 7302  csup 7682  cr 9273  cxr 9409   clt 9410   cle 9411  cn 10314  cn0 10571  cbs 14166  c0g 14370   g cgsu 14371   mPoly cmpl 17397  ℂfldccnfld 17793   mDeg cmdg 21497 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-psr 17400  df-mpl 17402  df-cnfld 17794  df-mdeg 21499 This theorem is referenced by:  mdegaddle  21520  mdegvscale  21521  mdegmullem  21524
 Copyright terms: Public domain W3C validator