MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Unicode version

Theorem mdeglt 21662
Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mdegval.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mdegval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdegval.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
mdegval.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
mdeglt.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
medglt.x  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
mdeglt.lt  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <  ( H `  X ) )
Assertion
Ref Expression
mdeglt  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
Distinct variable groups:    A, h    m, I    .0. , h    h, I, m
Allowed substitution hints:    ph( h, m)    A( m)    B( h, m)    D( h, m)    P( h, m)    R( h, m)    F( h, m)    H( h, m)    X( h, m)    .0. ( m)

Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <  ( H `  X ) )
2 medglt.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
3 mdeglt.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
4 mdegval.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( I mDeg  R )
5 mdegval.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mdegval.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 mdegval.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
8 mdegval.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
9 mdegval.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
104, 5, 6, 7, 8, 9mdegval 21659 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( H
" ( F supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  ) )
113, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  sup (
( H " ( F supp  .0.  ) ) , 
RR* ,  <  ) )
12 imassrn 5281 . . . . . . . 8  |-  ( H
" ( F supp  .0.  ) )  C_  ran  H
135, 6mplrcl 17687 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  B  ->  I  e.  _V )
148, 9tdeglem1 21653 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  H : A --> NN0 )
15 frn 5666 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : A --> NN0  ->  ran 
H  C_  NN0 )
163, 13, 14, 154syl 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  NN0 )
17 nn0ssre 10687 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  RR
18 ressxr 9531 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
1917, 18sstri 3466 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR*
2016, 19syl6ss 3469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  RR* )
2112, 20syl5ss 3468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H " ( F supp  .0.  ) )  C_  RR* )
22 supxrcl 11381 . . . . . . 7  |-  ( ( H " ( F supp 
.0.  ) )  C_  RR* 
->  sup ( ( H
" ( F supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ( H
" ( F supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
2411, 23eqeltrd 2539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
25 xrleid 11231 . . . . 5  |-  ( ( D `  F )  e.  RR*  ->  ( D `
 F )  <_ 
( D `  F
) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  ( D `  F ) )
274, 5, 6, 7, 8, 9mdegleb 21661 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  (
( D `  F
)  <_  ( D `  F )  <->  A. x  e.  A  ( ( D `  F )  <  ( H `  x
)  ->  ( F `  x )  =  .0.  ) ) )
283, 24, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  <_  ( D `  F )  <->  A. x  e.  A  ( ( D `  F
)  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x )  =  .0.  ) ) )
2926, 28mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( D `  F )  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x
)  =  .0.  )
)
30 fveq2 5792 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( H `  x )  =  ( H `  X ) )
3130breq2d 4405 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( D `  F
)  <  ( H `  x )  <->  ( D `  F )  <  ( H `  X )
) )
32 fveq2 5792 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
3332eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  =  .0.  <->  ( F `  X )  =  .0.  ) )
3431, 33imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( D `  F )  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x
)  =  .0.  )  <->  ( ( D `  F
)  <  ( H `  X )  ->  ( F `  X )  =  .0.  ) ) )
3534rspcva 3170 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ( D `  F
)  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x )  =  .0.  ) )  -> 
( ( D `  F )  <  ( H `  X )  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
)
362, 29, 35syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  <  ( H `  X )  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
)
371, 36mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   `'ccnv 4940   ran crn 4942   "cima 4944   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   supp csupp 6793    ^m cmap 7317   Fincfn 7413   supcsup 7794   RRcr 9385   RR*cxr 9521    < clt 9522    <_ cle 9523   NNcn 10426   NN0cn0 10683   Basecbs 14285   0gc0g 14489    gsumg cgsu 14490   mPoly cmpl 17535  ℂfldccnfld 17936   mDeg cmdg 21648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-psr 17538  df-mpl 17540  df-cnfld 17937  df-mdeg 21650
This theorem is referenced by:  mdegaddle  21671  mdegvscale  21672  mdegmullem  21675
  Copyright terms: Public domain W3C validator