MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegfvalOLD Structured version   Unicode version

Theorem mdegfvalOLD 21675
Description: Value of the multivariate degree function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) Obsolete version of mdegfval 21674 as of 25-Jun-2019. Proof modified to avoid an old version of definition df-mdeg 21667. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mdegval.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mdegval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdegval.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
mdegval.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
mdegfvalOLD  |-  D  =  ( f  e.  B  |->  sup ( ( H
" ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    A, h    B, f    f, I    m, I    R, f    .0. , h    f, h
Allowed substitution hints:    A( f, m)    B( h, m)    D( f, h, m)    P( f, h, m)    R( h, m)    H( f, h, m)    I( h)    .0. ( f, m)

Proof of Theorem mdegfvalOLD
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . 3  |-  D  =  ( I mDeg  R )
2 mdegval.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 mdegval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 mdegval.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 mdegval.a . . 3  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
6 mdegval.h . . 3  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegfval 21674 . 2  |-  D  =  ( f  e.  B  |->  sup ( ( H
" ( f supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  ) )
8 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
94, 8eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  .0.  e.  _V
10 suppimacnv 6814 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  B  /\  .0.  e.  _V )  -> 
( f supp  .0.  )  =  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
119, 10mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( f  e.  B  ->  (
f supp  .0.  )  =  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
1211eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( f  e.  B  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( f supp  .0.  ) )
1312imaeq2d 5280 . . . 4  |-  ( f  e.  B  ->  ( H " ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( H
" ( f supp  .0.  ) ) )
1413supeq1d 7811 . . 3  |-  ( f  e.  B  ->  sup ( ( H "
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( H
" ( f supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  ) )
1514mpteq2ia 4485 . 2  |-  ( f  e.  B  |->  sup (
( H " ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B  |->  sup ( ( H
" ( f supp  .0.  ) ) ,  RR* ,  <  ) )
167, 15eqtr4i 2486 1  |-  D  =  ( f  e.  B  |->  sup ( ( H
" ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436   {csn 3988    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4950   "cima 4954   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supp csupp 6803    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   supcsup 7805   RR*cxr 9532    < clt 9533   NNcn 10437   NN0cn0 10694   Basecbs 14296   0gc0g 14501    gsumg cgsu 14502   mPoly cmpl 17553  ℂfldccnfld 17953   mDeg cmdg 21665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-tset 14380  df-psr 17556  df-mpl 17558  df-mdeg 21667
This theorem is referenced by:  mdegvalOLD  21677
  Copyright terms: Public domain W3C validator