Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegfval Structured version   Unicode version

Theorem mdegfval 22328
 Description: Value of the multivariate degree function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d mDeg
mdegval.p mPoly
mdegval.b
mdegval.z
mdegval.a
mdegval.h fld g
Assertion
Ref Expression
mdegfval supp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,)   (,)   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem mdegfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . 2 mDeg
2 oveq12 6304 . . . . . . . . 9 mPoly mPoly
3 mdegval.p . . . . . . . . 9 mPoly
42, 3syl6eqr 2526 . . . . . . . 8 mPoly
54fveq2d 5876 . . . . . . 7 mPoly
6 mdegval.b . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2526 . . . . . 6 mPoly
8 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12
9 mdegval.z . . . . . . . . . . . 12
108, 9syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . 11
1110oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10 supp supp
1211mpteq1d 4534 . . . . . . . . 9 supp fld g supp fld g
1312rneqd 5236 . . . . . . . 8 supp fld g supp fld g
1413supeq1d 7918 . . . . . . 7 supp fld g supp fld g
1514adantl 466 . . . . . 6 supp fld g supp fld g
167, 15mpteq12dv 4531 . . . . 5 mPoly supp fld g supp fld g
17 df-mdeg 22321 . . . . 5 mDeg mPoly supp fld g
18 fvex 5882 . . . . . . 7
196, 18eqeltri 2551 . . . . . 6
2019mptex 6142 . . . . 5 supp fld g
2116, 17, 20ovmpt2a 6428 . . . 4 mDeg supp fld g
22 mdegval.h . . . . . . . . . 10 fld g
2322reseq1i 5275 . . . . . . . . 9 supp fld g supp
24 suppssdm 6926 . . . . . . . . . . 11 supp
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
26 mdegval.a . . . . . . . . . . . . 13
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
283, 25, 6, 26, 27mplelf 17962 . . . . . . . . . . . 12
29 fdm 5741 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11
3124, 30syl5sseq 3557 . . . . . . . . . 10 supp
32 resmpt 5329 . . . . . . . . . 10 supp fld g supp supp fld g
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9 fld g supp supp fld g
3423, 33syl5req 2521 . . . . . . . 8 supp fld g supp
3534rneqd 5236 . . . . . . 7 supp fld g supp
36 df-ima 5018 . . . . . . 7 supp supp
3735, 36syl6eqr 2526 . . . . . 6 supp fld g supp
3837supeq1d 7918 . . . . 5 supp fld g supp
3938mpteq2dva 4539 . . . 4 supp fld g supp
4021, 39eqtrd 2508 . . 3 mDeg supp
41 reldmmdeg 22323 . . . . . 6 mDeg
4241ovprc 6322 . . . . 5 mDeg
43 mpt0 5714 . . . . 5 supp
4442, 43syl6eqr 2526 . . . 4 mDeg supp
45 reldmmpl 17953 . . . . . . . . 9 mPoly
4645ovprc 6322 . . . . . . . 8 mPoly
473, 46syl5eq 2520 . . . . . . 7
4847fveq2d 5876 . . . . . 6
49 base0 14546 . . . . . 6
5048, 6, 493eqtr4g 2533 . . . . 5
5150mpteq1d 4534 . . . 4 supp supp
5244, 51eqtr4d 2511 . . 3 mDeg supp
5340, 52pm2.61i 164 . 2 mDeg supp
541, 53eqtri 2496 1 supp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  crab 2821  cvv 3118   wss 3481  c0 3790   cmpt 4511  ccnv 5004   cdm 5005   crn 5006   cres 5007  cima 5008  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   supp csupp 6913   cmap 7432  cfn 7528  csup 7912  cxr 9639   clt 9640  cn 10548  cn0 10807  cbs 14507  c0g 14712   g cgsu 14713   mPoly cmpl 17872  ℂfldccnfld 18290   mDeg cmdg 22319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-tset 14591  df-psr 17875  df-mpl 17877  df-mdeg 22321 This theorem is referenced by:  mdegfvalOLD  22329  mdegval  22330  mdegxrf  22336  mdegpropd  22352
 Copyright terms: Public domain W3C validator