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Theorem mdegaddle 22237
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegaddle.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegaddle.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
mdegaddle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mdegaddle.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mdegaddle  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )

Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables  c 
a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 17903 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( F  oF ( +g  `  R ) G ) )
87fveq1d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  .+  G ) `  c
)  =  ( ( F  oF ( +g  `  R ) G ) `  c
) )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( F  .+  G ) `  c )  =  ( ( F  oF ( +g  `  R
) G ) `  c ) )
10 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
121, 10, 2, 11, 5mplelf 17891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
13 ffn 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  ->  F  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  F  Fn  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
161, 10, 2, 11, 6mplelf 17891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
17 ffn 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  ->  G  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  G  Fn  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
20 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2120rabex 4598 . . . . . . . . 9  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
23 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
24 fnfvof 6537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  G  Fn  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  ( { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } ) )  -> 
( ( F  oF ( +g  `  R
) G ) `  c )  =  ( ( F `  c
) ( +g  `  R
) ( G `  c ) ) )
2515, 19, 22, 23, 24syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( F  oF ( +g  `  R ) G ) `
 c )  =  ( ( F `  c ) ( +g  `  R ) ( G `
 c ) ) )
269, 25eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( F  .+  G ) `  c )  =  ( ( F `  c
) ( +g  `  R
) ( G `  c ) ) )
2726adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( ( F `  c
) ( +g  `  R
) ( G `  c ) ) )
28 mdegaddle.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( I mDeg  R )
29 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
30 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) )  =  ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) )
315adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  F  e.  B
)
32 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  c  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
3328, 1, 2mdegxrcl 22230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
345, 33syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
3628, 1, 2mdegxrcl 22230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
376, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
38 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR* )
3937, 34, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  e.  RR* )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR* )
41 nn0ssre 10799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  C_  RR
42 ressxr 9637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR*
4341, 42sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  RR*
44 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4511, 30tdeglem1 22219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  V  ->  (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> NN0 )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> NN0 )
4746ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  NN0 )
4843, 47sseldi 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* )
4935, 40, 483jca 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( D `  F )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
5049adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 F )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
51 xrmax1 11376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( D `  F )  <_  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) ) )
5234, 37, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  F )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
54 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) )
5553, 54jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 F )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )
56 xrlelttr 11359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR*  /\  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `  F )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) )  ->  ( D `  F )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) ) )
5750, 55, 56sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  F )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) )
5828, 1, 2, 29, 11, 30, 31, 32, 57mdeglt 22228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( F `  c )  =  ( 0g `  R ) )
596adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  G  e.  B
)
6037adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
6160, 40, 483jca 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( D `  G )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
6261adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
63 xrmax2 11377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( D `  G )  <_  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) ) )
6434, 37, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  G )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
6665, 54jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )
67 xrlelttr 11359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR*  /\  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `  G )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) )  ->  ( D `  G )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) ) )
6862, 66, 67sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  G )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) )
6928, 1, 2, 29, 11, 30, 59, 32, 68mdeglt 22228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( G `  c )  =  ( 0g `  R ) )
7058, 69oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F `
 c ) ( +g  `  R ) ( G `  c
) )  =  ( ( 0g `  R
) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) ) )
71 mdegaddle.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
72 rnggrp 17005 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
7410, 29rng0cl 17021 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
7571, 74syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
7610, 3, 29grplid 15890 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 0g `  R
) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
7773, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  R ) ( +g  `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
7877adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( +g  `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
7970, 78eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F `
 c ) ( +g  `  R ) ( G `  c
) )  =  ( 0g `  R ) )
8027, 79eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
8180expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
8281ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. c  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  (
( F  .+  G
) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
831mplrng 17913 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
8444, 71, 83syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
852, 4rngacl 17027 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+  G )  e.  B )
8684, 5, 6, 85syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )
8728, 1, 2, 29, 11, 30mdegleb 22227 . . 3  |-  ( ( ( F  .+  G
)  e.  B  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <->  A. c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
8886, 39, 87syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <->  A. c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
8982, 88mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   RRcr 9491   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   NNcn 10536   NN0cn0 10795   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   Grpcgrp 15727   Ringcrg 17000   mPoly cmpl 17801  ℂfldccnfld 18219   mDeg cmdg 22214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-subrg 17227  df-psr 17804  df-mpl 17806  df-cnfld 18220  df-mdeg 22216
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