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Theorem mdegaddle 22917
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegaddle.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegaddle.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
mdegaddle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mdegaddle.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mdegaddle  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )

Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables  c 
a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 18594 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( F  oF ( +g  `  R ) G ) )
87fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  .+  G ) `  c
)  =  ( ( F  oF ( +g  `  R ) G ) `  c
) )
98adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( F  .+  G ) `  c )  =  ( ( F  oF ( +g  `  R
) G ) `  c ) )
10 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
121, 10, 2, 11, 5mplelf 18585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
13 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  ->  F  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
1514adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  F  Fn  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
161, 10, 2, 11, 6mplelf 18585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
17 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  ->  G  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
1918adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  G  Fn  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
20 ovex 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2120rabex 4567 . . . . . . . . 9  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
23 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
24 fnfvof 6550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  G  Fn  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  ( { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } ) )  -> 
( ( F  oF ( +g  `  R
) G ) `  c )  =  ( ( F `  c
) ( +g  `  R
) ( G `  c ) ) )
2515, 19, 22, 23, 24syl22anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( F  oF ( +g  `  R ) G ) `
 c )  =  ( ( F `  c ) ( +g  `  R ) ( G `
 c ) ) )
269, 25eqtrd 2461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( F  .+  G ) `  c )  =  ( ( F `  c
) ( +g  `  R
) ( G `  c ) ) )
2726adantrr 721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( ( F `  c
) ( +g  `  R
) ( G `  c ) ) )
28 mdegaddle.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( I mDeg  R )
29 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
30 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) )  =  ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) )
315adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  F  e.  B
)
32 simprl 762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  c  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
3328, 1, 2mdegxrcl 22910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
3628, 1, 2mdegxrcl 22910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
376, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
3837, 34ifcld 3949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  e.  RR* )
3938adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR* )
40 nn0ssre 10862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  C_  RR
41 ressxr 9673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR*
4240, 41sstri 3470 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  RR*
43 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4411, 30tdeglem1 22901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  V  ->  (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> NN0 )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> NN0 )
4645ffvelrnda 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  NN0 )
4742, 46sseldi 3459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* )
4835, 39, 473jca 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( D `  F )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
4948adantrr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 F )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
50 xrmax1 11459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( D `  F )  <_  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) ) )
5134, 37, 50syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
5251adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  F )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
53 simprr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) )
5452, 53jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 F )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )
55 xrlelttr 11442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR*  /\  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `  F )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) )  ->  ( D `  F )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) ) )
5649, 54, 55sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  F )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) )
5728, 1, 2, 29, 11, 30, 31, 32, 56mdeglt 22908 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( F `  c )  =  ( 0g `  R ) )
586adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  G  e.  B
)
5937adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
6059, 39, 473jca 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( D `  G )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
6160adantrr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
62 xrmax2 11460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( D `  G )  <_  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) ) )
6334, 37, 62syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
6463adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  G )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
6564, 53jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )
66 xrlelttr 11442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR*  /\  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `  G )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) )  ->  ( D `  G )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) ) )
6761, 65, 66sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  G )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) )
6828, 1, 2, 29, 11, 30, 58, 32, 67mdeglt 22908 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( G `  c )  =  ( 0g `  R ) )
6957, 68oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F `
 c ) ( +g  `  R ) ( G `  c
) )  =  ( ( 0g `  R
) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) ) )
70 mdegaddle.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
71 ringgrp 17713 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
7310, 29ring0cl 17730 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
7470, 73syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
7510, 3, 29grplid 16640 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 0g `  R
) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
7672, 74, 75syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  R ) ( +g  `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
7776adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( +g  `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
7869, 77eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F `
 c ) ( +g  `  R ) ( G `  c
) )  =  ( 0g `  R ) )
7927, 78eqtrd 2461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
8079expr 618 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
8180ralrimiva 2837 . 2  |-  ( ph  ->  A. c  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  (
( F  .+  G
) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
821mplring 18604 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
8343, 70, 82syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
842, 4ringacl 17736 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+  G )  e.  B )
8583, 5, 6, 84syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )
8628, 1, 2, 29, 11, 30mdegleb 22907 . . 3  |-  ( ( ( F  .+  G
)  e.  B  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <->  A. c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
8785, 38, 86syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <->  A. c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
8881, 87mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   {crab 2777   _Vcvv 3078   ifcif 3906   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   `'ccnv 4844   "cima 4848    Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    oFcof 6534    ^m cmap 7471   Fincfn 7568   RRcr 9527   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665   NNcn 10598   NN0cn0 10858   Basecbs 15073   +g cplusg 15142   0gc0g 15290    gsumg cgsu 15291   Grpcgrp 16613   Ringcrg 17708   mPoly cmpl 18505  ℂfldccnfld 18898   mDeg cmdg 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-mhm 16526  df-submnd 16527  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-mulg 16620  df-subg 16758  df-ghm 16825  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-abl 17361  df-mgp 17652  df-ur 17664  df-ring 17710  df-cring 17711  df-subrg 17934  df-psr 18508  df-mpl 18510  df-cnfld 18899  df-mdeg 22898
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