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Theorem mdegaddle 21557
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegaddle.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegaddle.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
mdegaddle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mdegaddle.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mdegaddle  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )

Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables  c 
a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 17533 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( F  oF ( +g  `  R ) G ) )
87fveq1d 5705 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  .+  G ) `  c
)  =  ( ( F  oF ( +g  `  R ) G ) `  c
) )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( F  .+  G ) `  c )  =  ( ( F  oF ( +g  `  R
) G ) `  c ) )
10 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
121, 10, 2, 11, 5mplelf 17521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
13 ffn 5571 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  ->  F  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  F  Fn  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
161, 10, 2, 11, 6mplelf 17521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
17 ffn 5571 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  ->  G  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  Fn  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  G  Fn  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
20 ovex 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2120rabex 4455 . . . . . . . . 9  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
23 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
24 fnfvof 6345 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  G  Fn  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  ( { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } ) )  -> 
( ( F  oF ( +g  `  R
) G ) `  c )  =  ( ( F `  c
) ( +g  `  R
) ( G `  c ) ) )
2515, 19, 22, 23, 24syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( F  oF ( +g  `  R ) G ) `
 c )  =  ( ( F `  c ) ( +g  `  R ) ( G `
 c ) ) )
269, 25eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( F  .+  G ) `  c )  =  ( ( F `  c
) ( +g  `  R
) ( G `  c ) ) )
2726adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( ( F `  c
) ( +g  `  R
) ( G `  c ) ) )
28 mdegaddle.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( I mDeg  R )
29 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
30 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) )  =  ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) )
315adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  F  e.  B
)
32 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  c  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
3328, 1, 2mdegxrcl 21550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
345, 33syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
3628, 1, 2mdegxrcl 21550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
376, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
38 ifcl 3843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR* )
3937, 34, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  e.  RR* )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR* )
41 nn0ssre 10595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  C_  RR
42 ressxr 9439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR*
4341, 42sstri 3377 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  C_  RR*
44 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4511, 30tdeglem1 21539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  V  ->  (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> NN0 )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> NN0 )
4746ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  NN0 )
4843, 47sseldi 3366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* )
4935, 40, 483jca 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( D `  F )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
5049adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 F )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
51 xrmax1 11159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( D `  F )  <_  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) ) )
5234, 37, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  F )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
54 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) )
5553, 54jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 F )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )
56 xrlelttr 11142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR*  /\  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `  F )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) )  ->  ( D `  F )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) ) )
5750, 55, 56sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  F )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) )
5828, 1, 2, 29, 11, 30, 31, 32, 57mdeglt 21548 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( F `  c )  =  ( 0g `  R ) )
596adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  G  e.  B
)
6037adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
6160, 40, 483jca 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( D `  G )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
6261adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e. 
RR*  /\  ( (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* ) )
63 xrmax2 11160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( D `  G )  <_  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) ) )
6434, 37, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  G )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
6665, 54jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )
67 xrlelttr 11142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR*  /\  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `  G )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) )  ->  ( D `  G )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) ) )
6862, 66, 67sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( D `  G )  <  (
( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  b ) ) `  c ) )
6928, 1, 2, 29, 11, 30, 59, 32, 68mdeglt 21548 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( G `  c )  =  ( 0g `  R ) )
7058, 69oveq12d 6121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F `
 c ) ( +g  `  R ) ( G `  c
) )  =  ( ( 0g `  R
) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) ) )
71 mdegaddle.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
72 rnggrp 16662 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
7410, 29rng0cl 16678 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
7571, 74syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
7610, 3, 29grplid 15580 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 0g `  R
) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
7773, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  R ) ( +g  `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
7877adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( +g  `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
7970, 78eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F `
 c ) ( +g  `  R ) ( G `  c
) )  =  ( 0g `  R ) )
8027, 79eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  /\  if ( ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c ) ) )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
8180expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
8281ralrimiva 2811 . 2  |-  ( ph  ->  A. c  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  < 
( ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  (
( F  .+  G
) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
831mplrng 17543 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
8444, 71, 83syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
852, 4rngacl 16684 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+  G )  e.  B )
8684, 5, 6, 85syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )
8728, 1, 2, 29, 11, 30mdegleb 21547 . . 3  |-  ( ( ( F  .+  G
)  e.  B  /\  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <->  A. c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
8886, 39, 87syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <->  A. c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <  ( ( b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  b ) ) `  c )  ->  ( ( F 
.+  G ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
8982, 88mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   {crab 2731   _Vcvv 2984   ifcif 3803   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   `'ccnv 4851   "cima 4855    Fn wfn 5425   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    oFcof 6330    ^m cmap 7226   Fincfn 7322   RRcr 9293   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431   NNcn 10334   NN0cn0 10591   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   0gc0g 14390    gsumg cgsu 14391   Grpcgrp 15422   Ringcrg 16657   mPoly cmpl 17432  ℂfldccnfld 17830   mDeg cmdg 21534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-ofr 6333  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-mhm 15476  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-mulg 15560  df-subg 15690  df-ghm 15757  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-cring 16660  df-subrg 16875  df-psr 17435  df-mpl 17437  df-cnfld 17831  df-mdeg 21536
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