Theorem mddmd2 27426

Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mddmd2	|- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. x e. CH A MH* x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem mddmd2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4443	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A MH x <-> A MH y ) )
2	1	cbvralv 3081	. . . 4 |- ( A. x e. CH A MH x <-> A. y e. CH A MH y )
3		mdbr 27411	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A MH y <-> A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) ) ) )
4		incom 3677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A vH x ) i^i y ) = ( y i^i ( A vH x ) )
5		chjcom 26622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A vH x ) = ( x vH A ) )
6	5	ineq1d 3685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A vH x ) i^i y ) = ( ( x vH A ) i^i y ) )
7	4, 6	syl5reqr 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( y i^i ( A vH x ) ) )
8	7	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( y i^i ( A vH x ) ) )
9		incom 3677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i y ) = ( y i^i A )
10	9	oveq1i 6280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i y ) vH x ) = ( ( y i^i A ) vH x )
11		chincl 26615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A i^i y ) e. CH )
12		chjcom 26622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A i^i y ) e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A i^i y ) vH x ) = ( x vH ( A i^i y ) ) )
13	11, 12	sylan 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( A i^i y ) vH x ) = ( x vH ( A i^i y ) ) )
14	10, 13	syl5reqr 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( x vH ( A i^i y ) ) = ( ( y i^i A ) vH x ) )
15	8, 14	eqeq12d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) <-> ( y i^i ( A vH x ) ) = ( ( y i^i A ) vH x ) ) )
16		eqcom 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( y i^i ( A vH x ) ) = ( ( y i^i A ) vH x ) <-> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) )
17	15, 16	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) <-> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) )
18	17	imbi2d 314	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( x C_ y -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) ) <-> ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
19	18	ralbidva 2890	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) ) <-> A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
20	3, 19	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A MH y <-> A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
21	20	ralbidva 2890	. . . 4 |- ( A e. CH -> ( A. y e. CH A MH y <-> A. y e. CH A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
22	2, 21	syl5bb 257	. . 3 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. y e. CH A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
23		ralcom 3015	. . 3 |- ( A. y e. CH A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) <-> A. x e. CH A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) )
24	22, 23	syl6bb 261	. 2 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. x e. CH A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
25		dmdbr 27416	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A MH* x <-> A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
26	25	ralbidva 2890	. 2 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH* x <-> A. x e. CH A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
27	24, 26	bitr4d 256	1 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. x e. CH A MH* x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   i^i cin 3460   C_ wss 3461   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   CHcch 26044   vH chj 26048   MH cmd 26081   MH* cdmd 26082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-hilex 26114  ax-hfvadd 26115  ax-hv0cl 26118  ax-hfvmul 26120

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-map 7414  df-nn 10532  df-hlim 26087  df-sh 26322  df-ch 26337  df-chj 26426  df-md 27397  df-dmd 27398

This theorem is referenced by:  atmd  27516