Theorem mddmd2 26754

Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mddmd2	|- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. x e. CH A MH* x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem mddmd2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4444	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A MH x <-> A MH y ) )
2	1	cbvralv 3081	. . . 4 |- ( A. x e. CH A MH x <-> A. y e. CH A MH y )
3		mdbr 26739	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A MH y <-> A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) ) ) )
4		incom 3684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A vH x ) i^i y ) = ( y i^i ( A vH x ) )
5		chjcom 25950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A vH x ) = ( x vH A ) )
6	5	ineq1d 3692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A vH x ) i^i y ) = ( ( x vH A ) i^i y ) )
7	4, 6	syl5reqr 2516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( y i^i ( A vH x ) ) )
8	7	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( y i^i ( A vH x ) ) )
9		incom 3684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i y ) = ( y i^i A )
10	9	oveq1i 6285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i y ) vH x ) = ( ( y i^i A ) vH x )
11		chincl 25943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A i^i y ) e. CH )
12		chjcom 25950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A i^i y ) e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A i^i y ) vH x ) = ( x vH ( A i^i y ) ) )
13	11, 12	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( A i^i y ) vH x ) = ( x vH ( A i^i y ) ) )
14	10, 13	syl5reqr 2516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( x vH ( A i^i y ) ) = ( ( y i^i A ) vH x ) )
15	8, 14	eqeq12d 2482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) <-> ( y i^i ( A vH x ) ) = ( ( y i^i A ) vH x ) ) )
16		eqcom 2469	. . . . . . . . 9 |- ( ( y i^i ( A vH x ) ) = ( ( y i^i A ) vH x ) <-> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) )
17	15, 16	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) <-> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) )
18	17	imbi2d 316	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( x C_ y -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) ) <-> ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
19	18	ralbidva 2893	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) ) <-> A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
20	3, 19	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A MH y <-> A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
21	20	ralbidva 2893	. . . 4 |- ( A e. CH -> ( A. y e. CH A MH y <-> A. y e. CH A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
22	2, 21	syl5bb 257	. . 3 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. y e. CH A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
23		ralcom 3015	. . 3 |- ( A. y e. CH A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) <-> A. x e. CH A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) )
24	22, 23	syl6bb 261	. 2 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. x e. CH A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
25		dmdbr 26744	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A MH* x <-> A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
26	25	ralbidva 2893	. 2 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH* x <-> A. x e. CH A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
27	24, 26	bitr4d 256	1 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. x e. CH A MH* x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   i^i cin 3468   C_ wss 3469   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   CHcch 25372   vH chj 25376   MH cmd 25409   MH* cdmd 25410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-hilex 25442  ax-hfvadd 25443  ax-hv0cl 25446  ax-hfvmul 25448

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-map 7412  df-nn 10526  df-hlim 25415  df-sh 25650  df-ch 25665  df-chj 25754  df-md 26725  df-dmd 26726

This theorem is referenced by:  atmd  26844