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Theorem mddmd2 25845
Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mddmd2  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  A  MH  x  <->  A. x  e.  CH  A  MH*  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem mddmd2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4391 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  MH  x  <->  A  MH  y ) )
21cbvralv 3040 . . . 4  |-  ( A. x  e.  CH  A  MH  x 
<-> 
A. y  e.  CH  A  MH  y )
3 mdbr 25830 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( A  MH  y  <->  A. x  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( x  vH  A
)  i^i  y )  =  ( x  vH  ( A  i^i  y
) ) ) ) )
4 incom 3638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  vH  x )  i^i  y )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) )
5 chjcom 25041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( A  vH  x
)  =  ( x  vH  A ) )
65ineq1d 3646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  vH  x )  i^i  y
)  =  ( ( x  vH  A )  i^i  y ) )
74, 6syl5reqr 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( x  vH  A )  i^i  y
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) )
87adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( x  vH  A )  i^i  y
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) )
9 incom 3638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  y )  =  ( y  i^i  A
)
109oveq1i 6197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  y )  vH  x )  =  ( ( y  i^i 
A )  vH  x
)
11 chincl 25034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( A  i^i  y
)  e.  CH )
12 chjcom 25041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  i^i  y
)  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  i^i  y )  vH  x
)  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) ) )
1311, 12sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  i^i  y )  vH  x
)  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) ) )
1410, 13syl5reqr 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  vH  ( A  i^i  y ) )  =  ( ( y  i^i  A )  vH  x ) )
158, 14eqeq12d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( x  vH  A )  i^i  y )  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) )  <-> 
( y  i^i  ( A  vH  x ) )  =  ( ( y  i^i  A )  vH  x ) ) )
16 eqcom 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  ( A  vH  x ) )  =  ( ( y  i^i  A )  vH  x )  <->  ( (
y  i^i  A )  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) )
1715, 16syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( x  vH  A )  i^i  y )  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) )  <-> 
( ( y  i^i 
A )  vH  x
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( x  C_  y  ->  ( ( x  vH  A )  i^i  y )  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) ) )  <->  ( x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A )  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) ) ) )
1918ralbidva 2833 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( x  C_  y  ->  ( ( x  vH  A )  i^i  y )  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) ) )  <->  A. x  e.  CH  ( x  C_  y  -> 
( ( y  i^i 
A )  vH  x
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) ) ) )
203, 19bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( A  MH  y  <->  A. x  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
2120ralbidva 2833 . . . 4  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  A  MH  y  <->  A. y  e.  CH  A. x  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
222, 21syl5bb 257 . . 3  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  A  MH  x  <->  A. y  e.  CH  A. x  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
23 ralcom 2974 . . 3  |-  ( A. y  e.  CH  A. x  e.  CH  ( x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A )  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) )  <->  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) )
2422, 23syl6bb 261 . 2  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  A  MH  x  <->  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
25 dmdbr 25835 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( A  MH*  x  <->  A. y  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
2625ralbidva 2833 . 2  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  A  MH*  x  <->  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
2724, 26bitr4d 256 1  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  A  MH  x  <->  A. x  e.  CH  A  MH*  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2793    i^i cin 3422    C_ wss 3423   class class class wbr 4387  (class class class)co 6187   CHcch 24463    vH chj 24467    MH cmd 24500    MH* cdmd 24501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-hilex 24533  ax-hfvadd 24534  ax-hv0cl 24537  ax-hfvmul 24539
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-map 7313  df-nn 10421  df-hlim 24506  df-sh 24741  df-ch 24756  df-chj 24845  df-md 25816  df-dmd 25817
This theorem is referenced by:  atmd  25935
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