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Theorem mcubic 23638
Description: Solutions to a monic cubic equation, a special case of cubic 23640. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mcubic.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mcubic.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
mcubic.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
mcubic.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
mcubic.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
mcubic.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( ( N  +  G )  /  2 ) )
mcubic.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
mcubic.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) ) )
mcubic.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  C ) ) )
mcubic.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  D
) ) )
mcubic.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
mcubic  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, r    M, r    N, r    ph, r    T, r    X, r
Allowed substitution hints:    C( r)    D( r)    G( r)

Proof of Theorem mcubic
StepHypRef Expression
1 mcubic.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  C ) ) )
2 mcubic.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
32sqcld 12411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
4 3cn 10684 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
5 mcubic.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6 mulcl 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( 3  x.  C
)  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  C
)  e.  CC )
83, 7subcld 9985 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
3  x.  C ) )  e.  CC )
91, 8eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
104a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
11 3ne0 10704 . . . . . 6  |-  3  =/=  0
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
139, 10, 12divcld 10382 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  e.  CC )
1413negcld 9972 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
3 )  e.  CC )
15 mcubic.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  D
) ) )
16 2cn 10680 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
17 3nn0 10887 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN0
18 expcl 12287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
192, 17, 18sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
20 mulcl 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( B ^ 3 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
2116, 19, 20sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
22 9cn 10697 . . . . . . . 8  |-  9  e.  CC
232, 5mulcld 9662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
24 mulcl 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  ( B  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( 9  x.  ( B  x.  C
) )  e.  CC )
2522, 23, 24sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 9  x.  ( B  x.  C )
)  e.  CC )
2621, 25subcld 9985 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  (
9  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
27 2nn0 10886 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
28 7nn 10772 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
2927, 28decnncl 11064 . . . . . . . 8  |- ; 2 7  e.  NN
3029nncni 10619 . . . . . . 7  |- ; 2 7  e.  CC
31 mcubic.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
32 mulcl 9622 . . . . . . 7  |-  ( (; 2
7  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (; 2 7  x.  D
)  e.  CC )
3330, 31, 32sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (; 2 7  x.  D
)  e.  CC )
3426, 33addcld 9661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C )
) )  +  (; 2
7  x.  D ) )  e.  CC )
3515, 34eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3630a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> ; 2
7  e.  CC )
3729nnne0i 10644 . . . . 5  |- ; 2 7  =/=  0
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> ; 2
7  =/=  0 )
3935, 36, 38divcld 10382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  / ; 2 7 )  e.  CC )
40 mcubic.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
412, 10, 12divcld 10382 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  3
)  e.  CC )
4240, 41addcld 9661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( B  /  3 ) )  e.  CC )
43 mcubic.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
4443, 10, 12divcld 10382 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  /  3
)  e.  CC )
4544negcld 9972 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( T  / 
3 )  e.  CC )
46 3nn 10768 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
4746a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  NN )
48 2nn 10767 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
49 1nn0 10885 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
50 1nn 10620 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
51 2t1e2 10758 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
5251oveq1i 6315 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
53 2p1e3 10733 . . . . . . . 8  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5452, 53eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
55 1lt2 10776 . . . . . . 7  |-  1  <  2
5648, 49, 50, 54, 55ndvdsi 14366 . . . . . 6  |-  -.  2  ||  3
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  3
)
58 oexpneg 14346 . . . . 5  |-  ( ( ( T  /  3
)  e.  CC  /\  3  e.  NN  /\  -.  2  ||  3 )  -> 
( -u ( T  / 
3 ) ^ 3 )  =  -u (
( T  /  3
) ^ 3 ) )
5944, 47, 57, 58syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u ( T  /  3 ) ^
3 )  =  -u ( ( T  / 
3 ) ^ 3 ) )
6017a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  e.  NN0 )
6143, 10, 12, 60expdivd 12427 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( T  / 
3 ) ^ 3 )  =  ( ( T ^ 3 )  /  ( 3 ^ 3 ) ) )
62 mcubic.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( ( N  +  G )  /  2 ) )
63 3exp3 15025 . . . . . . . 8  |-  ( 3 ^ 3 )  = ; 2
7
6463a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3 ^ 3 )  = ; 2 7 )
6562, 64oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( T ^
3 )  /  (
3 ^ 3 ) )  =  ( ( ( N  +  G
)  /  2 )  / ; 2 7 ) )
66 mcubic.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
6735, 66addcld 9661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  G
)  e.  CC )
68 2cnd 10682 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
69 2ne0 10702 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
7069a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
7167, 68, 36, 70, 38divdiv32d 10407 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / 
2 )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( N  +  G )  / ; 2 7 )  /  2 ) )
7235, 66addcomd 9834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  G
)  =  ( G  +  N ) )
7372oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  G )  / ; 2 7 )  =  ( ( G  +  N )  / ; 2 7 ) )
7466, 35, 36, 38divdird 10420 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G  +  N )  / ; 2 7 )  =  ( ( G  / ; 2 7 )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )
7573, 74eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  G )  / ; 2 7 )  =  ( ( G  / ; 2 7 )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )
7675oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / ; 2 7 )  /  2 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  /  2 ) )
7766, 36, 38divcld 10382 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  / ; 2 7 )  e.  CC )
7877, 39, 68, 70divdird 10420 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  / ; 2 7 )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  /  2 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  +  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
7971, 76, 783eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / 
2 )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  +  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8061, 65, 793eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  / 
3 ) ^ 3 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  +  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8180negeqd 9868 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( T  /  3 ) ^
3 )  =  -u ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  +  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8277halfcld 10857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  / ; 2 7 )  /  2 )  e.  CC )
8339halfcld 10857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 )  e.  CC )
8482, 83negdi2d 9999 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  +  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) )  =  ( -u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  -  (
( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8559, 81, 843eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u ( T  /  3 ) ^
3 )  =  (
-u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  -  (
( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8682negcld 9972 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  e.  CC )
87 sqneg 12332 . . . . 5  |-  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  e.  CC  ->  ( -u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 ) )
8882, 87syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 ) )
8977, 68, 70sqdivd 12426 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
9039, 68, 70sqdivd 12426 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( N  / ; 2 7 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
9135, 36, 38sqdivd 12426 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  / ; 2 7 ) ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) )
9291oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  / ; 2 7 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( N ^ 2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
9390, 92eqtr2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N ^ 2 )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 ) )
94 4cn 10687 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
9594a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
96 expcl 12287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( M ^ 3 )  e.  CC )
979, 17, 96sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ^ 3 )  e.  CC )
9830sqcli 12352 . . . . . . . . . . . 12  |-  (; 2 7 ^ 2 )  e.  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (; 2 7 ^ 2 )  e.  CC )
100 sqne0 12338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (; 2 7  e.  CC  ->  ( (; 2 7 ^ 2 )  =/=  0  <-> ; 2 7  =/=  0
) )
10136, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (; 2 7 ^ 2 )  =/=  0  <-> ; 2 7  =/=  0
) )
10238, 101mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (; 2 7 ^ 2 )  =/=  0 )
10395, 97, 99, 102divassd 10417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( M ^
3 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) ) ) )
10422a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  9  e.  CC )
105 9nn 10774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  9  e.  NN
106105nnne0i 10644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  9  =/=  0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  9  =/=  0 )
1089, 104, 107, 60expdivd 12427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( 9 ^ 3 ) ) )
10916, 4mulcomi 9648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  x.  2 )
110109oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 3 ^ (
3  x.  2 ) )
111 expmul 12314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 2 ) ^
3 ) )
1124, 27, 17, 111mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 2 ) ^ 3 )
113 expmul 12314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^
2 ) )
1144, 17, 27, 113mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 2 )
115110, 112, 1143eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ^ 2 ) ^ 3 )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 2 )
116 sq3 12369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
117116oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ^ 2 ) ^ 3 )  =  ( 9 ^ 3 )
11863oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 2 )  =  (; 2 7 ^ 2 )
119115, 117, 1183eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9 ^ 3 )  =  (; 2 7 ^ 2 )
120119oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M ^ 3 )  /  ( 9 ^ 3 ) )  =  ( ( M ^
3 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )
121108, 120syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) ) )
122121oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( M  /  9
) ^ 3 ) )  =  ( 4  x.  ( ( M ^ 3 )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) ) )
123103, 122eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) ) )
124123oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
125 sq2 12368 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
126125oveq2i 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  x.  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) )  /  4
)
1279, 104, 107divcld 10382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  /  9
)  e.  CC )
128 expcl 12287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  /  9
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( M  / 
9 ) ^ 3 )  e.  CC )
129127, 17, 128sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 )  e.  CC )
130 4ne0 10706 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =/=  0
131130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
132129, 95, 131divcan3d 10387 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) )  /  4
)  =  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) )
133126, 132syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) )
134124, 133eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) )
13593, 134oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  -  ( ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) ) )
13635sqcld 12411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
137136, 99, 102divcld 10382 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  e.  CC )
138 mulcl 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( M ^ 3 )  e.  CC )  -> 
( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
13994, 97, 138sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
140139, 99, 102divcld 10382 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  e.  CC )
14116sqcli 12352 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 2 )  e.  CC
142141a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  e.  CC )
143125, 130eqnetri 2727 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 2 )  =/=  0
144143a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  =/=  0 )
145137, 140, 142, 144divsubdird 10421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  -  (
( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) ) )  / 
( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  -  ( ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) ) ) )
14683sqcld 12411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
147146, 129negsubd 9991 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  +  -u (
( M  /  9
) ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 ) ^ 2 )  -  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) ) )
148135, 145, 1473eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  -  (
( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) ) )  / 
( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  +  -u (
( M  /  9
) ^ 3 ) ) )
14966, 36, 38sqdivd 12426 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  / ; 2 7 ) ^ 2 )  =  ( ( G ^ 2 )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) )
150 mcubic.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) ) )
151150oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  =  ( ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) )
152136, 139, 99, 102divsubdird 10421 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  =  ( ( ( N ^
2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  -  ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) ) )
153149, 151, 1523eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G  / ; 2 7 ) ^ 2 )  =  ( ( ( N ^ 2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  -  (
( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) ) ) )
154153oveq1d 6320 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  / ; 2 7 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N ^
2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  -  ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) )  / 
( 2 ^ 2 ) ) )
155 oexpneg 14346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  /  9
)  e.  CC  /\  3  e.  NN  /\  -.  2  ||  3 )  -> 
( -u ( M  / 
9 ) ^ 3 )  =  -u (
( M  /  9
) ^ 3 ) )
156127, 47, 57, 155syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  9 ) ^
3 )  =  -u ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) )
157156oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( -u ( M  /  9
) ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 ) ^ 2 )  + 
-u ( ( M  /  9 ) ^
3 ) ) )
158148, 154, 1573eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  / ; 2 7 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 ) ^ 2 )  +  ( -u ( M  /  9 ) ^
3 ) ) )
15988, 89, 1583eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 ) ^ 2 )  +  ( -u ( M  /  9 ) ^
3 ) ) )
1609, 10, 10, 12, 12divdiv1d 10413 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  /  3
)  =  ( M  /  ( 3  x.  3 ) ) )
161 3t3e9 10762 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
162161oveq2i 6316 . . . . . 6  |-  ( M  /  ( 3  x.  3 ) )  =  ( M  /  9
)
163160, 162syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  /  3
)  =  ( M  /  9 ) )
164163negeqd 9868 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( M  /  3 )  / 
3 )  =  -u ( M  /  9
) )
16513, 10, 12divnegd 10395 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( M  /  3 )  / 
3 )  =  (
-u ( M  / 
3 )  /  3
) )
166164, 165eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
9 )  =  (
-u ( M  / 
3 )  /  3
) )
167 eqidd 2430 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 )  =  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) )
168 mcubic.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
16943, 10, 168, 12divne0d 10398 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  /  3
)  =/=  0 )
17044, 169negne0d 9983 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( T  / 
3 )  =/=  0
)
17114, 39, 42, 45, 85, 86, 159, 166, 167, 170dcubic 23637 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( B  /  3 ) ) ^ 3 )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  ( X  +  ( B  /  3 ) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) ) ) ) )
172 binom3 12390 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( B  /  3
)  e.  CC )  ->  ( ( X  +  ( B  / 
3 ) ) ^
3 )  =  ( ( ( X ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( B  / 
3 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) ) )
17340, 41, 172syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( B  /  3
) ) ^ 3 )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( B  /  3
) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) ) ) )
17440sqcld 12411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
17510, 174, 41mul12d 9841 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( B  /  3 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( 3  x.  ( B  /  3
) ) ) )
1762, 10, 12divcan2d 10384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( B  /  3 ) )  =  B )
177176oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
3  x.  ( B  /  3 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  B ) )
178174, 2mulcomd 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  B
)  =  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )
179175, 177, 1783eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( B  /  3 ) ) )  =  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )
180179oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( B  / 
3 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
181180oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( B  /  3 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) ) )
182173, 181eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( B  /  3
) ) ^ 3 )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) ) ) )
183182oveq1d 6320 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( B  / 
3 ) ) ^
3 )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( ( ( X ^
3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( -u ( M  /  3
)  x.  ( X  +  ( B  / 
3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) ) )
184 expcl 12287 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
18540, 17, 184sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
1862, 174mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
187185, 186addcld 9661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
18841sqcld 12411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 )  e.  CC )
18940, 188mulcld 9662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) )  e.  CC )
19010, 189mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  e.  CC )
191 expcl 12287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  3
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( B  / 
3 ) ^ 3 )  e.  CC )
19241, 17, 191sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 )  e.  CC )
193190, 192addcld 9661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  /  3
) ^ 3 ) )  e.  CC )
19414, 42mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  e.  CC )
195194, 39addcld 9661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  e.  CC )
196187, 193, 195addassd 9664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( -u ( M  /  3
)  x.  ( X  +  ( B  / 
3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) ) ) )
19714, 40, 41adddid 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  =  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  X )  +  (
-u ( M  / 
3 )  x.  ( B  /  3 ) ) ) )
198197oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( ( (
-u ( M  / 
3 )  x.  X
)  +  ( -u ( M  /  3
)  x.  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )
19914, 40mulcld 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  X )  e.  CC )
20014, 41mulcld 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  e.  CC )
201199, 200, 39addassd 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( -u ( M  /  3
)  x.  X )  +  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( ( -u ( M  /  3
)  x.  X )  +  ( ( -u ( M  /  3
)  x.  ( B  /  3 ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) ) )
2021oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  C ) )  /  3 ) )
2033, 7, 10, 12divsubdird 10421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  C
) )  /  3
)  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  -  ( ( 3  x.  C )  / 
3 ) ) )
2045, 10, 12divcan3d 10387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  C )  /  3
)  =  C )
205204oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  -  (
( 3  x.  C
)  /  3 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  -  C ) )
206202, 203, 2053eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  -  C ) )
207206negeqd 9868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
3 )  =  -u ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  -  C
) )
2083, 10, 12divcld 10382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  /  3
)  e.  CC )
209208, 5negsubdi2d 10001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  -  C )  =  ( C  -  ( ( B ^ 2 )  /  3 ) ) )
210207, 209eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
3 )  =  ( C  -  ( ( B ^ 2 )  /  3 ) ) )
211210oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  X )  =  ( ( C  -  (
( B ^ 2 )  /  3 ) )  x.  X ) )
2125, 208, 40subdird 10074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( B ^
2 )  /  3
) )  x.  X
)  =  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  x.  X ) ) )
213208, 40mulcomd 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  x.  X
)  =  ( X  x.  ( ( B ^ 2 )  / 
3 ) ) )
2144sqvali 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3 ^ 2 )  =  ( 3  x.  3 )
215214oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B ^ 2 )  /  ( 3 ^ 2 ) )  =  ( ( B ^
2 )  /  (
3  x.  3 ) )
2162, 10, 12sqdivd 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  /  ( 3 ^ 2 ) ) )
2173, 10, 10, 12, 12divdiv1d 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  /  3
)  =  ( ( B ^ 2 )  /  ( 3  x.  3 ) ) )
218215, 216, 2173eqtr4a 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  /  3 ) )
219218oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  / 
3 ) ) )
220208, 10, 12divcan2d 10384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( B ^
2 )  /  3
)  /  3 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  /  3 ) )
221219, 220eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  /  3 ) )
222221oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
3  x.  ( ( B  /  3 ) ^ 2 ) ) )  =  ( X  x.  ( ( B ^ 2 )  / 
3 ) ) )
22340, 10, 188mul12d 9841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
3  x.  ( ( B  /  3 ) ^ 2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )
224213, 222, 2233eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  x.  X
)  =  ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )
225224oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( B ^
2 )  /  3
)  x.  X ) )  =  ( ( C  x.  X )  -  ( 3  x.  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) ) ) ) )
226211, 212, 2253eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  X )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
227210oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  =  ( ( C  -  (
( B ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( B  /  3 ) ) )
2285, 208, 41subdird 10074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( B ^
2 )  /  3
) )  x.  ( B  /  3 ) )  =  ( ( C  x.  ( B  / 
3 ) )  -  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  x.  ( B  /  3 ) ) ) )
2295, 2, 10, 12divassd 10417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  /  3
)  =  ( C  x.  ( B  / 
3 ) ) )
2305, 2mulcomd 9663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  =  ( B  x.  C ) )
231230oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  /  3
)  =  ( ( B  x.  C )  /  3 ) )
232229, 231eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( B  /  3 ) )  =  ( ( B  x.  C )  / 
3 ) )
2333, 10, 2, 10, 12, 12divmuldivd 10423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  x.  ( B  /  3 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  B )  / 
( 3  x.  3 ) ) )
234 df-3 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  =  ( 2  +  1 )
235234oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
236 expp1 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
2372, 27, 236sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
238235, 237syl5req 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  x.  B
)  =  ( B ^ 3 ) )
239161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  3 )  =  9 )
240238, 239oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  x.  B )  /  (
3  x.  3 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  /  9 ) )
241233, 240eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  x.  ( B  /  3 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  / 
9 ) )
242232, 241oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( B  /  3
) )  -  (
( ( B ^
2 )  /  3
)  x.  ( B  /  3 ) ) )  =  ( ( ( B  x.  C
)  /  3 )  -  ( ( B ^ 3 )  / 
9 ) ) )
243227, 228, 2423eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  =  ( ( ( B  x.  C )  /  3
)  -  ( ( B ^ 3 )  /  9 ) ) )
24415oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  / ; 2 7 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  D
) )  / ; 2 7 ) )
24526, 33, 36, 38divdird 10420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  D
) )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  / ; 2 7 )  +  ( (; 2
7  x.  D )  / ; 2 7 ) ) )
24621, 25, 36, 38divsubdird 10421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C )
) )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 9  x.  ( B  x.  C ) )  / ; 2 7 ) ) )
247 9t3e27 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 9  x.  3 )  = ; 2
7
248247oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 9  x.  ( B  x.  C ) )  /  ( 9  x.  3 ) )  =  ( ( 9  x.  ( B  x.  C
) )  / ; 2 7 )
24923, 10, 104, 12, 107divcan5d 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 9  x.  ( B  x.  C
) )  /  (
9  x.  3 ) )  =  ( ( B  x.  C )  /  3 ) )
250248, 249syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 9  x.  ( B  x.  C
) )  / ; 2 7 )  =  ( ( B  x.  C )  /  3
) )
251250oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 9  x.  ( B  x.  C ) )  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) ) )
252246, 251eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C )
) )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3 ) ) )
25331, 36, 38divcan3d 10387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (; 2 7  x.  D
)  / ; 2 7 )  =  D )
254252, 253oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  / ; 2 7 )  +  ( (; 2
7  x.  D )  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) )  +  D
) )
255244, 245, 2543eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  / ; 2 7 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) )  +  D
) )
256243, 255oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( ( B  x.  C
)  /  3 )  -  ( ( B ^ 3 )  / 
9 ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) )  +  D
) ) )
25719, 104, 107divcld 10382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
3 )  /  9
)  e.  CC )
25821, 36, 38divcld 10382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  e.  CC )
259257, 258negsubdi2d 10001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( B ^ 3 )  /  9 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B ^
3 )  /  9
) ) )
2602, 10, 12, 60expdivd 12427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 )  =  ( ( B ^ 3 )  /  ( 3 ^ 3 ) ) )
26163oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B ^ 3 )  /  ( 3 ^ 3 ) )  =  ( ( B ^
3 )  / ; 2 7 )
262 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
2634, 16, 262, 53subaddrii 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 3  -  2 )  =  1
264263oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 3  -  2 )  x.  ( B ^
3 ) )  =  ( 1  x.  ( B ^ 3 ) )
26519mulid2d 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( B ^ 3 ) )  =  ( B ^
3 ) )
266264, 265syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 3  -  2 )  x.  ( B ^ 3 ) )  =  ( B ^
3 ) )
26710, 68, 19subdird 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 3  -  2 )  x.  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
268266, 267eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B ^ 3 )  =  ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
269268oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
3 )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) ) )  / ; 2 7 ) )
270 mulcl 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( B ^ 3 )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
2714, 19, 270sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
272271, 21, 36, 38divsubdird 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) ) )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
273269, 272eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
3 )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
274261, 273syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
3 )  /  (
3 ^ 3 ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
27522, 4, 247mulcomli 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  x.  9 )  = ; 2
7
276275oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  /  ( 3  x.  9 ) )  =  ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )
27719, 104, 10, 107, 12divcan5d 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  /  (
3  x.  9 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  /  9 ) )
278276, 277syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  =  ( ( B ^
3 )  /  9
) )
279278oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( B ^ 3 )  /  9 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
280260, 274, 2793eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 )  =  ( ( ( B ^ 3 )  /  9 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
281280negeqd 9868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B  /  3 ) ^
3 )  =  -u ( ( ( B ^ 3 )  / 
9 )  -  (
( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
28223, 10, 12divcld 10382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  /  3
)  e.  CC )
283282, 257, 258npncan3d 10021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  x.  C )  /  3 )  -  ( ( B ^
3 )  /  9
) )  +  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B ^ 3 )  /  9 ) ) )
284259, 281, 2833eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B  /  3 ) ^
3 )  =  ( ( ( ( B  x.  C )  / 
3 )  -  (
( B ^ 3 )  /  9 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) ) ) )
285284oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( B  /  3 ) ^ 3 )  +  D )  =  ( ( ( ( ( B  x.  C )  /  3 )  -  ( ( B ^
3 )  /  9
) )  +  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) ) )  +  D ) )
286192negcld 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B  /  3 ) ^
3 )  e.  CC )
287286, 31addcomd 9834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( B  /  3 ) ^ 3 )  +  D )  =  ( D  +  -u (
( B  /  3
) ^ 3 ) ) )
288243, 200eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  C )  / 
3 )  -  (
( B ^ 3 )  /  9 ) )  e.  CC )
289258, 282subcld 9985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3 ) )  e.  CC )
290288, 289, 31addassd 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( B  x.  C
)  /  3 )  -  ( ( B ^ 3 )  / 
9 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3 ) ) )  +  D )  =  ( ( ( ( B  x.  C
)  /  3 )  -  ( ( B ^ 3 )  / 
9 ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) )  +  D
) ) )
291285, 287, 2903eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  +  -u ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( B  x.  C )  / 
3 )  -  (
( B ^ 3 )  /  9 ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) )  +  D
) ) )
29231, 192negsubd 9991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  +  -u ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) )  =  ( D  -  ( ( B  /  3 ) ^ 3 ) ) )
293256, 291, 2923eqtr2d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( D  -  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) ) )
294226, 293oveq12d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  X )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( ( C  x.  X
)  -  ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( D  -  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) ) ) )
295198, 201, 2943eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( C  x.  X )  -  ( 3  x.  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) ) ) )  +  ( D  -  (
( B  /  3
) ^ 3 ) ) ) )
2965, 40mulcld 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  CC )
297296, 31, 190, 192addsub4d 10032 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  X )  +  D )  -  (
( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( C  x.  X )  -  ( 3  x.  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) ) ) )  +  ( D  -  (
( B  /  3
) ^ 3 ) ) ) )
298295, 297eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( C  x.  X )  +  D )  -  ( ( 3  x.  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  /  3
) ^ 3 ) ) ) )
299298oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) )  +  ( ( ( C  x.  X )  +  D )  -  (
( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) ) ) )
300296, 31addcld 9661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  D
)  e.  CC )
301193, 300pncan3d 9988 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) )  +  ( ( ( C  x.  X )  +  D
)  -  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) ) )  =  ( ( C  x.  X )  +  D ) )
302299, 301eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( C  x.  X )  +  D ) )
303302oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) ) )  =  ( ( ( X ^
3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
304183, 196, 3033eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( B  / 
3 ) ) ^
3 )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
305304eqeq1d 2431 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( B  /  3 ) ) ^ 3 )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  0  <->  (
( ( X ^
3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) )  =  0 ) )
306 oveq1 6312 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
307 0exp 12304 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
30846, 307ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
309306, 308syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
310 0ne1 10677 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
311310a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( r  =  0  ->  0  =/=  1 )
312309, 311eqnetrd 2724 . . . . . 6  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =/=  1 )
313312necon2i 2674 . . . . 5  |-  ( ( r ^ 3 )  =  1  ->  r  =/=  0 )
314 eqcom 2438 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 )  <->  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 )  =  X )
3152adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  B  e.  CC )
316 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
r  e.  CC )
31743adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  T  e.  CC )
318316, 317mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  T
)  e.  CC )
3199adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  M  e.  CC )
320 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
r  =/=  0 )
321168adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  T  =/=  0 )
322316, 317, 320, 321mulne0d 10263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  T
)  =/=  0 )
323319, 318, 322divcld 10382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  (
r  x.  T ) )  e.  CC )
324318, 323addcld 9661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  e.  CC )
3254a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
3  e.  CC )
32611a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
3  =/=  0 )
327315, 324, 325, 326divdird 10420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  +  ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) )  /  3
)  =  ( ( B  /  3 )  +  ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 ) ) )
328315, 318, 323addassd 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  =  ( B  +  ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) ) ) )
329328oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  ( ( B  +  ( ( r  x.  T )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) )  /  3 ) )
33041adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( B  /  3
)  e.  CC )
331324, 325, 326divcld 10382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  e.  CC )
332330, 331subnegd 9992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  / 
3 )  -  -u (
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 ) )  =  ( ( B  /  3 )  +  ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 ) ) )
333327, 329, 3323eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  ( ( B  /  3 )  -  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 ) ) )
334333negeqd 9868 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  -u (
( B  /  3
)  -  -u (
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 ) ) )
335331negcld 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  e.  CC )
336330, 335negsubdi2d 10001 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( B  / 
3 )  -  -u (
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 ) )  =  ( -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  -  ( B  /  3 ) ) )
337334, 336eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  ( -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  -  ( B  /  3 ) ) )
338337eqeq1d 2431 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 )  =  X  <-> 
( -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 )  -  ( B  /  3 ) )  =  X ) )
339314, 338syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  <->  ( -u (
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 )  -  ( B  / 
3 ) )  =  X ) )
34040adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  X  e.  CC )
341335, 330, 340subadd2d 10004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( -u (
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 )  -  ( B  / 
3 ) )  =  X  <->  ( X  +  ( B  /  3
) )  =  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
) ) )
342318, 323, 325, 326divdird 10420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  ( ( ( r  x.  T
)  /  3 )  +  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  / 
3 ) ) )
343342negeqd 9868 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  -u (
( ( r  x.  T )  /  3
)  +  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  /  3 ) ) )
344318, 325, 326divcld 10382 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( r  x.  T )  /  3
)  e.  CC )
345323, 325, 326divcld 10382 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  / 
( r  x.  T
) )  /  3
)  e.  CC )
346344, 345negdi2d 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( r  x.  T )  / 
3 )  +  ( ( M  /  (
r  x.  T ) )  /  3 ) )  =  ( -u ( ( r  x.  T )  /  3
)  -  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  /  3 ) ) )
347316, 317, 325, 326divassd 10417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( r  x.  T )  /  3
)  =  ( r  x.  ( T  / 
3 ) ) )
348347negeqd 9868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( r  x.  T )  /  3
)  =  -u (
r  x.  ( T  /  3 ) ) )
34944adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( T  /  3
)  e.  CC )
350316, 349mulneg2d 10071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  =  -u ( r  x.  ( T  /  3
) ) )
351348, 350eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( r  x.  T )  /  3
)  =  ( r  x.  -u ( T  / 
3 ) ) )
352319, 318, 325, 322, 326divdiv32d 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  / 
( r  x.  T
) )  /  3
)  =  ( ( M  /  3 )  /  ( r  x.  T ) ) )
35313adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  3
)  e.  CC )
354353, 318, 325, 322, 326divcan7d 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( M  /  3 )  / 
3 )  /  (
( r  x.  T
)  /  3 ) )  =  ( ( M  /  3 )  /  ( r  x.  T ) ) )
355163oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  3 )  / 
3 )  /  (
( r  x.  T
)  /  3 ) )  =  ( ( M  /  9 )  /  ( ( r  x.  T )  / 
3 ) ) )
356355adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( M  /  3 )  / 
3 )  /  (
( r  x.  T
)  /  3 ) )  =  ( ( M  /  9 )  /  ( ( r  x.  T )  / 
3 ) ) )
357352, 354, 3563eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  / 
( r  x.  T
) )  /  3
)  =  ( ( M  /  9 )  /  ( ( r  x.  T )  / 
3 ) ) )
358127adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  9
)  e.  CC )
359318, 325, 322, 326divne0d 10398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( r  x.  T )  /  3
)  =/=  0 )
360358, 344, 359div2negd 10397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( -u ( M  / 
9 )  /  -u (
( r  x.  T
)  /  3 ) )  =  ( ( M  /  9 )  /  ( ( r  x.  T )  / 
3 ) ) )
361351oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( -u ( M  / 
9 )  /  -u (
( r  x.  T
)  /  3 ) )  =  ( -u ( M  /  9
)  /  ( r  x.  -u ( T  / 
3 ) ) ) )
362357, 360, 3613eqtr2d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  / 
( r  x.  T
) )  /  3
)  =  ( -u ( M  /  9
)  /  ( r  x.  -u ( T  / 
3 ) ) ) )
363351, 362oveq12d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( -u ( ( r  x.  T )  / 
3 )  -  (
( M  /  (
r  x.  T ) )  /  3 ) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) ) )
364343, 346, 3633eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) ) )
365364eqeq2d 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( X  +  ( B  /  3
) )  =  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  <->  ( X  +  ( B  /  3
) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) ) ) )
366339, 341, 3653bitrrd 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( X  +  ( B  /  3
) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) )  <->  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
) ) )
367366anassrs 652 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  r  =/=  0 )  ->  (
( X  +  ( B  /  3 ) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) )  <->  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
) ) )
368313, 367sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
r ^ 3 )  =  1 )  -> 
( ( X  +  ( B  /  3
) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) )  <->  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
) ) )
369368pm5.32da 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  ( ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  ( X  +  ( B  /  3 ) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) ) )  <->  ( (
r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 ) ) ) )
370369rexbidva 2943 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  ( X  +  ( B  / 
3 ) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3
) )  -  ( -u ( M  /  9
)  /  ( r  x.  -u ( T  / 
3 ) ) ) ) )  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  = 
-u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 ) ) ) )
371171, 305, 3703bitr3d 286 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   E.wrex 2783   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   7c7 10664   9c9 10666   NN0cn0 10869  ;cdc 11051   ^cexp 12269    || cdvds 14283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284
This theorem is referenced by:  cubic2  23639  quart  23652
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