Theorem mclsssvlem 30193

Description: Lemma for mclsssv 30195. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclsval.d	|- D = (mDV ` T )
mclsval.e	|- E = (mEx ` T )
mclsval.c	|- C = (mCls ` T )
mclsval.1	|- ( ph -> T e. mFS )
mclsval.2	|- ( ph -> K C_ D )
mclsval.3	|- ( ph -> B C_ E )
mclsval.h	|- H = (mVH ` T )
mclsval.a	|- A = (mAx ` T )
mclsval.s	|- S = (mSubst ` T )
mclsval.v	|- V = (mVars ` T )

Assertion

Ref	Expression
mclsssvlem	|- ( ph -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ E )

Distinct variable groups:   m, c, o, p, s, E   x, c, H, m, o, p, s   y, c, B, m, o, p, s, x   C, m, o, p, s, x   A, c, m, o, p, s   S, c, s, x, y   T, c, m, o, p, s, x, y   ph, c, m, o, p, s, x, y   V, c, x   K, c, m, o, p, s, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   C( y, c)   D( x, y, m, o, s, p, c)   S( m, o, p)   E( x, y)   H( y)   V( y, m, o, s, p)

Proof of Theorem mclsssvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsval.3	. . . 4 |- ( ph -> B C_ E )
2		mclsval.1	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. mFS )
3		eqid 2450	. . . . . . 7 |- (mVR ` T ) = (mVR ` T )
4		mclsval.e	. . . . . . 7 |- E = (mEx ` T )
5		mclsval.h	. . . . . . 7 |- H = (mVH ` T )
6	3, 4, 5	mvhf 30189	. . . . . 6 |- ( T e. mFS -> H : (mVR ` T ) --> E )
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> H : (mVR ` T ) --> E )
8		frn 5733	. . . . 5 |- ( H : (mVR ` T ) --> E -> ran H C_ E )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran H C_ E )
10	1, 9	unssd 3609	. . 3 |- ( ph -> ( B u. ran H ) C_ E )
11		mclsval.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (mSubst ` T )
12	11, 4	msubf 30163	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ran S -> s : E --> E )
13		mclsval.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = (mAx ` T )
14		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (mStat ` T ) = (mStat ` T )
15	13, 14	maxsta 30185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. mFS -> A C_ (mStat ` T ) )
16	2, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ (mStat ` T ) )
17		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mPreSt ` T ) = (mPreSt ` T )
18	17, 14	mstapst 30178	. . . . . . . . . . . 12 |- (mStat ` T ) C_ (mPreSt ` T )
19	16, 18	syl6ss 3443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ (mPreSt ` T ) )
20	19	sselda 3431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) -> <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) )
21		mclsval.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = (mDV ` T )
22	21, 4, 17	elmpst 30167	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) <-> ( ( m C_ D /\ `' m = m ) /\ ( o C_ E /\ o e. Fin ) /\ p e. E ) )
23	22	simp3bi 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) -> p e. E )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) -> p e. E )
25		ffvelrn 6018	. . . . . . . . 9 |- ( ( s : E --> E /\ p e. E ) -> ( s ` p ) e. E )
26	12, 24, 25	syl2anr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) /\ s e. ran S ) -> ( s ` p ) e. E )
27	26	a1d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) /\ s e. ran S ) -> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) )
28	27	ralrimiva 2801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) )
29	28	ex 436	. . . . 5 |- ( ph -> ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) )
30	29	alrimiv 1772	. . . 4 |- ( ph -> A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) )
31	30	alrimivv 1773	. . 3 |- ( ph -> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) )
32		fvex 5873	. . . . 5 |- (mEx ` T ) e. _V
33	4, 32	eqeltri 2524	. . . 4 |- E e. _V
34		sseq2 3453	. . . . 5 |- ( c = E -> ( ( B u. ran H ) C_ c <-> ( B u. ran H ) C_ E ) )
35		sseq2 3453	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = E -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c <-> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E ) )
36	35	anbi1d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( c = E -> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) <-> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) ) )
37		eleq2 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( c = E -> ( ( s ` p ) e. c <-> ( s ` p ) e. E ) )
38	36, 37	imbi12d 322	. . . . . . . . 9 |- ( c = E -> ( ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) )
39	38	ralbidv 2826	. . . . . . . 8 |- ( c = E -> ( A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) )
40	39	imbi2d 318	. . . . . . 7 |- ( c = E -> ( ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) ) )
41	40	albidv 1766	. . . . . 6 |- ( c = E -> ( A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) ) )
42	41	2albidv 1768	. . . . 5 |- ( c = E -> ( A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) ) )
43	34, 42	anbi12d 716	. . . 4 |- ( c = E -> ( ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) <-> ( ( B u. ran H ) C_ E /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) ) ) )
44	33, 43	elab 3184	. . 3 |- ( E e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } <-> ( ( B u. ran H ) C_ E /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) ) )
45	10, 31, 44	sylanbrc 669	. 2 |- ( ph -> E e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )
46		intss1 4248	. 2 |- ( E e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ E )
47	45, 46	syl 17	1 |- ( ph -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   A.wal 1441   = wceq 1443   e. wcel 1886   {cab 2436   A.wral 2736   _Vcvv 3044   u. cun 3401   C_ wss 3403   <.cotp 3975   |^|cint 4233   class class class wbr 4401   X. cxp 4831   `'ccnv 4832   ran crn 4834   "cima 4836   -->wf 5577   ` cfv 5581   Fincfn 7566  mVRcmvar 30092  mAxcmax 30096  mExcmex 30098  mDVcmdv 30099  mVarscmvrs 30100  mSubstcmsub 30102  mVHcmvh 30103  mPreStcmpst 30104  mStatcmsta 30106  mFScmfs 30107  mClscmcls 30108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-ot 3976  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-word 12661  df-concat 12663  df-s1 12664  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-frmd 16626  df-mrex 30117  df-mex 30118  df-mrsub 30121  df-msub 30122  df-mvh 30123  df-mpst 30124  df-msr 30125  df-msta 30126  df-mfs 30127

This theorem is referenced by:  mclsval  30194  mclsssv  30195