Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclsrcl Structured version   Unicode version

Theorem mclsrcl 29205
 Description: Reverse closure for the closure function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d mDV
mclsval.e mEx
mclsval.c mCls
Assertion
Ref Expression
mclsrcl

Proof of Theorem mclsrcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3798 . . 3
2 mclsval.c . . . . . 6 mCls
3 fvprc 5866 . . . . . 6 mCls
42, 3syl5eq 2510 . . . . 5
54oveqd 6313 . . . 4
6 df-ov 6299 . . . . 5
7 0fv 5905 . . . . 5
86, 7eqtri 2486 . . . 4
95, 8syl6eq 2514 . . 3
101, 9nsyl2 127 . 2
11 fveq2 5872 . . . . . . . . 9 mCls mCls
1211, 2syl6eqr 2516 . . . . . . . 8 mCls
1312oveqd 6313 . . . . . . 7 mCls
1413eleq2d 2527 . . . . . 6 mCls
15 fvex 5882 . . . . . . . . 9 mDV
1615elpw2 4620 . . . . . . . 8 mDV mDV
17 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10 mDV mDV
18 mclsval.d . . . . . . . . . 10 mDV
1917, 18syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9 mDV
2019sseq2d 3527 . . . . . . . 8 mDV
2116, 20syl5bb 257 . . . . . . 7 mDV
22 fvex 5882 . . . . . . . . 9 mEx
2322elpw2 4620 . . . . . . . 8 mEx mEx
24 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10 mEx mEx
25 mclsval.e . . . . . . . . . 10 mEx
2624, 25syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9 mEx
2726sseq2d 3527 . . . . . . . 8 mEx
2823, 27syl5bb 257 . . . . . . 7 mEx
2921, 28anbi12d 710 . . . . . 6 mDV mEx
3014, 29imbi12d 320 . . . . 5 mCls mDV mEx
31 vex 3112 . . . . . . 7
3215pwex 4639 . . . . . . . 8 mDV
3322pwex 4639 . . . . . . . 8 mEx
3432, 33mpt2ex 6876 . . . . . . 7 mDV mEx mVH mAx mSubst mVH mVarsmVH mVarsmVH
35 df-mcls 29141 . . . . . . . 8 mCls mDV mEx mVH mAx mSubst mVH mVarsmVH mVarsmVH
3635fvmpt2 5964 . . . . . . 7 mDV mEx mVH mAx mSubst mVH mVarsmVH mVarsmVH mCls mDV mEx mVH mAx mSubst mVH mVarsmVH mVarsmVH
3731, 34, 36mp2an 672 . . . . . 6 mCls mDV mEx mVH mAx mSubst mVH mVarsmVH mVarsmVH
3837elmpt2cl 6516 . . . . 5 mCls mDV mEx
3930, 38vtoclg 3167 . . . 4
4010, 39mpcom 36 . . 3
4140simpld 459 . 2
4240simprd 463 . 2
4310, 41, 423jca 1176 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   w3a 973  wal 1393   wceq 1395   wcel 1819  cab 2442  wral 2807  cvv 3109   cun 3469   wss 3471  c0 3793  cpw 4015  cop 4038  cotp 4040  cint 4288   class class class wbr 4456   cxp 5006   crn 5009  cima 5011  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  mAxcmax 29109  mExcmex 29111  mDVcmdv 29112  mVarscmvrs 29113  mSubstcmsub 29115  mVHcmvh 29116  mClscmcls 29121 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-mcls 29141 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator