Theorem mclsppslem 30293

Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 30279.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclspps.d	|- D = (mDV ` T )
mclspps.e	|- E = (mEx ` T )
mclspps.c	|- C = (mCls ` T )
mclspps.1	|- ( ph -> T e. mFS )
mclspps.2	|- ( ph -> K C_ D )
mclspps.3	|- ( ph -> B C_ E )
mclspps.j	|- J = (mPPSt ` T )
mclspps.l	|- L = (mSubst ` T )
mclspps.v	|- V = (mVR ` T )
mclspps.h	|- H = (mVH ` T )
mclspps.w	|- W = (mVars ` T )
mclspps.4	|- ( ph -> <. M , O , P >. e. J )
mclspps.5	|- ( ph -> S e. ran L )
mclspps.6	|- ( ( ph /\ x e. O ) -> ( S ` x ) e. ( K C B ) )
mclspps.7	|- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( S ` ( H ` v ) ) e. ( K C B ) )
mclspps.8	|- ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b )
mclsppslem.9	|- ( ph -> <. m , o , p >. e. (mAx ` T ) )
mclsppslem.10	|- ( ph -> s e. ran L )
mclsppslem.11	|- ( ph -> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) )
mclsppslem.12	|- ( ph -> A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) )

Assertion

Ref	Expression
mclsppslem	|- ( ph -> ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) )

Distinct variable groups:   m, o, p, s, v, E   a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z, H   v, V, z   K, a, b, m, o, p, s, v, x, y   T, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   L, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   S, a, b, m, o, p, s, v, x, y   B, a, b, m, o, p, s, v, x, y   W, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   C, a, b, m, o, p, s, v, x, y, z   M, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   m, O, o, p, s, v, w, x, z   ph, a, b, v, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, w, m, o, s, p)   B( z, w)   C( w)   D( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)   P( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)   S( z, w)   E( x, y, z, w, a, b)   J( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)   K( z, w)   O( y, a, b)   V( x, y, w, m, o, s, p, a, b)

Proof of Theorem mclsppslem

Dummy variables t u c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsppslem.10	. . . 4 |- ( ph -> s e. ran L )
2		mclspps.l	. . . . 5 |- L = (mSubst ` T )
3		mclspps.e	. . . . 5 |- E = (mEx ` T )
4	2, 3	msubf 30242	. . . 4 |- ( s e. ran L -> s : E --> E )
5	1, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> s : E --> E )
6		mclspps.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. mFS )
7		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- (mAx ` T ) = (mAx ` T )
8		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- (mStat ` T ) = (mStat ` T )
9	7, 8	maxsta 30264	. . . . . . . 8 |- ( T e. mFS -> (mAx ` T ) C_ (mStat ` T ) )
10	6, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> (mAx ` T ) C_ (mStat ` T ) )
11		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- (mPreSt ` T ) = (mPreSt ` T )
12	11, 8	mstapst 30257	. . . . . . 7 |- (mStat ` T ) C_ (mPreSt ` T )
13	10, 12	syl6ss 3430	. . . . . 6 |- ( ph -> (mAx ` T ) C_ (mPreSt ` T ) )
14		mclsppslem.9	. . . . . 6 |- ( ph -> <. m , o , p >. e. (mAx ` T ) )
15	13, 14	sseldd 3419	. . . . 5 |- ( ph -> <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) )
16		mclspps.d	. . . . . 6 |- D = (mDV ` T )
17	16, 3, 11	elmpst 30246	. . . . 5 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) <-> ( ( m C_ D /\ `' m = m ) /\ ( o C_ E /\ o e. Fin ) /\ p e. E ) )
18	15, 17	sylib 201	. . . 4 |- ( ph -> ( ( m C_ D /\ `' m = m ) /\ ( o C_ E /\ o e. Fin ) /\ p e. E ) )
19	18	simp3d 1044	. . 3 |- ( ph -> p e. E )
20	5, 19	ffvelrnd 6038	. 2 |- ( ph -> ( s ` p ) e. E )
21		fvco3 5957	. . . 4 |- ( ( s : E --> E /\ p e. E ) -> ( ( S o. s ) ` p ) = ( S ` ( s ` p ) ) )
22	5, 19, 21	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( ( S o. s ) ` p ) = ( S ` ( s ` p ) ) )
23		mclspps.c	. . . 4 |- C = (mCls ` T )
24		mclspps.2	. . . 4 |- ( ph -> K C_ D )
25		mclspps.3	. . . 4 |- ( ph -> B C_ E )
26		mclspps.v	. . . 4 |- V = (mVR ` T )
27		mclspps.h	. . . 4 |- H = (mVH ` T )
28		mclspps.w	. . . 4 |- W = (mVars ` T )
29		mclspps.5	. . . . 5 |- ( ph -> S e. ran L )
30	2	msubco 30241	. . . . 5 |- ( ( S e. ran L /\ s e. ran L ) -> ( S o. s ) e. ran L )
31	29, 1, 30	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( S o. s ) e. ran L )
32	2, 3	msubf 30242	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ran L -> S : E --> E )
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : E --> E )
34		fco 5751	. . . . . . . 8 |- ( ( S : E --> E /\ s : E --> E ) -> ( S o. s ) : E --> E )
35	33, 5, 34	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S o. s ) : E --> E )
36		ffn 5739	. . . . . . 7 |- ( ( S o. s ) : E --> E -> ( S o. s ) Fn E )
37	35, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S o. s ) Fn E )
38	37	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. o ) -> ( S o. s ) Fn E )
39		mclsppslem.11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) )
40		ffun 5742	. . . . . . . . . . 11 |- ( s : E --> E -> Fun s )
41	5, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun s )
42	17	simp2bi 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) -> ( o C_ E /\ o e. Fin ) )
43	15, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( o C_ E /\ o e. Fin ) )
44	43	simpld 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> o C_ E )
45	26, 3, 27	mvhf 30268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. mFS -> H : V --> E )
46		frn 5747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( H : V --> E -> ran H C_ E )
47	6, 45, 46	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran H C_ E )
48	44, 47	unssd 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ E )
49		fdm 5745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s : E --> E -> dom s = E )
50	5, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom s = E )
51	48, 50	sseqtr4d 3455	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ dom s )
52		funimass3 6013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun s /\ ( o u. ran H ) C_ dom s ) -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( o u. ran H ) C_ ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) ) )
53	41, 51, 52	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( o u. ran H ) C_ ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) ) )
54	39, 53	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) )
55		cnvco 5025	. . . . . . . . . 10 |- `' ( S o. s ) = ( `' s o. `' S )
56	55	imaeq1i 5171	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) = ( ( `' s o. `' S ) " ( K C B ) )
57		imaco 5347	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' s o. `' S ) " ( K C B ) ) = ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) )
58	56, 57	eqtri 2493	. . . . . . . 8 |- ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) = ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) )
59	54, 58	syl6sseqr 3465	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
60	59	unssad 3602	. . . . . 6 |- ( ph -> o C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
61	60	sselda 3418	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. o ) -> c e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
62		elpreima 6017	. . . . . 6 |- ( ( S o. s ) Fn E -> ( c e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) <-> ( c e. E /\ ( ( S o. s ) ` c ) e. ( K C B ) ) ) )
63	62	simplbda 636	. . . . 5 |- ( ( ( S o. s ) Fn E /\ c e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) ) -> ( ( S o. s ) ` c ) e. ( K C B ) )
64	38, 61, 63	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. o ) -> ( ( S o. s ) ` c ) e. ( K C B ) )
65	37	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( S o. s ) Fn E )
66	59	unssbd 3603	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran H C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
67	66	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ran H C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
68		ffn 5739	. . . . . . . 8 |- ( H : V --> E -> H Fn V )
69	6, 45, 68	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> H Fn V )
70		fnfvelrn 6034	. . . . . . 7 |- ( ( H Fn V /\ t e. V ) -> ( H ` t ) e. ran H )
71	69, 70	sylan 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( H ` t ) e. ran H )
72	67, 71	sseldd 3419	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( H ` t ) e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
73		elpreima 6017	. . . . . 6 |- ( ( S o. s ) Fn E -> ( ( H ` t ) e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) <-> ( ( H ` t ) e. E /\ ( ( S o. s ) ` ( H ` t ) ) e. ( K C B ) ) ) )
74	73	simplbda 636	. . . . 5 |- ( ( ( S o. s ) Fn E /\ ( H ` t ) e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` t ) ) e. ( K C B ) )
75	65, 72, 74	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` t ) ) e. ( K C B ) )
76	5	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> s : E --> E )
77	6, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H : V --> E )
78	77	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c m d ) -> H : V --> E )
79	18	simp1d 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( m C_ D /\ `' m = m ) )
80	79	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> m C_ D )
81	26, 16	mdvval 30214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- D = ( ( V X. V ) \ _I )
82		difss 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V X. V ) \ _I ) C_ ( V X. V )
83	81, 82	eqsstri 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- D C_ ( V X. V )
84	80, 83	syl6ss 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> m C_ ( V X. V ) )
85	84	ssbrd 4437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( c m d -> c ( V X. V ) d ) )
86	85	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ c m d ) -> c ( V X. V ) d )
87		brxp 4870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c ( V X. V ) d <-> ( c e. V /\ d e. V ) )
88	86, 87	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( c e. V /\ d e. V ) )
89	88	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c m d ) -> c e. V )
90	78, 89	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( H ` c ) e. E )
91		fvco3 5957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s : E --> E /\ ( H ` c ) e. E ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) )
92	76, 90, 91	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) )
93	92	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) = ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ) )
94	6	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> T e. mFS )
95	29	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> S e. ran L )
96	76, 90	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( s ` ( H ` c ) ) e. E )
97	2, 3, 28, 27	msubvrs 30270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. mFS /\ S e. ran L /\ ( s ` ( H ` c ) ) e. E ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ) = U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ) = U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
99	93, 98	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) = U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
100	99	eleq2d 2534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) <-> a e. U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) ) )
101		eliun 4274	. . . . . . . . 9 |- ( a e. U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) <-> E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
102	100, 101	syl6bb 269	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) <-> E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) ) )
103	88	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c m d ) -> d e. V )
104	78, 103	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( H ` d ) e. E )
105		fvco3 5957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s : E --> E /\ ( H ` d ) e. E ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) )
106	76, 104, 105	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) )
107	106	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) = ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) )
108	76, 104	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( s ` ( H ` d ) ) e. E )
109	2, 3, 28, 27	msubvrs 30270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. mFS /\ S e. ran L /\ ( s ` ( H ` d ) ) e. E ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) = U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
110	94, 95, 108, 109	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) = U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
111	107, 110	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) = U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
112	111	eleq2d 2534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) <-> b e. U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
113		eliun 4274	. . . . . . . . 9 |- ( b e. U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) <-> E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
114	112, 113	syl6bb 269	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) <-> E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
115	102, 114	anbi12d 725	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) /\ b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) ) <-> ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) )
116		reeanv 2944	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) <-> ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
117		simpll 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c m d ) /\ ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> ph )
118		brxp 4870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) v <-> ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) )
119		mclsppslem.12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) )
120		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- c e. _V
121		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- d e. _V
122		breq12 4400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( z m w <-> c m d ) )
123		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> z = c )
124	123	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( H ` z ) = ( H ` c ) )
125	124	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( s ` ( H ` z ) ) = ( s ` ( H ` c ) ) )
126	125	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) = ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) )
127		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> w = d )
128	127	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( H ` w ) = ( H ` d ) )
129	128	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( s ` ( H ` w ) ) = ( s ` ( H ` d ) ) )
130	129	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) = ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) )
131	126, 130	xpeq12d 4864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) = ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) )
132	131	sseq1d 3445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M <-> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) )
133	122, 132	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) <-> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) ) )
134	133	spc2gv 3123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c e. _V /\ d e. _V ) -> ( A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) -> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) ) )
135	120, 121, 134	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) -> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) )
136	119, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) )
137	136	imp 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M )
138	137	ssbrd 4437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( u ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) v -> u M v ) )
139	118, 138	syl5bir 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) -> u M v ) )
140	139	imp 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c m d ) /\ ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> u M v )
141		vex 3034	. . . . . . . . . . . . 13 |- u e. _V
142		vex 3034	. . . . . . . . . . . . 13 |- v e. _V
143		breq12 4400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( x M y <-> u M v ) )
144		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> x = u )
145	144	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( H ` x ) = ( H ` u ) )
146	145	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( S ` ( H ` x ) ) = ( S ` ( H ` u ) ) )
147	146	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) = ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
148	147	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) <-> a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) ) )
149		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> y = v )
150	149	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( H ` y ) = ( H ` v ) )
151	150	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( S ` ( H ` y ) ) = ( S ` ( H ` v ) ) )
152	151	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) = ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
153	152	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) <-> b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
154	143, 148, 153	3anbi123d 1365	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) <-> ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) )
155	154	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) <-> ( ph /\ ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) ) )
156	155	imbi1d 324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b ) <-> ( ( ph /\ ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) -> a K b ) ) )
157		mclspps.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b )
158	141, 142, 156, 157	vtocl2 3088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) -> a K b )
159	158	3exp2 1251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( u M v -> ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) -> ( b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) -> a K b ) ) ) )
160	159	imp4b 601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u M v ) -> ( ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
161	117, 140, 160	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c m d ) /\ ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> ( ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
162	161	rexlimdvva 2878	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
163	116, 162	syl5bir 226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
164	115, 163	sylbid 223	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) /\ b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) ) -> a K b ) )
165	164	exp4b 618	. . . . 5 |- ( ph -> ( c m d -> ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) -> ( b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) -> a K b ) ) ) )
166	165	3imp2 1248	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c m d /\ a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) /\ b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> a K b )
167	16, 3, 23, 6, 24, 25, 7, 2, 26, 27, 28, 14, 31, 64, 75, 166	mclsax 30279	. . 3 |- ( ph -> ( ( S o. s ) ` p ) e. ( K C B ) )
168	22, 167	eqeltrrd 2550	. 2 |- ( ph -> ( S ` ( s ` p ) ) e. ( K C B ) )
169		ffn 5739	. . . 4 |- ( S : E --> E -> S Fn E )
170	33, 169	syl 17	. . 3 |- ( ph -> S Fn E )
171		elpreima 6017	. . 3 |- ( S Fn E -> ( ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( ( s ` p ) e. E /\ ( S ` ( s ` p ) ) e. ( K C B ) ) ) )
172	170, 171	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( ( s ` p ) e. E /\ ( S ` ( s ` p ) ) e. ( K C B ) ) ) )
173	20, 168, 172	mpbir2and 936	1 |- ( ph -> ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   C_ wss 3390   <.cotp 3967   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   _I cid 4749   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   o. ccom 4843   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587  mVRcmvar 30171  mAxcmax 30175  mExcmex 30177  mDVcmdv 30178  mVarscmvrs 30179  mSubstcmsub 30181  mVHcmvh 30182  mPreStcmpst 30183  mStatcmsta 30185  mFScmfs 30186  mClscmcls 30187  mPPStcmpps 30188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-frmd 16711  df-vrmd 16712  df-mrex 30196  df-mex 30197  df-mdv 30198  df-mvrs 30199  df-mrsub 30200  df-msub 30201  df-mvh 30202  df-mpst 30203  df-msr 30204  df-msta 30205  df-mfs 30206  df-mcls 30207

This theorem is referenced by:  mclspps  30294