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Theorem mclsppslem 29227
Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 29213.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclspps.d  |-  D  =  (mDV `  T )
mclspps.e  |-  E  =  (mEx `  T )
mclspps.c  |-  C  =  (mCls `  T )
mclspps.1  |-  ( ph  ->  T  e. mFS )
mclspps.2  |-  ( ph  ->  K  C_  D )
mclspps.3  |-  ( ph  ->  B  C_  E )
mclspps.j  |-  J  =  (mPPSt `  T )
mclspps.l  |-  L  =  (mSubst `  T )
mclspps.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mclspps.h  |-  H  =  (mVH `  T )
mclspps.w  |-  W  =  (mVars `  T )
mclspps.4  |-  ( ph  -> 
<. M ,  O ,  P >.  e.  J )
mclspps.5  |-  ( ph  ->  S  e.  ran  L
)
mclspps.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  O )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
mclspps.7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( S `  ( H `  v ) )  e.  ( K C B ) )
mclspps.8  |-  ( (
ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  ->  a K b )
mclsppslem.9  |-  ( ph  -> 
<. m ,  o ,  p >.  e.  (mAx `  T ) )
mclsppslem.10  |-  ( ph  ->  s  e.  ran  L
)
mclsppslem.11  |-  ( ph  ->  ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( `' S " ( K C B ) ) )
mclsppslem.12  |-  ( ph  ->  A. z A. w
( z m w  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  z ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  w
) ) ) ) 
C_  M ) )
Assertion
Ref Expression
mclsppslem  |-  ( ph  ->  ( s `  p
)  e.  ( `' S " ( K C B ) ) )
Distinct variable groups:    m, o, p, s, v, E    a,
b, m, o, p, s, v, w, x, y, z, H    v, V, z    K, a, b, m, o, p, s, v, x, y    T, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z    L, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z    S, a, b, m, o, p, s, v, x, y    B, a, b, m, o, p, s, v, x, y    W, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z    C, a, b, m, o, p, s, v, x, y, z    M, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z    m, O, o, p, s, v, w, x, z    ph, a,
b, v, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z, w, m, o, s, p)    B( z, w)    C( w)    D( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)    P( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)    S( z, w)    E( x, y, z, w, a, b)    J( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)    K( z, w)    O( y, a, b)    V( x, y, w, m, o, s, p, a, b)

Proof of Theorem mclsppslem
Dummy variables  t  u  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mclsppslem.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  s  e.  ran  L
)
2 mclspps.l . . . . 5  |-  L  =  (mSubst `  T )
3 mclspps.e . . . . 5  |-  E  =  (mEx `  T )
42, 3msubf 29176 . . . 4  |-  ( s  e.  ran  L  -> 
s : E --> E )
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  s : E --> E )
6 mclspps.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. mFS )
7 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (mAx `  T )  =  (mAx
`  T )
8 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (mStat `  T )  =  (mStat `  T )
97, 8maxsta 29198 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. mFS  ->  (mAx `  T
)  C_  (mStat `  T
) )
106, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (mAx `  T )  C_  (mStat `  T )
)
11 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (mPreSt `  T )  =  (mPreSt `  T )
1211, 8mstapst 29191 . . . . . . 7  |-  (mStat `  T )  C_  (mPreSt `  T )
1310, 12syl6ss 3511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (mAx `  T )  C_  (mPreSt `  T )
)
14 mclsppslem.9 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. m ,  o ,  p >.  e.  (mAx `  T ) )
1513, 14sseldd 3500 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. m ,  o ,  p >.  e.  (mPreSt `  T ) )
16 mclspps.d . . . . . 6  |-  D  =  (mDV `  T )
1716, 3, 11elmpst 29180 . . . . 5  |-  ( <.
m ,  o ,  p >.  e.  (mPreSt `  T )  <->  ( (
m  C_  D  /\  `' m  =  m
)  /\  ( o  C_  E  /\  o  e. 
Fin )  /\  p  e.  E ) )
1815, 17sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( m  C_  D  /\  `' m  =  m )  /\  (
o  C_  E  /\  o  e.  Fin )  /\  p  e.  E
) )
1918simp3d 1010 . . 3  |-  ( ph  ->  p  e.  E )
205, 19ffvelrnd 6033 . 2  |-  ( ph  ->  ( s `  p
)  e.  E )
21 fvco3 5950 . . . 4  |-  ( ( s : E --> E  /\  p  e.  E )  ->  ( ( S  o.  s ) `  p
)  =  ( S `
 ( s `  p ) ) )
225, 19, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  o.  s ) `  p
)  =  ( S `
 ( s `  p ) ) )
23 mclspps.c . . . 4  |-  C  =  (mCls `  T )
24 mclspps.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  C_  D )
25 mclspps.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  E )
26 mclspps.v . . . 4  |-  V  =  (mVR `  T )
27 mclspps.h . . . 4  |-  H  =  (mVH `  T )
28 mclspps.w . . . 4  |-  W  =  (mVars `  T )
29 mclspps.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  ran  L
)
302msubco 29175 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ran  L  /\  s  e.  ran  L )  ->  ( S  o.  s )  e.  ran  L )
3129, 1, 30syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  o.  s
)  e.  ran  L
)
322, 3msubf 29176 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ran  L  ->  S : E --> E )
3329, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : E --> E )
34 fco 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : E --> E  /\  s : E --> E )  ->  ( S  o.  s ) : E --> E )
3533, 5, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  o.  s
) : E --> E )
36 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( ( S  o.  s ) : E --> E  -> 
( S  o.  s
)  Fn  E )
3735, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  o.  s
)  Fn  E )
3837adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  o )  ->  ( S  o.  s )  Fn  E )
39 mclsppslem.11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( `' S " ( K C B ) ) )
40 ffun 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s : E --> E  ->  Fun  s )
415, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  s )
4217simp2bi 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
m ,  o ,  p >.  e.  (mPreSt `  T )  ->  (
o  C_  E  /\  o  e.  Fin )
)
4315, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( o  C_  E  /\  o  e.  Fin ) )
4443simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  o  C_  E )
4526, 3, 27mvhf 29202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. mFS  ->  H : V --> E )
46 frn 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : V --> E  ->  ran  H  C_  E )
476, 45, 463syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  E
)
4844, 47unssd 3676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( o  u.  ran  H )  C_  E )
49 fdm 5741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s : E --> E  ->  dom  s  =  E
)
505, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  s  =  E )
5148, 50sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( o  u.  ran  H )  C_  dom  s )
52 funimass3 6004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  s  /\  (
o  u.  ran  H
)  C_  dom  s )  ->  ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( `' S " ( K C B ) )  <->  ( o  u.  ran  H )  C_  ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) ) )
5341, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( s "
( o  u.  ran  H ) )  C_  ( `' S " ( K C B ) )  <-> 
( o  u.  ran  H )  C_  ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) ) )
5439, 53mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( o  u.  ran  H )  C_  ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) )
55 cnvco 5198 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( S  o.  s )  =  ( `' s  o.  `' S )
5655imaeq1i 5344 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) )  =  ( ( `' s  o.  `' S
) " ( K C B ) )
57 imaco 5518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' s  o.  `' S ) " ( K C B ) )  =  ( `' s
" ( `' S " ( K C B ) ) )
5856, 57eqtri 2486 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) )  =  ( `' s
" ( `' S " ( K C B ) ) )
5954, 58syl6sseqr 3546 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( o  u.  ran  H )  C_  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) ) )
6059unssad 3677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  o  C_  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) ) )
6160sselda 3499 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  o )  ->  c  e.  ( `' ( S  o.  s ) "
( K C B ) ) )
62 elpreima 6008 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  s )  Fn  E  ->  (
c  e.  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) )  <-> 
( c  e.  E  /\  ( ( S  o.  s ) `  c
)  e.  ( K C B ) ) ) )
6362simplbda 624 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  s
)  Fn  E  /\  c  e.  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) ) )  ->  ( ( S  o.  s ) `  c )  e.  ( K C B ) )
6438, 61, 63syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  o )  ->  (
( S  o.  s
) `  c )  e.  ( K C B ) )
6537adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( S  o.  s )  Fn  E )
6659unssbd 3678 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( `' ( S  o.  s ) " ( K C B ) ) )
6766adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ran  H 
C_  ( `' ( S  o.  s )
" ( K C B ) ) )
68 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( H : V --> E  ->  H  Fn  V )
696, 45, 683syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  V )
70 fnfvelrn 6029 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Fn  V  /\  t  e.  V )  ->  ( H `  t
)  e.  ran  H
)
7169, 70sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( H `  t )  e.  ran  H )
7267, 71sseldd 3500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( H `  t )  e.  ( `' ( S  o.  s ) "
( K C B ) ) )
73 elpreima 6008 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  s )  Fn  E  ->  (
( H `  t
)  e.  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) )  <-> 
( ( H `  t )  e.  E  /\  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  t )
)  e.  ( K C B ) ) ) )
7473simplbda 624 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  s
)  Fn  E  /\  ( H `  t )  e.  ( `' ( S  o.  s )
" ( K C B ) ) )  ->  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  t ) )  e.  ( K C B ) )
7565, 72, 74syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( S  o.  s
) `  ( H `  t ) )  e.  ( K C B ) )
765adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  s : E --> E )
776, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H : V --> E )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  H : V --> E )
7918simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( m  C_  D  /\  `' m  =  m
) )
8079simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  m  C_  D )
8126, 16mdvval 29148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  =  ( ( V  X.  V )  \  _I  )
82 difss 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V  X.  V ) 
\  _I  )  C_  ( V  X.  V
)
8381, 82eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  D  C_  ( V  X.  V
)
8480, 83syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  m  C_  ( V  X.  V ) )
8584ssbrd 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( c m d  ->  c ( V  X.  V ) d ) )
8685imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  c
( V  X.  V
) d )
87 brxp 5039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c ( V  X.  V
) d  <->  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )
8886, 87sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)
8988simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  c  e.  V )
9078, 89ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( H `  c )  e.  E )
91 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s : E --> E  /\  ( H `  c )  e.  E )  -> 
( ( S  o.  s ) `  ( H `  c )
)  =  ( S `
 ( s `  ( H `  c ) ) ) )
9276, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( S  o.  s
) `  ( H `  c ) )  =  ( S `  (
s `  ( H `  c ) ) ) )
9392fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  c
) ) )  =  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  c
) ) ) ) )
946adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  T  e. mFS )
9529adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  S  e.  ran  L )
9676, 90ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
s `  ( H `  c ) )  e.  E )
972, 3, 28, 27msubvrs 29204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e. mFS  /\  S  e.  ran  L  /\  (
s `  ( H `  c ) )  e.  E )  ->  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  c )
) ) )  = 
U_ u  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  c ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) ) )
9894, 95, 96, 97syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  c )
) ) )  = 
U_ u  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  c ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) ) )
9993, 98eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  c
) ) )  = 
U_ u  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  c ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) ) )
10099eleq2d 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
a  e.  ( W `
 ( ( S  o.  s ) `  ( H `  c ) ) )  <->  a  e.  U_ u  e.  ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) ) ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) ) ) )
101 eliun 4337 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  U_ u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) )  <->  E. u  e.  ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) ) a  e.  ( W `  ( S `  ( H `
 u ) ) ) )
102100, 101syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
a  e.  ( W `
 ( ( S  o.  s ) `  ( H `  c ) ) )  <->  E. u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) ) a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) ) ) )
10388simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  d  e.  V )
10478, 103ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( H `  d )  e.  E )
105 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s : E --> E  /\  ( H `  d )  e.  E )  -> 
( ( S  o.  s ) `  ( H `  d )
)  =  ( S `
 ( s `  ( H `  d ) ) ) )
10676, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( S  o.  s
) `  ( H `  d ) )  =  ( S `  (
s `  ( H `  d ) ) ) )
107106fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  d
) ) )  =  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) )
10876, 104ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
s `  ( H `  d ) )  e.  E )
1092, 3, 28, 27msubvrs 29204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e. mFS  /\  S  e.  ran  L  /\  (
s `  ( H `  d ) )  e.  E )  ->  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  d )
) ) )  = 
U_ v  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  d ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )
11094, 95, 108, 109syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  d )
) ) )  = 
U_ v  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  d ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )
111107, 110eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  d
) ) )  = 
U_ v  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  d ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )
112111eleq2d 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
b  e.  ( W `
 ( ( S  o.  s ) `  ( H `  d ) ) )  <->  b  e.  U_ v  e.  ( W `
 ( s `  ( H `  d ) ) ) ( W `
 ( S `  ( H `  v ) ) ) ) )
113 eliun 4337 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  U_ v  e.  ( W `  (
s `  ( H `  d ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) )  <->  E. v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) b  e.  ( W `  ( S `  ( H `
 v ) ) ) )
114112, 113syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
b  e.  ( W `
 ( ( S  o.  s ) `  ( H `  d ) ) )  <->  E. v  e.  ( W `  (
s `  ( H `  d ) ) ) b  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  v ) ) ) ) )
115102, 114anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( a  e.  ( W `  ( ( S  o.  s ) `
 ( H `  c ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( ( S  o.  s ) `
 ( H `  d ) ) ) )  <->  ( E. u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) ) a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  E. v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) ) ) )
116 reeanv 3025 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) ) E. v  e.  ( W `  (
s `  ( H `  d ) ) ) ( a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) )  <->  ( E. u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) ) a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  E. v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) ) )
117 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c
m d )  /\  ( u  e.  ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) )  /\  v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) ) )  ->  ph )
118 brxp 5039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u ( ( W `  ( s `  ( H `  c )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) v  <->  ( u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) )  /\  v  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  d ) ) ) ) )
119 mclsppslem.12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. z A. w
( z m w  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  z ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  w
) ) ) ) 
C_  M ) )
120 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  c  e. 
_V
121 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  d  e. 
_V
122 breq12 4461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( z m w  <-> 
c m d ) )
123 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  z  =  c )
124123fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( H `  z
)  =  ( H `
 c ) )
125124fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( s `  ( H `  z )
)  =  ( s `
 ( H `  c ) ) )
126125fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( W `  (
s `  ( H `  z ) ) )  =  ( W `  ( s `  ( H `  c )
) ) )
127 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  w  =  d )
128127fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( H `  w
)  =  ( H `
 d ) )
129128fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( s `  ( H `  w )
)  =  ( s `
 ( H `  d ) ) )
130129fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( W `  (
s `  ( H `  w ) ) )  =  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) )
131126, 130xpeq12d 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  z )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  w
) ) ) )  =  ( ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) )
132131sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( ( ( W `
 ( s `  ( H `  z ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  w
) ) ) ) 
C_  M  <->  ( ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  d ) ) ) )  C_  M )
)
133122, 132imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( ( z m w  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  z
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  w ) ) ) )  C_  M )  <->  ( c m d  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  c )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) 
C_  M ) ) )
134133spc2gv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  _V  /\  d  e.  _V )  ->  ( A. z A. w ( z m w  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  z
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  w ) ) ) )  C_  M )  ->  ( c m d  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) 
C_  M ) ) )
135120, 121, 134mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z A. w ( z m w  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  z ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  w )
) ) )  C_  M )  ->  (
c m d  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  c )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) 
C_  M ) )
136119, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( c m d  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) 
C_  M ) )
137136imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  c ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) )  C_  M )
138137ssbrd 4497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
u ( ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) v  ->  u M
v ) )
139118, 138syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( u  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  c ) ) )  /\  v  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  d ) ) ) )  ->  u M
v ) )
140139imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c
m d )  /\  ( u  e.  ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) )  /\  v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) ) )  ->  u M v )
141 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  u  e. 
_V
142 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  v  e. 
_V
143 breq12 4461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( x M y  <-> 
u M v ) )
144 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  x  =  u )
145144fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 u ) )
146145fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( S `  ( H `  x )
)  =  ( S `
 ( H `  u ) ) )
147146fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  =  ( W `  ( S `  ( H `
 u ) ) ) )
148147eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  x ) ) )  <-> 
a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) ) ) )
149 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  y  =  v )
150149fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( H `  y
)  =  ( H `
 v ) )
151150fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( S `  ( H `  y )
)  =  ( S `
 ( H `  v ) ) )
152151fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) )  =  ( W `  ( S `  ( H `
 v ) ) ) )
153152eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) )  <-> 
b  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  v ) ) ) ) )
154143, 148, 1533anbi123d 1299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) )  <->  ( u M v  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) ) ) )
155154anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  <->  ( ph  /\  ( u M v  /\  a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) ) ) ) )
156155imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( ( ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  ->  a K b )  <->  ( ( ph  /\  ( u M v  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) ) )  ->  a K b ) ) )
157 mclspps.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  ->  a K b )
158141, 142, 156, 157vtocl2 3162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u M v  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) ) )  ->  a K b )
1591583exp2 1214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u M v  ->  ( a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) )  ->  ( b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) )  ->  a K b ) ) ) )
160159imp4b 590 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u M
v )  ->  (
( a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) )  ->  a K
b ) )
161117, 140, 160syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c
m d )  /\  ( u  e.  ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) )  /\  v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) ) )  ->  ( ( a  e.  ( W `  ( S `  ( H `
 u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )  ->  a K
b ) )
162161rexlimdvva 2956 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( E. u  e.  ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) ) E. v  e.  ( W `
 ( s `  ( H `  d ) ) ) ( a  e.  ( W `  ( S `  ( H `
 u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )  ->  a K
b ) )
163116, 162syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( E. u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) ) a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  E. v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )  ->  a K
b ) )
164115, 163sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( a  e.  ( W `  ( ( S  o.  s ) `
 ( H `  c ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( ( S  o.  s ) `
 ( H `  d ) ) ) )  ->  a K
b ) )
165164exp4b 607 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( c m d  ->  ( a  e.  ( W `  (
( S  o.  s
) `  ( H `  c ) ) )  ->  ( b  e.  ( W `  (
( S  o.  s
) `  ( H `  d ) ) )  ->  a K b ) ) ) )
1661653imp2 1211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c
m d  /\  a  e.  ( W `  (
( S  o.  s
) `  ( H `  c ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( ( S  o.  s ) `
 ( H `  d ) ) ) ) )  ->  a K b )
16716, 3, 23, 6, 24, 25, 7, 2, 26, 27, 28, 14, 31, 64, 75, 166mclsax 29213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  o.  s ) `  p
)  e.  ( K C B ) )
16822, 167eqeltrrd 2546 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  (
s `  p )
)  e.  ( K C B ) )
169 ffn 5737 . . . 4  |-  ( S : E --> E  ->  S  Fn  E )
17033, 169syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  Fn  E )
171 elpreima 6008 . . 3  |-  ( S  Fn  E  ->  (
( s `  p
)  e.  ( `' S " ( K C B ) )  <-> 
( ( s `  p )  e.  E  /\  ( S `  (
s `  p )
)  e.  ( K C B ) ) ) )
172170, 171syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( s `  p )  e.  ( `' S " ( K C B ) )  <-> 
( ( s `  p )  e.  E  /\  ( S `  (
s `  p )
)  e.  ( K C B ) ) ) )
17320, 168, 172mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  ( s `  p
)  e.  ( `' S " ( K C B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   <.cotp 4040   U_ciun 4332   class class class wbr 4456    _I cid 4799    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011    o. ccom 5012   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535  mVRcmvar 29105  mAxcmax 29109  mExcmex 29111  mDVcmdv 29112  mVarscmvrs 29113  mSubstcmsub 29115  mVHcmvh 29116  mPreStcmpst 29117  mStatcmsta 29119  mFScmfs 29120  mClscmcls 29121  mPPStcmpps 29122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-s1 12549  df-substr 12550  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-mhm 16184  df-submnd 16185  df-frmd 16235  df-vrmd 16236  df-mrex 29130  df-mex 29131  df-mdv 29132  df-mvrs 29133  df-mrsub 29134  df-msub 29135  df-mvh 29136  df-mpst 29137  df-msr 29138  df-msta 29139  df-mfs 29140  df-mcls 29141
This theorem is referenced by:  mclspps  29228
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