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Theorem mclsppslem 30293
Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 30279.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclspps.d  |-  D  =  (mDV `  T )
mclspps.e  |-  E  =  (mEx `  T )
mclspps.c  |-  C  =  (mCls `  T )
mclspps.1  |-  ( ph  ->  T  e. mFS )
mclspps.2  |-  ( ph  ->  K  C_  D )
mclspps.3  |-  ( ph  ->  B  C_  E )
mclspps.j  |-  J  =  (mPPSt `  T )
mclspps.l  |-  L  =  (mSubst `  T )
mclspps.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mclspps.h  |-  H  =  (mVH `  T )
mclspps.w  |-  W  =  (mVars `  T )
mclspps.4  |-  ( ph  -> 
<. M ,  O ,  P >.  e.  J )
mclspps.5  |-  ( ph  ->  S  e.  ran  L
)
mclspps.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  O )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
mclspps.7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( S `  ( H `  v ) )  e.  ( K C B ) )
mclspps.8  |-  ( (
ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  ->  a K b )
mclsppslem.9  |-  ( ph  -> 
<. m ,  o ,  p >.  e.  (mAx `  T ) )
mclsppslem.10  |-  ( ph  ->  s  e.  ran  L
)
mclsppslem.11  |-  ( ph  ->  ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( `' S " ( K C B ) ) )
mclsppslem.12  |-  ( ph  ->  A. z A. w
( z m w  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  z ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  w
) ) ) ) 
C_  M ) )
Assertion
Ref Expression
mclsppslem  |-  ( ph  ->  ( s `  p
)  e.  ( `' S " ( K C B ) ) )
Distinct variable groups:    m, o, p, s, v, E    a,
b, m, o, p, s, v, w, x, y, z, H    v, V, z    K, a, b, m, o, p, s, v, x, y    T, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z    L, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z    S, a, b, m, o, p, s, v, x, y    B, a, b, m, o, p, s, v, x, y    W, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z    C, a, b, m, o, p, s, v, x, y, z    M, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z    m, O, o, p, s, v, w, x, z    ph, a,
b, v, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z, w, m, o, s, p)    B( z, w)    C( w)    D( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)    P( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)    S( z, w)    E( x, y, z, w, a, b)    J( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)    K( z, w)    O( y, a, b)    V( x, y, w, m, o, s, p, a, b)

Proof of Theorem mclsppslem
Dummy variables  t  u  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mclsppslem.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  s  e.  ran  L
)
2 mclspps.l . . . . 5  |-  L  =  (mSubst `  T )
3 mclspps.e . . . . 5  |-  E  =  (mEx `  T )
42, 3msubf 30242 . . . 4  |-  ( s  e.  ran  L  -> 
s : E --> E )
51, 4syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  s : E --> E )
6 mclspps.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. mFS )
7 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  (mAx `  T )  =  (mAx
`  T )
8 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  (mStat `  T )  =  (mStat `  T )
97, 8maxsta 30264 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. mFS  ->  (mAx `  T
)  C_  (mStat `  T
) )
106, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (mAx `  T )  C_  (mStat `  T )
)
11 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  (mPreSt `  T )  =  (mPreSt `  T )
1211, 8mstapst 30257 . . . . . . 7  |-  (mStat `  T )  C_  (mPreSt `  T )
1310, 12syl6ss 3430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (mAx `  T )  C_  (mPreSt `  T )
)
14 mclsppslem.9 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. m ,  o ,  p >.  e.  (mAx `  T ) )
1513, 14sseldd 3419 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. m ,  o ,  p >.  e.  (mPreSt `  T ) )
16 mclspps.d . . . . . 6  |-  D  =  (mDV `  T )
1716, 3, 11elmpst 30246 . . . . 5  |-  ( <.
m ,  o ,  p >.  e.  (mPreSt `  T )  <->  ( (
m  C_  D  /\  `' m  =  m
)  /\  ( o  C_  E  /\  o  e. 
Fin )  /\  p  e.  E ) )
1815, 17sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( m  C_  D  /\  `' m  =  m )  /\  (
o  C_  E  /\  o  e.  Fin )  /\  p  e.  E
) )
1918simp3d 1044 . . 3  |-  ( ph  ->  p  e.  E )
205, 19ffvelrnd 6038 . 2  |-  ( ph  ->  ( s `  p
)  e.  E )
21 fvco3 5957 . . . 4  |-  ( ( s : E --> E  /\  p  e.  E )  ->  ( ( S  o.  s ) `  p
)  =  ( S `
 ( s `  p ) ) )
225, 19, 21syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  o.  s ) `  p
)  =  ( S `
 ( s `  p ) ) )
23 mclspps.c . . . 4  |-  C  =  (mCls `  T )
24 mclspps.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  C_  D )
25 mclspps.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  E )
26 mclspps.v . . . 4  |-  V  =  (mVR `  T )
27 mclspps.h . . . 4  |-  H  =  (mVH `  T )
28 mclspps.w . . . 4  |-  W  =  (mVars `  T )
29 mclspps.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  ran  L
)
302msubco 30241 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ran  L  /\  s  e.  ran  L )  ->  ( S  o.  s )  e.  ran  L )
3129, 1, 30syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  o.  s
)  e.  ran  L
)
322, 3msubf 30242 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ran  L  ->  S : E --> E )
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : E --> E )
34 fco 5751 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : E --> E  /\  s : E --> E )  ->  ( S  o.  s ) : E --> E )
3533, 5, 34syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  o.  s
) : E --> E )
36 ffn 5739 . . . . . . 7  |-  ( ( S  o.  s ) : E --> E  -> 
( S  o.  s
)  Fn  E )
3735, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  o.  s
)  Fn  E )
3837adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  o )  ->  ( S  o.  s )  Fn  E )
39 mclsppslem.11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( `' S " ( K C B ) ) )
40 ffun 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s : E --> E  ->  Fun  s )
415, 40syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  s )
4217simp2bi 1046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
m ,  o ,  p >.  e.  (mPreSt `  T )  ->  (
o  C_  E  /\  o  e.  Fin )
)
4315, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( o  C_  E  /\  o  e.  Fin ) )
4443simpld 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  o  C_  E )
4526, 3, 27mvhf 30268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. mFS  ->  H : V --> E )
46 frn 5747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : V --> E  ->  ran  H  C_  E )
476, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  E
)
4844, 47unssd 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( o  u.  ran  H )  C_  E )
49 fdm 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s : E --> E  ->  dom  s  =  E
)
505, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  s  =  E )
5148, 50sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( o  u.  ran  H )  C_  dom  s )
52 funimass3 6013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  s  /\  (
o  u.  ran  H
)  C_  dom  s )  ->  ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( `' S " ( K C B ) )  <->  ( o  u.  ran  H )  C_  ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) ) )
5341, 51, 52syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( s "
( o  u.  ran  H ) )  C_  ( `' S " ( K C B ) )  <-> 
( o  u.  ran  H )  C_  ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) ) )
5439, 53mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( o  u.  ran  H )  C_  ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) )
55 cnvco 5025 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( S  o.  s )  =  ( `' s  o.  `' S )
5655imaeq1i 5171 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) )  =  ( ( `' s  o.  `' S
) " ( K C B ) )
57 imaco 5347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' s  o.  `' S ) " ( K C B ) )  =  ( `' s
" ( `' S " ( K C B ) ) )
5856, 57eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) )  =  ( `' s
" ( `' S " ( K C B ) ) )
5954, 58syl6sseqr 3465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( o  u.  ran  H )  C_  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) ) )
6059unssad 3602 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  o  C_  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) ) )
6160sselda 3418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  o )  ->  c  e.  ( `' ( S  o.  s ) "
( K C B ) ) )
62 elpreima 6017 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  s )  Fn  E  ->  (
c  e.  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) )  <-> 
( c  e.  E  /\  ( ( S  o.  s ) `  c
)  e.  ( K C B ) ) ) )
6362simplbda 636 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  s
)  Fn  E  /\  c  e.  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) ) )  ->  ( ( S  o.  s ) `  c )  e.  ( K C B ) )
6438, 61, 63syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  o )  ->  (
( S  o.  s
) `  c )  e.  ( K C B ) )
6537adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( S  o.  s )  Fn  E )
6659unssbd 3603 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( `' ( S  o.  s ) " ( K C B ) ) )
6766adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ran  H 
C_  ( `' ( S  o.  s )
" ( K C B ) ) )
68 ffn 5739 . . . . . . . 8  |-  ( H : V --> E  ->  H  Fn  V )
696, 45, 683syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  V )
70 fnfvelrn 6034 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Fn  V  /\  t  e.  V )  ->  ( H `  t
)  e.  ran  H
)
7169, 70sylan 479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( H `  t )  e.  ran  H )
7267, 71sseldd 3419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  ( H `  t )  e.  ( `' ( S  o.  s ) "
( K C B ) ) )
73 elpreima 6017 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  s )  Fn  E  ->  (
( H `  t
)  e.  ( `' ( S  o.  s
) " ( K C B ) )  <-> 
( ( H `  t )  e.  E  /\  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  t )
)  e.  ( K C B ) ) ) )
7473simplbda 636 . . . . 5  |-  ( ( ( S  o.  s
)  Fn  E  /\  ( H `  t )  e.  ( `' ( S  o.  s )
" ( K C B ) ) )  ->  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  t ) )  e.  ( K C B ) )
7565, 72, 74syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  V )  ->  (
( S  o.  s
) `  ( H `  t ) )  e.  ( K C B ) )
765adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  s : E --> E )
776, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H : V --> E )
7877adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  H : V --> E )
7918simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( m  C_  D  /\  `' m  =  m
) )
8079simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  m  C_  D )
8126, 16mdvval 30214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  =  ( ( V  X.  V )  \  _I  )
82 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V  X.  V ) 
\  _I  )  C_  ( V  X.  V
)
8381, 82eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  D  C_  ( V  X.  V
)
8480, 83syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  m  C_  ( V  X.  V ) )
8584ssbrd 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( c m d  ->  c ( V  X.  V ) d ) )
8685imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  c
( V  X.  V
) d )
87 brxp 4870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c ( V  X.  V
) d  <->  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )
8886, 87sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)
8988simpld 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  c  e.  V )
9078, 89ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( H `  c )  e.  E )
91 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s : E --> E  /\  ( H `  c )  e.  E )  -> 
( ( S  o.  s ) `  ( H `  c )
)  =  ( S `
 ( s `  ( H `  c ) ) ) )
9276, 90, 91syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( S  o.  s
) `  ( H `  c ) )  =  ( S `  (
s `  ( H `  c ) ) ) )
9392fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  c
) ) )  =  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  c
) ) ) ) )
946adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  T  e. mFS )
9529adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  S  e.  ran  L )
9676, 90ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
s `  ( H `  c ) )  e.  E )
972, 3, 28, 27msubvrs 30270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e. mFS  /\  S  e.  ran  L  /\  (
s `  ( H `  c ) )  e.  E )  ->  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  c )
) ) )  = 
U_ u  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  c ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) ) )
9894, 95, 96, 97syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  c )
) ) )  = 
U_ u  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  c ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) ) )
9993, 98eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  c
) ) )  = 
U_ u  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  c ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) ) )
10099eleq2d 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
a  e.  ( W `
 ( ( S  o.  s ) `  ( H `  c ) ) )  <->  a  e.  U_ u  e.  ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) ) ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) ) ) )
101 eliun 4274 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  U_ u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) )  <->  E. u  e.  ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) ) a  e.  ( W `  ( S `  ( H `
 u ) ) ) )
102100, 101syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
a  e.  ( W `
 ( ( S  o.  s ) `  ( H `  c ) ) )  <->  E. u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) ) a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) ) ) )
10388simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  d  e.  V )
10478, 103ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( H `  d )  e.  E )
105 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s : E --> E  /\  ( H `  d )  e.  E )  -> 
( ( S  o.  s ) `  ( H `  d )
)  =  ( S `
 ( s `  ( H `  d ) ) ) )
10676, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( S  o.  s
) `  ( H `  d ) )  =  ( S `  (
s `  ( H `  d ) ) ) )
107106fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  d
) ) )  =  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) )
10876, 104ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
s `  ( H `  d ) )  e.  E )
1092, 3, 28, 27msubvrs 30270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e. mFS  /\  S  e.  ran  L  /\  (
s `  ( H `  d ) )  e.  E )  ->  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  d )
) ) )  = 
U_ v  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  d ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )
11094, 95, 108, 109syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( S `  ( s `  ( H `  d )
) ) )  = 
U_ v  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  d ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )
111107, 110eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( W `  ( ( S  o.  s ) `  ( H `  d
) ) )  = 
U_ v  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  d ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )
112111eleq2d 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
b  e.  ( W `
 ( ( S  o.  s ) `  ( H `  d ) ) )  <->  b  e.  U_ v  e.  ( W `
 ( s `  ( H `  d ) ) ) ( W `
 ( S `  ( H `  v ) ) ) ) )
113 eliun 4274 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  U_ v  e.  ( W `  (
s `  ( H `  d ) ) ) ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) )  <->  E. v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) b  e.  ( W `  ( S `  ( H `
 v ) ) ) )
114112, 113syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
b  e.  ( W `
 ( ( S  o.  s ) `  ( H `  d ) ) )  <->  E. v  e.  ( W `  (
s `  ( H `  d ) ) ) b  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  v ) ) ) ) )
115102, 114anbi12d 725 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( a  e.  ( W `  ( ( S  o.  s ) `
 ( H `  c ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( ( S  o.  s ) `
 ( H `  d ) ) ) )  <->  ( E. u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) ) a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  E. v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) ) ) )
116 reeanv 2944 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) ) E. v  e.  ( W `  (
s `  ( H `  d ) ) ) ( a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) )  <->  ( E. u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) ) a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  E. v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) ) )
117 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c
m d )  /\  ( u  e.  ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) )  /\  v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) ) )  ->  ph )
118 brxp 4870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u ( ( W `  ( s `  ( H `  c )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) v  <->  ( u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) )  /\  v  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  d ) ) ) ) )
119 mclsppslem.12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. z A. w
( z m w  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  z ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  w
) ) ) ) 
C_  M ) )
120 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  c  e. 
_V
121 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  d  e. 
_V
122 breq12 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( z m w  <-> 
c m d ) )
123 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  z  =  c )
124123fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( H `  z
)  =  ( H `
 c ) )
125124fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( s `  ( H `  z )
)  =  ( s `
 ( H `  c ) ) )
126125fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( W `  (
s `  ( H `  z ) ) )  =  ( W `  ( s `  ( H `  c )
) ) )
127 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  w  =  d )
128127fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( H `  w
)  =  ( H `
 d ) )
129128fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( s `  ( H `  w )
)  =  ( s `
 ( H `  d ) ) )
130129fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( W `  (
s `  ( H `  w ) ) )  =  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) )
131126, 130xpeq12d 4864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  z )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  w
) ) ) )  =  ( ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) )
132131sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( ( ( W `
 ( s `  ( H `  z ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  w
) ) ) ) 
C_  M  <->  ( ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  d ) ) ) )  C_  M )
)
133122, 132imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( ( z m w  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  z
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  w ) ) ) )  C_  M )  <->  ( c m d  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  c )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) 
C_  M ) ) )
134133spc2gv 3123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  _V  /\  d  e.  _V )  ->  ( A. z A. w ( z m w  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  z
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  w ) ) ) )  C_  M )  ->  ( c m d  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) 
C_  M ) ) )
135120, 121, 134mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z A. w ( z m w  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  z ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  w )
) ) )  C_  M )  ->  (
c m d  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  c )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) 
C_  M ) )
136119, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( c m d  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) 
C_  M ) )
137136imp 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  c ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) )  C_  M )
138137ssbrd 4437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
u ( ( W `
 ( s `  ( H `  c ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  d
) ) ) ) v  ->  u M
v ) )
139118, 138syl5bir 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( u  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  c ) ) )  /\  v  e.  ( W `  ( s `
 ( H `  d ) ) ) )  ->  u M
v ) )
140139imp 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c
m d )  /\  ( u  e.  ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) )  /\  v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) ) )  ->  u M v )
141 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  u  e. 
_V
142 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  v  e. 
_V
143 breq12 4400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( x M y  <-> 
u M v ) )
144 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  x  =  u )
145144fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 u ) )
146145fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( S `  ( H `  x )
)  =  ( S `
 ( H `  u ) ) )
147146fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  =  ( W `  ( S `  ( H `
 u ) ) ) )
148147eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  x ) ) )  <-> 
a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) ) ) )
149 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  y  =  v )
150149fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( H `  y
)  =  ( H `
 v ) )
151150fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( S `  ( H `  y )
)  =  ( S `
 ( H `  v ) ) )
152151fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) )  =  ( W `  ( S `  ( H `
 v ) ) ) )
153152eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) )  <-> 
b  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  v ) ) ) ) )
154143, 148, 1533anbi123d 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) )  <->  ( u M v  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) ) ) )
155154anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  <->  ( ph  /\  ( u M v  /\  a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) ) ) ) )
156155imbi1d 324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( ( ( ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  ->  a K b )  <->  ( ( ph  /\  ( u M v  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) ) )  ->  a K b ) ) )
157 mclspps.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  ->  a K b )
158141, 142, 156, 157vtocl2 3088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u M v  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) ) )  ->  a K b )
1591583exp2 1251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u M v  ->  ( a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  u ) ) )  ->  ( b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) )  ->  a K b ) ) ) )
160159imp4b 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u M
v )  ->  (
( a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  v ) ) ) )  ->  a K
b ) )
161117, 140, 160syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c
m d )  /\  ( u  e.  ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) )  /\  v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) ) )  ->  ( ( a  e.  ( W `  ( S `  ( H `
 u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )  ->  a K
b ) )
162161rexlimdvva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  ( E. u  e.  ( W `  ( s `  ( H `  c
) ) ) E. v  e.  ( W `
 ( s `  ( H `  d ) ) ) ( a  e.  ( W `  ( S `  ( H `
 u ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )  ->  a K
b ) )
163116, 162syl5bir 226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( E. u  e.  ( W `  (
s `  ( H `  c ) ) ) a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  u ) ) )  /\  E. v  e.  ( W `  ( s `  ( H `  d )
) ) b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  v ) ) ) )  ->  a K
b ) )
164115, 163sylbid 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c m
d )  ->  (
( a  e.  ( W `  ( ( S  o.  s ) `
 ( H `  c ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( ( S  o.  s ) `
 ( H `  d ) ) ) )  ->  a K
b ) )
165164exp4b 618 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( c m d  ->  ( a  e.  ( W `  (
( S  o.  s
) `  ( H `  c ) ) )  ->  ( b  e.  ( W `  (
( S  o.  s
) `  ( H `  d ) ) )  ->  a K b ) ) ) )
1661653imp2 1248 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c
m d  /\  a  e.  ( W `  (
( S  o.  s
) `  ( H `  c ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( ( S  o.  s ) `
 ( H `  d ) ) ) ) )  ->  a K b )
16716, 3, 23, 6, 24, 25, 7, 2, 26, 27, 28, 14, 31, 64, 75, 166mclsax 30279 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  o.  s ) `  p
)  e.  ( K C B ) )
16822, 167eqeltrrd 2550 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  (
s `  p )
)  e.  ( K C B ) )
169 ffn 5739 . . . 4  |-  ( S : E --> E  ->  S  Fn  E )
17033, 169syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  S  Fn  E )
171 elpreima 6017 . . 3  |-  ( S  Fn  E  ->  (
( s `  p
)  e.  ( `' S " ( K C B ) )  <-> 
( ( s `  p )  e.  E  /\  ( S `  (
s `  p )
)  e.  ( K C B ) ) ) )
172170, 171syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( s `  p )  e.  ( `' S " ( K C B ) )  <-> 
( ( s `  p )  e.  E  /\  ( S `  (
s `  p )
)  e.  ( K C B ) ) ) )
17320, 168, 172mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  ( s `  p
)  e.  ( `' S " ( K C B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   <.cotp 3967   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    _I cid 4749    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842    o. ccom 4843   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587  mVRcmvar 30171  mAxcmax 30175  mExcmex 30177  mDVcmdv 30178  mVarscmvrs 30179  mSubstcmsub 30181  mVHcmvh 30182  mPreStcmpst 30183  mStatcmsta 30185  mFScmfs 30186  mClscmcls 30187  mPPStcmpps 30188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-frmd 16711  df-vrmd 16712  df-mrex 30196  df-mex 30197  df-mdv 30198  df-mvrs 30199  df-mrsub 30200  df-msub 30201  df-mvh 30202  df-mpst 30203  df-msr 30204  df-msta 30205  df-mfs 30206  df-mcls 30207
This theorem is referenced by:  mclspps  30294
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