Theorem mclsppslem 29227

Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 29213.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclspps.d	|- D = (mDV ` T )
mclspps.e	|- E = (mEx ` T )
mclspps.c	|- C = (mCls ` T )
mclspps.1	|- ( ph -> T e. mFS )
mclspps.2	|- ( ph -> K C_ D )
mclspps.3	|- ( ph -> B C_ E )
mclspps.j	|- J = (mPPSt ` T )
mclspps.l	|- L = (mSubst ` T )
mclspps.v	|- V = (mVR ` T )
mclspps.h	|- H = (mVH ` T )
mclspps.w	|- W = (mVars ` T )
mclspps.4	|- ( ph -> <. M , O , P >. e. J )
mclspps.5	|- ( ph -> S e. ran L )
mclspps.6	|- ( ( ph /\ x e. O ) -> ( S ` x ) e. ( K C B ) )
mclspps.7	|- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( S ` ( H ` v ) ) e. ( K C B ) )
mclspps.8	|- ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b )
mclsppslem.9	|- ( ph -> <. m , o , p >. e. (mAx ` T ) )
mclsppslem.10	|- ( ph -> s e. ran L )
mclsppslem.11	|- ( ph -> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) )
mclsppslem.12	|- ( ph -> A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) )

Assertion

Ref	Expression
mclsppslem	|- ( ph -> ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) )

Distinct variable groups:   m, o, p, s, v, E   a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z, H   v, V, z   K, a, b, m, o, p, s, v, x, y   T, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   L, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   S, a, b, m, o, p, s, v, x, y   B, a, b, m, o, p, s, v, x, y   W, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   C, a, b, m, o, p, s, v, x, y, z   M, a, b, m, o, p, s, v, w, x, y, z   m, O, o, p, s, v, w, x, z   ph, a, b, v, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, w, m, o, s, p)   B( z, w)   C( w)   D( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)   P( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)   S( z, w)   E( x, y, z, w, a, b)   J( x, y, z, w, v, m, o, s, p, a, b)   K( z, w)   O( y, a, b)   V( x, y, w, m, o, s, p, a, b)

Proof of Theorem mclsppslem

Dummy variables t u c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsppslem.10	. . . 4 |- ( ph -> s e. ran L )
2		mclspps.l	. . . . 5 |- L = (mSubst ` T )
3		mclspps.e	. . . . 5 |- E = (mEx ` T )
4	2, 3	msubf 29176	. . . 4 |- ( s e. ran L -> s : E --> E )
5	1, 4	syl 16	. . 3 |- ( ph -> s : E --> E )
6		mclspps.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. mFS )
7		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- (mAx ` T ) = (mAx ` T )
8		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- (mStat ` T ) = (mStat ` T )
9	7, 8	maxsta 29198	. . . . . . . 8 |- ( T e. mFS -> (mAx ` T ) C_ (mStat ` T ) )
10	6, 9	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> (mAx ` T ) C_ (mStat ` T ) )
11		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- (mPreSt ` T ) = (mPreSt ` T )
12	11, 8	mstapst 29191	. . . . . . 7 |- (mStat ` T ) C_ (mPreSt ` T )
13	10, 12	syl6ss 3511	. . . . . 6 |- ( ph -> (mAx ` T ) C_ (mPreSt ` T ) )
14		mclsppslem.9	. . . . . 6 |- ( ph -> <. m , o , p >. e. (mAx ` T ) )
15	13, 14	sseldd 3500	. . . . 5 |- ( ph -> <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) )
16		mclspps.d	. . . . . 6 |- D = (mDV ` T )
17	16, 3, 11	elmpst 29180	. . . . 5 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) <-> ( ( m C_ D /\ `' m = m ) /\ ( o C_ E /\ o e. Fin ) /\ p e. E ) )
18	15, 17	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( ( m C_ D /\ `' m = m ) /\ ( o C_ E /\ o e. Fin ) /\ p e. E ) )
19	18	simp3d 1010	. . 3 |- ( ph -> p e. E )
20	5, 19	ffvelrnd 6033	. 2 |- ( ph -> ( s ` p ) e. E )
21		fvco3 5950	. . . 4 |- ( ( s : E --> E /\ p e. E ) -> ( ( S o. s ) ` p ) = ( S ` ( s ` p ) ) )
22	5, 19, 21	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( S o. s ) ` p ) = ( S ` ( s ` p ) ) )
23		mclspps.c	. . . 4 |- C = (mCls ` T )
24		mclspps.2	. . . 4 |- ( ph -> K C_ D )
25		mclspps.3	. . . 4 |- ( ph -> B C_ E )
26		mclspps.v	. . . 4 |- V = (mVR ` T )
27		mclspps.h	. . . 4 |- H = (mVH ` T )
28		mclspps.w	. . . 4 |- W = (mVars ` T )
29		mclspps.5	. . . . 5 |- ( ph -> S e. ran L )
30	2	msubco 29175	. . . . 5 |- ( ( S e. ran L /\ s e. ran L ) -> ( S o. s ) e. ran L )
31	29, 1, 30	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( S o. s ) e. ran L )
32	2, 3	msubf 29176	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ran L -> S : E --> E )
33	29, 32	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : E --> E )
34		fco 5747	. . . . . . . 8 |- ( ( S : E --> E /\ s : E --> E ) -> ( S o. s ) : E --> E )
35	33, 5, 34	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S o. s ) : E --> E )
36		ffn 5737	. . . . . . 7 |- ( ( S o. s ) : E --> E -> ( S o. s ) Fn E )
37	35, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S o. s ) Fn E )
38	37	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. o ) -> ( S o. s ) Fn E )
39		mclsppslem.11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) )
40		ffun 5739	. . . . . . . . . . 11 |- ( s : E --> E -> Fun s )
41	5, 40	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun s )
42	17	simp2bi 1012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) -> ( o C_ E /\ o e. Fin ) )
43	15, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( o C_ E /\ o e. Fin ) )
44	43	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> o C_ E )
45	26, 3, 27	mvhf 29202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. mFS -> H : V --> E )
46		frn 5743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( H : V --> E -> ran H C_ E )
47	6, 45, 46	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran H C_ E )
48	44, 47	unssd 3676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ E )
49		fdm 5741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s : E --> E -> dom s = E )
50	5, 49	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom s = E )
51	48, 50	sseqtr4d 3536	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ dom s )
52		funimass3 6004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun s /\ ( o u. ran H ) C_ dom s ) -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( o u. ran H ) C_ ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) ) )
53	41, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( o u. ran H ) C_ ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) ) )
54	39, 53	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) ) )
55		cnvco 5198	. . . . . . . . . 10 |- `' ( S o. s ) = ( `' s o. `' S )
56	55	imaeq1i 5344	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) = ( ( `' s o. `' S ) " ( K C B ) )
57		imaco 5518	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' s o. `' S ) " ( K C B ) ) = ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) )
58	56, 57	eqtri 2486	. . . . . . . 8 |- ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) = ( `' s " ( `' S " ( K C B ) ) )
59	54, 58	syl6sseqr 3546	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( o u. ran H ) C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
60	59	unssad 3677	. . . . . 6 |- ( ph -> o C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
61	60	sselda 3499	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. o ) -> c e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
62		elpreima 6008	. . . . . 6 |- ( ( S o. s ) Fn E -> ( c e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) <-> ( c e. E /\ ( ( S o. s ) ` c ) e. ( K C B ) ) ) )
63	62	simplbda 624	. . . . 5 |- ( ( ( S o. s ) Fn E /\ c e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) ) -> ( ( S o. s ) ` c ) e. ( K C B ) )
64	38, 61, 63	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. o ) -> ( ( S o. s ) ` c ) e. ( K C B ) )
65	37	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( S o. s ) Fn E )
66	59	unssbd 3678	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran H C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
67	66	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ran H C_ ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
68		ffn 5737	. . . . . . . 8 |- ( H : V --> E -> H Fn V )
69	6, 45, 68	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> H Fn V )
70		fnfvelrn 6029	. . . . . . 7 |- ( ( H Fn V /\ t e. V ) -> ( H ` t ) e. ran H )
71	69, 70	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( H ` t ) e. ran H )
72	67, 71	sseldd 3500	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( H ` t ) e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) )
73		elpreima 6008	. . . . . 6 |- ( ( S o. s ) Fn E -> ( ( H ` t ) e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) <-> ( ( H ` t ) e. E /\ ( ( S o. s ) ` ( H ` t ) ) e. ( K C B ) ) ) )
74	73	simplbda 624	. . . . 5 |- ( ( ( S o. s ) Fn E /\ ( H ` t ) e. ( `' ( S o. s ) " ( K C B ) ) ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` t ) ) e. ( K C B ) )
75	65, 72, 74	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. V ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` t ) ) e. ( K C B ) )
76	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> s : E --> E )
77	6, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H : V --> E )
78	77	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c m d ) -> H : V --> E )
79	18	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( m C_ D /\ `' m = m ) )
80	79	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> m C_ D )
81	26, 16	mdvval 29148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- D = ( ( V X. V ) \ _I )
82		difss 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V X. V ) \ _I ) C_ ( V X. V )
83	81, 82	eqsstri 3529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- D C_ ( V X. V )
84	80, 83	syl6ss 3511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> m C_ ( V X. V ) )
85	84	ssbrd 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( c m d -> c ( V X. V ) d ) )
86	85	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ c m d ) -> c ( V X. V ) d )
87		brxp 5039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c ( V X. V ) d <-> ( c e. V /\ d e. V ) )
88	86, 87	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( c e. V /\ d e. V ) )
89	88	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c m d ) -> c e. V )
90	78, 89	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( H ` c ) e. E )
91		fvco3 5950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s : E --> E /\ ( H ` c ) e. E ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) )
92	76, 90, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) )
93	92	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) = ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ) )
94	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> T e. mFS )
95	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> S e. ran L )
96	76, 90	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( s ` ( H ` c ) ) e. E )
97	2, 3, 28, 27	msubvrs 29204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. mFS /\ S e. ran L /\ ( s ` ( H ` c ) ) e. E ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ) = U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ) = U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
99	93, 98	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) = U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
100	99	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) <-> a e. U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) ) )
101		eliun 4337	. . . . . . . . 9 |- ( a e. U_ u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) <-> E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
102	100, 101	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) <-> E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) ) )
103	88	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c m d ) -> d e. V )
104	78, 103	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( H ` d ) e. E )
105		fvco3 5950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s : E --> E /\ ( H ` d ) e. E ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) )
106	76, 104, 105	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) = ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) )
107	106	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) = ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) )
108	76, 104	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( s ` ( H ` d ) ) e. E )
109	2, 3, 28, 27	msubvrs 29204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. mFS /\ S e. ran L /\ ( s ` ( H ` d ) ) e. E ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) = U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
110	94, 95, 108, 109	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( S ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) = U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
111	107, 110	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) = U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
112	111	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) <-> b e. U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
113		eliun 4337	. . . . . . . . 9 |- ( b e. U_ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) <-> E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
114	112, 113	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) <-> E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
115	102, 114	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) /\ b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) ) <-> ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) )
116		reeanv 3025	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) <-> ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
117		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c m d ) /\ ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> ph )
118		brxp 5039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) v <-> ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) )
119		mclsppslem.12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) )
120		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- c e. _V
121		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- d e. _V
122		breq12 4461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( z m w <-> c m d ) )
123		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> z = c )
124	123	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( H ` z ) = ( H ` c ) )
125	124	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( s ` ( H ` z ) ) = ( s ` ( H ` c ) ) )
126	125	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) = ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) )
127		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> w = d )
128	127	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( H ` w ) = ( H ` d ) )
129	128	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( s ` ( H ` w ) ) = ( s ` ( H ` d ) ) )
130	129	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) = ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) )
131	126, 130	xpeq12d 5033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) = ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) )
132	131	sseq1d 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M <-> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) )
133	122, 132	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = c /\ w = d ) -> ( ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) <-> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) ) )
134	133	spc2gv 3197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c e. _V /\ d e. _V ) -> ( A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) -> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) ) )
135	120, 121, 134	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z A. w ( z m w -> ( ( W ` ( s ` ( H ` z ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` w ) ) ) ) C_ M ) -> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) )
136	119, 135	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( c m d -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M ) )
137	136	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) C_ M )
138	137	ssbrd 4497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( u ( ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) v -> u M v ) )
139	118, 138	syl5bir 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) -> u M v ) )
140	139	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c m d ) /\ ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> u M v )
141		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13 |- u e. _V
142		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13 |- v e. _V
143		breq12 4461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( x M y <-> u M v ) )
144		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> x = u )
145	144	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( H ` x ) = ( H ` u ) )
146	145	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( S ` ( H ` x ) ) = ( S ` ( H ` u ) ) )
147	146	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) = ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) )
148	147	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) <-> a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) ) )
149		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> y = v )
150	149	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( H ` y ) = ( H ` v ) )
151	150	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( S ` ( H ` y ) ) = ( S ` ( H ` v ) ) )
152	151	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) = ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) )
153	152	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) <-> b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) )
154	143, 148, 153	3anbi123d 1299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) <-> ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) )
155	154	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) <-> ( ph /\ ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) ) )
156	155	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b ) <-> ( ( ph /\ ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) -> a K b ) ) )
157		mclspps.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x M y /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` x ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` y ) ) ) ) ) -> a K b )
158	141, 142, 156, 157	vtocl2 3162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u M v /\ a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) ) -> a K b )
159	158	3exp2 1214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( u M v -> ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) -> ( b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) -> a K b ) ) ) )
160	159	imp4b 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u M v ) -> ( ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
161	117, 140, 160	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c m d ) /\ ( u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) /\ v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> ( ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
162	161	rexlimdvva 2956	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) ( a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
163	116, 162	syl5bir 218	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( E. u e. ( W ` ( s ` ( H ` c ) ) ) a e. ( W ` ( S ` ( H ` u ) ) ) /\ E. v e. ( W ` ( s ` ( H ` d ) ) ) b e. ( W ` ( S ` ( H ` v ) ) ) ) -> a K b ) )
164	115, 163	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c m d ) -> ( ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) /\ b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) ) -> a K b ) )
165	164	exp4b 607	. . . . 5 |- ( ph -> ( c m d -> ( a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) -> ( b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) -> a K b ) ) ) )
166	165	3imp2 1211	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c m d /\ a e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` c ) ) ) /\ b e. ( W ` ( ( S o. s ) ` ( H ` d ) ) ) ) ) -> a K b )
167	16, 3, 23, 6, 24, 25, 7, 2, 26, 27, 28, 14, 31, 64, 75, 166	mclsax 29213	. . 3 |- ( ph -> ( ( S o. s ) ` p ) e. ( K C B ) )
168	22, 167	eqeltrrd 2546	. 2 |- ( ph -> ( S ` ( s ` p ) ) e. ( K C B ) )
169		ffn 5737	. . . 4 |- ( S : E --> E -> S Fn E )
170	33, 169	syl 16	. . 3 |- ( ph -> S Fn E )
171		elpreima 6008	. . 3 |- ( S Fn E -> ( ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( ( s ` p ) e. E /\ ( S ` ( s ` p ) ) e. ( K C B ) ) ) )
172	170, 171	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) <-> ( ( s ` p ) e. E /\ ( S ` ( s ` p ) ) e. ( K C B ) ) ) )
173	20, 168, 172	mpbir2and 922	1 |- ( ph -> ( s ` p ) e. ( `' S " ( K C B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   u. cun 3469   C_ wss 3471   <.cotp 4040   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   _I cid 4799   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   o. ccom 5012   Fun wfun 5588   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535  mVRcmvar 29105  mAxcmax 29109  mExcmex 29111  mDVcmdv 29112  mVarscmvrs 29113  mSubstcmsub 29115  mVHcmvh 29116  mPreStcmpst 29117  mStatcmsta 29119  mFScmfs 29120  mClscmcls 29121  mPPStcmpps 29122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-s1 12549  df-substr 12550  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-mhm 16184  df-submnd 16185  df-frmd 16235  df-vrmd 16236  df-mrex 29130  df-mex 29131  df-mdv 29132  df-mvrs 29133  df-mrsub 29134  df-msub 29135  df-mvh 29136  df-mpst 29137  df-msr 29138  df-msta 29139  df-mfs 29140  df-mcls 29141

This theorem is referenced by:  mclspps  29228