Theorem mclsind 30280

Description: Induction theorem for closure: any other set Q closed under the axioms and the hypotheses contains all the elements of the closure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclsval.d	|- D = (mDV ` T )
mclsval.e	|- E = (mEx ` T )
mclsval.c	|- C = (mCls ` T )
mclsval.1	|- ( ph -> T e. mFS )
mclsval.2	|- ( ph -> K C_ D )
mclsval.3	|- ( ph -> B C_ E )
mclsax.a	|- A = (mAx ` T )
mclsax.l	|- L = (mSubst ` T )
mclsax.v	|- V = (mVR ` T )
mclsax.h	|- H = (mVH ` T )
mclsax.w	|- W = (mVars ` T )
mclsind.4	|- ( ph -> B C_ Q )
mclsind.5	|- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( H ` v ) e. Q )
mclsind.6	|- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. Q )

Assertion

Ref	Expression
mclsind	|- ( ph -> ( K C B ) C_ Q )

Distinct variable groups:   m, o, p, s, v, E   x, m, H, o, p, s, v   y, m, B, o, p, s, v, x   C, m, o, p, s, v, x   m, L, o, p, s, x, y   A, m, o, p, s   T, m, o, p, s, x, y   ph, m, o, p, s, v, x, y   Q, m, o, p, s, v   v, V, x   m, W, o, p, s, x   m, K, o, p, s, v, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y, v)   C( y)   D( x, y, v, m, o, s, p)   Q( x, y)   T( v)   E( x, y)   H( y)   L( v)   V( y, m, o, s, p)   W( y, v)

Proof of Theorem mclsind

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsval.d	. . 3 |- D = (mDV ` T )
2		mclsval.e	. . 3 |- E = (mEx ` T )
3		mclsval.c	. . 3 |- C = (mCls ` T )
4		mclsval.1	. . 3 |- ( ph -> T e. mFS )
5		mclsval.2	. . 3 |- ( ph -> K C_ D )
6		mclsval.3	. . 3 |- ( ph -> B C_ E )
7		mclsax.h	. . 3 |- H = (mVH ` T )
8		mclsax.a	. . 3 |- A = (mAx ` T )
9		mclsax.l	. . 3 |- L = (mSubst ` T )
10		mclsax.w	. . 3 |- W = (mVars ` T )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mclsval 30273	. 2 |- ( ph -> ( K C B ) = |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )
12		mclsind.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ Q )
13	6, 12	ssind 3647	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ( E i^i Q ) )
14		mclsax.v	. . . . . . . . . . 11 |- V = (mVR ` T )
15	14, 2, 7	mvhf 30268	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. mFS -> H : V --> E )
16	4, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H : V --> E )
17		ffn 5739	. . . . . . . . 9 |- ( H : V --> E -> H Fn V )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H Fn V )
19	16	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( H ` v ) e. E )
20		mclsind.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( H ` v ) e. Q )
21	19, 20	elind 3609	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( H ` v ) e. ( E i^i Q ) )
22	21	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. V ( H ` v ) e. ( E i^i Q ) )
23		ffnfv 6064	. . . . . . . 8 |- ( H : V --> ( E i^i Q ) <-> ( H Fn V /\ A. v e. V ( H ` v ) e. ( E i^i Q ) ) )
24	18, 22, 23	sylanbrc 677	. . . . . . 7 |- ( ph -> H : V --> ( E i^i Q ) )
25		frn 5747	. . . . . . 7 |- ( H : V --> ( E i^i Q ) -> ran H C_ ( E i^i Q ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran H C_ ( E i^i Q ) )
27	13, 26	unssd 3601	. . . . 5 |- ( ph -> ( B u. ran H ) C_ ( E i^i Q ) )
28		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) -> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) )
29		inss2 3644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E i^i Q ) C_ Q
30	28, 29	syl6ss 3430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) -> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q )
31	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> T e. mFS )
32		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (mREx ` T ) = (mREx ` T )
33	14, 32, 9, 2	msubff 30240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T e. mFS -> L : ( (mREx ` T ) ^pm V ) --> ( E ^m E ) )
34		frn 5747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L : ( (mREx ` T ) ^pm V ) --> ( E ^m E ) -> ran L C_ ( E ^m E ) )
35	31, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> ran L C_ ( E ^m E ) )
36		simpr2 1037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> s e. ran L )
37	35, 36	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> s e. ( E ^m E ) )
38		elmapi 7511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ( E ^m E ) -> s : E --> E )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> s : E --> E )
40		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (mStat ` T ) = (mStat ` T )
41	8, 40	maxsta 30264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( T e. mFS -> A C_ (mStat ` T ) )
42	31, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> A C_ (mStat ` T ) )
43		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (mPreSt ` T ) = (mPreSt ` T )
44	43, 40	mstapst 30257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (mStat ` T ) C_ (mPreSt ` T )
45	42, 44	syl6ss 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> A C_ (mPreSt ` T ) )
46		simpr1 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> <. m , o , p >. e. A )
47	45, 46	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) )
48	1, 2, 43	elmpst 30246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) <-> ( ( m C_ D /\ `' m = m ) /\ ( o C_ E /\ o e. Fin ) /\ p e. E ) )
49	48	simp3bi 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) -> p e. E )
50	47, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> p e. E )
51	39, 50	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) ) -> ( s ` p ) e. E )
52	51	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E )
53		mclsind.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. Q )
54	52, 53	elind 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) )
55	54	3exp 1230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( <. m , o , p >. e. A /\ s e. ran L /\ ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q ) -> ( A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) )
56	55	3expd 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( <. m , o , p >. e. A -> ( s e. ran L -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q -> ( A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) ) ) )
57	56	imp31 439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) /\ s e. ran L ) -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ Q -> ( A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) )
58	30, 57	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) /\ s e. ran L ) -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) -> ( A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) )
59	58	impd 438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) /\ s e. ran L ) -> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) )
60	59	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) )
61	60	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) )
62	61	alrimiv 1781	. . . . . 6 |- ( ph -> A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) )
63	62	alrimivv 1782	. . . . 5 |- ( ph -> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) )
64		fvex 5889	. . . . . . . 8 |- (mEx ` T ) e. _V
65	2, 64	eqeltri 2545	. . . . . . 7 |- E e. _V
66	65	inex1 4537	. . . . . 6 |- ( E i^i Q ) e. _V
67		sseq2 3440	. . . . . . 7 |- ( c = ( E i^i Q ) -> ( ( B u. ran H ) C_ c <-> ( B u. ran H ) C_ ( E i^i Q ) ) )
68		sseq2 3440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( E i^i Q ) -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c <-> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) ) )
69	68	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( E i^i Q ) -> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) <-> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) ) )
70		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( E i^i Q ) -> ( ( s ` p ) e. c <-> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) )
71	69, 70	imbi12d 327	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( E i^i Q ) -> ( ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) )
72	71	ralbidv 2829	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( E i^i Q ) -> ( A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) )
73	72	imbi2d 323	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( E i^i Q ) -> ( ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) ) )
74	73	albidv 1775	. . . . . . . 8 |- ( c = ( E i^i Q ) -> ( A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) ) )
75	74	2albidv 1777	. . . . . . 7 |- ( c = ( E i^i Q ) -> ( A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) ) )
76	67, 75	anbi12d 725	. . . . . 6 |- ( c = ( E i^i Q ) -> ( ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) <-> ( ( B u. ran H ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) ) ) )
77	66, 76	elab 3173	. . . . 5 |- ( ( E i^i Q ) e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } <-> ( ( B u. ran H ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ ( E i^i Q ) /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. ( E i^i Q ) ) ) ) )
78	27, 63, 77	sylanbrc 677	. . . 4 |- ( ph -> ( E i^i Q ) e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )
79		intss1 4241	. . . 4 |- ( ( E i^i Q ) e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ ( E i^i Q ) )
80	78, 79	syl 17	. . 3 |- ( ph -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ ( E i^i Q ) )
81	80, 29	syl6ss 3430	. 2 |- ( ph -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran L ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( W ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( W ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ Q )
82	11, 81	eqsstrd 3452	1 |- ( ph -> ( K C B ) C_ Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   <.cotp 3967   |^|cint 4226   class class class wbr 4395   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840   "cima 4842   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   ^pm cpm 7491   Fincfn 7587  mVRcmvar 30171  mAxcmax 30175  mRExcmrex 30176  mExcmex 30177  mDVcmdv 30178  mVarscmvrs 30179  mSubstcmsub 30181  mVHcmvh 30182  mPreStcmpst 30183  mStatcmsta 30185  mFScmfs 30186  mClscmcls 30187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-frmd 16711  df-mrex 30196  df-mex 30197  df-mrsub 30200  df-msub 30201  df-mvh 30202  df-mpst 30203  df-msr 30204  df-msta 30205  df-mfs 30206  df-mcls 30207

This theorem is referenced by:  mclspps  30294