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Theorem mclsind 30220
Description: Induction theorem for closure: any other set  Q closed under the axioms and the hypotheses contains all the elements of the closure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d  |-  D  =  (mDV `  T )
mclsval.e  |-  E  =  (mEx `  T )
mclsval.c  |-  C  =  (mCls `  T )
mclsval.1  |-  ( ph  ->  T  e. mFS )
mclsval.2  |-  ( ph  ->  K  C_  D )
mclsval.3  |-  ( ph  ->  B  C_  E )
mclsax.a  |-  A  =  (mAx `  T )
mclsax.l  |-  L  =  (mSubst `  T )
mclsax.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mclsax.h  |-  H  =  (mVH `  T )
mclsax.w  |-  W  =  (mVars `  T )
mclsind.4  |-  ( ph  ->  B  C_  Q )
mclsind.5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( H `  v )  e.  Q )
mclsind.6  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  Q
)
Assertion
Ref Expression
mclsind  |-  ( ph  ->  ( K C B )  C_  Q )
Distinct variable groups:    m, o, p, s, v, E    x, m, H, o, p, s, v    y, m, B, o, p, s, v, x    C, m, o, p, s, v, x    m, L, o, p, s, x, y    A, m, o, p, s    T, m, o, p, s, x, y    ph, m, o, p, s, v, x, y    Q, m, o, p, s, v    v, V, x    m, W, o, p, s, x    m, K, o, p, s, v, x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, v)    C( y)    D( x, y, v, m, o, s, p)    Q( x, y)    T( v)    E( x, y)    H( y)    L( v)    V( y, m, o, s, p)    W( y, v)

Proof of Theorem mclsind
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mclsval.d . . 3  |-  D  =  (mDV `  T )
2 mclsval.e . . 3  |-  E  =  (mEx `  T )
3 mclsval.c . . 3  |-  C  =  (mCls `  T )
4 mclsval.1 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e. mFS )
5 mclsval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  K  C_  D )
6 mclsval.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  E )
7 mclsax.h . . 3  |-  H  =  (mVH `  T )
8 mclsax.a . . 3  |-  A  =  (mAx `  T )
9 mclsax.l . . 3  |-  L  =  (mSubst `  T )
10 mclsax.w . . 3  |-  W  =  (mVars `  T )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mclsval 30213 . 2  |-  ( ph  ->  ( K C B )  =  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H ) 
C_  c  /\  A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) ) } )
12 mclsind.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  Q )
136, 12ssind 3658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( E  i^i  Q ) )
14 mclsax.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  (mVR `  T )
1514, 2, 7mvhf 30208 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e. mFS  ->  H : V --> E )
164, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H : V --> E )
17 ffn 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( H : V --> E  ->  H  Fn  V )
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  Fn  V )
1916ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( H `  v )  e.  E )
20 mclsind.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( H `  v )  e.  Q )
2119, 20elind 3620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( H `  v )  e.  ( E  i^i  Q
) )
2221ralrimiva 2804 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  V  ( H `  v )  e.  ( E  i^i  Q ) )
23 ffnfv 6054 . . . . . . . 8  |-  ( H : V --> ( E  i^i  Q )  <->  ( H  Fn  V  /\  A. v  e.  V  ( H `  v )  e.  ( E  i^i  Q ) ) )
2418, 22, 23sylanbrc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : V --> ( E  i^i  Q ) )
25 frn 5740 . . . . . . 7  |-  ( H : V --> ( E  i^i  Q )  ->  ran  H  C_  ( E  i^i  Q ) )
2624, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  ( E  i^i  Q ) )
2713, 26unssd 3612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  H )  C_  ( E  i^i  Q ) )
28 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( E  i^i  Q )  ->  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( E  i^i  Q ) )
29 inss2 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  i^i  Q )  C_  Q
3028, 29syl6ss 3446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( E  i^i  Q )  ->  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
314adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  T  e. mFS )
32 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (mREx `  T )  =  (mREx `  T )
3314, 32, 9, 2msubff 30180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  e. mFS  ->  L : ( (mREx `  T )  ^pm  V ) --> ( E  ^m  E ) )
34 frn 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L : ( (mREx `  T )  ^pm  V
) --> ( E  ^m  E )  ->  ran  L 
C_  ( E  ^m  E ) )
3531, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  ran  L  C_  ( E  ^m  E ) )
36 simpr2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  s  e.  ran  L )
3735, 36sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  s  e.  ( E  ^m  E ) )
38 elmapi 7498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ( E  ^m  E )  ->  s : E --> E )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  s : E
--> E )
40 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (mStat `  T )  =  (mStat `  T )
418, 40maxsta 30204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( T  e. mFS  ->  A  C_  (mStat `  T ) )
4231, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  A  C_  (mStat `  T ) )
43 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (mPreSt `  T )  =  (mPreSt `  T )
4443, 40mstapst 30197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (mStat `  T )  C_  (mPreSt `  T )
4542, 44syl6ss 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  A  C_  (mPreSt `  T ) )
46 simpr1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  <. m ,  o ,  p >.  e.  A )
4745, 46sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  <. m ,  o ,  p >.  e.  (mPreSt `  T )
)
481, 2, 43elmpst 30186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
m ,  o ,  p >.  e.  (mPreSt `  T )  <->  ( (
m  C_  D  /\  `' m  =  m
)  /\  ( o  C_  E  /\  o  e. 
Fin )  /\  p  e.  E ) )
4948simp3bi 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
m ,  o ,  p >.  e.  (mPreSt `  T )  ->  p  e.  E )
5047, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  p  e.  E )
5139, 50ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )
)  ->  ( s `  p )  e.  E
)
52513adant3 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  E
)
53 mclsind.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  Q
)
5452, 53elind 3620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) )
55543exp 1208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  /\  s  e.  ran  L  /\  (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  Q )  ->  ( A. x A. y ( x m y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )  ->  ( s `  p
)  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) )
56553expd 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  ( s  e.  ran  L  ->  ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  Q  ->  ( A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K )  -> 
( s `  p
)  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) ) ) )
5756imp31 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  <. m ,  o ,  p >.  e.  A )  /\  s  e.  ran  L )  ->  ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  Q  ->  ( A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K )  -> 
( s `  p
)  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) )
5830, 57syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  <. m ,  o ,  p >.  e.  A )  /\  s  e.  ran  L )  ->  ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( E  i^i  Q )  ->  ( A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K )  ->  (
s `  p )  e.  ( E  i^i  Q
) ) ) )
5958impd 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  <. m ,  o ,  p >.  e.  A )  /\  s  e.  ran  L )  ->  ( ( ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  ( E  i^i  Q ) ) )
6059ralrimiva 2804 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  <. m ,  o ,  p >.  e.  A )  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) ) )
6160ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) )
6261alrimiv 1775 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p ( <.
m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) )
6362alrimivv 1776 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) )
64 fvex 5880 . . . . . . . 8  |-  (mEx `  T )  e.  _V
652, 64eqeltri 2527 . . . . . . 7  |-  E  e. 
_V
6665inex1 4547 . . . . . 6  |-  ( E  i^i  Q )  e. 
_V
67 sseq2 3456 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( E  i^i  Q )  ->  ( ( B  u.  ran  H ) 
C_  c  <->  ( B  u.  ran  H )  C_  ( E  i^i  Q ) ) )
68 sseq2 3456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( E  i^i  Q )  ->  ( (
s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  c  <->  ( s " ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( E  i^i  Q ) ) )
6968anbi1d 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( E  i^i  Q )  ->  ( (
( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  <-> 
( ( s "
( o  u.  ran  H ) )  C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) ) ) )
70 eleq2 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( E  i^i  Q )  ->  ( (
s `  p )  e.  c  <->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) ) )
7169, 70imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( E  i^i  Q )  ->  ( (
( ( s "
( o  u.  ran  H ) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c )  <->  ( ( ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) )
7271ralbidv 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( E  i^i  Q )  ->  ( A. s  e.  ran  L ( ( ( s "
( o  u.  ran  H ) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c )  <->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) )
7372imbi2d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( E  i^i  Q )  ->  ( ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) )  <->  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) ) )
7473albidv 1769 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( E  i^i  Q )  ->  ( A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
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C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) )  <->  A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
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C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
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s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) ) )
75742albidv 1771 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( E  i^i  Q )  ->  ( A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
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( s `  p
)  e.  c ) )  <->  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
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( ( W `  ( s `  ( H `  x )
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C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) ) )
7667, 75anbi12d 718 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( E  i^i  Q )  ->  ( (
( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
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C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) )  <->  ( ( B  u.  ran  H ) 
C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. m A. o A. p (
<. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
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ran  H ) ) 
C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
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s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
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7766, 76elab 3187 . . . . 5  |-  ( ( E  i^i  Q )  e.  { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
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( x m y  ->  ( ( W `
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C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) }  <-> 
( ( B  u.  ran  H )  C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( E  i^i  Q )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
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) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  ( E  i^i  Q ) ) ) ) )
7827, 63, 77sylanbrc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  i^i  Q
)  e.  { c  |  ( ( B  u.  ran  H ) 
C_  c  /\  A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) ) } )
79 intss1 4252 . . . 4  |-  ( ( E  i^i  Q )  e.  { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
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C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) }  ->  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) } 
C_  ( E  i^i  Q ) )
8078, 79syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
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C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) } 
C_  ( E  i^i  Q ) )
8180, 29syl6ss 3446 . 2  |-  ( ph  ->  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) } 
C_  Q )
8211, 81eqsstrd 3468 1  |-  ( ph  ->  ( K C B )  C_  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986   A.wal 1444    = wceq 1446    e. wcel 1889   {cab 2439   A.wral 2739   _Vcvv 3047    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   <.cotp 3978   |^|cint 4237   class class class wbr 4405    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    ^m cmap 7477    ^pm cpm 7478   Fincfn 7574  mVRcmvar 30111  mAxcmax 30115  mRExcmrex 30116  mExcmex 30117  mDVcmdv 30118  mVarscmvrs 30119  mSubstcmsub 30121  mVHcmvh 30122  mPreStcmpst 30123  mStatcmsta 30125  mFScmfs 30126  mClscmcls 30127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-ot 3979  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-word 12671  df-concat 12673  df-s1 12674  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-frmd 16645  df-mrex 30136  df-mex 30137  df-mrsub 30140  df-msub 30141  df-mvh 30142  df-mpst 30143  df-msr 30144  df-msta 30145  df-mfs 30146  df-mcls 30147
This theorem is referenced by:  mclspps  30234
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