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Theorem mclsax 29213
Description: The closure is closed under axiom application. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d  |-  D  =  (mDV `  T )
mclsval.e  |-  E  =  (mEx `  T )
mclsval.c  |-  C  =  (mCls `  T )
mclsval.1  |-  ( ph  ->  T  e. mFS )
mclsval.2  |-  ( ph  ->  K  C_  D )
mclsval.3  |-  ( ph  ->  B  C_  E )
mclsax.a  |-  A  =  (mAx `  T )
mclsax.l  |-  L  =  (mSubst `  T )
mclsax.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mclsax.h  |-  H  =  (mVH `  T )
mclsax.w  |-  W  =  (mVars `  T )
mclsax.4  |-  ( ph  -> 
<. M ,  O ,  P >.  e.  A )
mclsax.5  |-  ( ph  ->  S  e.  ran  L
)
mclsax.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  O )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
mclsax.7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( S `  ( H `  v ) )  e.  ( K C B ) )
mclsax.8  |-  ( (
ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  ->  a K b )
Assertion
Ref Expression
mclsax  |-  ( ph  ->  ( S `  P
)  e.  ( K C B ) )
Distinct variable groups:    v, E    a, b, v, x, H   
y, v, B, x   
v, C, x    x, L, y    x, O, y   
y, a, S, b, v, x    M, a, b, x, y    x, P, y    x, T, y    ph, a, b, v, x, y    v, V, x    W, a, b, x    K, a, b, v, x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, v, a, b)    B( a, b)    C( y, a, b)    D( x, y, v, a, b)    P( v, a, b)    T( v, a, b)    E( x, y, a, b)    H( y)    L( v, a, b)    M( v)    O( v, a, b)    V( y, a, b)    W( y, v)

Proof of Theorem mclsax
Dummy variables  c  m  o  p  s 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abid 2444 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) }  <-> 
( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) )
2 intss1 4303 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) }  ->  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) } 
C_  c )
31, 2sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) )  ->  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) } 
C_  c )
4 mclsval.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  (mDV `  T )
5 mclsval.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  (mEx `  T )
6 mclsval.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  (mCls `  T )
7 mclsval.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e. mFS )
8 mclsval.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  C_  D )
9 mclsval.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  E )
10 mclsax.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  (mVH `  T )
11 mclsax.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (mAx `  T )
12 mclsax.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  (mSubst `  T )
13 mclsax.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (mVars `  T )
144, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13mclsval 29207 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K C B )  =  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H ) 
C_  c  /\  A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) ) } )
1514sseq1d 3526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K C B )  C_  c  <->  |^|
{ c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) } 
C_  c ) )
163, 15syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  u.  ran  H ) 
C_  c  /\  A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) )  ->  ( K C B )  C_  c ) )
17 sstr2 3506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  ->  (
( K C B )  C_  c  ->  ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  c )
)
1817com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  (
( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  -> 
( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c
) )
1918anim1d 564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  (
( ( s "
( o  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) ) ) )
2019imim1d 75 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  (
( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c )  ->  ( ( ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) )
2120ralimdv 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  ( A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c )  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) )
2221imim2d 52 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  (
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) )  ->  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) )
2322alimdv 1710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  ( A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) )  ->  A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) ) )
24232alimdv 1712 . . . . . . . 8  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  ( A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) )  ->  A. m A. o A. p (
<. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) ) )
2524com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) )  ->  ( ( K C B )  C_  c  ->  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) )
2625adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) )  -> 
( ( K C B )  C_  c  ->  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) )
2716, 26sylcom 29 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  u.  ran  H ) 
C_  c  /\  A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) )  ->  A. m A. o A. p (
<. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) ) )
28 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (mPreSt `  T )  =  (mPreSt `  T )
29 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (mStat `  T )  =  (mStat `  T )
3028, 29mstapst 29191 . . . . . . 7  |-  (mStat `  T )  C_  (mPreSt `  T )
3111, 29maxsta 29198 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. mFS  ->  A  C_  (mStat `  T ) )
327, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  (mStat `  T
) )
33 mclsax.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
<. M ,  O ,  P >.  e.  A )
3432, 33sseldd 3500 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. M ,  O ,  P >.  e.  (mStat `  T ) )
3530, 34sseldi 3497 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. M ,  O ,  P >.  e.  (mPreSt `  T ) )
3628mpstrcl 29185 . . . . . 6  |-  ( <. M ,  O ,  P >.  e.  (mPreSt `  T )  ->  ( M  e.  _V  /\  O  e.  _V  /\  P  e. 
_V ) )
37 simp1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  m  =  M )
38 simp2 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  o  =  O )
39 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  p  =  P )
4037, 38, 39oteq123d 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  -> 
<. m ,  o ,  p >.  =  <. M ,  O ,  P >. )
4140eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  <->  <. M ,  O ,  P >.  e.  A ) )
4238uneq1d 3653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( o  u.  ran  H )  =  ( O  u.  ran  H ) )
4342imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( s " (
o  u.  ran  H
) )  =  ( s " ( O  u.  ran  H ) ) )
4443sseq1d 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( s "
( o  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  <->  ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B ) ) )
4537breqd 4467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( x m y  <-> 
x M y ) )
4645imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( x m y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )  <->  ( x M y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) ) )
47462albidv 1716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( A. x A. y ( x m y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )  <->  A. x A. y ( x M y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) ) )
4844, 47anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  <->  ( (
s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) ) ) )
4939fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( s `  p
)  =  ( s `
 P ) )
5049eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( s `  p )  e.  c  <-> 
( s `  P
)  e.  c ) )
5148, 50imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( ( ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c )  <-> 
( ( ( s
" ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  P )  e.  c ) ) )
5251ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( A. s  e. 
ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c )  <->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  P )  e.  c ) ) )
5341, 52imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) )  <->  ( <. M ,  O ,  P >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  P
)  e.  c ) ) ) )
5453spc3gv 3199 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  _V  /\  O  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) )  ->  ( <. M ,  O ,  P >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  P )  e.  c ) ) ) )
5535, 36, 543syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. m A. o A. p ( <.
m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) )  ->  ( <. M ,  O ,  P >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  P
)  e.  c ) ) ) )
56 elun 3641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( O  u.  ran  H )  <->  ( x  e.  O  \/  x  e.  ran  H ) )
57 mclsax.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  O )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
58 mclsax.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( S `  ( H `  v ) )  e.  ( K C B ) )
5958ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. v  e.  V  ( S `  ( H `
 v ) )  e.  ( K C B ) )
60 mclsax.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  V  =  (mVR `  T )
6160, 5, 10mvhf 29202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e. mFS  ->  H : V --> E )
627, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H : V --> E )
63 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H : V --> E  ->  H  Fn  V )
64 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( H `  v )  ->  ( S `  x )  =  ( S `  ( H `  v ) ) )
6564eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( H `  v )  ->  (
( S `  x
)  e.  ( K C B )  <->  ( S `  ( H `  v
) )  e.  ( K C B ) ) )
6665ralrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  H ( S `  x
)  e.  ( K C B )  <->  A. v  e.  V  ( S `  ( H `  v
) )  e.  ( K C B ) ) )
6762, 63, 663syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  H ( S `
 x )  e.  ( K C B )  <->  A. v  e.  V  ( S `  ( H `
 v ) )  e.  ( K C B ) ) )
6859, 67mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  H ( S `  x
)  e.  ( K C B ) )
6968r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  H )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
7057, 69jaodan 785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  O  \/  x  e.  ran  H ) )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
7156, 70sylan2b 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( O  u.  ran  H ) )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
7271ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( O  u.  ran  H
) ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
73 mclsax.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  ran  L
)
7412, 5msubf 29176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ran  L  ->  S : E --> E )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S : E --> E )
76 ffun 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : E --> E  ->  Fun  S )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  S )
784, 5, 28elmpst 29180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. M ,  O ,  P >.  e.  (mPreSt `  T )  <->  ( ( M  C_  D  /\  `' M  =  M )  /\  ( O  C_  E  /\  O  e.  Fin )  /\  P  e.  E
) )
7935, 78sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  C_  D  /\  `' M  =  M )  /\  ( O  C_  E  /\  O  e.  Fin )  /\  P  e.  E ) )
8079simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( O  C_  E  /\  O  e.  Fin ) )
8180simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  O  C_  E )
82 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S : E --> E  ->  dom  S  =  E )
8375, 82syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  S  =  E )
8481, 83sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  O  C_  dom  S )
85 frn 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : V --> E  ->  ran  H  C_  E )
8662, 85syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  E
)
8786, 83sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  dom  S )
8884, 87unssd 3676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( O  u.  ran  H )  C_  dom  S )
89 funimass4 5924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  S  /\  ( O  u.  ran  H ) 
C_  dom  S )  ->  ( ( S "
( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  <->  A. x  e.  ( O  u.  ran  H ) ( S `  x )  e.  ( K C B ) ) )
9077, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S "
( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  <->  A. x  e.  ( O  u.  ran  H ) ( S `  x )  e.  ( K C B ) ) )
9172, 90mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B ) )
92 mclsax.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  ->  a K b )
93923exp2 1214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x M y  ->  ( a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  ->  ( b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) )  ->  a K b ) ) ) )
9493imp4b 590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x M
y )  ->  (
( a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) )  ->  a K
b ) )
9594ralrimivv 2877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x M
y )  ->  A. a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) ) A. b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) a K b )
96 dfss3 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K  <->  A. z  e.  ( ( W `  ( S `
 ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) ) z  e.  K )
97 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( z  e.  K  <->  <. a ,  b
>.  e.  K ) )
98 df-br 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a K b  <->  <. a ,  b >.  e.  K
)
9997, 98syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( z  e.  K  <->  a K b ) )
10099ralxp 5154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ( ( W `  ( S `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) ) z  e.  K  <->  A. a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  x ) ) ) A. b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) a K b )
10196, 100bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K  <->  A. a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  x ) ) ) A. b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) a K b )
10295, 101sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x M
y )  ->  (
( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K
)
103102ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x M y  ->  ( ( W `
 ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )
104103alrimivv 1721 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( x M y  ->  ( ( W `
 ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )
10591, 104jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S "
( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  -> 
( ( W `  ( S `  ( H `
 x ) ) )  X.  ( W `
 ( S `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K ) ) )
106 imaeq1 5342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
s " ( O  u.  ran  H ) )  =  ( S
" ( O  u.  ran  H ) ) )
107106sseq1d 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  <->  ( S " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B ) ) )
108 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( H `  x ) )  =  ( S `  ( H `  x )
) )
109108fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  S  ->  ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  =  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) ) )
110 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( H `  y ) )  =  ( S `  ( H `  y )
) )
111110fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  S  ->  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) )  =  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) )
112109, 111xpeq12d 5033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  S  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  =  ( ( W `  ( S `  ( H `
 x ) ) )  X.  ( W `
 ( S `  ( H `  y ) ) ) ) )
113112sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K  <->  ( ( W `  ( S `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)
114113imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
( x M y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K )  <->  ( x M y  ->  (
( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K
) ) )
1151142albidv 1716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x A. y ( x M y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K )  <->  A. x A. y ( x M y  ->  ( ( W `  ( S `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
) )
116107, 115anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( s "
( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  <-> 
( ( S "
( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  -> 
( ( W `  ( S `  ( H `
 x ) ) )  X.  ( W `
 ( S `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K ) ) ) )
117 fveq1 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  P )  =  ( S `  P ) )
118117eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( s `  P
)  e.  c  <->  ( S `  P )  e.  c ) )
119116, 118imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( s
" ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  P )  e.  c )  <->  ( ( ( S " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K
) )  ->  ( S `  P )  e.  c ) ) )
120119rspcv 3206 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ran  L  -> 
( A. s  e. 
ran  L ( ( ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  P
)  e.  c )  ->  ( ( ( S " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K
) )  ->  ( S `  P )  e.  c ) ) )
12173, 120syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
ran  L ( ( ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  P
)  e.  c )  ->  ( ( ( S " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K
) )  ->  ( S `  P )  e.  c ) ) )
122105, 121mpid 41 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
ran  L ( ( ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  P
)  e.  c )  ->  ( S `  P )  e.  c ) )
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12427, 55, 1233syld 55 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  u.  ran  H ) 
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125124alrimiv 1720 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c ( ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
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 P )  e. 
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127126elintab 4299 . . 3  |-  ( ( S `  P )  e.  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
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129128, 14eleqtrrd 2548 1  |-  ( ph  ->  ( S `  P
)  e.  ( K C B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   <.cop 4038   <.cotp 4040   |^|cint 4288   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535  mVRcmvar 29105  mAxcmax 29109  mExcmex 29111  mDVcmdv 29112  mVarscmvrs 29113  mSubstcmsub 29115  mVHcmvh 29116  mPreStcmpst 29117  mStatcmsta 29119  mFScmfs 29120  mClscmcls 29121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-frmd 16235  df-mrex 29130  df-mex 29131  df-mrsub 29134  df-msub 29135  df-mvh 29136  df-mpst 29137  df-msr 29138  df-msta 29139  df-mfs 29140  df-mcls 29141
This theorem is referenced by:  mclsppslem  29227
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