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Theorem mclsax 30159
Description: The closure is closed under axiom application. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d  |-  D  =  (mDV `  T )
mclsval.e  |-  E  =  (mEx `  T )
mclsval.c  |-  C  =  (mCls `  T )
mclsval.1  |-  ( ph  ->  T  e. mFS )
mclsval.2  |-  ( ph  ->  K  C_  D )
mclsval.3  |-  ( ph  ->  B  C_  E )
mclsax.a  |-  A  =  (mAx `  T )
mclsax.l  |-  L  =  (mSubst `  T )
mclsax.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mclsax.h  |-  H  =  (mVH `  T )
mclsax.w  |-  W  =  (mVars `  T )
mclsax.4  |-  ( ph  -> 
<. M ,  O ,  P >.  e.  A )
mclsax.5  |-  ( ph  ->  S  e.  ran  L
)
mclsax.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  O )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
mclsax.7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( S `  ( H `  v ) )  e.  ( K C B ) )
mclsax.8  |-  ( (
ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  ->  a K b )
Assertion
Ref Expression
mclsax  |-  ( ph  ->  ( S `  P
)  e.  ( K C B ) )
Distinct variable groups:    v, E    a, b, v, x, H   
y, v, B, x   
v, C, x    x, L, y    x, O, y   
y, a, S, b, v, x    M, a, b, x, y    x, P, y    x, T, y    ph, a, b, v, x, y    v, V, x    W, a, b, x    K, a, b, v, x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y, v, a, b)    B( a, b)    C( y, a, b)    D( x, y, v, a, b)    P( v, a, b)    T( v, a, b)    E( x, y, a, b)    H( y)    L( v, a, b)    M( v)    O( v, a, b)    V( y, a, b)    W( y, v)

Proof of Theorem mclsax
Dummy variables  c  m  o  p  s 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abid 2416 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) }  <-> 
( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) )
2 intss1 4213 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) }  ->  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) } 
C_  c )
31, 2sylbir 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) )  ->  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) } 
C_  c )
4 mclsval.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  (mDV `  T )
5 mclsval.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  (mEx `  T )
6 mclsval.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  (mCls `  T )
7 mclsval.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e. mFS )
8 mclsval.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  C_  D )
9 mclsval.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  E )
10 mclsax.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  (mVH `  T )
11 mclsax.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (mAx `  T )
12 mclsax.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  (mSubst `  T )
13 mclsax.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (mVars `  T )
144, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13mclsval 30153 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K C B )  =  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H ) 
C_  c  /\  A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) ) } )
1514sseq1d 3434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K C B )  C_  c  <->  |^|
{ c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) } 
C_  c ) )
163, 15syl5ibr 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  u.  ran  H ) 
C_  c  /\  A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) )  ->  ( K C B )  C_  c ) )
17 sstr2 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  ->  (
( K C B )  C_  c  ->  ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  c )
)
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  (
( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  -> 
( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c
) )
1918anim1d 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  (
( ( s "
( o  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) ) ) )
2019imim1d 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  (
( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c )  ->  ( ( ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) )
2120ralimdv 2775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  ( A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c )  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) )
2221imim2d 54 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  (
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) )  ->  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) )
2322alimdv 1757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  ( A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) )  ->  A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) ) )
24232alimdv 1759 . . . . . . . 8  |-  ( ( K C B ) 
C_  c  ->  ( A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) )  ->  A. m A. o A. p (
<. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) ) )
2524com12 32 . . . . . . 7  |-  ( A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) )  ->  ( ( K C B )  C_  c  ->  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) )
2625adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  c  /\  A. x A. y
( x m y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) )  -> 
( ( K C B )  C_  c  ->  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) ) ) )
2716, 26sylcom 30 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  u.  ran  H ) 
C_  c  /\  A. m A. o A. p
( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  c  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) )  ->  A. m A. o A. p (
<. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) ) ) )
28 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  (mPreSt `  T )  =  (mPreSt `  T )
29 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  (mStat `  T )  =  (mStat `  T )
3028, 29mstapst 30137 . . . . . . 7  |-  (mStat `  T )  C_  (mPreSt `  T )
3111, 29maxsta 30144 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. mFS  ->  A  C_  (mStat `  T ) )
327, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  (mStat `  T
) )
33 mclsax.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
<. M ,  O ,  P >.  e.  A )
3432, 33sseldd 3408 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. M ,  O ,  P >.  e.  (mStat `  T ) )
3530, 34sseldi 3405 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. M ,  O ,  P >.  e.  (mPreSt `  T ) )
3628mpstrcl 30131 . . . . . 6  |-  ( <. M ,  O ,  P >.  e.  (mPreSt `  T )  ->  ( M  e.  _V  /\  O  e.  _V  /\  P  e. 
_V ) )
37 simp1 1005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  m  =  M )
38 simp2 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  o  =  O )
39 simp3 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  p  =  P )
4037, 38, 39oteq123d 4145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  -> 
<. m ,  o ,  p >.  =  <. M ,  O ,  P >. )
4140eleq1d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  <->  <. M ,  O ,  P >.  e.  A ) )
4238uneq1d 3562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( o  u.  ran  H )  =  ( O  u.  ran  H ) )
4342imaeq2d 5130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( s " (
o  u.  ran  H
) )  =  ( s " ( O  u.  ran  H ) ) )
4443sseq1d 3434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( s "
( o  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  <->  ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B ) ) )
4537breqd 4377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( x m y  <-> 
x M y ) )
4645imbi1d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( x m y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )  <->  ( x M y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) ) )
47462albidv 1763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( A. x A. y ( x m y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )  <->  A. x A. y ( x M y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) ) )
4844, 47anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  <->  ( (
s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) ) ) )
4939fveq2d 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( s `  p
)  =  ( s `
 P ) )
5049eleq1d 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( s `  p )  e.  c  <-> 
( s `  P
)  e.  c ) )
5148, 50imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( ( ( s " ( o  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c )  <-> 
( ( ( s
" ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  P )  e.  c ) ) )
5251ralbidv 2804 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( A. s  e. 
ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c )  <->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  P )  e.  c ) ) )
5341, 52imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  M  /\  o  =  O  /\  p  =  P )  ->  ( ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) )  <->  ( <. M ,  O ,  P >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  P
)  e.  c ) ) ) )
5453spc3gv 3114 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  _V  /\  O  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
o  u.  ran  H
) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  ->  ( s `  p )  e.  c ) )  ->  ( <. M ,  O ,  P >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  P )  e.  c ) ) ) )
5535, 36, 543syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. m A. o A. p ( <.
m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s
" ( o  u. 
ran  H ) ) 
C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x m y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  p
)  e.  c ) )  ->  ( <. M ,  O ,  P >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  P
)  e.  c ) ) ) )
56 elun 3549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( O  u.  ran  H )  <->  ( x  e.  O  \/  x  e.  ran  H ) )
57 mclsax.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  O )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
58 mclsax.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( S `  ( H `  v ) )  e.  ( K C B ) )
5958ralrimiva 2779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. v  e.  V  ( S `  ( H `
 v ) )  e.  ( K C B ) )
60 mclsax.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  V  =  (mVR `  T )
6160, 5, 10mvhf 30148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e. mFS  ->  H : V --> E )
627, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H : V --> E )
63 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H : V --> E  ->  H  Fn  V )
64 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( H `  v )  ->  ( S `  x )  =  ( S `  ( H `  v ) ) )
6564eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( H `  v )  ->  (
( S `  x
)  e.  ( K C B )  <->  ( S `  ( H `  v
) )  e.  ( K C B ) ) )
6665ralrn 5984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H  Fn  V  ->  ( A. x  e.  ran  H ( S `  x
)  e.  ( K C B )  <->  A. v  e.  V  ( S `  ( H `  v
) )  e.  ( K C B ) ) )
6762, 63, 663syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  H ( S `
 x )  e.  ( K C B )  <->  A. v  e.  V  ( S `  ( H `
 v ) )  e.  ( K C B ) ) )
6859, 67mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  H ( S `  x
)  e.  ( K C B ) )
6968r19.21bi 2734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  H )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
7057, 69jaodan 792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  O  \/  x  e.  ran  H ) )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
7156, 70sylan2b 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( O  u.  ran  H ) )  ->  ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
7271ralrimiva 2779 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( O  u.  ran  H
) ( S `  x )  e.  ( K C B ) )
73 mclsax.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  ran  L
)
7412, 5msubf 30122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ran  L  ->  S : E --> E )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S : E --> E )
76 ffun 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : E --> E  ->  Fun  S )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  S )
784, 5, 28elmpst 30126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. M ,  O ,  P >.  e.  (mPreSt `  T )  <->  ( ( M  C_  D  /\  `' M  =  M )  /\  ( O  C_  E  /\  O  e.  Fin )  /\  P  e.  E
) )
7935, 78sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  C_  D  /\  `' M  =  M )  /\  ( O  C_  E  /\  O  e.  Fin )  /\  P  e.  E ) )
8079simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( O  C_  E  /\  O  e.  Fin ) )
8180simpld 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  O  C_  E )
82 fdm 5693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S : E --> E  ->  dom  S  =  E )
8375, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  S  =  E )
8481, 83sseqtr4d 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  O  C_  dom  S )
85 frn 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : V --> E  ->  ran  H  C_  E )
8662, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  E
)
8786, 83sseqtr4d 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  dom  S )
8884, 87unssd 3585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( O  u.  ran  H )  C_  dom  S )
89 funimass4 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  S  /\  ( O  u.  ran  H ) 
C_  dom  S )  ->  ( ( S "
( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  <->  A. x  e.  ( O  u.  ran  H ) ( S `  x )  e.  ( K C B ) ) )
9077, 88, 89syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S "
( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  <->  A. x  e.  ( O  u.  ran  H ) ( S `  x )  e.  ( K C B ) ) )
9172, 90mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B ) )
92 mclsax.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x M y  /\  a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) ) )  ->  a K b )
93923exp2 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x M y  ->  ( a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  ->  ( b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) )  ->  a K b ) ) ) )
9493imp4b 593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x M
y )  ->  (
( a  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  x ) ) )  /\  b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) )  ->  a K
b ) )
9594ralrimivv 2785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x M
y )  ->  A. a  e.  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) ) A. b  e.  ( W `  ( S `
 ( H `  y ) ) ) a K b )
96 dfss3 3397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K  <->  A. z  e.  ( ( W `  ( S `
 ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) ) z  e.  K )
97 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( z  e.  K  <->  <. a ,  b
>.  e.  K ) )
98 df-br 4367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a K b  <->  <. a ,  b >.  e.  K
)
9997, 98syl6bbr 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. a ,  b
>.  ->  ( z  e.  K  <->  a K b ) )
10099ralxp 4938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ( ( W `  ( S `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) ) z  e.  K  <->  A. a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  x ) ) ) A. b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) a K b )
10196, 100bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K  <->  A. a  e.  ( W `
 ( S `  ( H `  x ) ) ) A. b  e.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) a K b )
10295, 101sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x M
y )  ->  (
( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K
)
103102ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x M y  ->  ( ( W `
 ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )
104103alrimivv 1768 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( x M y  ->  ( ( W `
 ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )
10591, 104jca 534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S "
( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  -> 
( ( W `  ( S `  ( H `
 x ) ) )  X.  ( W `
 ( S `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K ) ) )
106 imaeq1 5125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
s " ( O  u.  ran  H ) )  =  ( S
" ( O  u.  ran  H ) ) )
107106sseq1d 3434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  <->  ( S " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B ) ) )
108 fveq1 5824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( H `  x ) )  =  ( S `  ( H `  x )
) )
109108fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  S  ->  ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  =  ( W `  ( S `  ( H `  x ) ) ) )
110 fveq1 5824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( H `  y ) )  =  ( S `  ( H `  y )
) )
111110fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  S  ->  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) )  =  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) )
112109, 111xpeq12d 4821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  S  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  =  ( ( W `  ( S `  ( H `
 x ) ) )  X.  ( W `
 ( S `  ( H `  y ) ) ) ) )
113112sseq1d 3434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K  <->  ( ( W `  ( S `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)
114113imbi2d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
( x M y  ->  ( ( W `
 ( s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K )  <->  ( x M y  ->  (
( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K
) ) )
1151142albidv 1763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x A. y ( x M y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K )  <->  A. x A. y ( x M y  ->  ( ( W `  ( S `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
) )
116107, 115anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( s "
( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  -> 
( ( W `  ( s `  ( H `  x )
) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y
) ) ) ) 
C_  K ) )  <-> 
( ( S "
( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  -> 
( ( W `  ( S `  ( H `
 x ) ) )  X.  ( W `
 ( S `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K ) ) ) )
117 fveq1 5824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  P )  =  ( S `  P ) )
118117eleq1d 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( s `  P
)  e.  c  <->  ( S `  P )  e.  c ) )
119116, 118imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( s
" ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  ( ( W `  ( s `  ( H `  x
) ) )  X.  ( W `  (
s `  ( H `  y ) ) ) )  C_  K )
)  ->  ( s `  P )  e.  c )  <->  ( ( ( S " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K
) )  ->  ( S `  P )  e.  c ) ) )
120119rspcv 3121 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ran  L  -> 
( A. s  e. 
ran  L ( ( ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  P
)  e.  c )  ->  ( ( ( S " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K
) )  ->  ( S `  P )  e.  c ) ) )
12173, 120syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
ran  L ( ( ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  P
)  e.  c )  ->  ( ( ( S " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  ( S `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( S `  ( H `
 y ) ) ) )  C_  K
) )  ->  ( S `  P )  e.  c ) ) )
122105, 121mpid 42 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
ran  L ( ( ( s " ( O  u.  ran  H ) )  C_  ( K C B )  /\  A. x A. y ( x M y  ->  (
( W `  (
s `  ( H `  x ) ) )  X.  ( W `  ( s `  ( H `  y )
) ) )  C_  K ) )  -> 
( s `  P
)  e.  c )  ->  ( S `  P )  e.  c ) )
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12427, 55, 1233syld 57 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  u.  ran  H ) 
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125124alrimiv 1767 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c ( ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
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 P )  e. 
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127126elintab 4209 . . 3  |-  ( ( S `  P )  e.  |^| { c  |  ( ( B  u.  ran  H )  C_  c  /\  A. m A. o A. p ( <. m ,  o ,  p >.  e.  A  ->  A. s  e.  ran  L ( ( ( s " (
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129128, 14eleqtrrd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( S `  P
)  e.  ( K C B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2414   A.wral 2714   _Vcvv 3022    u. cun 3377    C_ wss 3379   <.cop 3947   <.cotp 3949   |^|cint 4198   class class class wbr 4366    X. cxp 4794   `'ccnv 4795   dom cdm 4796   ran crn 4797   "cima 4799   Fun wfun 5538    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Fincfn 7524  mVRcmvar 30051  mAxcmax 30055  mExcmex 30057  mDVcmdv 30058  mVarscmvrs 30059  mSubstcmsub 30061  mVHcmvh 30062  mPreStcmpst 30063  mStatcmsta 30065  mFScmfs 30066  mClscmcls 30067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-ot 3950  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-hash 12466  df-word 12612  df-concat 12614  df-s1 12615  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-frmd 16576  df-mrex 30076  df-mex 30077  df-mrsub 30080  df-msub 30081  df-mvh 30082  df-mpst 30083  df-msr 30084  df-msta 30085  df-mfs 30086  df-mcls 30087
This theorem is referenced by:  mclsppslem  30173
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