Theorem mccllem 37687

Description: * Induction step for mccl 37688. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mccllem.a	|- ( ph -> A e. Fin )
mccllem.c	|- ( ph -> C C_ A )
mccllem.d	|- ( ph -> D e. ( A \ C ) )
mccllem.b	|- ( ph -> B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) )
mccllem.6	|- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
mccllem	|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )

Distinct variable groups:   A, k   B, b, k   C, b, k   D, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( b)   A( b)   D( b)

Proof of Theorem mccllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1763	. . . . 5 |- F/ k ph
2		nfcv 2594	. . . . 5 |- F/_ k ( ! ` ( B ` D ) )
3		mccllem.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. Fin )
4		mccllem.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C C_ A )
5		ssfi 7797	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ C C_ A ) -> C e. Fin )
6	3, 4, 5	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> C e. Fin )
7		mccllem.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( A \ C ) )
8		eldifn 3558	. . . . . 6 |- ( D e. ( A \ C ) -> -. D e. C )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> -. D e. C )
10		mccllem.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) )
11		elmapi 7498	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 )
13	12	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 )
14		elun1 3603	. . . . . . . . 9 |- ( k e. C -> k e. ( C u. { D } ) )
15	14	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. ( C u. { D } ) )
16	13, 15	ffvelrnd 6028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( B ` k ) e. NN0 )
17	16	faccld 37543	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) e. NN )
18	17	nncnd 10632	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) e. CC )
19		fveq2 5870	. . . . . 6 |- ( k = D -> ( B ` k ) = ( B ` D ) )
20	19	fveq2d 5874	. . . . 5 |- ( k = D -> ( ! ` ( B ` k ) ) = ( ! ` ( B ` D ) ) )
21		snidg 3996	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( A \ C ) -> D e. { D } )
22	7, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. { D } )
23		elun2 3604	. . . . . . . . 9 |- ( D e. { D } -> D e. ( C u. { D } ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( C u. { D } ) )
25	12, 24	ffvelrnd 6028	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ` D ) e. NN0 )
26	25	faccld 37543	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) e. NN )
27	26	nncnd 10632	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) e. CC )
28	1, 2, 6, 7, 9, 18, 20, 27	fprodsplitsn 14055	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) = ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) )
29	28	oveq2d 6311	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) )
30	7	eldifad 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. A )
31		snssi 4119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. A -> { D } C_ A )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { D } C_ A )
33	4, 32	unssd 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C u. { D } ) C_ A )
34		ssfi 7797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ ( C u. { D } ) C_ A ) -> ( C u. { D } ) e. Fin )
35	3, 33, 34	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C u. { D } ) e. Fin )
36	12	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( C u. { D } ) ) -> ( B ` k ) e. NN0 )
37	35, 36	fsumnn0cl 13814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. NN0 )
38	37	faccld 37543	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) e. NN )
39	38	nncnd 10632	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) e. CC )
40	1, 6, 18	fprodclf 14058	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) e. CC )
41	40, 27	mulcld 9668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) e. CC )
42	17	nnne0d 10661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) =/= 0 )
43	6, 18, 42	fprodn0 14045	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) =/= 0 )
44	26	nnne0d 10661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) =/= 0 )
45	40, 27, 43, 44	mulne0d 10271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) =/= 0 )
46	39, 41, 45	divcld 10390	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) e. CC )
47	46	mulid2d 9666	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) )
48	47	eqcomd 2459	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) )
49	6, 16	fsumnn0cl 13814	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. NN0 )
50	49	faccld 37543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN )
51	50	nncnd 10632	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. CC )
52		nnne0 10649	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) =/= 0 )
53	50, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) =/= 0 )
54	51, 53	dividd 10388	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = 1 )
55	54	eqcomd 2459	. . . . 5 |- ( ph -> 1 = ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) )
56	40, 27	mulcomd 9669	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) = ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
57	56	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
58	39, 27, 40, 44, 43	divdiv1d 10421	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
59	58	eqcomd 2459	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2487	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
61	55, 60	oveq12d 6313	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
62	39, 27, 44	divcld 10390	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) e. CC )
63	51, 51, 62, 40, 53, 43	divmul13d 10432	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
64	61, 63	eqtrd 2487	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
65	29, 48, 64	3eqtrd 2491	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
66	39, 27, 51, 44, 53	divdiv1d 10421	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
67		nfcsb1v 3381	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ D / k ]_ ( B ` k )
68	16	nn0cnd 10934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( B ` k ) e. CC )
69		csbeq1a 3374	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = D -> ( B ` k ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
70		csbfv 5907	. . . . . . . . . . . . 13 |- [_ D / k ]_ ( B ` k ) = ( B ` D )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) = ( B ` D ) )
72	25	nn0cnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ` D ) e. CC )
73	71, 72	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) e. CC )
74	1, 67, 6, 30, 9, 68, 69, 73	fsumsplitsn 37659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) = ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) )
75	74	oveq1d 6310	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
76	49	nn0cnd 10934	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. CC )
77	76, 73	pncan2d 9993	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
78	75, 77, 71	3eqtrrd 2492	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` D ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
79	78	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) = ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) )
80	79	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) )
81	80	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
82		0zd 10956	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
83	37	nn0zd 11045	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ )
84	49	nn0zd 11045	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ )
85	82, 83, 84	3jca 1189	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 e. ZZ /\ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ /\ sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ ) )
86	49	nn0ge0d 10935	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. C ( B ` k ) )
87	25	nn0ge0d 10935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( B ` D ) )
88	71	eqcomd 2459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ` D ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
89	87, 88	breqtrd 4430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
90	49	nn0red 10933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. RR )
91	25	nn0red 10933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B ` D ) e. RR )
92	71, 91	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) e. RR )
93	90, 92	addge01d 10208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 <_ [_ D / k ]_ ( B ` k ) <-> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) ) )
94	89, 93	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) )
95	74	eqcomd 2459	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) = sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) )
96	94, 95	breqtrd 4430	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) )
97	85, 86, 96	jca32 538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0 e. ZZ /\ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ /\ sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ sum_ k e. C ( B ` k ) /\ sum_ k e. C ( B ` k ) <_ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) ) )
98		elfz2 11798	. . . . . . . 8 |- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ /\ sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ sum_ k e. C ( B ` k ) /\ sum_ k e. C ( B ` k ) <_ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) ) )
99	97, 98	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) )
100		bcval2 12497	. . . . . . 7 |- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
101	99, 100	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
102	101	eqcomd 2459	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
103	66, 81, 102	3eqtrd 2491	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
104		bccl2 12515	. . . . 5 |- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN )
105	99, 104	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN )
106	103, 105	eqeltrd 2531	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) e. NN )
107		mccllem.6	. . . 4 |- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )
108		ssun1 3599	. . . . . 6 |- C C_ ( C u. { D } )
109	108	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> C C_ ( C u. { D } ) )
110		elmapssres 7501	. . . . 5 |- ( ( B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) /\ C C_ ( C u. { D } ) ) -> ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) )
111	10, 109, 110	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ph -> ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) )
112		fveq1 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( B |` C ) -> ( b ` k ) = ( ( B |` C ) ` k ) )
113	112	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( b ` k ) = ( ( B |` C ) ` k ) )
114		fvres 5884	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. C -> ( ( B |` C ) ` k ) = ( B ` k ) )
115	114	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( ( B |` C ) ` k ) = ( B ` k ) )
116	113, 115	eqtrd 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( b ` k ) = ( B ` k ) )
117	116	sumeq2dv 13781	. . . . . . . 8 |- ( b = ( B |` C ) -> sum_ k e. C ( b ` k ) = sum_ k e. C ( B ` k ) )
118	117	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( b = ( B |` C ) -> ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) = ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
119	116	fveq2d 5874	. . . . . . . 8 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( ! ` ( b ` k ) ) = ( ! ` ( B ` k ) ) )
120	119	prodeq2dv 13989	. . . . . . 7 |- ( b = ( B |` C ) -> prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) )
121	118, 120	oveq12d 6313	. . . . . 6 |- ( b = ( B |` C ) -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
122	121	eleq1d 2515	. . . . 5 |- ( b = ( B |` C ) -> ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN ) )
123	122	rspccva 3151	. . . 4 |- ( ( A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN /\ ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) ) -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )
124	107, 111, 123	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )
125	106, 124	nnmulcld 10664	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) e. NN )
126	65, 125	eqeltrd 2531	1 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   [_csb 3365   \ cdif 3403   u. cun 3404   C_ wss 3406   {csn 3970   class class class wbr 4405   |` cres 4839   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   ^m cmap 7477   Fincfn 7574   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   x. cmul 9549   <_ cle 9681   - cmin 9865   / cdiv 10276   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ...cfz 11791   !cfa 12466   _C cbc 12494   sum_csu 13764   prod_cprod 13971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-prod 13972

This theorem is referenced by:  mccl  37688