Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mccllem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mccllem 37687
Description: * Induction step for mccl 37688. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccllem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
mccllem.c  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
mccllem.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( A 
\  C ) )
mccllem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( NN0 
^m  ( C  u.  { D } ) ) )
mccllem.6  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( NN0  ^m  C ) ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( b `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( b `  k
) ) )  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
mccllem  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( ! `  ( B `  k ) ) )  e.  NN )
Distinct variable groups:    A, k    B, b, k    C, b, k    D, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( b)    A( b)    D( b)

Proof of Theorem mccllem
StepHypRef Expression
1 nfv 1763 . . . . 5  |-  F/ k
ph
2 nfcv 2594 . . . . 5  |-  F/_ k
( ! `  ( B `  D )
)
3 mccllem.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4 mccllem.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
5 ssfi 7797 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  Fin )
63, 4, 5syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
7 mccllem.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( A 
\  C ) )
8 eldifn 3558 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( A  \  C )  ->  -.  D  e.  C )
97, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  D  e.  C
)
10 mccllem.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( NN0 
^m  ( C  u.  { D } ) ) )
11 elmapi 7498 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( NN0  ^m  ( C  u.  { D } ) )  ->  B : ( C  u.  { D } ) --> NN0 )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B : ( C  u.  { D }
) --> NN0 )
1312adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  B : ( C  u.  { D } ) --> NN0 )
14 elun1 3603 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  C  ->  k  e.  ( C  u.  { D } ) )
1514adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  ( C  u.  { D } ) )
1613, 15ffvelrnd 6028 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  ( B `  k )  e.  NN0 )
1716faccld 37543 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  ( ! `  ( B `  k ) )  e.  NN )
1817nncnd 10632 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  ( ! `  ( B `  k ) )  e.  CC )
19 fveq2 5870 . . . . . 6  |-  ( k  =  D  ->  ( B `  k )  =  ( B `  D ) )
2019fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( k  =  D  ->  ( ! `  ( B `  k ) )  =  ( ! `  ( B `  D )
) )
21 snidg 3996 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( A  \  C )  ->  D  e.  { D } )
227, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  { D } )
23 elun2 3604 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  { D }  ->  D  e.  ( C  u.  { D }
) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C  u.  { D }
) )
2512, 24ffvelrnd 6028 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B `  D
)  e.  NN0 )
2625faccld 37543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( B `  D )
)  e.  NN )
2726nncnd 10632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( B `  D )
)  e.  CC )
281, 2, 6, 7, 9, 18, 20, 27fprodsplitsn 14055 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( ! `
 ( B `  k ) )  =  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) )
2928oveq2d 6311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( ! `  ( B `  k ) ) )  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) )
307eldifad 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
31 snssi 4119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  A  ->  { D }  C_  A )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { D }  C_  A )
334, 32unssd 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  u.  { D } )  C_  A
)
34 ssfi 7797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( C  u.  { D } )  C_  A
)  ->  ( C  u.  { D } )  e.  Fin )
353, 33, 34syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  u.  { D } )  e.  Fin )
3612ffvelrnda 6027 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( C  u.  { D } ) )  -> 
( B `  k
)  e.  NN0 )
3735, 36fsumnn0cl 13814 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  e. 
NN0 )
3837faccld 37543 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  e.  NN )
3938nncnd 10632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  e.  CC )
401, 6, 18fprodclf 14058 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  e.  CC )
4140, 27mulcld 9668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) )  e.  CC )
4217nnne0d 10661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  ( ! `  ( B `  k ) )  =/=  0 )
436, 18, 42fprodn0 14045 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  =/=  0 )
4426nnne0d 10661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( B `  D )
)  =/=  0 )
4540, 27, 43, 44mulne0d 10271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) )  =/=  0
)
4639, 41, 45divcld 10390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) )  e.  CC )
4746mulid2d 9666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) )
4847eqcomd 2459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) )  =  ( 1  x.  (
( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) ) )
496, 16fsumnn0cl 13814 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  NN0 )
5049faccld 37543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  e.  NN )
5150nncnd 10632 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  e.  CC )
52 nnne0 10649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  e.  NN  ->  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  =/=  0 )
5350, 52syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  =/=  0 )
5451, 53dividd 10388 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  =  1 )
5554eqcomd 2459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  / 
( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
) ) )
5640, 27mulcomd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) )  =  ( ( ! `  ( B `  D )
)  x.  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) )
5756oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) )  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ( ! `  ( B `  D ) )  x.  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) ) )
5839, 27, 40, 44, 43divdiv1d 10421 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( B `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ( ! `
 ( B `  D ) )  x. 
prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) ) ) ) )
5958eqcomd 2459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ( ! `  ( B `  D ) )  x.  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( B `  k ) ) ) )
6057, 59eqtrd 2487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( B `  k ) ) ) )
6155, 60oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  / 
( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
) )  x.  (
( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ! `  ( B `  D )
) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( B `  k ) ) ) ) )
6239, 27, 44divcld 10390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ! `  ( B `  D )
) )  e.  CC )
6351, 51, 62, 40, 53, 43divmul13d 10432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  (
( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ! `  ( B `  D )
) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( B `  k ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ! `  ( B `  D )
) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) ) )
6461, 63eqtrd 2487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  (
( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) ) )
6529, 48, 643eqtrd 2491 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( ! `  ( B `  k ) ) )  =  ( ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) ) )
6639, 27, 51, 44, 53divdiv1d 10421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ( ! `
 ( B `  D ) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
) ) ) )
67 nfcsb1v 3381 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ D  /  k ]_ ( B `  k
)
6816nn0cnd 10934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
69 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  D  ->  ( B `  k )  =  [_ D  /  k ]_ ( B `  k
) )
70 csbfv 5907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )  =  ( B `  D )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  [_ D  /  k ]_ ( B `  k
)  =  ( B `
 D ) )
7225nn0cnd 10934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B `  D
)  e.  CC )
7371, 72eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  [_ D  /  k ]_ ( B `  k
)  e.  CC )
741, 67, 6, 30, 9, 68, 69, 73fsumsplitsn 37659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  =  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  / 
k ]_ ( B `  k ) ) )
7574oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  =  ( (
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  / 
k ]_ ( B `  k ) )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )
7649nn0cnd 10934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  CC )
7776, 73pncan2d 9993 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )
)  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  = 
[_ D  /  k ]_ ( B `  k
) )
7875, 77, 713eqtrrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  D
)  =  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
)  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )
7978fveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( B `  D )
)  =  ( ! `
 ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) )
8079oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( B `  D ) )  x.  ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  =  ( ( ! `  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) )
8180oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ( ! `  ( B `  D ) )  x.  ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) )  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ( ! `  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) ) )
82 0zd 10956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
8337nn0zd 11045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  e.  ZZ )
8449nn0zd 11045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ZZ )
8582, 83, 843jca 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ZZ  /\ 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  e.  ZZ  /\  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ZZ ) )
8649nn0ge0d 10935 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )
8725nn0ge0d 10935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  D ) )
8871eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B `  D
)  =  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )
)
8987, 88breqtrd 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ D  / 
k ]_ ( B `  k ) )
9049nn0red 10933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  RR )
9125nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B `  D
)  e.  RR )
9271, 91eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  [_ D  /  k ]_ ( B `  k
)  e.  RR )
9390, 92addge01d 10208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )  <->  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  <_  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )
) ) )
9489, 93mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  <_  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )
) )
9574eqcomd 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  / 
k ]_ ( B `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )
9694, 95breqtrd 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  <_  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )
9785, 86, 96jca32 538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0  e.  ZZ  /\  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  e.  ZZ  /\  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  /\  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  <_  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) ) ) )
98 elfz2 11798 . . . . . . . 8  |-  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ( 0 ... sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k )  e.  ZZ  /\ 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  /\  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  <_ 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) ) ) )
9997, 98sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ( 0 ...
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) ) )
100 bcval2 12497 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ( 0 ... sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k )  _C  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ( ! `
 ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) ) )
10199, 100syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  _C 
sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ( ! `
 ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) ) )
102101eqcomd 2459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ( ! `  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
)  _C  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )
10366, 81, 1023eqtrd 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  _C 
sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )
104 bccl2 12515 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ( 0 ... sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k )  _C  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  e.  NN )
10599, 104syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  _C 
sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  e.  NN )
106103, 105eqeltrd 2531 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  e.  NN )
107 mccllem.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( NN0  ^m  C ) ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( b `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( b `  k
) ) )  e.  NN )
108 ssun1 3599 . . . . . 6  |-  C  C_  ( C  u.  { D } )
109108a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  C_  ( C  u.  { D } ) )
110 elmapssres 7501 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( NN0 
^m  ( C  u.  { D } ) )  /\  C  C_  ( C  u.  { D } ) )  -> 
( B  |`  C )  e.  ( NN0  ^m  C ) )
11110, 109, 110syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  |`  C )  e.  ( NN0  ^m  C ) )
112 fveq1 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  (
b `  k )  =  ( ( B  |`  C ) `  k
) )
113112adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  =  ( B  |`  C )  /\  k  e.  C )  ->  (
b `  k )  =  ( ( B  |`  C ) `  k
) )
114 fvres 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  C  ->  (
( B  |`  C ) `
 k )  =  ( B `  k
) )
115114adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  =  ( B  |`  C )  /\  k  e.  C )  ->  (
( B  |`  C ) `
 k )  =  ( B `  k
) )
116113, 115eqtrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  =  ( B  |`  C )  /\  k  e.  C )  ->  (
b `  k )  =  ( B `  k ) )
117116sumeq2dv 13781 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  sum_ k  e.  C  ( b `  k )  =  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)
118117fveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( b `  k ) )  =  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
) )
119116fveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  =  ( B  |`  C )  /\  k  e.  C )  ->  ( ! `  ( b `  k ) )  =  ( ! `  ( B `  k )
) )
120119prodeq2dv 13989 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( b `  k ) )  = 
prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) ) )
121118, 120oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  (
( ! `  sum_ k  e.  C  (
b `  k )
)  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( b `  k
) ) )  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) )
122121eleq1d 2515 . . . . 5  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  (
( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( b `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( b `  k
) ) )  e.  NN  <->  ( ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) )  e.  NN ) )
123122rspccva 3151 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  ( NN0  ^m  C ) ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( b `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( b `  k
) ) )  e.  NN  /\  ( B  |`  C )  e.  ( NN0  ^m  C ) )  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) ) )  e.  NN )
124107, 111, 123syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) )  e.  NN )
125106, 124nnmulcld 10664 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) )  e.  NN )
12665, 125eqeltrd 2531 1  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( ! `  ( B `  k ) ) )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   [_csb 3365    \ cdif 3403    u. cun 3404    C_ wss 3406   {csn 3970   class class class wbr 4405    |` cres 4839   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    ^m cmap 7477   Fincfn 7574   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549    <_ cle 9681    - cmin 9865    / cdiv 10276   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ...cfz 11791   !cfa 12466    _C cbc 12494   sum_csu 13764   prod_cprod 13971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-prod 13972
This theorem is referenced by:  mccl  37688
  Copyright terms: Public domain W3C validator