Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mccllem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mccllem 37774
Description: * Induction step for mccl 37775. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccllem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
mccllem.c  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
mccllem.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( A 
\  C ) )
mccllem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( NN0 
^m  ( C  u.  { D } ) ) )
mccllem.6  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( NN0  ^m  C ) ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( b `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( b `  k
) ) )  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
mccllem  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( ! `  ( B `  k ) ) )  e.  NN )
Distinct variable groups:    A, k    B, b, k    C, b, k    D, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( b)    A( b)    D( b)

Proof of Theorem mccllem
StepHypRef Expression
1 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ k
ph
2 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ k
( ! `  ( B `  D )
)
3 mccllem.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4 mccllem.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
5 ssfi 7810 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  Fin )
63, 4, 5syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
7 mccllem.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( A 
\  C ) )
8 eldifn 3545 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( A  \  C )  ->  -.  D  e.  C )
97, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  D  e.  C
)
10 mccllem.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( NN0 
^m  ( C  u.  { D } ) ) )
11 elmapi 7511 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( NN0  ^m  ( C  u.  { D } ) )  ->  B : ( C  u.  { D } ) --> NN0 )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B : ( C  u.  { D }
) --> NN0 )
1312adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  B : ( C  u.  { D } ) --> NN0 )
14 elun1 3592 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  C  ->  k  e.  ( C  u.  { D } ) )
1514adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  ( C  u.  { D } ) )
1613, 15ffvelrnd 6038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  ( B `  k )  e.  NN0 )
1716faccld 37621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  ( ! `  ( B `  k ) )  e.  NN )
1817nncnd 10647 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  ( ! `  ( B `  k ) )  e.  CC )
19 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( k  =  D  ->  ( B `  k )  =  ( B `  D ) )
2019fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( k  =  D  ->  ( ! `  ( B `  k ) )  =  ( ! `  ( B `  D )
) )
21 snidg 3986 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( A  \  C )  ->  D  e.  { D } )
227, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  { D } )
23 elun2 3593 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  { D }  ->  D  e.  ( C  u.  { D }
) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C  u.  { D }
) )
2512, 24ffvelrnd 6038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B `  D
)  e.  NN0 )
2625faccld 37621 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( B `  D )
)  e.  NN )
2726nncnd 10647 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( B `  D )
)  e.  CC )
281, 2, 6, 7, 9, 18, 20, 27fprodsplitsn 14120 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( ! `
 ( B `  k ) )  =  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) )
2928oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( ! `  ( B `  k ) ) )  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) )
307eldifad 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
31 snssi 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  A  ->  { D }  C_  A )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { D }  C_  A )
334, 32unssd 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  u.  { D } )  C_  A
)
34 ssfi 7810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( C  u.  { D } )  C_  A
)  ->  ( C  u.  { D } )  e.  Fin )
353, 33, 34syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  u.  { D } )  e.  Fin )
3612ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( C  u.  { D } ) )  -> 
( B `  k
)  e.  NN0 )
3735, 36fsumnn0cl 13879 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  e. 
NN0 )
3837faccld 37621 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  e.  NN )
3938nncnd 10647 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  e.  CC )
401, 6, 18fprodclf 14123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  e.  CC )
4140, 27mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) )  e.  CC )
4217nnne0d 10676 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  ( ! `  ( B `  k ) )  =/=  0 )
436, 18, 42fprodn0 14110 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  =/=  0 )
4426nnne0d 10676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( B `  D )
)  =/=  0 )
4540, 27, 43, 44mulne0d 10286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) )  =/=  0
)
4639, 41, 45divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) )  e.  CC )
4746mulid2d 9679 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) )
4847eqcomd 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) )  =  ( 1  x.  (
( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) ) )
496, 16fsumnn0cl 13879 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  NN0 )
5049faccld 37621 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  e.  NN )
5150nncnd 10647 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  e.  CC )
52 nnne0 10664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  e.  NN  ->  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  =/=  0 )
5350, 52syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  =/=  0 )
5451, 53dividd 10403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  =  1 )
5554eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  / 
( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
) ) )
5640, 27mulcomd 9682 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) )  =  ( ( ! `  ( B `  D )
)  x.  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) )
5756oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) )  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ( ! `  ( B `  D ) )  x.  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) ) )
5839, 27, 40, 44, 43divdiv1d 10436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( B `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ( ! `
 ( B `  D ) )  x. 
prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) ) ) ) )
5958eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ( ! `  ( B `  D ) )  x.  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( B `  k ) ) ) )
6057, 59eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) )  =  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( B `  k ) ) ) )
6155, 60oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  / 
( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
) )  x.  (
( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ! `  ( B `  D )
) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( B `  k ) ) ) ) )
6239, 27, 44divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ! `  ( B `  D )
) )  e.  CC )
6351, 51, 62, 40, 53, 43divmul13d 10447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  (
( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ! `  ( B `  D )
) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( B `  k ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ! `  ( B `  D )
) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) ) )
6461, 63eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) )  x.  ( ! `  ( B `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  (
( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) ) )
6529, 48, 643eqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( ! `  ( B `  k ) ) )  =  ( ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) ) )
6639, 27, 51, 44, 53divdiv1d 10436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ( ! `
 ( B `  D ) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
) ) ) )
67 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ D  /  k ]_ ( B `  k
)
6816nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  ( B `  k )  e.  CC )
69 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  D  ->  ( B `  k )  =  [_ D  /  k ]_ ( B `  k
) )
70 csbfv 5916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )  =  ( B `  D )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  [_ D  /  k ]_ ( B `  k
)  =  ( B `
 D ) )
7225nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B `  D
)  e.  CC )
7371, 72eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  [_ D  /  k ]_ ( B `  k
)  e.  CC )
741, 67, 6, 30, 9, 68, 69, 73fsumsplitsn 37745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  =  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  / 
k ]_ ( B `  k ) ) )
7574oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  =  ( (
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  / 
k ]_ ( B `  k ) )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )
7649nn0cnd 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  CC )
7776, 73pncan2d 10007 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )
)  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  = 
[_ D  /  k ]_ ( B `  k
) )
7875, 77, 713eqtrrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  D
)  =  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
)  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )
7978fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( B `  D )
)  =  ( ! `
 ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) )
8079oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  ( B `  D ) )  x.  ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  =  ( ( ! `  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) )
8180oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ( ! `  ( B `  D ) )  x.  ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) )  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ( ! `  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) ) )
82 0zd 10973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
8337nn0zd 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  e.  ZZ )
8449nn0zd 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ZZ )
8582, 83, 843jca 1210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ZZ  /\ 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  e.  ZZ  /\  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ZZ ) )
8649nn0ge0d 10952 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )
8725nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  D ) )
8871eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B `  D
)  =  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )
)
8987, 88breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  [_ D  / 
k ]_ ( B `  k ) )
9049nn0red 10950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  RR )
9125nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B `  D
)  e.  RR )
9271, 91eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  [_ D  /  k ]_ ( B `  k
)  e.  RR )
9390, 92addge01d 10222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )  <->  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  <_  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )
) ) )
9489, 93mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  <_  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  /  k ]_ ( B `  k )
) )
9574eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  +  [_ D  / 
k ]_ ( B `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )
9694, 95breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  <_  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )
9785, 86, 96jca32 544 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0  e.  ZZ  /\  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  e.  ZZ  /\  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  /\  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  <_  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) ) ) )
98 elfz2 11817 . . . . . . . 8  |-  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ( 0 ... sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k )  e.  ZZ  /\ 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  /\  sum_ k  e.  C  ( B `  k )  <_ 
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) ) ) )
9997, 98sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ( 0 ...
sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) ) )
100 bcval2 12528 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ( 0 ... sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k )  _C  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ( ! `
 ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) ) )
10199, 100syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  _C 
sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ( ! `
 ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) ) )
102101eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  / 
( ( ! `  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  -  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
)  _C  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )
10366, 81, 1023eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  _C 
sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )
104 bccl2 12546 . . . . 5  |-  ( sum_ k  e.  C  ( B `  k )  e.  ( 0 ... sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `  k
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k )  _C  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)  e.  NN )
10599, 104syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k )  _C 
sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  e.  NN )
106103, 105eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  e.  NN )
107 mccllem.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( NN0  ^m  C ) ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( b `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( b `  k
) ) )  e.  NN )
108 ssun1 3588 . . . . . 6  |-  C  C_  ( C  u.  { D } )
109108a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  C_  ( C  u.  { D } ) )
110 elmapssres 7514 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( NN0 
^m  ( C  u.  { D } ) )  /\  C  C_  ( C  u.  { D } ) )  -> 
( B  |`  C )  e.  ( NN0  ^m  C ) )
11110, 109, 110syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  |`  C )  e.  ( NN0  ^m  C ) )
112 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  (
b `  k )  =  ( ( B  |`  C ) `  k
) )
113112adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  =  ( B  |`  C )  /\  k  e.  C )  ->  (
b `  k )  =  ( ( B  |`  C ) `  k
) )
114 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  C  ->  (
( B  |`  C ) `
 k )  =  ( B `  k
) )
115114adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  =  ( B  |`  C )  /\  k  e.  C )  ->  (
( B  |`  C ) `
 k )  =  ( B `  k
) )
116113, 115eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  =  ( B  |`  C )  /\  k  e.  C )  ->  (
b `  k )  =  ( B `  k ) )
117116sumeq2dv 13846 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  sum_ k  e.  C  ( b `  k )  =  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
)
118117fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( b `  k ) )  =  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k )
) )
119116fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  =  ( B  |`  C )  /\  k  e.  C )  ->  ( ! `  ( b `  k ) )  =  ( ! `  ( B `  k )
) )
120119prodeq2dv 14054 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  prod_ k  e.  C  ( ! `
 ( b `  k ) )  = 
prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) ) )
121118, 120oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  (
( ! `  sum_ k  e.  C  (
b `  k )
)  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( b `  k
) ) )  =  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) )
122121eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( b  =  ( B  |`  C )  ->  (
( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( b `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( b `  k
) ) )  e.  NN  <->  ( ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) )  e.  NN ) )
123122rspccva 3135 . . . 4  |-  ( ( A. b  e.  ( NN0  ^m  C ) ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( b `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( b `  k
) ) )  e.  NN  /\  ( B  |`  C )  e.  ( NN0  ^m  C ) )  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `
 k ) ) )  e.  NN )
124107, 111, 123syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) )  e.  NN )
125106, 124nnmulcld 10679 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D } ) ( B `
 k ) )  /  ( ! `  ( B `  D ) ) )  /  ( ! `  sum_ k  e.  C  ( B `  k ) ) )  x.  ( ( ! `
 sum_ k  e.  C  ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  C  ( ! `  ( B `  k
) ) ) )  e.  NN )
12665, 125eqeltrd 2549 1  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  sum_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( B `  k ) )  /  prod_ k  e.  ( C  u.  { D }
) ( ! `  ( B `  k ) ) )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   [_csb 3349    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ...cfz 11810   !cfa 12497    _C cbc 12525   sum_csu 13829   prod_cprod 14036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037
This theorem is referenced by:  mccl  37775
  Copyright terms: Public domain W3C validator