Theorem mccllem 37774

Description: * Induction step for mccl 37775. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mccllem.a	|- ( ph -> A e. Fin )
mccllem.c	|- ( ph -> C C_ A )
mccllem.d	|- ( ph -> D e. ( A \ C ) )
mccllem.b	|- ( ph -> B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) )
mccllem.6	|- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
mccllem	|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )

Distinct variable groups:   A, k   B, b, k   C, b, k   D, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( b)   A( b)   D( b)

Proof of Theorem mccllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1769	. . . . 5 |- F/ k ph
2		nfcv 2612	. . . . 5 |- F/_ k ( ! ` ( B ` D ) )
3		mccllem.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. Fin )
4		mccllem.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C C_ A )
5		ssfi 7810	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ C C_ A ) -> C e. Fin )
6	3, 4, 5	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> C e. Fin )
7		mccllem.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( A \ C ) )
8		eldifn 3545	. . . . . 6 |- ( D e. ( A \ C ) -> -. D e. C )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> -. D e. C )
10		mccllem.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) )
11		elmapi 7511	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 )
13	12	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 )
14		elun1 3592	. . . . . . . . 9 |- ( k e. C -> k e. ( C u. { D } ) )
15	14	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. ( C u. { D } ) )
16	13, 15	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( B ` k ) e. NN0 )
17	16	faccld 37621	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) e. NN )
18	17	nncnd 10647	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) e. CC )
19		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( k = D -> ( B ` k ) = ( B ` D ) )
20	19	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( k = D -> ( ! ` ( B ` k ) ) = ( ! ` ( B ` D ) ) )
21		snidg 3986	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( A \ C ) -> D e. { D } )
22	7, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. { D } )
23		elun2 3593	. . . . . . . . 9 |- ( D e. { D } -> D e. ( C u. { D } ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( C u. { D } ) )
25	12, 24	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ` D ) e. NN0 )
26	25	faccld 37621	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) e. NN )
27	26	nncnd 10647	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) e. CC )
28	1, 2, 6, 7, 9, 18, 20, 27	fprodsplitsn 14120	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) = ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) )
29	28	oveq2d 6324	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) )
30	7	eldifad 3402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. A )
31		snssi 4107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. A -> { D } C_ A )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { D } C_ A )
33	4, 32	unssd 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C u. { D } ) C_ A )
34		ssfi 7810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ ( C u. { D } ) C_ A ) -> ( C u. { D } ) e. Fin )
35	3, 33, 34	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C u. { D } ) e. Fin )
36	12	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( C u. { D } ) ) -> ( B ` k ) e. NN0 )
37	35, 36	fsumnn0cl 13879	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. NN0 )
38	37	faccld 37621	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) e. NN )
39	38	nncnd 10647	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) e. CC )
40	1, 6, 18	fprodclf 14123	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) e. CC )
41	40, 27	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) e. CC )
42	17	nnne0d 10676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) =/= 0 )
43	6, 18, 42	fprodn0 14110	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) =/= 0 )
44	26	nnne0d 10676	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) =/= 0 )
45	40, 27, 43, 44	mulne0d 10286	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) =/= 0 )
46	39, 41, 45	divcld 10405	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) e. CC )
47	46	mulid2d 9679	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) )
48	47	eqcomd 2477	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) )
49	6, 16	fsumnn0cl 13879	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. NN0 )
50	49	faccld 37621	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN )
51	50	nncnd 10647	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. CC )
52		nnne0 10664	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) =/= 0 )
53	50, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) =/= 0 )
54	51, 53	dividd 10403	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = 1 )
55	54	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ph -> 1 = ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) )
56	40, 27	mulcomd 9682	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) = ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
57	56	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
58	39, 27, 40, 44, 43	divdiv1d 10436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
59	58	eqcomd 2477	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
61	55, 60	oveq12d 6326	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
62	39, 27, 44	divcld 10405	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) e. CC )
63	51, 51, 62, 40, 53, 43	divmul13d 10447	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
64	61, 63	eqtrd 2505	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
65	29, 48, 64	3eqtrd 2509	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
66	39, 27, 51, 44, 53	divdiv1d 10436	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
67		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ D / k ]_ ( B ` k )
68	16	nn0cnd 10951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( B ` k ) e. CC )
69		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = D -> ( B ` k ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
70		csbfv 5916	. . . . . . . . . . . . 13 |- [_ D / k ]_ ( B ` k ) = ( B ` D )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) = ( B ` D ) )
72	25	nn0cnd 10951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ` D ) e. CC )
73	71, 72	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) e. CC )
74	1, 67, 6, 30, 9, 68, 69, 73	fsumsplitsn 37745	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) = ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) )
75	74	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
76	49	nn0cnd 10951	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. CC )
77	76, 73	pncan2d 10007	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
78	75, 77, 71	3eqtrrd 2510	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` D ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
79	78	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) = ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) )
80	79	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) )
81	80	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
82		0zd 10973	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
83	37	nn0zd 11061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ )
84	49	nn0zd 11061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ )
85	82, 83, 84	3jca 1210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 e. ZZ /\ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ /\ sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ ) )
86	49	nn0ge0d 10952	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. C ( B ` k ) )
87	25	nn0ge0d 10952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( B ` D ) )
88	71	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ` D ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
89	87, 88	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
90	49	nn0red 10950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. RR )
91	25	nn0red 10950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B ` D ) e. RR )
92	71, 91	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) e. RR )
93	90, 92	addge01d 10222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 <_ [_ D / k ]_ ( B ` k ) <-> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) ) )
94	89, 93	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) )
95	74	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) = sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) )
96	94, 95	breqtrd 4420	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) )
97	85, 86, 96	jca32 544	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0 e. ZZ /\ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ /\ sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ sum_ k e. C ( B ` k ) /\ sum_ k e. C ( B ` k ) <_ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) ) )
98		elfz2 11817	. . . . . . . 8 |- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ /\ sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ sum_ k e. C ( B ` k ) /\ sum_ k e. C ( B ` k ) <_ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) ) )
99	97, 98	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) )
100		bcval2 12528	. . . . . . 7 |- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
101	99, 100	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
102	101	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
103	66, 81, 102	3eqtrd 2509	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
104		bccl2 12546	. . . . 5 |- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN )
105	99, 104	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN )
106	103, 105	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) e. NN )
107		mccllem.6	. . . 4 |- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )
108		ssun1 3588	. . . . . 6 |- C C_ ( C u. { D } )
109	108	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> C C_ ( C u. { D } ) )
110		elmapssres 7514	. . . . 5 |- ( ( B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) /\ C C_ ( C u. { D } ) ) -> ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) )
111	10, 109, 110	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) )
112		fveq1 5878	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( B |` C ) -> ( b ` k ) = ( ( B |` C ) ` k ) )
113	112	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( b ` k ) = ( ( B |` C ) ` k ) )
114		fvres 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. C -> ( ( B |` C ) ` k ) = ( B ` k ) )
115	114	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( ( B |` C ) ` k ) = ( B ` k ) )
116	113, 115	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( b ` k ) = ( B ` k ) )
117	116	sumeq2dv 13846	. . . . . . . 8 |- ( b = ( B |` C ) -> sum_ k e. C ( b ` k ) = sum_ k e. C ( B ` k ) )
118	117	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( b = ( B |` C ) -> ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) = ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
119	116	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( ! ` ( b ` k ) ) = ( ! ` ( B ` k ) ) )
120	119	prodeq2dv 14054	. . . . . . 7 |- ( b = ( B |` C ) -> prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) )
121	118, 120	oveq12d 6326	. . . . . 6 |- ( b = ( B |` C ) -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
122	121	eleq1d 2533	. . . . 5 |- ( b = ( B |` C ) -> ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN ) )
123	122	rspccva 3135	. . . 4 |- ( ( A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN /\ ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) ) -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )
124	107, 111, 123	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )
125	106, 124	nnmulcld 10679	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) e. NN )
126	65, 125	eqeltrd 2549	1 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   [_csb 3349   \ cdif 3387   u. cun 3388   C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ...cfz 11810   !cfa 12497   _C cbc 12525   sum_csu 13829   prod_cprod 14036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037

This theorem is referenced by:  mccl  37775