MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblss Structured version   Unicode version

Theorem mblss 21149
Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblss  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )

Proof of Theorem mblss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbl 21144 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( vol* `  x
)  =  ( ( vol* `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) ) ) )
21simplbi 460 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    \ cdif 3436    i^i cin 3438    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   dom cdm 4951   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395    + caddc 9399   vol*covol 21081   volcvol 21082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-ovol 21083  df-vol 21084
This theorem is referenced by:  volss  21151  nulmbl2  21154  unmbl  21155  shftmbl  21156  inmbl  21159  difmbl  21160  volun  21162  volinun  21163  volfiniun  21164  voliunlem2  21168  voliunlem3  21169  volsup  21173  volsup2  21221  volcn  21222  vitalilem4  21227  vitalilem5  21228  vitali  21229  ismbf  21244  ismbfcn  21245  mbfconst  21249  mbfid  21250  cncombf  21272  cnmbf  21273  i1fima2  21293  i1fd  21295  itg1ge0  21300  i1f1lem  21303  itg11  21305  i1fadd  21309  i1fmul  21310  itg1addlem2  21311  itg1addlem5  21314  i1fres  21319  itg1ge0a  21325  itg1climres  21328  mbfi1fseqlem4  21332  mbfi1flim  21337  mbfmullem2  21338  itg2const2  21355  itg2splitlem  21362  itg2split  21363  itg2gt0  21374  itg2cnlem2  21376  ibladdlem  21433  itgaddlem1  21436  iblabslem  21441  itggt0  21455  itgcn  21456  ftc1lem4  21647  itgulm  22009  areaf  22491  dmvlsiga  26737  unidmvol  26808  volsupnfl  28604  cnambfre  28608  itg2addnclem  28611  ibladdnclem  28616  itgaddnclem1  28618  iblabsnclem  28623  ftc1cnnclem  28633
  Copyright terms: Public domain W3C validator