MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblss Structured version   Unicode version

Theorem mblss 21810
Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblss  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )

Proof of Theorem mblss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbl 21805 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( vol* `  x
)  =  ( ( vol* `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) ) ) )
21simplbi 460 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    \ cdif 3478    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   dom cdm 5005   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503    + caddc 9507   vol*covol 21742   volcvol 21743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-ovol 21744  df-vol 21745
This theorem is referenced by:  volss  21812  nulmbl2  21815  unmbl  21816  shftmbl  21817  inmbl  21820  difmbl  21821  volun  21823  volinun  21824  volfiniun  21825  voliunlem2  21829  voliunlem3  21830  volsup  21834  volsup2  21882  volcn  21883  vitalilem4  21888  vitalilem5  21889  vitali  21890  ismbf  21905  ismbfcn  21906  mbfconst  21910  mbfid  21911  cncombf  21933  cnmbf  21934  i1fima2  21954  i1fd  21956  itg1ge0  21961  i1f1lem  21964  itg11  21966  i1fadd  21970  i1fmul  21971  itg1addlem2  21972  itg1addlem5  21975  i1fres  21980  itg1ge0a  21986  itg1climres  21989  mbfi1fseqlem4  21993  mbfi1flim  21998  mbfmullem2  21999  itg2const2  22016  itg2splitlem  22023  itg2split  22024  itg2gt0  22035  itg2cnlem2  22037  ibladdlem  22094  itgaddlem1  22097  iblabslem  22102  itggt0  22116  itgcn  22117  ftc1lem4  22308  itgulm  22670  areaf  23157  dmvlsiga  27945  unidmvol  28016  volsupnfl  29977  cnambfre  29981  itg2addnclem  29984  ibladdnclem  29989  itgaddnclem1  29991  iblabsnclem  29996  ftc1cnnclem  30006  volge0  31593
  Copyright terms: Public domain W3C validator