MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblss Structured version   Unicode version

Theorem mblss 21815
Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblss  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )

Proof of Theorem mblss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbl 21810 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol* `  x
)  e.  RR  ->  ( vol* `  x
)  =  ( ( vol* `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( x  \  A ) ) ) ) ) )
21simplbi 460 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   dom cdm 4989   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494    + caddc 9498   vol*covol 21747   volcvol 21748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-seq 12087  df-exp 12146  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-ovol 21749  df-vol 21750
This theorem is referenced by:  volss  21817  nulmbl2  21820  unmbl  21821  shftmbl  21822  inmbl  21825  difmbl  21826  volun  21828  volinun  21829  volfiniun  21830  voliunlem2  21834  voliunlem3  21835  volsup  21839  volsup2  21887  volcn  21888  vitalilem4  21893  vitalilem5  21894  vitali  21895  ismbf  21910  ismbfcn  21911  mbfconst  21915  mbfid  21916  cncombf  21938  cnmbf  21939  i1fima2  21959  i1fd  21961  itg1ge0  21966  i1f1lem  21969  itg11  21971  i1fadd  21975  i1fmul  21976  itg1addlem2  21977  itg1addlem5  21980  i1fres  21985  itg1ge0a  21991  itg1climres  21994  mbfi1fseqlem4  21998  mbfi1flim  22003  mbfmullem2  22004  itg2const2  22021  itg2splitlem  22028  itg2split  22029  itg2gt0  22040  itg2cnlem2  22042  ibladdlem  22099  itgaddlem1  22102  iblabslem  22107  itggt0  22121  itgcn  22122  ftc1lem4  22313  itgulm  22675  areaf  23163  dmvlsiga  28002  unidmvol  28073  volsupnfl  30034  cnambfre  30038  itg2addnclem  30041  ibladdnclem  30046  itgaddnclem1  30048  iblabsnclem  30053  ftc1cnnclem  30063  volge0  31650
  Copyright terms: Public domain W3C validator