MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfulm Structured version   Unicode version

Theorem mbfulm 22967
Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 22241.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfulm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfulm.f  |-  ( ph  ->  F : Z -->MblFn )
mbfulm.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
mbfulm  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfulm
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfulm.u . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmcl 22942 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
43feqmptd 5901 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  S  |->  ( G `
 z ) ) )
5 mbfulm.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 mbfulm.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
76adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  M  e.  ZZ )
8 mbfulm.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Z -->MblFn )
9 ffn 5713 . . . . . . 7  |-  ( F : Z -->MblFn  ->  F  Fn  Z )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  Z )
11 ulmf2 22945 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
1210, 1, 11syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1312adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
14 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
15 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
165, 15eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
1716mptex 6118 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) )  e.  _V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  e.  _V )
19 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
2019fveq1d 5850 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 n ) `  z ) )
21 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) )
22 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  n ) `
 z )  e. 
_V
2320, 21, 22fvmpt 5931 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `  z
) ) `  n
)  =  ( ( F `  n ) `
 z ) )
2423eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) ) `
 n ) )
2524adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) ) `
 n ) )
261adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  F
( ~~> u `  S
) G )
275, 7, 13, 14, 18, 25, 26ulmclm 22948 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
2812ffvelrnda 6007 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
29 elmapi 7433 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
3130feqmptd 5901 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
328ffvelrnda 6007 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e. MblFn )
3331, 32eqeltrrd 2543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  e. MblFn )
3430ffvelrnda 6007 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
3534anasss 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  e.  CC )
365, 6, 27, 33, 35mbflim 22241 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  S  |->  ( G `  z
) )  e. MblFn )
374, 36eqeltrd 2542 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   CCcc 9479   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082  MblFncmbf 22189   ~~> uculm 22937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-xmet 18607  df-met 18608  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194  df-ulm 22938
This theorem is referenced by:  iblulm  22968
  Copyright terms: Public domain W3C validator