MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfulm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mbfulm 23354
Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 22619.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfulm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfulm.f  |-  ( ph  ->  F : Z -->MblFn )
mbfulm.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
mbfulm  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfulm
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfulm.u . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmcl 23329 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
43feqmptd 5916 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  S  |->  ( G `
 z ) ) )
5 mbfulm.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 mbfulm.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
76adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  M  e.  ZZ )
8 mbfulm.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Z -->MblFn )
9 ffn 5726 . . . . . . 7  |-  ( F : Z -->MblFn  ->  F  Fn  Z )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  Z )
11 ulmf2 23332 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
1210, 1, 11syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1312adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
14 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
15 fvex 5873 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
165, 15eqeltri 2524 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
1716mptex 6134 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) )  e.  _V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  e.  _V )
19 fveq2 5863 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
2019fveq1d 5865 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 n ) `  z ) )
21 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) )
22 fvex 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  n ) `
 z )  e. 
_V
2320, 21, 22fvmpt 5946 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `  z
) ) `  n
)  =  ( ( F `  n ) `
 z ) )
2423eqcomd 2456 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) ) `
 n ) )
2524adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) ) `
 n ) )
261adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  F
( ~~> u `  S
) G )
275, 7, 13, 14, 18, 25, 26ulmclm 23335 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
2812ffvelrnda 6020 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
29 elmapi 7490 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
3028, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
3130feqmptd 5916 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
328ffvelrnda 6020 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e. MblFn )
3331, 32eqeltrrd 2529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  e. MblFn )
3430ffvelrnda 6020 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
3534anasss 652 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  e.  CC )
365, 6, 27, 33, 35mbflim 22619 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  S  |->  ( G `  z
) )  e. MblFn )
374, 36eqeltrd 2528 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   _Vcvv 3044   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    ^m cmap 7469   CCcc 9534   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156  MblFncmbf 22565   ~~> uculm 23324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xadd 11407  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-xmet 18956  df-met 18957  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-ulm 23325
This theorem is referenced by:  iblulm  23355
  Copyright terms: Public domain W3C validator