MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfulm Structured version   Unicode version

Theorem mbfulm 22005
Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 21280.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfulm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfulm.f  |-  ( ph  ->  F : Z -->MblFn )
mbfulm.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
mbfulm  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfulm
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfulm.u . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmcl 21980 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
43feqmptd 5854 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  S  |->  ( G `
 z ) ) )
5 mbfulm.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 mbfulm.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  M  e.  ZZ )
8 mbfulm.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Z -->MblFn )
9 ffn 5668 . . . . . . 7  |-  ( F : Z -->MblFn  ->  F  Fn  Z )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  Z )
11 ulmf2 21983 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
1210, 1, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
14 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
15 fvex 5810 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
165, 15eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
1716mptex 6058 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) )  e.  _V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  e.  _V )
19 fveq2 5800 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
2019fveq1d 5802 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 n ) `  z ) )
21 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) )
22 fvex 5810 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  n ) `
 z )  e. 
_V
2320, 21, 22fvmpt 5884 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `  z
) ) `  n
)  =  ( ( F `  n ) `
 z ) )
2423eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) ) `
 n ) )
2524adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) ) `
 n ) )
261adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  F
( ~~> u `  S
) G )
275, 7, 13, 14, 18, 25, 26ulmclm 21986 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
2812ffvelrnda 5953 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
29 elmapi 7345 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
3130feqmptd 5854 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
328ffvelrnda 5953 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e. MblFn )
3331, 32eqeltrrd 2543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  e. MblFn )
3430ffvelrnda 5953 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
3534anasss 647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  e.  CC )
365, 6, 27, 33, 35mbflim 21280 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  S  |->  ( G `  z
) )  e. MblFn )
374, 36eqeltrd 2542 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    ^m cmap 7325   CCcc 9392   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973  MblFncmbf 21228   ~~> uculm 21975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cc 8716  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-disj 4372  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-omul 7036  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-acn 8224  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xadd 11202  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-xmet 17936  df-met 17937  df-ovol 21081  df-vol 21082  df-mbf 21233  df-ulm 21976
This theorem is referenced by:  iblulm  22006
  Copyright terms: Public domain W3C validator