Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mbfsup 22699
 Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, is a function of both and , since it is an -indexed sequence of functions on . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1
mbfsup.2
mbfsup.3
mbfsup.4 MblFn
mbfsup.5
mbfsup.6
Assertion
Ref Expression
mbfsup MblFn
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8
21anassrs 660 . . . . . . 7
32an32s 821 . . . . . 6
4 eqid 2471 . . . . . 6
53, 4fmptd 6061 . . . . 5
6 frn 5747 . . . . 5
75, 6syl 17 . . . 4
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10
9 uzid 11197 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8
1312adantr 472 . . . . . . 7
144, 3dmmptd 5718 . . . . . . 7
1513, 14eleqtrrd 2552 . . . . . 6
16 ne0i 3728 . . . . . 6
1715, 16syl 17 . . . . 5
18 dm0rn0 5057 . . . . . 6
1918necon3bii 2695 . . . . 5
2017, 19sylib 201 . . . 4
21 mbfsup.6 . . . . 5
22 ffn 5739 . . . . . . . . 9
235, 22syl 17 . . . . . . . 8
24 breq1 4398 . . . . . . . . 9
2524ralrn 6040 . . . . . . . 8
2623, 25syl 17 . . . . . . 7
27 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . . 10
28 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
29 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
3027, 28, 29nfbr 4440 . . . . . . . . 9
31 nfv 1769 . . . . . . . . 9
32 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
3332breq1d 4405 . . . . . . . . 9
3430, 31, 33cbvral 3001 . . . . . . . 8
35 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
364fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . 11
3735, 3, 36syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
3837breq1d 4405 . . . . . . . . 9
3938ralbidva 2828 . . . . . . . 8
4034, 39syl5bb 265 . . . . . . 7
4126, 40bitrd 261 . . . . . 6
4241rexbidv 2892 . . . . 5
4321, 42mpbird 240 . . . 4
44 suprcl 10591 . . . 4
457, 20, 43, 44syl3anc 1292 . . 3
46 mbfsup.2 . . 3
4745, 46fmptd 6061 . 2
48 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
49 ltso 9732 . . . . . . . . . . . . . 14
5049supex 7995 . . . . . . . . . . . . 13
5146fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . 13
5248, 50, 51sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12
5352breq2d 4407 . . . . . . . . . . 11
547, 20, 433jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13
5554adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12
56 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
57 suprlub 10593 . . . . . . . . . . . 12
5855, 56, 57syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
5923adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
60 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . 14
6160rexrn 6039 . . . . . . . . . . . . 13
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12
63 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
6563, 64, 27nfbr 4440 . . . . . . . . . . . . . 14
66 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14
6732breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . 14
6865, 66, 67cbvrex 3002 . . . . . . . . . . . . 13
694fvmpt2i 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7170fvmpt2i 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7469, 73sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675rexbidva 2889 . . . . . . . . . . . . . 14
7776adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
7868, 77syl5bb 265 . . . . . . . . . . . 12
7962, 78bitrd 261 . . . . . . . . . . 11
8053, 58, 793bitrd 287 . . . . . . . . . 10
8180ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
82 nfv 1769 . . . . . . . . . 10
83 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
84 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
85 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . 14
8646, 85nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . 13
87 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
8886, 87nffv 5886 . . . . . . . . . . . 12
8983, 84, 88nfbr 4440 . . . . . . . . . . 11
90 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
91 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . . . . . 13
9283, 84, 91nfbr 4440 . . . . . . . . . . . 12
9390, 92nfrex 2848 . . . . . . . . . . 11
9489, 93nfbi 2037 . . . . . . . . . 10
95 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
9695breq2d 4407 . . . . . . . . . . 11
97 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
9897breq2d 4407 . . . . . . . . . . . 12
9998rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11
10096, 99bibi12d 328 . . . . . . . . . 10
10182, 94, 100cbvral 3001 . . . . . . . . 9
10281, 101sylib 201 . . . . . . . 8
103102r19.21bi 2776 . . . . . . 7
104 rexr 9704 . . . . . . . . . 10
105104ad2antlr 741 . . . . . . . . 9
106 elioopnf 11753 . . . . . . . . 9
107105, 106syl 17 . . . . . . . 8
10847adantr 472 . . . . . . . . . 10
109108ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
110109biantrurd 516 . . . . . . . 8
111107, 110bitr4d 264 . . . . . . 7
112105adantr 472 . . . . . . . . . 10
113 elioopnf 11753 . . . . . . . . . 10
114112, 113syl 17 . . . . . . . . 9
1152, 70fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . 13
116115ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12
117116biantrurd 516 . . . . . . . . . . 11
118117an32s 821 . . . . . . . . . 10
119118adantllr 733 . . . . . . . . 9
120114, 119bitr4d 264 . . . . . . . 8
121120rexbidva 2889 . . . . . . 7
122103, 111, 1213bitr4d 293 . . . . . 6
123122pm5.32da 653 . . . . 5
124 ffn 5739 . . . . . . . 8
12547, 124syl 17 . . . . . . 7
126125adantr 472 . . . . . 6
127 elpreima 6017 . . . . . 6
128126, 127syl 17 . . . . 5
129 eliun 4274 . . . . . 6
130 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11
131115, 130syl 17 . . . . . . . . . 10
132 elpreima 6017 . . . . . . . . . 10
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9
134133rexbidva 2889 . . . . . . . 8
135134adantr 472 . . . . . . 7
136 r19.42v 2931 . . . . . . 7
137135, 136syl6bb 269 . . . . . 6
138129, 137syl5bb 265 . . . . 5
139123, 128, 1383bitr4d 293 . . . 4
140139eqrdv 2469 . . 3
141 zex 10970 . . . . . . 7
142 uzssz 11202 . . . . . . 7
143 ssdomg 7633 . . . . . . 7
144141, 142, 143mp2 9 . . . . . 6
14511, 144eqbrtri 4415 . . . . 5
146 znnen 14342 . . . . 5
147 domentr 7646 . . . . 5
148145, 146, 147mp2an 686 . . . 4
149 mbfsup.4 . . . . . . 7 MblFn
150 mbfima 22667 . . . . . . 7 MblFn
151149, 115, 150syl2anc 673 . . . . . 6
152151ralrimiva 2809 . . . . 5
153152adantr 472 . . . 4
154 iunmbl2 22589 . . . 4
155148, 153, 154sylancr 676 . . 3
156140, 155eqeltrd 2549 . 2
15747, 156ismbf3d 22689 1 MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cid 4749  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cen 7584   cdom 7585  csup 7972  cr 9556   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cz 10961  cuz 11182  cioo 11660  cvol 22493  MblFncmbf 22651 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656 This theorem is referenced by:  mbfinf  22700  mbfinfOLD  22701  mbflimsup  22702  mbflimsupOLD  22703
 Copyright terms: Public domain W3C validator