MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Structured version   Unicode version

Theorem mbfsup 21147
Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems,  B
( n ,  x
) is a function of both  n and  x, since it is an  n-indexed sequence of functions on  x. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfsup.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
mbfsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfsup.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfsup.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
mbfsup.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y
)
Assertion
Ref Expression
mbfsup  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    y, B    ph, n, x, y    n, Z, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, n)    G( x, y, n)    M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables  m  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
21anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 frn 5570 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 uzid 10880 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1210, 11syl6eleqr 2534 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1312adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
14 fdm 5568 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
155, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
1613, 15eleqtrrd 2520 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B ) )
17 ne0i 3648 . . . . . 6  |-  ( M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
19 dm0rn0 5061 . . . . . 6  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/) )
2019necon3bii 2645 . . . . 5  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
22 mbfsup.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y
)
23 ffn 5564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
245, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
25 breq1 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( z  <_  y  <->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  <_  y )
)
2625ralrn 5851 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y  <->  A. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y ) )
2724, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_ 
y  <->  A. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y
) )
28 nffvmpt1 5704 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )
29 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  <_
30 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
y
3128, 29, 30nfbr 4341 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y
32 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ m
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y
33 fveq2 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3433breq1d 4307 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y  <->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  <_  y )
)
3531, 32, 34cbvral 2948 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  <_  y  <->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y )
36 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
374fvmpt2 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
3836, 3, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
3938breq1d 4307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y  <->  B  <_  y ) )
4039ralbidva 2736 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4135, 40syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4227, 41bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_ 
y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4342rexbidv 2741 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4422, 43mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )
45 suprcl 10295 . . . 4  |-  ( ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
467, 21, 44, 45syl3anc 1218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
47 mbfsup.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
4846, 47fmptd 5872 . 2  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
50 ltso 9460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <  Or  RR
5150supex 7718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
5247fvmpt2 5786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )  -> 
( G `  x
)  =  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5349, 51, 52sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5453breq2d 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  t  <  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
557, 21, 443jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y ) )
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y ) )
57 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  t  e.  RR )
58 suprlub 10297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )  /\  t  e.  RR )  ->  ( t  <  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) t  <  z
) )
5956, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  <  z ) )
6024adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
61 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( t  <  z  <->  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
6261rexrn 5850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( E. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  <  z  <->  E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
) ) )
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  < 
z  <->  E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
64 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
t
65 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n  <
6664, 65, 28nfbr 4341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )
67 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ m  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )
6833breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <-> 
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
6966, 67, 68cbvrex 2949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) )
704fvmpt2i 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  (  _I 
`  B ) )
71 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
7271fvmpt2i 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
7473eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (  _I  `  B )  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
7570, 74sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
7675breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <-> 
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
7776rexbidva 2737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
7969, 78syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8063, 79bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  < 
z  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
8154, 59, 803bitrd 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8281ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. x  e.  A  ( t  <  ( G `  x
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
83 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )
84 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
t
85 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <
86 nfmpt1 4386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
8747, 86nfcxfr 2581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x G
88 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
z
8987, 88nffv 5703 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( G `  z
)
9084, 85, 89nfbr 4341 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  t  <  ( G `  z )
91 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x Z
92 nffvmpt1 5704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
9384, 85, 92nfbr 4341 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )
9491, 93nfrex 2776 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )
9590, 94nfbi 1867 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )
96 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
9796breq2d 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  t  <  ( G `  z ) ) )
98 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )
9998breq2d 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  <-> 
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) )
10099rexbidv 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
) ) )
10197, 100bibi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  <-> 
( t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) ) )
10283, 95, 101cbvral 2948 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )  <->  A. z  e.  A  ( t  <  ( G `  z
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
10382, 102sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. z  e.  A  ( t  <  ( G `  z
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
104103r19.21bi 2819 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
) ) )
105 rexr 9434 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  RR* )
106105ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  t  e.  RR* )
107 elioopnf 11388 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  RR*  ->  ( ( G `  z )  e.  ( t (,) +oo )  <->  ( ( G `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,) +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
10948adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
110109ffvelrnda 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
111110biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  z )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
112108, 111bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,) +oo )  <->  t  <  ( G `  z ) ) )
113106adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  t  e.  RR* )
114 elioopnf 11388 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR*  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,) +oo )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  RR  /\  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )  <->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  RR  /\  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
1162, 71fmptd 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
117116ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  RR )
118117biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
119118an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
120119adantllr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
121115, 120bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )  <->  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
122121rexbidva 2737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
123104, 112, 1223bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,) +oo )  <->  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo ) ) )
124123pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
125 ffn 5564 . . . . . . . 8  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
12648, 125syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
127126adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
128 elpreima 5828 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( t (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
129127, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( `' G " ( t (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
130 eliun 4180 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,) +oo )
) )
131 ffn 5564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
132116, 131syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
133 elpreima 5828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,) +oo )
)  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
135134rexbidva 2737 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
136135adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )
) ) )
137 r19.42v 2880 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )
)  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo ) ) )
138136, 137syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )
) ) )
139130, 138syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )
) ) )
140124, 129, 1393bitr4d 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( `' G " ( t (,) +oo ) )  <->  z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) ) ) )
141140eqrdv 2441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( `' G " ( t (,) +oo ) )  =  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) ) )
142 zex 10660 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
143 uzssz 10885 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
144 ssdomg 7360 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  (
( ZZ>= `  M )  C_  ZZ  ->  ( ZZ>= `  M )  ~<_  ZZ ) )
145142, 143, 144mp2 9 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  ~<_  ZZ
14611, 145eqbrtri 4316 . . . . 5  |-  Z  ~<_  ZZ
147 znnen 13500 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  NN
148 domentr 7373 . . . . 5  |-  ( ( Z  ~<_  ZZ  /\  ZZ  ~~  NN )  ->  Z  ~<_  NN )
149146, 147, 148mp2an 672 . . . 4  |-  Z  ~<_  NN
150 mbfsup.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
151 mbfima 21115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
152150, 116, 151syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
153152ralrimiva 2804 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
154153adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
155 iunmbl2 21043 . . . 4  |-  ( ( Z  ~<_  NN  /\  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,) +oo )
)  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
156149, 154, 155sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
157141, 156eqeltrd 2517 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( `' G " ( t (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
15848, 157ismbf3d 21137 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   U_ciun 4176   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    _I cid 4636   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ~~ cen 7312    ~<_ cdom 7313   supcsup 7695   RRcr 9286   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424   NNcn 10327   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   (,)cioo 11305   volcvol 20952  MblFncmbf 21099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xadd 11095  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-xmet 17815  df-met 17816  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104
This theorem is referenced by:  mbfinf  21148  mbflimsup  21149
  Copyright terms: Public domain W3C validator