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Theorem mbfsup 21806
Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems,  B
( n ,  x
) is a function of both  n and  x, since it is an  n-indexed sequence of functions on  x. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfsup.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
mbfsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfsup.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfsup.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
mbfsup.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y
)
Assertion
Ref Expression
mbfsup  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    y, B    ph, n, x, y    n, Z, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, n)    G( x, y, n)    M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables  m  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
21anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 6043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 frn 5735 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 uzid 11092 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1210, 11syl6eleqr 2566 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1312adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
14 fdm 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
155, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
1613, 15eleqtrrd 2558 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B ) )
17 ne0i 3791 . . . . . 6  |-  ( M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
19 dm0rn0 5217 . . . . . 6  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/) )
2019necon3bii 2735 . . . . 5  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
22 mbfsup.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y
)
23 ffn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
245, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
25 breq1 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( z  <_  y  <->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  <_  y )
)
2625ralrn 6022 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y  <->  A. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y ) )
2724, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_ 
y  <->  A. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y
) )
28 nffvmpt1 5872 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )
29 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  <_
30 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
y
3128, 29, 30nfbr 4491 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y
32 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ m
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y
33 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3433breq1d 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y  <->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  <_  y )
)
3531, 32, 34cbvral 3084 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  <_  y  <->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y )
36 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
374fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
3836, 3, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
3938breq1d 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y  <->  B  <_  y ) )
4039ralbidva 2900 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4135, 40syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4227, 41bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_ 
y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4342rexbidv 2973 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4422, 43mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )
45 suprcl 10499 . . . 4  |-  ( ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
467, 21, 44, 45syl3anc 1228 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
47 mbfsup.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
4846, 47fmptd 6043 . 2  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
50 ltso 9661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <  Or  RR
5150supex 7919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
5247fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )  -> 
( G `  x
)  =  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5349, 51, 52sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5453breq2d 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  t  <  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
557, 21, 443jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y ) )
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y ) )
57 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  t  e.  RR )
58 suprlub 10501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )  /\  t  e.  RR )  ->  ( t  <  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) t  <  z
) )
5956, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  <  z ) )
6024adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
61 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( t  <  z  <->  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
6261rexrn 6021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( E. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  <  z  <->  E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
) ) )
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  < 
z  <->  E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
64 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
t
65 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n  <
6664, 65, 28nfbr 4491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )
67 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ m  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )
6833breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <-> 
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
6966, 67, 68cbvrex 3085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) )
704fvmpt2i 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  (  _I 
`  B ) )
71 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
7271fvmpt2i 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
7473eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (  _I  `  B )  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
7570, 74sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
7675breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <-> 
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
7776rexbidva 2970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
7969, 78syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8063, 79bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  < 
z  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
8154, 59, 803bitrd 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8281ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. x  e.  A  ( t  <  ( G `  x
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
83 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )
84 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
t
85 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <
86 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
8747, 86nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x G
88 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
z
8987, 88nffv 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( G `  z
)
9084, 85, 89nfbr 4491 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  t  <  ( G `  z )
91 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x Z
92 nffvmpt1 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
9384, 85, 92nfbr 4491 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )
9491, 93nfrex 2927 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )
9590, 94nfbi 1881 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )
96 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
9796breq2d 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  t  <  ( G `  z ) ) )
98 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )
9998breq2d 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  <-> 
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) )
10099rexbidv 2973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
) ) )
10197, 100bibi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  <-> 
( t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) ) )
10283, 95, 101cbvral 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )  <->  A. z  e.  A  ( t  <  ( G `  z
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
10382, 102sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. z  e.  A  ( t  <  ( G `  z
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
104103r19.21bi 2833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
) ) )
105 rexr 9635 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  RR* )
106105ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  t  e.  RR* )
107 elioopnf 11614 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  RR*  ->  ( ( G `  z )  e.  ( t (,) +oo )  <->  ( ( G `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,) +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
10948adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
110109ffvelrnda 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
111110biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  z )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
112108, 111bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,) +oo )  <->  t  <  ( G `  z ) ) )
113106adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  t  e.  RR* )
114 elioopnf 11614 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR*  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,) +oo )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  RR  /\  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )  <->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  RR  /\  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
1162, 71fmptd 6043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
117116ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  RR )
118117biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
119118an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
120119adantllr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
121115, 120bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )  <->  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
122121rexbidva 2970 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
123104, 112, 1223bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,) +oo )  <->  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo ) ) )
124123pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
125 ffn 5729 . . . . . . . 8  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
12648, 125syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
127126adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
128 elpreima 5999 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( t (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
129127, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( `' G " ( t (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
130 eliun 4330 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,) +oo )
) )
131 ffn 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
132116, 131syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
133 elpreima 5999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,) +oo )
)  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
135134rexbidva 2970 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,) +oo ) ) ) )
136135adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )
) ) )
137 r19.42v 3016 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )
)  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo ) ) )
138136, 137syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )
) ) )
139130, 138syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) +oo )
) ) )
140124, 129, 1393bitr4d 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( `' G " ( t (,) +oo ) )  <->  z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) ) ) )
141140eqrdv 2464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( `' G " ( t (,) +oo ) )  =  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) ) )
142 zex 10869 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
143 uzssz 11097 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
144 ssdomg 7558 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  (
( ZZ>= `  M )  C_  ZZ  ->  ( ZZ>= `  M )  ~<_  ZZ ) )
145142, 143, 144mp2 9 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  ~<_  ZZ
14611, 145eqbrtri 4466 . . . . 5  |-  Z  ~<_  ZZ
147 znnen 13803 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  NN
148 domentr 7571 . . . . 5  |-  ( ( Z  ~<_  ZZ  /\  ZZ  ~~  NN )  ->  Z  ~<_  NN )
149146, 147, 148mp2an 672 . . . 4  |-  Z  ~<_  NN
150 mbfsup.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
151 mbfima 21774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
152150, 116, 151syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
153152ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
154153adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
155 iunmbl2 21702 . . . 4  |-  ( ( Z  ~<_  NN  /\  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,) +oo )
)  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
156149, 154, 155sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
157141, 156eqeltrd 2555 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( `' G " ( t (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
15848, 157ismbf3d 21796 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ~~ cen 7510    ~<_ cdom 7511   supcsup 7896   RRcr 9487   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   (,)cioo 11525   volcvol 21610  MblFncmbf 21758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-xmet 18183  df-met 18184  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763
This theorem is referenced by:  mbfinf  21807  mbflimsup  21808
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