MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfss Structured version   Unicode version

Theorem mbfss 21124
Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
mbfss.2  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
mbfss.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
mbfss.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
mbfss.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 3497 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  A ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )
2 undif2 3755 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 ssequn1 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
53, 4sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  B )
62, 5syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
76eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  B ) )
81, 7syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) )  <->  x  e.  B ) )
98biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A ) ) )
10 mbfss.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
11 mbfss.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
1210, 11mbfmptcl 21115 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
13 mbfss.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
14 0cn 9378 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1513, 14syl6eqel 2531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
1612, 15jaodan 783 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )  ->  C  e.  CC )
179, 16syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
1817recld 12683 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
19 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( Re
`  C ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )
2018, 19fmptd 5867 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) ) : B --> RR )
21 resmpt 5156 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) ) )
223, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) ) )
2312ismbfcn2 21117 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
2410, 23mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
)
2524simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
2622, 25eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  A )  e. MblFn )
27 difss 3483 . . . . . 6  |-  ( B 
\  A )  C_  B
28 resmpt 5156 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A
)  |->  ( Re `  C ) ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Re `  C
) )
3013fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Re `  C )  =  ( Re `  0 ) )
31 re0 12641 . . . . . . 7  |-  ( Re
`  0 )  =  0
3230, 31syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Re `  C )  =  0 )
3332mpteq2dva 4378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Re `  C
) )  =  ( x  e.  ( B 
\  A )  |->  0 ) )
3429, 33syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 ) )
35 fconstmpt 4882 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 )
36 mbfss.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3710, 11mbfdm2 21116 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
38 difmbl 21024 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  A )  e.  dom  vol )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
40 mbfconst 21113 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( B 
\  A )  X. 
{ 0 } )  e. MblFn )
4139, 14, 40sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  A )  X.  {
0 } )  e. MblFn
)
4235, 41syl5eqelr 2528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  0 )  e. MblFn )
4334, 42eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  e. MblFn )
4420, 26, 43, 6mbfres2 21123 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
4517imcld 12684 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
46 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( Im
`  C ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )
4745, 46fmptd 5867 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) ) : B --> RR )
48 resmpt 5156 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) ) )
493, 48syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) ) )
5024simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
5149, 50eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  A )  e. MblFn )
52 resmpt 5156 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A
)  |->  ( Im `  C ) ) )
5327, 52ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Im `  C
) )
5413fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Im `  C )  =  ( Im `  0 ) )
55 im0 12642 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
5654, 55syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Im `  C )  =  0 )
5756mpteq2dva 4378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Im `  C
) )  =  ( x  e.  ( B 
\  A )  |->  0 ) )
5853, 57syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 ) )
5958, 42eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  e. MblFn )
6047, 51, 59, 6mbfres2 21123 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
6117ismbfcn2 21117 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
6244, 60, 61mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3325    u. cun 3326    C_ wss 3328   {csn 3877    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   dom cdm 4840    |` cres 4842   ` cfv 5418   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   Recre 12586   Imcim 12587   volcvol 20947  MblFncmbf 21094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xadd 11090  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-xmet 17810  df-met 17811  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  21201  itg2cnlem1  21239  iblss2  21283  ibladdlem  21297  itgaddlem1  21300  iblabslem  21305  itggt0  21319  itgcn  21320  ibladdnclem  28448  itgaddnclem1  28450  iblabsnclem  28455  ftc1anclem5  28471  ftc1anclem6  28472  ftc1anclem8  28474
  Copyright terms: Public domain W3C validator