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Theorem mbfss 21898
Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
mbfss.2  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
mbfss.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
mbfss.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
mbfss.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 3650 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  A ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )
2 undif2 3908 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 ssequn1 3679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
53, 4sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  B )
62, 5syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
76eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  B ) )
81, 7syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) )  <->  x  e.  B ) )
98biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A ) ) )
10 mbfss.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
11 mbfss.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
1210, 11mbfmptcl 21889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
13 mbfss.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
14 0cn 9598 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1513, 14syl6eqel 2563 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
1612, 15jaodan 783 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )  ->  C  e.  CC )
179, 16syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
1817recld 13002 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
19 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( Re
`  C ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )
2018, 19fmptd 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) ) : B --> RR )
21 resmpt 5328 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) ) )
223, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) ) )
2312ismbfcn2 21891 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
2410, 23mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
)
2524simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
2622, 25eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  A )  e. MblFn )
27 difss 3636 . . . . . 6  |-  ( B 
\  A )  C_  B
28 resmpt 5328 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A
)  |->  ( Re `  C ) ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Re `  C
) )
3013fveq2d 5875 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Re `  C )  =  ( Re `  0 ) )
31 re0 12960 . . . . . . 7  |-  ( Re
`  0 )  =  0
3230, 31syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Re `  C )  =  0 )
3332mpteq2dva 4538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Re `  C
) )  =  ( x  e.  ( B 
\  A )  |->  0 ) )
3429, 33syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 ) )
35 fconstmpt 5048 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 )
36 mbfss.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3710, 11mbfdm2 21890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
38 difmbl 21798 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  A )  e.  dom  vol )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
40 mbfconst 21887 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( B 
\  A )  X. 
{ 0 } )  e. MblFn )
4139, 14, 40sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  A )  X.  {
0 } )  e. MblFn
)
4235, 41syl5eqelr 2560 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  0 )  e. MblFn )
4334, 42eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  e. MblFn )
4420, 26, 43, 6mbfres2 21897 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
4517imcld 13003 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
46 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( Im
`  C ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )
4745, 46fmptd 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) ) : B --> RR )
48 resmpt 5328 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) ) )
493, 48syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) ) )
5024simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
5149, 50eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  A )  e. MblFn )
52 resmpt 5328 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A
)  |->  ( Im `  C ) ) )
5327, 52ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Im `  C
) )
5413fveq2d 5875 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Im `  C )  =  ( Im `  0 ) )
55 im0 12961 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
5654, 55syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Im `  C )  =  0 )
5756mpteq2dva 4538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Im `  C
) )  =  ( x  e.  ( B 
\  A )  |->  0 ) )
5853, 57syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 ) )
5958, 42eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  e. MblFn )
6047, 51, 59, 6mbfres2 21897 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
6117ismbfcn2 21891 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
6244, 60, 61mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   {csn 4032    |-> cmpt 4510    X. cxp 5002   dom cdm 5004    |` cres 5006   ` cfv 5593   CCcc 9500   RRcr 9501   0cc0 9502   Recre 12905   Imcim 12906   volcvol 21720  MblFncmbf 21868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xadd 11329  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-seq 12086  df-exp 12145  df-hash 12384  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-clim 13286  df-sum 13484  df-xmet 18259  df-met 18260  df-ovol 21721  df-vol 21722  df-mbf 21873
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  21975  itg2cnlem1  22013  iblss2  22057  ibladdlem  22071  itgaddlem1  22074  iblabslem  22079  itggt0  22093  itgcn  22094  ibladdnclem  29966  itgaddnclem1  29968  iblabsnclem  29973  ftc1anclem5  29989  ftc1anclem6  29990  ftc1anclem8  29992
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