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Theorem mbfss 22222
Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
mbfss.2  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
mbfss.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
mbfss.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
mbfss.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 3631 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  A ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )
2 undif2 3892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 ssequn1 3660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
53, 4sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  B )
62, 5syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
76eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  B ) )
81, 7syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) )  <->  x  e.  B ) )
98biimpar 483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A ) ) )
10 mbfss.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
11 mbfss.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
1210, 11mbfmptcl 22213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
13 mbfss.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
14 0cn 9577 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1513, 14syl6eqel 2550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
1612, 15jaodan 783 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )  ->  C  e.  CC )
179, 16syldan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
1817recld 13112 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
19 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( Re
`  C ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )
2018, 19fmptd 6031 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) ) : B --> RR )
213resmptd 5313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) ) )
2212ismbfcn2 22215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
2310, 22mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
)
2423simpld 457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
2521, 24eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  A )  e. MblFn )
26 difss 3617 . . . . . 6  |-  ( B 
\  A )  C_  B
27 resmpt 5311 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A
)  |->  ( Re `  C ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Re `  C
) )
2913fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Re `  C )  =  ( Re `  0 ) )
30 re0 13070 . . . . . . 7  |-  ( Re
`  0 )  =  0
3129, 30syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Re `  C )  =  0 )
3231mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Re `  C
) )  =  ( x  e.  ( B 
\  A )  |->  0 ) )
3328, 32syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 ) )
34 fconstmpt 5032 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 )
35 mbfss.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3610, 11mbfdm2 22214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
37 difmbl 22122 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  A )  e.  dom  vol )
3835, 36, 37syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
39 mbfconst 22211 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( B 
\  A )  X. 
{ 0 } )  e. MblFn )
4038, 14, 39sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  A )  X.  {
0 } )  e. MblFn
)
4134, 40syl5eqelr 2547 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  0 )  e. MblFn )
4233, 41eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  e. MblFn )
4320, 25, 42, 6mbfres2 22221 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
4417imcld 13113 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
45 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( Im
`  C ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )
4644, 45fmptd 6031 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) ) : B --> RR )
473resmptd 5313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) ) )
4823simprd 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
4947, 48eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  A )  e. MblFn )
50 resmpt 5311 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A
)  |->  ( Im `  C ) ) )
5126, 50ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Im `  C
) )
5213fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Im `  C )  =  ( Im `  0 ) )
53 im0 13071 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
5452, 53syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Im `  C )  =  0 )
5554mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Im `  C
) )  =  ( x  e.  ( B 
\  A )  |->  0 ) )
5651, 55syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 ) )
5756, 41eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  e. MblFn )
5846, 49, 57, 6mbfres2 22221 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
5917ismbfcn2 22215 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
6043, 58, 59mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   {csn 4016    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   dom cdm 4988    |` cres 4990   ` cfv 5570   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   Recre 13015   Imcim 13016   volcvol 22044  MblFncmbf 22192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594  df-xmet 18610  df-met 18611  df-ovol 22045  df-vol 22046  df-mbf 22197
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  22299  itg2cnlem1  22337  iblss2  22381  ibladdlem  22395  itgaddlem1  22398  iblabslem  22403  itggt0  22417  itgcn  22418  ibladdnclem  30314  itgaddnclem1  30316  iblabsnclem  30321  ftc1anclem5  30337  ftc1anclem6  30338  ftc1anclem8  30340
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