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Theorem mbfresfi 26152
Description: Measurability of a piecewise function across arbitrarily many subsets. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfresfi.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
mbfresfi.2  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
mbfresfi.3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  S  ( F  |`  s )  e. MblFn )
mbfresfi.4  |-  ( ph  ->  U. S  =  A )
Assertion
Ref Expression
mbfresfi  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    ph, s    A, s    F, s    S, s

Proof of Theorem mbfresfi
Dummy variables  a 
b  f  g  h  r  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfresfi.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 mbfresfi.3 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  S  ( F  |`  s )  e. MblFn )
3 mbfresfi.4 . . 3  |-  ( ph  ->  U. S  =  A )
4 mbfresfi.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
5 uniexg 4665 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Fin  ->  U. S  e.  _V )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. S  e.  _V )
73, 6eqeltrrd 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
8 fex 5928 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
98ex 424 . . . . . 6  |-  ( F : A --> CC  ->  ( A  e.  _V  ->  F  e.  _V ) )
101, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  e.  _V  ->  F  e.  _V )
)
117, 10jcai 523 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  _V  /\  F  e.  _V )
)
12 feq2 5536 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
f : a --> CC  <->  f : A --> CC ) )
1312anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  <->  ( f : A --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn ) ) )
14 eqeq2 2413 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( U. S  =  a  <->  U. S  =  A ) )
1513, 14anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  S  (
f  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. S  =  a )  <->  ( (
f : A --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  A ) ) )
1615imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )  -> 
f  e. MblFn )  <->  ( (
( f : A --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  A )  ->  f  e. MblFn ) ) )
1716imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  ->  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )  ->  f  e. MblFn ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( f : A --> CC  /\  A. s  e.  S  (
f  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. S  =  A )  ->  f  e. MblFn ) ) ) )
18 feq1 5535 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f : A --> CC  <->  F : A
--> CC ) )
19 reseq1 5099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
f  |`  s )  =  ( F  |`  s
) )
2019eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  |`  s
)  e. MblFn  <->  ( F  |`  s )  e. MblFn )
)
2120ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( A. s  e.  S  ( f  |`  s
)  e. MblFn  <->  A. s  e.  S  ( F  |`  s )  e. MblFn ) )
2218, 21anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : A --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  <->  ( F : A --> CC  /\  A. s  e.  S  ( F  |`  s )  e. MblFn ) ) )
2322anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f : A --> CC  /\  A. s  e.  S  (
f  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. S  =  A )  <->  ( ( F : A --> CC  /\  A. s  e.  S  ( F  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  A ) ) )
24 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f  e. MblFn  <->  F  e. MblFn ) )
2523, 24imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ( f : A --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  A )  ->  f  e. MblFn )  <->  ( ( ( F : A --> CC  /\  A. s  e.  S  ( F  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  A )  ->  F  e. MblFn ) ) )
2625imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( ph  ->  ( ( ( f : A --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  A )  ->  f  e. MblFn ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( F : A
--> CC  /\  A. s  e.  S  ( F  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  A )  ->  F  e. MblFn ) ) ) )
27 rzal 3689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  (/)  ->  A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn )
2827biantrud 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  (/)  ->  ( f : a --> CC  <->  ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn ) ) )
2928bicomd 193 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  (/)  ->  ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  r  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  <->  f :
a --> CC ) )
30 unieq 3984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  U. (/) )
31 uni0 4002 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
3230, 31syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  (/)  ->  U. r  =  (/) )
3332eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  (/)  ->  ( U. r  =  a  <->  (/)  =  a ) )
3429, 33anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  (/)  ->  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. r  =  a )  <->  ( f : a --> CC  /\  (/)  =  a ) ) )
3534imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  (/)  ->  ( ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  (
f  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. r  =  a )  -> 
f  e. MblFn )  <->  ( (
f : a --> CC 
/\  (/)  =  a )  ->  f  e. MblFn )
) )
36352albidv 1634 . . . . . . 7  |-  ( r  =  (/)  ->  ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. r  =  a )  ->  f  e. MblFn )  <->  A. f A. a ( ( f : a --> CC  /\  (/)  =  a )  ->  f  e. MblFn ) ) )
37 raleq 2864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  t  ->  ( A. s  e.  r 
( f  |`  s
)  e. MblFn  <->  A. s  e.  t  ( f  |`  s
)  e. MblFn ) )
3837anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  t  ->  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn )  <->  ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( f  |`  s
)  e. MblFn ) )
)
39 unieq 3984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  t  ->  U. r  =  U. t )
4039eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  t  ->  ( U. r  =  a  <->  U. t  =  a ) )
4138, 40anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  t  ->  (
( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  (
f  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. r  =  a )  <->  ( (
f : a --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. t  =  a )
) )
4241imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  t  ->  (
( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. r  =  a )  -> 
f  e. MblFn )  <->  ( (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  t  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  a )  ->  f  e. MblFn ) ) )
43422albidv 1634 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  t  ->  ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  (
f  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. r  =  a )  -> 
f  e. MblFn )  <->  A. f A. a ( ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. t  =  a )  ->  f  e. MblFn ) ) )
44 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  f  =  g )
45 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  a  =  b )
4644, 45feq12d 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  ( f : a --> CC  <->  g : b --> CC ) )
47 reseq1 5099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  s )  =  ( g  |`  s
) )
4847adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  ( f  |`  s
)  =  ( g  |`  s ) )
4948eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  ( ( f  |`  s )  e. MblFn  <->  ( g  |`  s )  e. MblFn )
)
5049ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  ( A. s  e.  t  ( f  |`  s )  e. MblFn  <->  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )
)
5146, 50anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  t  (
f  |`  s )  e. MblFn
)  <->  ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  (
g  |`  s )  e. MblFn
) ) )
52 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  ( U. t  =  a  <->  U. t  =  b ) )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  ( U. t  =  a  <->  U. t  =  b ) )
5451, 53anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  t  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  a )  <->  ( (
g : b --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( g  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )
) )
55 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f  e. MblFn  <->  g  e. MblFn )
)
5655adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  ( f  e. MblFn  <->  g  e. MblFn ) )
5754, 56imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  g  /\  a  =  b )  ->  ( ( ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. t  =  a )  ->  f  e. MblFn )  <->  ( (
( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  ->  g  e. MblFn ) ) )
5857cbval2v 2056 . . . . . . . 8  |-  ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  t  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  a )  ->  f  e. MblFn )  <->  A. g A. b ( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  (
g  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn ) )
5943, 58syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( r  =  t  ->  ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  (
f  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. r  =  a )  -> 
f  e. MblFn )  <->  A. g A. b ( ( ( g : b --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( g  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  ->  g  e. MblFn ) ) )
60 raleq 2864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( t  u. 
{ h } )  ->  ( A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn  <->  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn ) )
6160anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( t  u. 
{ h } )  ->  ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn )  <->  ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s
)  e. MblFn ) )
)
62 unieq 3984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( t  u. 
{ h } )  ->  U. r  =  U. ( t  u.  {
h } ) )
6362eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( t  u. 
{ h } )  ->  ( U. r  =  a  <->  U. ( t  u. 
{ h } )  =  a ) )
6461, 63anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( t  u. 
{ h } )  ->  ( ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  r  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. r  =  a )  <->  ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) ) )
6564imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( t  u. 
{ h } )  ->  ( ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. r  =  a )  ->  f  e. MblFn )  <-> 
( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  { h }
) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. ( t  u. 
{ h } )  =  a )  -> 
f  e. MblFn ) )
)
66652albidv 1634 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( t  u. 
{ h } )  ->  ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  r  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. r  =  a )  ->  f  e. MblFn )  <->  A. f A. a ( ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. ( t  u. 
{ h } )  =  a )  -> 
f  e. MblFn ) )
)
67 raleq 2864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  ( A. s  e.  r 
( f  |`  s
)  e. MblFn  <->  A. s  e.  S  ( f  |`  s
)  e. MblFn ) )
6867anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn )  <->  ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  S  ( f  |`  s
)  e. MblFn ) )
)
69 unieq 3984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  S  ->  U. r  =  U. S )
7069eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  S  ->  ( U. r  =  a  <->  U. S  =  a ) )
7168, 70anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  S  ->  (
( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  (
f  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. r  =  a )  <->  ( (
f : a --> CC 
/\  A. s  e.  S  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )
) )
7271imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  S  ->  (
( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. r  =  a )  -> 
f  e. MblFn )  <->  ( (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )  ->  f  e. MblFn ) ) )
73722albidv 1634 . . . . . . 7  |-  ( r  =  S  ->  ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  r  (
f  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. r  =  a )  -> 
f  e. MblFn )  <->  A. f A. a ( ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  S  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )  ->  f  e. MblFn ) ) )
74 frel 5553 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : a --> CC  ->  Rel  f )
7574adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  (/)  =  a )  ->  Rel  f )
76 fdm 5554 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : a --> CC  ->  dom  f  =  a )
77 eqcom 2406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  =  a  <->  a  =  (/) )
7877biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  =  a  ->  a  =  (/) )
7976, 78sylan9eq 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  (/)  =  a )  ->  dom  f  =  (/) )
80 reldm0 5046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel  f  ->  ( f  =  (/)  <->  dom  f  =  (/) ) )
8180biimpar 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Rel  f  /\  dom  f  =  (/) )  -> 
f  =  (/) )
82 0mbf 26151 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e. MblFn
8381, 82syl6eqel 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Rel  f  /\  dom  f  =  (/) )  -> 
f  e. MblFn )
8475, 79, 83syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  (/)  =  a )  ->  f  e. MblFn )
8584gen2 1553 . . . . . . 7  |-  A. f A. a ( ( f : a --> CC  /\  (/)  =  a )  -> 
f  e. MblFn )
86 ref 11872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Re : CC
--> RR
87 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  f : a --> CC )  ->  ( Re  o.  f ) : a --> RR )
8886, 87mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : a --> CC  ->  ( Re  o.  f ) : a --> RR )
8988adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( Re  o.  f
) : a --> RR )
9089ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  (
Re  o.  f ) : a --> RR )
91 recncf 18885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
9291elexi 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Re  e.  _V
93 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
9492, 93coex 5372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Re  o.  f )  e. 
_V
9594resex 5145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  e. 
_V
96 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  t  e. 
_V
9796uniex 4664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. t  e.  _V
98 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  U. t  <->  U. t  =  b )
9998biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  U. t  ->  U. t  =  b
)
10099adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  U. t  =  b )
101100biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( (
g : b --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( g  |`  s
)  e. MblFn )  <->  ( (
g : b --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( g  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )
) )
102 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  CC  =  CC
103 feq123 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t  /\  CC  =  CC )  ->  ( g : b --> CC  <->  ( (
Re  o.  f )  |` 
U. t ) : U. t --> CC ) )
104102, 103mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( g : b --> CC  <->  ( (
Re  o.  f )  |` 
U. t ) : U. t --> CC ) )
105 reseq1 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  ->  (
g  |`  s )  =  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
) )
106105eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  ->  (
( g  |`  s
)  e. MblFn  <->  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )
)
107106adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( (
g  |`  s )  e. MblFn  <->  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  s )  e. MblFn
) )
108107ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( A. s  e.  t  (
g  |`  s )  e. MblFn  <->  A. s  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  s )  e. MblFn
) )
109104, 108anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( (
g : b --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( g  |`  s
)  e. MblFn )  <->  ( (
( Re  o.  f
)  |`  U. t ) : U. t --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
)  e. MblFn ) )
)
110101, 109bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( (
( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  <->  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t ) : U. t --> CC  /\  A. s  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  s )  e. MblFn
) ) )
111 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  ->  (
g  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  e. MblFn )
)
112111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( g  e. MblFn  <-> 
( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  e. MblFn ) )
113110, 112imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  =  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( (
( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  (
g  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  <->  ( (
( ( Re  o.  f )  |`  U. t
) : U. t --> CC  /\  A. s  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  e. MblFn ) )
)
114113spc2gv 2999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  e.  _V  /\  U. t  e.  _V )  ->  ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( g  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  ->  g  e. MblFn )  -> 
( ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t ) : U. t --> CC  /\  A. s  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  s )  e. MblFn
)  ->  ( (
Re  o.  f )  |` 
U. t )  e. MblFn
) ) )
11595, 97, 114mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  ->  g  e. MblFn )  ->  ( ( ( ( Re  o.  f
)  |`  U. t ) : U. t --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
)  e. MblFn )  ->  ( ( Re  o.  f
)  |`  U. t )  e. MblFn ) )
116 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  C_  CC
117 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  Re : CC --> CC )
11886, 116, 117mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Re : CC
--> CC
119 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Re : CC --> CC  /\  f : a --> CC )  ->  ( Re  o.  f ) : a --> CC )
120118, 119mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : a --> CC  ->  ( Re  o.  f ) : a --> CC )
121 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  t  C_  ( t  u.  {
h } )
122121unissi 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. t  C_ 
U. ( t  u. 
{ h } )
123 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. ( t  u.  {
h } )  =  a  ->  U. (
t  u.  { h } )  =  a )
124122, 123syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. ( t  u.  {
h } )  =  a  ->  U. t  C_  a )
125 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Re  o.  f
) : a --> CC 
/\  U. t  C_  a
)  ->  ( (
Re  o.  f )  |` 
U. t ) : U. t --> CC )
126120, 124, 125syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  U. ( t  u. 
{ h } )  =  a )  -> 
( ( Re  o.  f )  |`  U. t
) : U. t --> CC )
127126adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a )  ->  ( (
Re  o.  f )  |` 
U. t ) : U. t --> CC )
128 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  t  ->  r  C_ 
U. t )
129 resabs1 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r 
C_  U. t  ->  (
( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  =  ( ( Re  o.  f )  |`  r
) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  e.  t  ->  (
( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  =  ( ( Re  o.  f )  |`  r
) )
131 resco 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re  o.  f )  |`  r )  =  ( Re  o.  ( f  |`  r ) )
132130, 131syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  t  ->  (
( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  =  ( Re  o.  (
f  |`  r ) ) )
133132adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  r  e.  t )  ->  (
( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  =  ( Re  o.  (
f  |`  r ) ) )
134 elun1 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  e.  t  ->  r  e.  ( t  u.  {
h } ) )
135 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  =  r  ->  (
f  |`  s )  =  ( f  |`  r
) )
136135eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  r  ->  (
( f  |`  s
)  e. MblFn  <->  ( f  |`  r )  e. MblFn )
)
137136rspccva 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn  /\  r  e.  ( t  u.  {
h } ) )  ->  ( f  |`  r )  e. MblFn )
138134, 137sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn  /\  r  e.  t )  ->  (
f  |`  r )  e. MblFn
)
139138adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  r  e.  t )  ->  (
f  |`  r )  e. MblFn
)
140 fresin 5571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : a --> CC  ->  ( f  |`  r ) : ( a  i^i  r ) --> CC )
141 ismbfcn 19476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  |`  r ) : ( a  i^i  r ) --> CC  ->  ( ( f  |`  r
)  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  ( f  |`  r ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
f  |`  r ) )  e. MblFn ) ) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : a --> CC  ->  ( ( f  |`  r
)  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  ( f  |`  r ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
f  |`  r ) )  e. MblFn ) ) )
143142biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : a --> CC  ->  ( ( f  |`  r
)  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  ( f  |`  r ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
f  |`  r ) )  e. MblFn ) ) )
144143ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  r  e.  t )  ->  (
( f  |`  r
)  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  ( f  |`  r ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
f  |`  r ) )  e. MblFn ) ) )
145139, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  r  e.  t )  ->  (
( Re  o.  (
f  |`  r ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  ( f  |`  r
) )  e. MblFn )
)
146145simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  r  e.  t )  ->  (
Re  o.  ( f  |`  r ) )  e. MblFn
)
147133, 146eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  r  e.  t )  ->  (
( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  e. MblFn
)
148147ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  ->  A. r  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  r
)  e. MblFn )
149 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  s  ->  (
( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  =  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
) )
150149eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  s  ->  (
( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  r
)  e. MblFn  <->  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )
)
151150cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. r  e.  t  (
( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  e. MblFn  <->  A. s  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  |`  s )  e. MblFn
)
152148, 151sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  ->  A. s  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
)  e. MblFn )
153152adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a )  ->  A. s  e.  t  ( (
( Re  o.  f
)  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )
154 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t
) : U. t --> CC  /\  A. s  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( ( ( ( ( Re  o.  f
)  |`  U. t ) : U. t --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
)  e. MblFn )  ->  ( ( Re  o.  f
)  |`  U. t )  e. MblFn )  ->  (
( Re  o.  f
)  |`  U. t )  e. MblFn ) )
155127, 153, 154syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a )  ->  ( (
( ( ( Re  o.  f )  |`  U. t ) : U. t
--> CC  /\  A. s  e.  t  ( (
( Re  o.  f
)  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( ( Re  o.  f )  |`  U. t
)  e. MblFn )  ->  ( ( Re  o.  f
)  |`  U. t )  e. MblFn ) )
156115, 155mpan9 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  (
( Re  o.  f
)  |`  U. t )  e. MblFn )
157 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  h  e. 
_V
158157snid 3801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  h  e. 
{ h }
159 elun2 3475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  { h }  ->  h  e.  ( t  u.  { h }
) )
160 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  h  ->  (
f  |`  s )  =  ( f  |`  h
) )
161160eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  h  ->  (
( f  |`  s
)  e. MblFn  <->  ( f  |`  h )  e. MblFn )
)
162161rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  ( t  u. 
{ h } )  ->  ( A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn  ->  ( f  |`  h )  e. MblFn )
)
163158, 159, 162mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s
)  e. MblFn  ->  ( f  |`  h )  e. MblFn )
164 resco 5333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Re  o.  f )  |`  h )  =  ( Re  o.  ( f  |`  h ) )
165 fresin 5571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : a --> CC  ->  ( f  |`  h ) : ( a  i^i  h ) --> CC )
166 ismbfcn 19476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  |`  h ) : ( a  i^i  h ) --> CC  ->  ( ( f  |`  h
)  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  ( f  |`  h ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
f  |`  h ) )  e. MblFn ) ) )
167165, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : a --> CC  ->  ( ( f  |`  h
)  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  ( f  |`  h ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
f  |`  h ) )  e. MblFn ) ) )
168167simprbda 607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  ( f  |`  h )  e. MblFn )  ->  ( Re  o.  (
f  |`  h ) )  e. MblFn )
169164, 168syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  ( f  |`  h )  e. MblFn )  ->  ( ( Re  o.  f )  |`  h
)  e. MblFn )
170163, 169sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( ( Re  o.  f )  |`  h
)  e. MblFn )
171170ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  (
( Re  o.  f
)  |`  h )  e. MblFn
)
172 uniun 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
t  u.  { h } )  =  ( U. t  u.  U. { h } )
173157unisn 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. {
h }  =  h
174173uneq2i 3458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. t  u.  U. { h } )  =  ( U. t  u.  h
)
175172, 174eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. (
t  u.  { h } )  =  ( U. t  u.  h
)
176175, 123syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ( t  u.  {
h } )  =  a  ->  ( U. t  u.  h )  =  a )
177176ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  ( U. t  u.  h
)  =  a )
17890, 156, 171, 177mbfres2 19490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  (
Re  o.  f )  e. MblFn )
179 imf 11873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Im : CC
--> RR
180 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  f : a --> CC )  ->  ( Im  o.  f ) : a --> RR )
181179, 180mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : a --> CC  ->  ( Im  o.  f ) : a --> RR )
182181adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( Im  o.  f
) : a --> RR )
183182ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  (
Im  o.  f ) : a --> RR )
184 imcncf 18886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
185184elexi 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Im  e.  _V
186185, 93coex 5372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Im  o.  f )  e. 
_V
187186resex 5145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  e. 
_V
18899adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  U. t  =  b )
189188biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( (
g : b --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( g  |`  s
)  e. MblFn )  <->  ( (
g : b --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( g  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )
) )
190 feq123 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t  /\  CC  =  CC )  ->  ( g : b --> CC  <->  ( (
Im  o.  f )  |` 
U. t ) : U. t --> CC ) )
191102, 190mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( g : b --> CC  <->  ( (
Im  o.  f )  |` 
U. t ) : U. t --> CC ) )
192 reseq1 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  ->  (
g  |`  s )  =  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
) )
193192eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  ->  (
( g  |`  s
)  e. MblFn  <->  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )
)
194193adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( (
g  |`  s )  e. MblFn  <->  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  s )  e. MblFn
) )
195194ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( A. s  e.  t  (
g  |`  s )  e. MblFn  <->  A. s  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  s )  e. MblFn
) )
196191, 195anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( (
g : b --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( g  |`  s
)  e. MblFn )  <->  ( (
( Im  o.  f
)  |`  U. t ) : U. t --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
)  e. MblFn ) )
)
197189, 196bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( (
( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  <->  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t ) : U. t --> CC  /\  A. s  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  s )  e. MblFn
) ) )
198 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  ->  (
g  e. MblFn  <->  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  e. MblFn )
)
199198adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( g  e. MblFn  <-> 
( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  e. MblFn ) )
200197, 199imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  =  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  /\  b  =  U. t
)  ->  ( (
( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  (
g  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  <->  ( (
( ( Im  o.  f )  |`  U. t
) : U. t --> CC  /\  A. s  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  e. MblFn ) )
)
201200spc2gv 2999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  e.  _V  /\  U. t  e.  _V )  ->  ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( g  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  ->  g  e. MblFn )  -> 
( ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t ) : U. t --> CC  /\  A. s  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  s )  e. MblFn
)  ->  ( (
Im  o.  f )  |` 
U. t )  e. MblFn
) ) )
202187, 97, 201mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  ->  g  e. MblFn )  ->  ( ( ( ( Im  o.  f
)  |`  U. t ) : U. t --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
)  e. MblFn )  ->  ( ( Im  o.  f
)  |`  U. t )  e. MblFn ) )
203 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  Im : CC --> CC )
204179, 116, 203mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Im : CC
--> CC
205 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Im : CC --> CC  /\  f : a --> CC )  ->  ( Im  o.  f ) : a --> CC )
206204, 205mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : a --> CC  ->  ( Im  o.  f ) : a --> CC )
207 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Im  o.  f
) : a --> CC 
/\  U. t  C_  a
)  ->  ( (
Im  o.  f )  |` 
U. t ) : U. t --> CC )
208206, 124, 207syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  U. ( t  u. 
{ h } )  =  a )  -> 
( ( Im  o.  f )  |`  U. t
) : U. t --> CC )
209208adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a )  ->  ( (
Im  o.  f )  |` 
U. t ) : U. t --> CC )
210 resabs1 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r 
C_  U. t  ->  (
( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  =  ( ( Im  o.  f )  |`  r
) )
211128, 210syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  e.  t  ->  (
( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  =  ( ( Im  o.  f )  |`  r
) )
212 resco 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im  o.  f )  |`  r )  =  ( Im  o.  ( f  |`  r ) )
213211, 212syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  t  ->  (
( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  =  ( Im  o.  (
f  |`  r ) ) )
214213adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  r  e.  t )  ->  (
( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  =  ( Im  o.  (
f  |`  r ) ) )
215145simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  r  e.  t )  ->  (
Im  o.  ( f  |`  r ) )  e. MblFn
)
216214, 215eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  r  e.  t )  ->  (
( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  e. MblFn
)
217216ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  ->  A. r  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  r
)  e. MblFn )
218 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  s  ->  (
( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  =  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
) )
219218eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  s  ->  (
( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  r
)  e. MblFn  <->  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )
)
220219cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. r  e.  t  (
( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  r )  e. MblFn  <->  A. s  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  |`  s )  e. MblFn
)
221217, 220sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  ->  A. s  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
)  e. MblFn )
222221adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a )  ->  A. s  e.  t  ( (
( Im  o.  f
)  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )
223 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t
) : U. t --> CC  /\  A. s  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( ( ( ( ( Im  o.  f
)  |`  U. t ) : U. t --> CC 
/\  A. s  e.  t  ( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t )  |`  s
)  e. MblFn )  ->  ( ( Im  o.  f
)  |`  U. t )  e. MblFn )  ->  (
( Im  o.  f
)  |`  U. t )  e. MblFn ) )
224209, 222, 223syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a )  ->  ( (
( ( ( Im  o.  f )  |`  U. t ) : U. t
--> CC  /\  A. s  e.  t  ( (
( Im  o.  f
)  |`  U. t )  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( ( Im  o.  f )  |`  U. t
)  e. MblFn )  ->  ( ( Im  o.  f
)  |`  U. t )  e. MblFn ) )
225202, 224mpan9 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  (
( Im  o.  f
)  |`  U. t )  e. MblFn )
226 resco 5333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Im  o.  f )  |`  h )  =  ( Im  o.  ( f  |`  h ) )
227167simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  ( f  |`  h )  e. MblFn )  ->  ( Im  o.  (
f  |`  h ) )  e. MblFn )
228226, 227syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  ( f  |`  h )  e. MblFn )  ->  ( ( Im  o.  f )  |`  h
)  e. MblFn )
229163, 228sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( ( Im  o.  f )  |`  h
)  e. MblFn )
230229ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  (
( Im  o.  f
)  |`  h )  e. MblFn
)
231183, 225, 230, 177mbfres2 19490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  (
Im  o.  f )  e. MblFn )
232 ismbfcn 19476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : a --> CC  ->  ( f  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  f )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  f
)  e. MblFn ) )
)
233232adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  ->  ( f  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  f )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  f )  e. MblFn )
) )
234233ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  (
f  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  f )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  f
)  e. MblFn ) )
)
235178, 231, 234mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. g A. b
( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  /\  (
( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  {
h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. (
t  u.  { h } )  =  a ) )  ->  f  e. MblFn )
236235ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  ->  g  e. MblFn )  ->  ( ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. ( t  u. 
{ h } )  =  a )  -> 
f  e. MblFn ) )
237236alrimivv 1639 . . . . . . . 8  |-  ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  ( g  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. t  =  b )  ->  g  e. MblFn )  ->  A. f A. a
( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  { h }
) ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. ( t  u. 
{ h } )  =  a )  -> 
f  e. MblFn ) )
238237a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  Fin  ->  ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC  /\  A. s  e.  t  (
g  |`  s )  e. MblFn
)  /\  U. t  =  b )  -> 
g  e. MblFn )  ->  A. f A. a ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  ( t  u.  { h } ) ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. ( t  u.  {
h } )  =  a )  ->  f  e. MblFn ) ) )
23936, 59, 66, 73, 85, 238findcard2 7307 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  A. f A. a ( ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  S  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )  ->  f  e. MblFn ) )
240 sp 1759 . . . . . . 7  |-  ( A. a ( ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  S  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )  ->  f  e. MblFn )  -> 
( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )  -> 
f  e. MblFn ) )
241240sps 1766 . . . . . 6  |-  ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )  ->  f  e. MblFn )  ->  ( ( ( f : a --> CC 
/\  A. s  e.  S  ( f  |`  s
)  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )  ->  f  e. MblFn ) )
2424, 239, 2413syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : a --> CC  /\  A. s  e.  S  ( f  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  a )  -> 
f  e. MblFn ) )
24317, 26, 242vtocl2g 2975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( ( F : A
--> CC  /\  A. s  e.  S  ( F  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  A )  ->  F  e. MblFn ) ) )
24411, 243mpcom 34 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F : A --> CC  /\  A. s  e.  S  ( F  |`  s )  e. MblFn )  /\  U. S  =  A )  ->  F  e. MblFn ) )
2453, 244mpan2d 656 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : A
--> CC  /\  A. s  e.  S  ( F  |`  s )  e. MblFn )  ->  F  e. MblFn ) )
2461, 2, 245mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   U.cuni 3975   dom cdm 4837    |` cres 4839    o. ccom 4841   Rel wrel 4842   -->wf 5409  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   Recre 11857   Imcim 11858   -cn->ccncf 18859  MblFncmbf 19459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465
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