Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfres2cn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mbfres2cn 37835
Description: Measurability of a piecewise function: if  F is measurable on subsets  B and  C of its domain, and these pieces make up all of  A, then  F is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 22601 but here the theorem is extended to complex valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2cn.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
mbfres2cn.b  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B )  e. MblFn )
mbfres2cn.c  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e. MblFn )
mbfres2cn.a  |-  ( ph  ->  ( B  u.  C
)  =  A )
Assertion
Ref Expression
mbfres2cn  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfres2cn
StepHypRef Expression
1 ref 13175 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
2 mbfres2cn.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 fco 5739 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : A --> RR )
41, 2, 3sylancr 669 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  F
) : A --> RR )
5 resco 5339 . . . 4  |-  ( ( Re  o.  F )  |`  B )  =  ( Re  o.  ( F  |`  B ) )
6 mbfres2cn.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B )  e. MblFn )
7 fresin 5752 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
8 ismbfcn 22587 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC  ->  (
( F  |`  B )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  B ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  B ) )  e. MblFn
) ) )
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  B )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( F  |`  B ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  ( F  |`  B ) )  e. MblFn ) ) )
106, 9mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( F  |`  B ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  B ) )  e. MblFn
) )
1110simpld 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  ( F  |`  B ) )  e. MblFn )
125, 11syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  F )  |`  B )  e. MblFn )
13 resco 5339 . . . 4  |-  ( ( Re  o.  F )  |`  C )  =  ( Re  o.  ( F  |`  C ) )
14 mbfres2cn.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e. MblFn )
15 fresin 5752 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  C ) : ( A  i^i  C ) --> CC )
16 ismbfcn 22587 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  C ) : ( A  i^i  C ) --> CC  ->  (
( F  |`  C )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  C ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  C ) )  e. MblFn
) ) )
172, 15, 163syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  C )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( F  |`  C ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  ( F  |`  C ) )  e. MblFn ) ) )
1814, 17mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( F  |`  C ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  C ) )  e. MblFn
) )
1918simpld 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  ( F  |`  C ) )  e. MblFn )
2013, 19syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  F )  |`  C )  e. MblFn )
21 mbfres2cn.a . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  u.  C
)  =  A )
224, 12, 20, 21mbfres2 22601 . 2  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  F
)  e. MblFn )
23 imf 13176 . . . 4  |-  Im : CC
--> RR
24 fco 5739 . . . 4  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : A --> RR )
2523, 2, 24sylancr 669 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  F
) : A --> RR )
26 resco 5339 . . . 4  |-  ( ( Im  o.  F )  |`  B )  =  ( Im  o.  ( F  |`  B ) )
2710simprd 465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  ( F  |`  B ) )  e. MblFn )
2826, 27syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Im  o.  F )  |`  B )  e. MblFn )
29 resco 5339 . . . 4  |-  ( ( Im  o.  F )  |`  C )  =  ( Im  o.  ( F  |`  C ) )
3018simprd 465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  ( F  |`  C ) )  e. MblFn )
3129, 30syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Im  o.  F )  |`  C )  e. MblFn )
3225, 28, 31, 21mbfres2 22601 . 2  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  F
)  e. MblFn )
33 ismbfcn 22587 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
342, 33syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
) )
3522, 32, 34mpbir2and 933 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    u. cun 3402    i^i cin 3403    |` cres 4836    o. ccom 4838   -->wf 5578   CCcc 9537   RRcr 9538   Recre 13160   Imcim 13161  MblFncmbf 22572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577
This theorem is referenced by:  iblsplit  37843
  Copyright terms: Public domain W3C validator