Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfres2cn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mbfres2cn 37835
 Description: Measurability of a piecewise function: if is measurable on subsets and of its domain, and these pieces make up all of , then is measurable on the whole domain. Similar to mbfres2 22601 but here the theorem is extended to complex valued functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2cn.f
mbfres2cn.b MblFn
mbfres2cn.c MblFn
mbfres2cn.a
Assertion
Ref Expression
mbfres2cn MblFn

Proof of Theorem mbfres2cn
StepHypRef Expression
1 ref 13175 . . . 4
2 mbfres2cn.f . . . 4
3 fco 5739 . . . 4
41, 2, 3sylancr 669 . . 3
5 resco 5339 . . . 4
6 mbfres2cn.b . . . . . 6 MblFn
7 fresin 5752 . . . . . . 7
8 ismbfcn 22587 . . . . . . 7 MblFn MblFn MblFn
92, 7, 83syl 18 . . . . . 6 MblFn MblFn MblFn
106, 9mpbid 214 . . . . 5 MblFn MblFn
1110simpld 461 . . . 4 MblFn
125, 11syl5eqel 2533 . . 3 MblFn
13 resco 5339 . . . 4
14 mbfres2cn.c . . . . . 6 MblFn
15 fresin 5752 . . . . . . 7
16 ismbfcn 22587 . . . . . . 7 MblFn MblFn MblFn
172, 15, 163syl 18 . . . . . 6 MblFn MblFn MblFn
1814, 17mpbid 214 . . . . 5 MblFn MblFn
1918simpld 461 . . . 4 MblFn
2013, 19syl5eqel 2533 . . 3 MblFn
21 mbfres2cn.a . . 3
224, 12, 20, 21mbfres2 22601 . 2 MblFn
23 imf 13176 . . . 4
24 fco 5739 . . . 4
2523, 2, 24sylancr 669 . . 3
26 resco 5339 . . . 4
2710simprd 465 . . . 4 MblFn
2826, 27syl5eqel 2533 . . 3 MblFn
29 resco 5339 . . . 4
3018simprd 465 . . . 4 MblFn
3129, 30syl5eqel 2533 . . 3 MblFn
3225, 28, 31, 21mbfres2 22601 . 2 MblFn
33 ismbfcn 22587 . . 3 MblFn MblFn MblFn
342, 33syl 17 . 2 MblFn MblFn MblFn
3522, 32, 34mpbir2and 933 1 MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   cun 3402   cin 3403   cres 4836   ccom 4838  wf 5578  cc 9537  cr 9538  cre 13160  cim 13161  MblFncmbf 22572 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577 This theorem is referenced by:  iblsplit  37843
 Copyright terms: Public domain W3C validator