Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres2 Structured version   Unicode version

Theorem mbfres2 21787
 Description: Measurability of a piecewise function: if is measurable on subsets and of its domain, and these pieces make up all of , then is measurable on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2.1
mbfres2.2 MblFn
mbfres2.3 MblFn
mbfres2.4
Assertion
Ref Expression
mbfres2 MblFn

Proof of Theorem mbfres2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfres2.4 . . . . . . . . . . . 12
21reseq2d 5271 . . . . . . . . . . 11
3 mbfres2.1 . . . . . . . . . . . 12
4 ffn 5729 . . . . . . . . . . . 12
5 fnresdm 5688 . . . . . . . . . . . 12
63, 4, 53syl 20 . . . . . . . . . . 11
72, 6eqtr2d 2509 . . . . . . . . . 10
87adantr 465 . . . . . . . . 9
9 resundi 5285 . . . . . . . . 9
108, 9syl6eq 2524 . . . . . . . 8
1110cnveqd 5176 . . . . . . 7
12 cnvun 5409 . . . . . . 7
1311, 12syl6eq 2524 . . . . . 6
1413imaeq1d 5334 . . . . 5
15 imaundir 5417 . . . . 5
1614, 15syl6eq 2524 . . . 4
17 mbfres2.2 . . . . . . 7 MblFn
18 ssun1 3667 . . . . . . . . . 10
1918, 1syl5sseq 3552 . . . . . . . . 9
20 fssres 5749 . . . . . . . . 9
213, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . 8
22 ismbf 21772 . . . . . . . 8 MblFn
2321, 22syl 16 . . . . . . 7 MblFn
2417, 23mpbid 210 . . . . . 6
2524r19.21bi 2833 . . . . 5
26 mbfres2.3 . . . . . . 7 MblFn
27 ssun2 3668 . . . . . . . . . 10
2827, 1syl5sseq 3552 . . . . . . . . 9
29 fssres 5749 . . . . . . . . 9
303, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . 8
31 ismbf 21772 . . . . . . . 8 MblFn
3230, 31syl 16 . . . . . . 7 MblFn
3326, 32mpbid 210 . . . . . 6
3433r19.21bi 2833 . . . . 5
35 unmbl 21683 . . . . 5
3625, 34, 35syl2anc 661 . . . 4
3716, 36eqeltrd 2555 . . 3
3837ralrimiva 2878 . 2
39 ismbf 21772 . . 3 MblFn
403, 39syl 16 . 2 MblFn
4138, 40mpbird 232 1 MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   cun 3474   wss 3476  ccnv 4998   cdm 4999   crn 5000   cres 5001  cima 5002   wfn 5581  wf 5582  cr 9487  cioo 11525  cvol 21610  MblFncmbf 21758 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-xmet 18183  df-met 18184  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763 This theorem is referenced by:  mbfss  21788  mbfresfi  29638  mbfposadd  29639  mbfres2cn  31276
 Copyright terms: Public domain W3C validator