Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mbfres2 22613
 Description: Measurability of a piecewise function: if is measurable on subsets and of its domain, and these pieces make up all of , then is measurable on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2.1
mbfres2.2 MblFn
mbfres2.3 MblFn
mbfres2.4
Assertion
Ref Expression
mbfres2 MblFn

Proof of Theorem mbfres2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfres2.4 . . . . . . . . . . . 12
21reseq2d 5108 . . . . . . . . . . 11
3 mbfres2.1 . . . . . . . . . . . 12
4 ffn 5733 . . . . . . . . . . . 12
5 fnresdm 5690 . . . . . . . . . . . 12
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . . 11
72, 6eqtr2d 2488 . . . . . . . . . 10
87adantr 467 . . . . . . . . 9
9 resundi 5121 . . . . . . . . 9
108, 9syl6eq 2503 . . . . . . . 8
1110cnveqd 5013 . . . . . . 7
12 cnvun 5244 . . . . . . 7
1311, 12syl6eq 2503 . . . . . 6
1413imaeq1d 5170 . . . . 5
15 imaundir 5252 . . . . 5
1614, 15syl6eq 2503 . . . 4
17 mbfres2.2 . . . . . . 7 MblFn
18 ssun1 3599 . . . . . . . . . 10
1918, 1syl5sseq 3482 . . . . . . . . 9
203, 19fssresd 5755 . . . . . . . 8
21 ismbf 22598 . . . . . . . 8 MblFn
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 MblFn
2317, 22mpbid 214 . . . . . 6
2423r19.21bi 2759 . . . . 5
25 mbfres2.3 . . . . . . 7 MblFn
26 ssun2 3600 . . . . . . . . . 10
2726, 1syl5sseq 3482 . . . . . . . . 9
283, 27fssresd 5755 . . . . . . . 8
29 ismbf 22598 . . . . . . . 8 MblFn
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 MblFn
3125, 30mpbid 214 . . . . . 6
3231r19.21bi 2759 . . . . 5
33 unmbl 22503 . . . . 5
3424, 32, 33syl2anc 667 . . . 4
3516, 34eqeltrd 2531 . . 3
3635ralrimiva 2804 . 2
37 ismbf 22598 . . 3 MblFn
383, 37syl 17 . 2 MblFn
3936, 38mpbird 236 1 MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889  wral 2739   cun 3404  ccnv 4836   cdm 4837   crn 4838   cres 4839  cima 4840   wfn 5580  wf 5581  cr 9543  cioo 11642  cvol 22427  MblFncmbf 22584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-xmet 18975  df-met 18976  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-mbf 22589 This theorem is referenced by:  mbfss  22614  mbfresfi  31999  mbfposadd  32000  mbfres2cn  37845
 Copyright terms: Public domain W3C validator