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Theorem mbfres 21779
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 12895 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
2 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
3 ismbf1 21761 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
43simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
54adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
6 pmresg 7436 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A ) )
72, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A
) )
8 cnex 9562 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
9 elpm2g 7425 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A )  <->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  A ) ) )
108, 2, 9sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A )  <->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A )  C_  A ) ) )
117, 10mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  A ) )
1211simpld 459 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )
13 fco 5732 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )  ->  ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
141, 12, 13sylancr 663 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Re  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
15 dmres 5285 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
16 id 22 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
17 mbfdm 21763 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
18 inmbl 21680 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
dom  F  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  dom  F )  e. 
dom  vol )
1916, 17, 18syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( A  i^i  dom  F )  e.  dom  vol )
2015, 19syl5eqel 2552 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  dom  ( F  |`  A )  e.  dom  vol )
21 resco 5502 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re  o.  F )  |`  A )  =  ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
2221cnveqi 5168 . . . . . . 7  |-  `' ( ( Re  o.  F
)  |`  A )  =  `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
2322imaeq1i 5325 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,) +oo ) )
24 cnvresima 5487 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)
2523, 24eqtr3i 2491 . . . . 5  |-  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)
26 mbff 21762 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
27 ismbfcn 21766 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn ) ) )
2928ibi 241 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
3029simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F )  e. MblFn )
31 fco 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
321, 26, 31sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
33 mbfima 21767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Re  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3430, 32, 33syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
35 inmbl 21680 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " (
x (,) +oo )
)  i^i  A )  e.  dom  vol )
3634, 35sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)  e.  dom  vol )
3725, 36syl5eqel 2552 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3837adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3922imaeq1i 5325 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( -oo (,) x ) )
40 cnvresima 5487 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )
4139, 40eqtr3i 2491 . . . . 5  |-  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )
42 mbfima 21767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Re  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
4330, 32, 42syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
44 inmbl 21680 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F
) " ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )  e.  dom  vol )
4543, 44sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
( -oo (,) x ) )  i^i  A )  e.  dom  vol )
4641, 45syl5eqel 2552 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
4746adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol )
4814, 20, 38, 47ismbf2d 21776 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
)
49 imf 12896 . . . 4  |-  Im : CC
--> RR
50 fco 5732 . . . 4  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )  ->  ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
5149, 12, 50sylancr 663 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Im  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
52 resco 5502 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im  o.  F )  |`  A )  =  ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
5352cnveqi 5168 . . . . . . 7  |-  `' ( ( Im  o.  F
)  |`  A )  =  `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
5453imaeq1i 5325 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,) +oo ) )
55 cnvresima 5487 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)
5654, 55eqtr3i 2491 . . . . 5  |-  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)
5729simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
58 fco 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
5949, 26, 58sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
60 mbfima 21767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
6157, 59, 60syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
62 inmbl 21680 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Im  o.  F ) " (
x (,) +oo )
)  i^i  A )  e.  dom  vol )
6361, 62sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)  e.  dom  vol )
6456, 63syl5eqel 2552 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
6564adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
6653imaeq1i 5325 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( -oo (,) x ) )
67 cnvresima 5487 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )
6866, 67eqtr3i 2491 . . . . 5  |-  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )
69 mbfima 21767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
7057, 59, 69syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
71 inmbl 21680 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Im  o.  F
) " ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )  e.  dom  vol )
7270, 71sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Im  o.  F ) "
( -oo (,) x ) )  i^i  A )  e.  dom  vol )
7368, 72syl5eqel 2552 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
7473adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol )
7551, 20, 65, 74ismbf2d 21776 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
)
76 ismbfcn 21766 . . 3  |-  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  ->  ( ( F  |`  A )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
) ) )
7712, 76syl 16 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
) ) )
7848, 75, 77mpbir2and 915 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    i^i cin 3468    C_ wss 3469   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   ran crn 4993    |` cres 4994   "cima 4995    o. ccom 4996   -->wf 5575  (class class class)co 6275    ^pm cpm 7411   CCcc 9479   RRcr 9480   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615   (,)cioo 11518   Recre 12880   Imcim 12881   volcvol 21603  MblFncmbf 21751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xadd 11308  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-xmet 18176  df-met 18177  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756
This theorem is referenced by:  mbfadd  21796  mbfsub  21797  mbfmullem2  21859  mbfmul  21861  itg2cnlem1  21896  iblss  21939  mbfposadd  29626  ftc1cnnclem  29652  ftc1anclem8  29661
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