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Theorem mbfres 22343
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 13094 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
2 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
3 ismbf1 22325 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
43simplbi 458 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
54adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
6 pmresg 7484 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A ) )
72, 5, 6syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A
) )
8 cnex 9603 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
9 elpm2g 7473 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A )  <->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  A ) ) )
108, 2, 9sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A )  <->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A )  C_  A ) ) )
117, 10mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  A ) )
1211simpld 457 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )
13 fco 5724 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )  ->  ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
141, 12, 13sylancr 661 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Re  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
15 dmres 5114 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
16 id 22 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
17 mbfdm 22327 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
18 inmbl 22244 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
dom  F  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  dom  F )  e. 
dom  vol )
1916, 17, 18syl2anr 476 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( A  i^i  dom  F )  e.  dom  vol )
2015, 19syl5eqel 2494 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  dom  ( F  |`  A )  e.  dom  vol )
21 resco 5327 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re  o.  F )  |`  A )  =  ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
2221cnveqi 4998 . . . . . . 7  |-  `' ( ( Re  o.  F
)  |`  A )  =  `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
2322imaeq1i 5154 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,) +oo ) )
24 cnvresima 5312 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)
2523, 24eqtr3i 2433 . . . . 5  |-  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)
26 mbff 22326 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
27 ismbfcn 22330 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn ) ) )
2928ibi 241 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
3029simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F )  e. MblFn )
31 fco 5724 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
321, 26, 31sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
33 mbfima 22331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Re  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3430, 32, 33syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
35 inmbl 22244 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " (
x (,) +oo )
)  i^i  A )  e.  dom  vol )
3634, 35sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)  e.  dom  vol )
3725, 36syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3837adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3922imaeq1i 5154 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( -oo (,) x ) )
40 cnvresima 5312 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )
4139, 40eqtr3i 2433 . . . . 5  |-  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )
42 mbfima 22331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Re  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
4330, 32, 42syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
44 inmbl 22244 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F
) " ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )  e.  dom  vol )
4543, 44sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
( -oo (,) x ) )  i^i  A )  e.  dom  vol )
4641, 45syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
4746adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol )
4814, 20, 38, 47ismbf2d 22340 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
)
49 imf 13095 . . . 4  |-  Im : CC
--> RR
50 fco 5724 . . . 4  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )  ->  ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
5149, 12, 50sylancr 661 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Im  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
52 resco 5327 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im  o.  F )  |`  A )  =  ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
5352cnveqi 4998 . . . . . . 7  |-  `' ( ( Im  o.  F
)  |`  A )  =  `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
5453imaeq1i 5154 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,) +oo ) )
55 cnvresima 5312 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)
5654, 55eqtr3i 2433 . . . . 5  |-  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
" ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)
5729simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
58 fco 5724 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
5949, 26, 58sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
60 mbfima 22331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
6157, 59, 60syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
62 inmbl 22244 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Im  o.  F ) " (
x (,) +oo )
)  i^i  A )  e.  dom  vol )
6361, 62sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,) +oo ) )  i^i  A
)  e.  dom  vol )
6456, 63syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
6564adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
6653imaeq1i 5154 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( -oo (,) x ) )
67 cnvresima 5312 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )
6866, 67eqtr3i 2433 . . . . 5  |-  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
" ( -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )
69 mbfima 22331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
7057, 59, 69syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
71 inmbl 22244 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Im  o.  F
) " ( -oo (,) x ) )  i^i 
A )  e.  dom  vol )
7270, 71sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Im  o.  F ) "
( -oo (,) x ) )  i^i  A )  e.  dom  vol )
7368, 72syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
7473adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol )
7551, 20, 65, 74ismbf2d 22340 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
)
76 ismbfcn 22330 . . 3  |-  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  ->  ( ( F  |`  A )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
) ) )
7712, 76syl 17 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
) ) )
7848, 75, 77mpbir2and 923 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    i^i cin 3413    C_ wss 3414   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   ran crn 4824    |` cres 4825   "cima 4826    o. ccom 4827   -->wf 5565  (class class class)co 6278    ^pm cpm 7458   CCcc 9520   RRcr 9521   +oocpnf 9655   -oocmnf 9656   (,)cioo 11582   Recre 13079   Imcim 13080   volcvol 22167  MblFncmbf 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320
This theorem is referenced by:  mbfadd  22360  mbfsub  22361  mbfmullem2  22423  mbfmul  22425  itg2cnlem1  22460  iblss  22503  mbfposadd  31434  ftc1cnnclem  31461  ftc1anclem8  31470
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