Theorem mbfposr 22351

Description: Converse to mbfpos 22350. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfpos.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
mbfposr.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
mbfposr.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )

Assertion

Ref	Expression
mbfposr	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem mbfposr

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfpos.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
2		eqid 2402	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 6033	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR )
4		mbfposr.2	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
5		0re 9626	. . . 4 |- 0 e. RR
6		ifcl 3927	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
7	1, 5, 6	sylancl 660	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
8	4, 7	mbfdm2 22337	. 2 |- ( ph -> A e. dom vol )
9		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> y < 0 )
10		simpllr 761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
11	10	lt0neg1d 10162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( y < 0 <-> 0 < -u y ) )
12	9, 11	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> 0 < -u y )
13	12	biantrurd 506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u B < -u y <-> ( 0 < -u y /\ -u B < -u y ) ) )
14		simpll 752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ph )
15	14, 1	sylan 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
16	10, 15	ltnegd 10170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> -u B < -u y ) )
17		0red 9627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
18	15	renegcld 10027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
19	10	renegcld 10027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR )
20		maxlt 11446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR /\ -u y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> ( 0 < -u y /\ -u B < -u y ) ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> ( 0 < -u y /\ -u B < -u y ) ) )
22	13, 16, 21	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> y < B ) )
23	1	renegcld 10027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
24		ifcl 3927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
25	23, 5, 24	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
26	14, 25	sylan 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
27	26	biantrurd 506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) ) )
28	15	biantrurd 506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
29	22, 27, 28	3bitr3d 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
30	19	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR* )
31		elioomnf 11673	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u y e. RR* -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) ) )
33	10	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
34		elioopnf 11672	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( B e. ( y (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( y (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
36	29, 32, 35	3bitr4d 285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
37		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
38		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
39	38	fvmpt2 5941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
40	37, 25, 39	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
41	40	eleq1d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) ) )
42	14, 41	sylan 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) ) )
43	2	fvmpt2 5941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ B e. RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
44	37, 1, 43	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
45	44	eleq1d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
46	14, 45	sylan 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
47	36, 42, 46	3bitr4d 285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) )
48	47	pm5.32da 639	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
49	25, 38	fmptd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR )
50		ffn 5714	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) Fn A )
51		elpreima 5985	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) ) )
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) ) )
53	52	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) ) )
54		ffn 5714	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) : A --> RR -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
55		elpreima 5985	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
56	3, 54, 55	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
57	56	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
58	48, 53, 57	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
59	58	alrimiv 1740	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
60		nfmpt1 4484	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
61	60	nfcnv 5002	. . . . . . 7 |- F/_ x `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
62		nfcv 2564	. . . . . . 7 |- F/_ x ( -oo (,) -u y )
63	61, 62	nfima 5165	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )
64		nfmpt1 4484	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
65	64	nfcnv 5002	. . . . . . 7 |- F/_ x `' ( x e. A |-> B )
66		nfcv 2564	. . . . . . 7 |- F/_ x ( y (,) +oo )
67	65, 66	nfima 5165	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) )
68	63, 67	cleqf 2591	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
69	59, 68	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) )
70		mbfposr.3	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )
71		mbfima 22331	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
72	70, 49, 71	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
73	72	ad2antrr 724	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
74	69, 73	eqeltrrd 2491	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
75		0red 9627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
76		simpll 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ph )
77	76, 1	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
78		simpllr 761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
79		maxle 11444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> ( 0 <_ y /\ B <_ y ) ) )
80	75, 77, 78, 79	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> ( 0 <_ y /\ B <_ y ) ) )
81		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> 0 <_ y )
82	81	biantrurd 506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( B <_ y <-> ( 0 <_ y /\ B <_ y ) ) )
83	80, 82	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> B <_ y ) )
84	83	notbid 292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( -. if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> -. B <_ y ) )
85	77, 5, 6	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
86	78, 85	ltnled 9764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) <-> -. if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y ) )
87	78, 77	ltnled 9764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> -. B <_ y ) )
88	84, 86, 87	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) <-> y < B ) )
89	85	biantrurd 506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
90	77	biantrurd 506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
91	88, 89, 90	3bitr3d 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
92	78	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
93		elioopnf 11672	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
95	92, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( y (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
96	91, 94, 95	3bitr4d 285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
97		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
98	97	fvmpt2 5941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
99	37, 7, 98	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
100	99	eleq1d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) ) )
101	76, 100	sylan 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) ) )
102	76, 45	sylan 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
103	96, 101, 102	3bitr4d 285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) )
104	103	pm5.32da 639	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
105	7, 97	fmptd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR )
106		ffn 5714	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) Fn A )
107		elpreima 5985	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
108	105, 106, 107	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
109	108	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
110	56	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
111	104, 109, 110	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
112	111	alrimiv 1740	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
113		nfmpt1 4484	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
114	113	nfcnv 5002	. . . . . . 7 |- F/_ x `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
115	114, 66	nfima 5165	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) )
116	115, 67	cleqf 2591	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
117	112, 116	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) )
118		mbfima 22331	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
119	4, 105, 118	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
120	119	ad2antrr 724	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
121	117, 120	eqeltrrd 2491	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
122		simpr 459	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
123		0red 9627	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 0 e. RR )
124	74, 121, 122, 123	ltlecasei 9724	. 2 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
125		0red 9627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
126		simpll 752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ph )
127	126, 1	sylan 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
128		simpllr 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
129		maxlt 11446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> ( 0 < y /\ B < y ) ) )
130	125, 127, 128, 129	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> ( 0 < y /\ B < y ) ) )
131		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> 0 < y )
132	131	biantrurd 506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> ( 0 < y /\ B < y ) ) )
133	130, 132	bitr4d 256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> B < y ) )
134	126, 7	sylan 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
135	134	biantrurd 506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) ) )
136	127	biantrurd 506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
137	133, 135, 136	3bitr3d 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
138	128	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
139		elioomnf 11673	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) ) )
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) ) )
141		elioomnf 11673	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
142	138, 141	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( -oo (,) y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
143	137, 140, 142	3bitr4d 285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
144	99	eleq1d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) ) )
145	126, 144	sylan 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) ) )
146	44	eleq1d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
147	126, 146	sylan 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
148	143, 145, 147	3bitr4d 285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) )
149	148	pm5.32da 639	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
150		elpreima 5985	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
151	105, 106, 150	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
152	151	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
153		elpreima 5985	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
154	3, 54, 153	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
155	154	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
156	149, 152, 155	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
157	156	alrimiv 1740	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
158		nfcv 2564	. . . . . . 7 |- F/_ x ( -oo (,) y )
159	114, 158	nfima 5165	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) )
160	65, 158	nfima 5165	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) )
161	159, 160	cleqf 2591	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
162	157, 161	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) )
163		mbfima 22331	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
164	4, 105, 163	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
165	164	ad2antrr 724	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
166	162, 165	eqeltrrd 2491	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
167		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> y <_ 0 )
168		simpllr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
169	168	le0neg1d 10164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( y <_ 0 <-> 0 <_ -u y ) )
170	167, 169	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> 0 <_ -u y )
171	170	biantrurd 506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u B <_ -u y <-> ( 0 <_ -u y /\ -u B <_ -u y ) ) )
172		simpll 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ph )
173	172, 1	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
174	168, 173	lenegd 10171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( y <_ B <-> -u B <_ -u y ) )
175		0red 9627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
176	173	renegcld 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
177	168	renegcld 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR )
178		maxle 11444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR /\ -u y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> ( 0 <_ -u y /\ -u B <_ -u y ) ) )
179	175, 176, 177, 178	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> ( 0 <_ -u y /\ -u B <_ -u y ) ) )
180	171, 174, 179	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> y <_ B ) )
181	180	notbid 292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> -. y <_ B ) )
182	172, 25	sylan 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
183	177, 182	ltnled 9764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> -. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y ) )
184	173, 168	ltnled 9764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> -. y <_ B ) )
185	181, 183, 184	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> B < y ) )
186	182	biantrurd 506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
187	173	biantrurd 506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
188	185, 186, 187	3bitr3d 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
189	177	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR* )
190		elioopnf 11672	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u y e. RR* -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
192	168	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
193	192, 141	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( -oo (,) y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
194	188, 191, 193	3bitr4d 285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
195	40	eleq1d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) ) )
196	172, 195	sylan 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) ) )
197	172, 146	sylan 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
198	194, 196, 197	3bitr4d 285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) )
199	198	pm5.32da 639	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
200		elpreima 5985	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) ) )
201	49, 50, 200	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) ) )
202	201	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) ) )
203	154	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
204	199, 202, 203	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
205	204	alrimiv 1740	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
206		nfcv 2564	. . . . . . 7 |- F/_ x ( -u y (,) +oo )
207	61, 206	nfima 5165	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )
208	207, 160	cleqf 2591	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
209	205, 208	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) )
210		mbfima 22331	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) e. dom vol )
211	70, 49, 210	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) e. dom vol )
212	211	ad2antrr 724	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) e. dom vol )
213	209, 212	eqeltrrd 2491	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
214	166, 213, 123, 122	ltlecasei 9724	. 2 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
215	3, 8, 124, 214	ismbf2d 22340	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1403   = wceq 1405   e. wcel 1842   ifcif 3885   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   "cima 4826   Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   +oocpnf 9655   -oocmnf 9656   RR*cxr 9657   < clt 9658   <_ cle 9659   -ucneg 9842   (,)cioo 11582   volcvol 22167  MblFncmbf 22315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320

This theorem is referenced by:  mbfposb  22352