Theorem mbfposr 22620

Description: Converse to mbfpos 22619. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfpos.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
mbfposr.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
mbfposr.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )

Assertion

Ref	Expression
mbfposr	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem mbfposr

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfpos.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
2		eqid 2453	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 6051	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR )
4		mbfposr.2	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
5		0re 9648	. . . 4 |- 0 e. RR
6		ifcl 3925	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
7	1, 5, 6	sylancl 669	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
8	4, 7	mbfdm2 22606	. 2 |- ( ph -> A e. dom vol )
9		simplr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> y < 0 )
10		simpllr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
11	10	lt0neg1d 10190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( y < 0 <-> 0 < -u y ) )
12	9, 11	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> 0 < -u y )
13	12	biantrurd 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u B < -u y <-> ( 0 < -u y /\ -u B < -u y ) ) )
14		simpll 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ph )
15	14, 1	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
16	10, 15	ltnegd 10198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> -u B < -u y ) )
17		0red 9649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
18	15	renegcld 10053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
19	10	renegcld 10053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR )
20		maxlt 11494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR /\ -u y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> ( 0 < -u y /\ -u B < -u y ) ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> ( 0 < -u y /\ -u B < -u y ) ) )
22	13, 16, 21	3bitr4rd 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> y < B ) )
23	1	renegcld 10053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
24		ifcl 3925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
25	23, 5, 24	sylancl 669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
26	14, 25	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
27	26	biantrurd 511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) ) )
28	15	biantrurd 511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
29	22, 27, 28	3bitr3d 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
30	19	rexrd 9695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR* )
31		elioomnf 11736	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u y e. RR* -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) ) )
33	10	rexrd 9695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
34		elioopnf 11735	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( B e. ( y (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( y (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
36	29, 32, 35	3bitr4d 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
37		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
38		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
39	38	fvmpt2 5962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
40	37, 25, 39	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
41	40	eleq1d 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) ) )
42	14, 41	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) ) )
43	2	fvmpt2 5962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ B e. RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
44	37, 1, 43	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
45	44	eleq1d 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
46	14, 45	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
47	36, 42, 46	3bitr4d 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) )
48	47	pm5.32da 647	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
49	25, 38	fmptd 6051	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR )
50		ffn 5733	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) Fn A )
51		elpreima 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) ) )
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) ) )
53	52	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) ) )
54		ffn 5733	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) : A --> RR -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
55		elpreima 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
56	3, 54, 55	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
57	56	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
58	48, 53, 57	3bitr4d 289	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
59	58	alrimiv 1775	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
60		nfmpt1 4495	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
61	60	nfcnv 5016	. . . . . . 7 |- F/_ x `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
62		nfcv 2594	. . . . . . 7 |- F/_ x ( -oo (,) -u y )
63	61, 62	nfima 5179	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )
64		nfmpt1 4495	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
65	64	nfcnv 5016	. . . . . . 7 |- F/_ x `' ( x e. A |-> B )
66		nfcv 2594	. . . . . . 7 |- F/_ x ( y (,) +oo )
67	65, 66	nfima 5179	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) )
68	63, 67	cleqf 2619	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
69	59, 68	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) )
70		mbfposr.3	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )
71		mbfima 22600	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
72	70, 49, 71	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
73	72	ad2antrr 733	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
74	69, 73	eqeltrrd 2532	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
75		0red 9649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
76		simpll 761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ph )
77	76, 1	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
78		simpllr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
79		maxle 11492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> ( 0 <_ y /\ B <_ y ) ) )
80	75, 77, 78, 79	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> ( 0 <_ y /\ B <_ y ) ) )
81		simplr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> 0 <_ y )
82	81	biantrurd 511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( B <_ y <-> ( 0 <_ y /\ B <_ y ) ) )
83	80, 82	bitr4d 260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> B <_ y ) )
84	83	notbid 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( -. if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> -. B <_ y ) )
85	77, 5, 6	sylancl 669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
86	78, 85	ltnled 9787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) <-> -. if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y ) )
87	78, 77	ltnled 9787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> -. B <_ y ) )
88	84, 86, 87	3bitr4d 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) <-> y < B ) )
89	85	biantrurd 511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
90	77	biantrurd 511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
91	88, 89, 90	3bitr3d 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
92	78	rexrd 9695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
93		elioopnf 11735	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
95	92, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( y (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
96	91, 94, 95	3bitr4d 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
97		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
98	97	fvmpt2 5962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
99	37, 7, 98	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
100	99	eleq1d 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) ) )
101	76, 100	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) ) )
102	76, 45	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
103	96, 101, 102	3bitr4d 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) )
104	103	pm5.32da 647	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
105	7, 97	fmptd 6051	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR )
106		ffn 5733	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) Fn A )
107		elpreima 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
108	105, 106, 107	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
109	108	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
110	56	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
111	104, 109, 110	3bitr4d 289	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
112	111	alrimiv 1775	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
113		nfmpt1 4495	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
114	113	nfcnv 5016	. . . . . . 7 |- F/_ x `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
115	114, 66	nfima 5179	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) )
116	115, 67	cleqf 2619	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
117	112, 116	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) )
118		mbfima 22600	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
119	4, 105, 118	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
120	119	ad2antrr 733	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
121	117, 120	eqeltrrd 2532	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
122		simpr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
123		0red 9649	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 0 e. RR )
124	74, 121, 122, 123	ltlecasei 9747	. 2 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
125		0red 9649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
126		simpll 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ph )
127	126, 1	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
128		simpllr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
129		maxlt 11494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> ( 0 < y /\ B < y ) ) )
130	125, 127, 128, 129	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> ( 0 < y /\ B < y ) ) )
131		simplr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> 0 < y )
132	131	biantrurd 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> ( 0 < y /\ B < y ) ) )
133	130, 132	bitr4d 260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> B < y ) )
134	126, 7	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
135	134	biantrurd 511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) ) )
136	127	biantrurd 511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
137	133, 135, 136	3bitr3d 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
138	128	rexrd 9695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
139		elioomnf 11736	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) ) )
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) ) )
141		elioomnf 11736	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
142	138, 141	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( -oo (,) y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
143	137, 140, 142	3bitr4d 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
144	99	eleq1d 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) ) )
145	126, 144	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) ) )
146	44	eleq1d 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
147	126, 146	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
148	143, 145, 147	3bitr4d 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) )
149	148	pm5.32da 647	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
150		elpreima 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
151	105, 106, 150	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
152	151	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
153		elpreima 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
154	3, 54, 153	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
155	154	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
156	149, 152, 155	3bitr4d 289	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
157	156	alrimiv 1775	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
158		nfcv 2594	. . . . . . 7 |- F/_ x ( -oo (,) y )
159	114, 158	nfima 5179	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) )
160	65, 158	nfima 5179	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) )
161	159, 160	cleqf 2619	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
162	157, 161	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) )
163		mbfima 22600	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
164	4, 105, 163	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
165	164	ad2antrr 733	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
166	162, 165	eqeltrrd 2532	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
167		simplr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> y <_ 0 )
168		simpllr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
169	168	le0neg1d 10192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( y <_ 0 <-> 0 <_ -u y ) )
170	167, 169	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> 0 <_ -u y )
171	170	biantrurd 511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u B <_ -u y <-> ( 0 <_ -u y /\ -u B <_ -u y ) ) )
172		simpll 761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ph )
173	172, 1	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
174	168, 173	lenegd 10199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( y <_ B <-> -u B <_ -u y ) )
175		0red 9649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
176	173	renegcld 10053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
177	168	renegcld 10053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR )
178		maxle 11492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR /\ -u y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> ( 0 <_ -u y /\ -u B <_ -u y ) ) )
179	175, 176, 177, 178	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> ( 0 <_ -u y /\ -u B <_ -u y ) ) )
180	171, 174, 179	3bitr4rd 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> y <_ B ) )
181	180	notbid 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> -. y <_ B ) )
182	172, 25	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
183	177, 182	ltnled 9787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> -. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y ) )
184	173, 168	ltnled 9787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> -. y <_ B ) )
185	181, 183, 184	3bitr4d 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> B < y ) )
186	182	biantrurd 511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
187	173	biantrurd 511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
188	185, 186, 187	3bitr3d 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
189	177	rexrd 9695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR* )
190		elioopnf 11735	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u y e. RR* -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
192	168	rexrd 9695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
193	192, 141	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( -oo (,) y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
194	188, 191, 193	3bitr4d 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
195	40	eleq1d 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) ) )
196	172, 195	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) ) )
197	172, 146	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
198	194, 196, 197	3bitr4d 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) )
199	198	pm5.32da 647	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
200		elpreima 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) ) )
201	49, 50, 200	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) ) )
202	201	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) ) )
203	154	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
204	199, 202, 203	3bitr4d 289	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
205	204	alrimiv 1775	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
206		nfcv 2594	. . . . . . 7 |- F/_ x ( -u y (,) +oo )
207	61, 206	nfima 5179	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )
208	207, 160	cleqf 2619	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
209	205, 208	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) )
210		mbfima 22600	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) e. dom vol )
211	70, 49, 210	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) e. dom vol )
212	211	ad2antrr 733	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) e. dom vol )
213	209, 212	eqeltrrd 2532	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
214	166, 213, 123, 122	ltlecasei 9747	. 2 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
215	3, 8, 124, 214	ismbf2d 22609	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1444   = wceq 1446   e. wcel 1889   ifcif 3883   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840   Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   0cc0 9544   +oocpnf 9677   -oocmnf 9678   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681   -ucneg 9866   (,)cioo 11642   volcvol 22427  MblFncmbf 22584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-xmet 18975  df-met 18976  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-mbf 22589

This theorem is referenced by:  mbfposb  22621