Theorem mbfposr 21130

Description: Converse to mbfpos 21129. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfpos.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
mbfposr.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
mbfposr.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )

Assertion

Ref	Expression
mbfposr	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem mbfposr

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfpos.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
2		eqid 2443	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 5867	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR )
4		mbfposr.2	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
5		0re 9386	. . . 4 |- 0 e. RR
6		ifcl 3831	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
7	1, 5, 6	sylancl 662	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
8	4, 7	mbfdm2 21116	. 2 |- ( ph -> A e. dom vol )
9		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> y < 0 )
10		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
11	10	lt0neg1d 9909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( y < 0 <-> 0 < -u y ) )
12	9, 11	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> 0 < -u y )
13	12	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u B < -u y <-> ( 0 < -u y /\ -u B < -u y ) ) )
14		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ph )
15	14, 1	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
16	10, 15	ltnegd 9917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> -u B < -u y ) )
17		0red 9387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
18	15	renegcld 9775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
19	10	renegcld 9775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR )
20		maxlt 11164	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR /\ -u y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> ( 0 < -u y /\ -u B < -u y ) ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> ( 0 < -u y /\ -u B < -u y ) ) )
22	13, 16, 21	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> y < B ) )
23	1	renegcld 9775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
24		ifcl 3831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
25	23, 5, 24	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
26	14, 25	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
27	26	biantrurd 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) ) )
28	15	biantrurd 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
29	22, 27, 28	3bitr3d 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
30	19	rexrd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR* )
31		elioomnf 11384	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u y e. RR* -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) < -u y ) ) )
33	10	rexrd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
34		elioopnf 11383	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( B e. ( y (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( y (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
36	29, 32, 35	3bitr4d 285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
37		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
38		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
39	38	fvmpt2 5781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
40	37, 25, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
41	40	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) ) )
42	14, 41	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -oo (,) -u y ) ) )
43	2	fvmpt2 5781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ B e. RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
44	37, 1, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
45	44	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
46	14, 45	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
47	36, 42, 46	3bitr4d 285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) )
48	47	pm5.32da 641	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
49	25, 38	fmptd 5867	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR )
50		ffn 5559	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) Fn A )
51		elpreima 5823	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) ) )
52	49, 50, 51	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) ) )
53	52	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) -u y ) ) ) )
54		ffn 5559	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) : A --> RR -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
55		elpreima 5823	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
56	3, 54, 55	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
57	56	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
58	48, 53, 57	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
59	58	alrimiv 1685	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
60		nfmpt1 4381	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
61	60	nfcnv 5018	. . . . . . 7 |- F/_ x `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
62		nfcv 2579	. . . . . . 7 |- F/_ x ( -oo (,) -u y )
63	61, 62	nfima 5177	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )
64		nfmpt1 4381	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
65	64	nfcnv 5018	. . . . . . 7 |- F/_ x `' ( x e. A |-> B )
66		nfcv 2579	. . . . . . 7 |- F/_ x ( y (,) +oo )
67	65, 66	nfima 5177	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) )
68	63, 67	cleqf 2603	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
69	59, 68	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) )
70		mbfposr.3	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )
71		mbfima 21110	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
72	70, 49, 71	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
73	72	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
74	69, 73	eqeltrrd 2518	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y < 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
75		0red 9387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
76		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ph )
77	76, 1	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
78		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
79		maxle 11162	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> ( 0 <_ y /\ B <_ y ) ) )
80	75, 77, 78, 79	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> ( 0 <_ y /\ B <_ y ) ) )
81		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> 0 <_ y )
82	81	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( B <_ y <-> ( 0 <_ y /\ B <_ y ) ) )
83	80, 82	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> B <_ y ) )
84	83	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( -. if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y <-> -. B <_ y ) )
85	77, 5, 6	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
86	78, 85	ltnled 9521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) <-> -. if ( 0 <_ B , B , 0 ) <_ y ) )
87	78, 77	ltnled 9521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> -. B <_ y ) )
88	84, 86, 87	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) <-> y < B ) )
89	85	biantrurd 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
90	77	biantrurd 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( y < B <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
91	88, 89, 90	3bitr3d 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
92	78	rexrd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
93		elioopnf 11383	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ y < if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
95	92, 34	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( y (,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ y < B ) ) )
96	91, 94, 95	3bitr4d 285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
97		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
98	97	fvmpt2 5781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
99	37, 7, 98	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
100	99	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) ) )
101	76, 100	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( y (,) +oo ) ) )
102	76, 45	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> B e. ( y (,) +oo ) ) )
103	96, 101, 102	3bitr4d 285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) )
104	103	pm5.32da 641	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
105	7, 97	fmptd 5867	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR )
106		ffn 5559	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) Fn A )
107		elpreima 5823	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
108	105, 106, 107	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
109	108	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
110	56	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
111	104, 109, 110	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
112	111	alrimiv 1685	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
113		nfmpt1 4381	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
114	113	nfcnv 5018	. . . . . . 7 |- F/_ x `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
115	114, 66	nfima 5177	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) )
116	115, 67	cleqf 2603	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
117	112, 116	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) )
118		mbfima 21110	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
119	4, 105, 118	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
120	119	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
121	117, 120	eqeltrrd 2518	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 <_ y ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
122		simpr 461	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
123		0red 9387	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 0 e. RR )
124	74, 121, 122, 123	ltlecasei 9482	. 2 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
125		0red 9387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
126		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ph )
127	126, 1	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
128		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
129		maxlt 11164	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> ( 0 < y /\ B < y ) ) )
130	125, 127, 128, 129	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> ( 0 < y /\ B < y ) ) )
131		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> 0 < y )
132	131	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> ( 0 < y /\ B < y ) ) )
133	130, 132	bitr4d 256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> B < y ) )
134	126, 7	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
135	134	biantrurd 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) ) )
136	127	biantrurd 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
137	133, 135, 136	3bitr3d 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
138	128	rexrd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
139		elioomnf 11384	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) ) )
140	138, 139	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR /\ if ( 0 <_ B , B , 0 ) < y ) ) )
141		elioomnf 11384	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
142	138, 141	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( -oo (,) y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
143	137, 140, 142	3bitr4d 285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
144	99	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) ) )
145	126, 144	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. ( -oo (,) y ) ) )
146	44	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
147	126, 146	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
148	143, 145, 147	3bitr4d 285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) )
149	148	pm5.32da 641	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
150		elpreima 5823	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
151	105, 106, 150	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
152	151	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
153		elpreima 5823	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
154	3, 54, 153	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
155	154	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
156	149, 152, 155	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
157	156	alrimiv 1685	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
158		nfcv 2579	. . . . . . 7 |- F/_ x ( -oo (,) y )
159	114, 158	nfima 5177	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) )
160	65, 158	nfima 5177	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) )
161	159, 160	cleqf 2603	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
162	157, 161	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) )
163		mbfima 21110	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
164	4, 105, 163	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
165	164	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
166	162, 165	eqeltrrd 2518	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ 0 < y ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
167		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> y <_ 0 )
168		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
169	168	le0neg1d 9911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( y <_ 0 <-> 0 <_ -u y ) )
170	167, 169	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> 0 <_ -u y )
171	170	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u B <_ -u y <-> ( 0 <_ -u y /\ -u B <_ -u y ) ) )
172		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ph )
173	172, 1	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
174	168, 173	lenegd 9918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( y <_ B <-> -u B <_ -u y ) )
175		0red 9387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
176	173	renegcld 9775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
177	168	renegcld 9775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR )
178		maxle 11162	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR /\ -u y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> ( 0 <_ -u y /\ -u B <_ -u y ) ) )
179	175, 176, 177, 178	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> ( 0 <_ -u y /\ -u B <_ -u y ) ) )
180	171, 174, 179	3bitr4rd 286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> y <_ B ) )
181	180	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y <-> -. y <_ B ) )
182	172, 25	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
183	177, 182	ltnled 9521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> -. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <_ -u y ) )
184	173, 168	ltnled 9521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> -. y <_ B ) )
185	181, 183, 184	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> B < y ) )
186	182	biantrurd 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
187	173	biantrurd 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( B < y <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
188	185, 186, 187	3bitr3d 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
189	177	rexrd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR* )
190		elioopnf 11383	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u y e. RR* -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
191	189, 190	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR /\ -u y < if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
192	168	rexrd 9433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
193	192, 141	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( -oo (,) y ) <-> ( B e. RR /\ B < y ) ) )
194	188, 191, 193	3bitr4d 285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
195	40	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) ) )
196	172, 195	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. ( -u y (,) +oo ) ) )
197	172, 146	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) <-> B e. ( -oo (,) y ) ) )
198	194, 196, 197	3bitr4d 285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) )
199	198	pm5.32da 641	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
200		elpreima 5823	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) Fn A -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) ) )
201	49, 50, 200	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) ) )
202	201	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ` x ) e. ( -u y (,) +oo ) ) ) )
203	154	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
204	199, 202, 203	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
205	204	alrimiv 1685	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
206		nfcv 2579	. . . . . . 7 |- F/_ x ( -u y (,) +oo )
207	61, 206	nfima 5177	. . . . . 6 |- F/_ x ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )
208	207, 160	cleqf 2603	. . . . 5 |- ( ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) <-> A. x ( x e. ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) <-> x e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
209	205, 208	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) )
210		mbfima 21110	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) e. dom vol )
211	70, 49, 210	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) e. dom vol )
212	211	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) ) e. dom vol )
213	209, 212	eqeltrrd 2518	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ y <_ 0 ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
214	166, 213, 123, 122	ltlecasei 9482	. 2 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
215	3, 8, 124, 214	ismbf2d 21119	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   ifcif 3791   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   "cima 4843   Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   +oocpnf 9415   -oocmnf 9416   RR*cxr 9417   < clt 9418   <_ cle 9419   -ucneg 9596   (,)cioo 11300   volcvol 20947  MblFncmbf 21094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xadd 11090  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-xmet 17810  df-met 17811  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099

This theorem is referenced by:  mbfposb  21131