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Theorem mbfposr 22620
Description: Converse to mbfpos 22619. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfposr.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
mbfposr.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfposr  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfposr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfpos.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 eqid 2453 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 6051 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
4 mbfposr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
5 0re 9648 . . . 4  |-  0  e.  RR
6 ifcl 3925 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
71, 5, 6sylancl 669 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
84, 7mbfdm2 22606 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
9 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  y  <  0 )
10 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
1110lt0neg1d 10190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  0  <->  0  <  -u y ) )
129, 11mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  0  <  -u y )
1312biantrurd 511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <  -u y  <->  ( 0  <  -u y  /\  -u B  <  -u y
) ) )
14 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ph )
1514, 1sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1610, 15ltnegd 10198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  B  <->  -u B  <  -u y ) )
17 0red 9649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
1815renegcld 10053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
1910renegcld 10053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR )
20 maxlt 11494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  ( 0  <  -u y  /\  -u B  <  -u y ) ) )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  ( 0  <  -u y  /\  -u B  <  -u y
) ) )
2213, 16, 213bitr4rd 290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  y  <  B ) )
231renegcld 10053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
24 ifcl 3925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2523, 5, 24sylancl 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2614, 25sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2726biantrurd 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y ) ) )
2815biantrurd 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  B  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
2922, 27, 283bitr3d 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y
)  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
3019rexrd 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR* )
31 elioomnf 11736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y
) ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y
) ) )
3310rexrd 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
34 elioopnf 11735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
3629, 32, 353bitr4d 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
37 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
38 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
3938fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
4037, 25, 39syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
4140eleq1d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) )
4214, 41sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) )
432fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
4437, 1, 43syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
4544eleq1d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
4614, 45sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
4736, 42, 463bitr4d 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo ) ) )
4847pm5.32da 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
4925, 38fmptd 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR )
50 ffn 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  Fn  A )
51 elpreima 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) ) )
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) ) )
5352ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -oo (,) -u y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -oo (,) -u y
) ) ) )
54 ffn 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
55 elpreima 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
563, 54, 553syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
5756ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
5848, 53, 573bitr4d 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -oo (,) -u y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
5958alrimiv 1775 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
) ) )
60 nfmpt1 4495 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
6160nfcnv 5016 . . . . . . 7  |-  F/_ x `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
62 nfcv 2594 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( -oo (,) -u y
)
6361, 62nfima 5179 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )
64 nfmpt1 4495 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
6564nfcnv 5016 . . . . . . 7  |-  F/_ x `' ( x  e.  A  |->  B )
66 nfcv 2594 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( y (,) +oo )
6765, 66nfima 5179 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( y (,) +oo ) )
6863, 67cleqf 2619 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( y (,) +oo ) )  <->  A. x ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
) ) )
6959, 68sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( y (,) +oo ) ) )
70 mbfposr.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
71 mbfima 22600 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
7270, 49, 71syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
7372ad2antrr 733 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
7469, 73eqeltrrd 2532 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
75 0red 9649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  e.  RR )
76 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ph )
7776, 1sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
78 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
79 maxle 11492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  ( 0  <_  y  /\  B  <_  y ) ) )
8075, 77, 78, 79syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  ( 0  <_  y  /\  B  <_  y ) ) )
81 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <_  y )
8281biantrurd 511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  y  <->  ( 0  <_ 
y  /\  B  <_  y ) ) )
8380, 82bitr4d 260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  B  <_  y ) )
8483notbid 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  -.  B  <_  y ) )
8577, 5, 6sylancl 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
8678, 85ltnled 9787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  <->  -.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y ) )
8778, 77ltnled 9787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  B  <->  -.  B  <_  y ) )
8884, 86, 873bitr4d 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  <->  y  <  B ) )
8985biantrurd 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) ) )
9077biantrurd 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  B  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
9188, 89, 903bitr3d 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
9278rexrd 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR* )
93 elioopnf 11735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) ) )
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) ) )
9592, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( B  e.  RR  /\  y  <  B ) ) )
9691, 94, 953bitr4d 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  (
y (,) +oo )
) )
97 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
9897fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )  -> 
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
9937, 7, 98syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
10099eleq1d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  ( y (,) +oo )
) )
10176, 100sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo ) ) )
10276, 45sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
10396, 101, 1023bitr4d 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) )
104103pm5.32da 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
1057, 97fmptd 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> RR )
106 ffn 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  Fn  A )
107 elpreima 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
108105, 106, 1073syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
109108ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
11056ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
111104, 109, 1103bitr4d 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
112111alrimiv 1775 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
113 nfmpt1 4495 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
114113nfcnv 5016 . . . . . . 7  |-  F/_ x `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
115114, 66nfima 5179 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( y (,) +oo ) )
116115, 67cleqf 2619 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
117112, 116sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) )
118 mbfima 22600 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> RR )  -> 
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
1194, 105, 118syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
120119ad2antrr 733 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
121117, 120eqeltrrd 2532 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
122 simpr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
123 0red 9649 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
12474, 121, 122, 123ltlecasei 9747 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
125 0red 9649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  e.  RR )
126 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ph )
127126, 1sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
128 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
129 maxlt 11494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  ( 0  <  y  /\  B  <  y ) ) )
130125, 127, 128, 129syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  ( 0  <  y  /\  B  <  y ) ) )
131 simplr 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <  y )
132131biantrurd 511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  ( 0  < 
y  /\  B  <  y ) ) )
133130, 132bitr4d 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  B  <  y ) )
134126, 7sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
135134biantrurd 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y ) ) )
136127biantrurd 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
137133, 135, 1363bitr3d 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
138128rexrd 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR* )
139 elioomnf 11736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y ) ) )
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y ) ) )
141 elioomnf 11736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
142138, 141syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
143137, 140, 1423bitr4d 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( -oo (,) y )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
14499eleq1d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  ( -oo (,) y ) ) )
145126, 144sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y )  <-> 
if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  ( -oo (,) y ) ) )
14644eleq1d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y )  <-> 
B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
147126, 146sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
148143, 145, 1473bitr4d 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) )
149148pm5.32da 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -oo (,) y
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
150 elpreima 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
151105, 106, 1503syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
152151ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
153 elpreima 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
1543, 54, 1533syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
155154ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
156149, 152, 1553bitr4d 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( -oo (,) y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
157156alrimiv 1775 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
158 nfcv 2594 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( -oo (,) y )
159114, 158nfima 5179 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( -oo (,) y ) )
16065, 158nfima 5179 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) y ) )
161159, 160cleqf 2619 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) y ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
162157, 161sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) y ) ) )
163 mbfima 22600 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> RR )  -> 
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
1644, 105, 163syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
165164ad2antrr 733 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
166162, 165eqeltrrd 2532 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
167 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  y  <_  0 )
168 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
169168le0neg1d 10192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <_  0  <->  0  <_  -u y
) )
170167, 169mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <_  -u y )
171170biantrurd 511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u B  <_ 
-u y  <->  ( 0  <_  -u y  /\  -u B  <_ 
-u y ) ) )
172 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ph )
173172, 1sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
174168, 173lenegd 10199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  <->  -u B  <_  -u y
) )
175 0red 9649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  0  e.  RR )
176173renegcld 10053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  -u B  e.  RR )
177168renegcld 10053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  -u y  e.  RR )
178 maxle 11492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  ( 0  <_  -u y  /\  -u B  <_ 
-u y ) ) )
179175, 176, 177, 178syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  ( 0  <_  -u y  /\  -u B  <_ 
-u y ) ) )
180171, 174, 1793bitr4rd 290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  y  <_  B ) )
181180notbid 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  -.  y  <_  B ) )
182172, 25sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
183177, 182ltnled 9787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <->  -.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y ) )
184173, 168ltnled 9787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  -.  y  <_  B ) )
185181, 183, 1843bitr4d 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <->  B  <  y ) )
186182biantrurd 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
187173biantrurd 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
188185, 186, 1873bitr3d 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
189177rexrd 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  -u y  e. 
RR* )
190 elioopnf 11735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
192168rexrd 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR* )
193192, 141syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
194188, 191, 1933bitr4d 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
19540eleq1d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) )
196172, 195sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) )
197172, 146sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
198194, 196, 1973bitr4d 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  e.  ( -oo (,) y
) ) )
199198pm5.32da 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
200 elpreima 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) ) )
20149, 50, 2003syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) ) )
202201ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -u y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) ) )
203154ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
204199, 202, 2033bitr4d 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -u y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
205204alrimiv 1775 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
206 nfcv 2594 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( -u y (,) +oo )
20761, 206nfima 5179 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )
208207, 160cleqf 2619 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
209205, 208sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) ) )
210 mbfima 22600 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
21170, 49, 210syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
212211ad2antrr 733 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
213209, 212eqeltrrd 2532 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
214166, 213, 123, 122ltlecasei 9747 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
2153, 8, 124, 214ismbf2d 22609 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1444    = wceq 1446    e. wcel 1889   ifcif 3883   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840    Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   0cc0 9544   +oocpnf 9677   -oocmnf 9678   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681   -ucneg 9866   (,)cioo 11642   volcvol 22427  MblFncmbf 22584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-xmet 18975  df-met 18976  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-mbf 22589
This theorem is referenced by:  mbfposb  22621
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