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Theorem mbfposr 22351
Description: Converse to mbfpos 22350. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfposr.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
mbfposr.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfposr  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfposr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfpos.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 6033 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
4 mbfposr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
5 0re 9626 . . . 4  |-  0  e.  RR
6 ifcl 3927 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
71, 5, 6sylancl 660 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
84, 7mbfdm2 22337 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
9 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  y  <  0 )
10 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
1110lt0neg1d 10162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  0  <->  0  <  -u y ) )
129, 11mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  0  <  -u y )
1312biantrurd 506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <  -u y  <->  ( 0  <  -u y  /\  -u B  <  -u y
) ) )
14 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ph )
1514, 1sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1610, 15ltnegd 10170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  B  <->  -u B  <  -u y ) )
17 0red 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
1815renegcld 10027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
1910renegcld 10027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR )
20 maxlt 11446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  ( 0  <  -u y  /\  -u B  <  -u y ) ) )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  ( 0  <  -u y  /\  -u B  <  -u y
) ) )
2213, 16, 213bitr4rd 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  y  <  B ) )
231renegcld 10027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
24 ifcl 3927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2523, 5, 24sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2614, 25sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2726biantrurd 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y ) ) )
2815biantrurd 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  B  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
2922, 27, 283bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y
)  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
3019rexrd 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR* )
31 elioomnf 11673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y
) ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y
) ) )
3310rexrd 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
34 elioopnf 11672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
3629, 32, 353bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
37 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
38 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
3938fvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
4037, 25, 39syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
4140eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) )
4214, 41sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) )
432fvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
4437, 1, 43syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
4544eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
4614, 45sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
4736, 42, 463bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo ) ) )
4847pm5.32da 639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
4925, 38fmptd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR )
50 ffn 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  Fn  A )
51 elpreima 5985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) ) )
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) ) )
5352ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -oo (,) -u y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -oo (,) -u y
) ) ) )
54 ffn 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
55 elpreima 5985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
563, 54, 553syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
5756ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
5848, 53, 573bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -oo (,) -u y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
5958alrimiv 1740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
) ) )
60 nfmpt1 4484 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
6160nfcnv 5002 . . . . . . 7  |-  F/_ x `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
62 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( -oo (,) -u y
)
6361, 62nfima 5165 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )
64 nfmpt1 4484 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
6564nfcnv 5002 . . . . . . 7  |-  F/_ x `' ( x  e.  A  |->  B )
66 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( y (,) +oo )
6765, 66nfima 5165 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( y (,) +oo ) )
6863, 67cleqf 2591 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( y (,) +oo ) )  <->  A. x ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
) ) )
6959, 68sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( y (,) +oo ) ) )
70 mbfposr.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
71 mbfima 22331 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
7270, 49, 71syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
7372ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
7469, 73eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
75 0red 9627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  e.  RR )
76 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ph )
7776, 1sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
78 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
79 maxle 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  ( 0  <_  y  /\  B  <_  y ) ) )
8075, 77, 78, 79syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  ( 0  <_  y  /\  B  <_  y ) ) )
81 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <_  y )
8281biantrurd 506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  y  <->  ( 0  <_ 
y  /\  B  <_  y ) ) )
8380, 82bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  B  <_  y ) )
8483notbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  -.  B  <_  y ) )
8577, 5, 6sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
8678, 85ltnled 9764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  <->  -.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y ) )
8778, 77ltnled 9764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  B  <->  -.  B  <_  y ) )
8884, 86, 873bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  <->  y  <  B ) )
8985biantrurd 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) ) )
9077biantrurd 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  B  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
9188, 89, 903bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
9278rexrd 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR* )
93 elioopnf 11672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) ) )
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) ) )
9592, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( B  e.  RR  /\  y  <  B ) ) )
9691, 94, 953bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  (
y (,) +oo )
) )
97 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
9897fvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )  -> 
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
9937, 7, 98syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
10099eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  ( y (,) +oo )
) )
10176, 100sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo ) ) )
10276, 45sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
10396, 101, 1023bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) )
104103pm5.32da 639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
1057, 97fmptd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> RR )
106 ffn 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  Fn  A )
107 elpreima 5985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
108105, 106, 1073syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
109108ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
11056ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
111104, 109, 1103bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
112111alrimiv 1740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
113 nfmpt1 4484 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
114113nfcnv 5002 . . . . . . 7  |-  F/_ x `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
115114, 66nfima 5165 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( y (,) +oo ) )
116115, 67cleqf 2591 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
117112, 116sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) )
118 mbfima 22331 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> RR )  -> 
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
1194, 105, 118syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
120119ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
121117, 120eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
122 simpr 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
123 0red 9627 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
12474, 121, 122, 123ltlecasei 9724 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
125 0red 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  e.  RR )
126 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ph )
127126, 1sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
128 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
129 maxlt 11446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  ( 0  <  y  /\  B  <  y ) ) )
130125, 127, 128, 129syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  ( 0  <  y  /\  B  <  y ) ) )
131 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <  y )
132131biantrurd 506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  ( 0  < 
y  /\  B  <  y ) ) )
133130, 132bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  B  <  y ) )
134126, 7sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
135134biantrurd 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y ) ) )
136127biantrurd 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
137133, 135, 1363bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
138128rexrd 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR* )
139 elioomnf 11673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y ) ) )
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y ) ) )
141 elioomnf 11673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
142138, 141syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
143137, 140, 1423bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( -oo (,) y )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
14499eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  ( -oo (,) y ) ) )
145126, 144sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y )  <-> 
if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  ( -oo (,) y ) ) )
14644eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y )  <-> 
B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
147126, 146sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
148143, 145, 1473bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) )
149148pm5.32da 639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -oo (,) y
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
150 elpreima 5985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
151105, 106, 1503syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
152151ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
153 elpreima 5985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
1543, 54, 1533syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
155154ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
156149, 152, 1553bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( -oo (,) y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
157156alrimiv 1740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
158 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( -oo (,) y )
159114, 158nfima 5165 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( -oo (,) y ) )
16065, 158nfima 5165 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) y ) )
161159, 160cleqf 2591 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) y ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
162157, 161sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) y ) ) )
163 mbfima 22331 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> RR )  -> 
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
1644, 105, 163syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
165164ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
166162, 165eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
167 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  y  <_  0 )
168 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
169168le0neg1d 10164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <_  0  <->  0  <_  -u y
) )
170167, 169mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <_  -u y )
171170biantrurd 506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u B  <_ 
-u y  <->  ( 0  <_  -u y  /\  -u B  <_ 
-u y ) ) )
172 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ph )
173172, 1sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
174168, 173lenegd 10171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  <->  -u B  <_  -u y
) )
175 0red 9627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  0  e.  RR )
176173renegcld 10027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  -u B  e.  RR )
177168renegcld 10027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  -u y  e.  RR )
178 maxle 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  ( 0  <_  -u y  /\  -u B  <_ 
-u y ) ) )
179175, 176, 177, 178syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  ( 0  <_  -u y  /\  -u B  <_ 
-u y ) ) )
180171, 174, 1793bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  y  <_  B ) )
181180notbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  -.  y  <_  B ) )
182172, 25sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
183177, 182ltnled 9764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <->  -.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y ) )
184173, 168ltnled 9764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  -.  y  <_  B ) )
185181, 183, 1843bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <->  B  <  y ) )
186182biantrurd 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
187173biantrurd 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
188185, 186, 1873bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
189177rexrd 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  -u y  e. 
RR* )
190 elioopnf 11672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
192168rexrd 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR* )
193192, 141syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
194188, 191, 1933bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
19540eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) )
196172, 195sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) )
197172, 146sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
198194, 196, 1973bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  e.  ( -oo (,) y
) ) )
199198pm5.32da 639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
200 elpreima 5985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) ) )
20149, 50, 2003syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) ) )
202201ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -u y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) ) )
203154ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
204199, 202, 2033bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -u y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
205204alrimiv 1740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
206 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( -u y (,) +oo )
20761, 206nfima 5165 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )
208207, 160cleqf 2591 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
209205, 208sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) ) )
210 mbfima 22331 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
21170, 49, 210syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
212211ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
213209, 212eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
214166, 213, 123, 122ltlecasei 9724 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
2153, 8, 124, 214ismbf2d 22340 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1403    = wceq 1405    e. wcel 1842   ifcif 3885   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   "cima 4826    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   +oocpnf 9655   -oocmnf 9656   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   -ucneg 9842   (,)cioo 11582   volcvol 22167  MblFncmbf 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320
This theorem is referenced by:  mbfposb  22352
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