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Theorem mbfposr 21791
Description: Converse to mbfpos 21790. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfposr.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
mbfposr.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfposr  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfposr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfpos.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 6043 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
4 mbfposr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
5 0re 9592 . . . 4  |-  0  e.  RR
6 ifcl 3981 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
71, 5, 6sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
84, 7mbfdm2 21777 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
9 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  y  <  0 )
10 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
1110lt0neg1d 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  0  <->  0  <  -u y ) )
129, 11mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  0  <  -u y )
1312biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <  -u y  <->  ( 0  <  -u y  /\  -u B  <  -u y
) ) )
14 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ph )
1514, 1sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1610, 15ltnegd 10126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  B  <->  -u B  <  -u y ) )
17 0red 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
1815renegcld 9982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
1910renegcld 9982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR )
20 maxlt 11389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  ( 0  <  -u y  /\  -u B  <  -u y ) ) )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  ( 0  <  -u y  /\  -u B  <  -u y
) ) )
2213, 16, 213bitr4rd 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  y  <  B ) )
231renegcld 9982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
24 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2523, 5, 24sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2614, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2726biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y ) ) )
2815biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  B  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
2922, 27, 283bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y
)  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
3019rexrd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  -u y  e.  RR* )
31 elioomnf 11615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y
) ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <  -u y
) ) )
3310rexrd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
34 elioopnf 11614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
3629, 32, 353bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
38 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
3938fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
4037, 25, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
4140eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) )
4214, 41sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) )
432fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
4437, 1, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
4544eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
4614, 45sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
4736, 42, 463bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo ) ) )
4847pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
4925, 38fmptd 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR )
50 ffn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  Fn  A )
51 elpreima 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) ) )
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) -u y ) ) ) )
5352ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -oo (,) -u y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -oo (,) -u y
) ) ) )
54 ffn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
55 elpreima 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
563, 54, 553syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
5756ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
5848, 53, 573bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -oo (,) -u y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
5958alrimiv 1695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
) ) )
60 nfmpt1 4536 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
6160nfcnv 5179 . . . . . . 7  |-  F/_ x `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
62 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( -oo (,) -u y
)
6361, 62nfima 5343 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )
64 nfmpt1 4536 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
6564nfcnv 5179 . . . . . . 7  |-  F/_ x `' ( x  e.  A  |->  B )
66 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( y (,) +oo )
6765, 66nfima 5343 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( y (,) +oo ) )
6863, 67cleqf 2656 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( y (,) +oo ) )  <->  A. x ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
) ) )
6959, 68sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( y (,) +oo ) ) )
70 mbfposr.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
71 mbfima 21771 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
7270, 49, 71syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
7372ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -oo (,) -u y ) )  e.  dom  vol )
7469, 73eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
75 0red 9593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  e.  RR )
76 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ph )
7776, 1sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
78 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
79 maxle 11387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  ( 0  <_  y  /\  B  <_  y ) ) )
8075, 77, 78, 79syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  ( 0  <_  y  /\  B  <_  y ) ) )
81 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <_  y )
8281biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <_  y  <->  ( 0  <_ 
y  /\  B  <_  y ) ) )
8380, 82bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  B  <_  y ) )
8483notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y  <->  -.  B  <_  y ) )
8577, 5, 6sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
8678, 85ltnled 9727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  <->  -.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  y ) )
8778, 77ltnled 9727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  B  <->  -.  B  <_  y ) )
8884, 86, 873bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  <->  y  <  B ) )
8985biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) ) )
9077biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <  B  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
9188, 89, 903bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  <->  ( B  e.  RR  /\  y  < 
B ) ) )
9278rexrd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR* )
93 elioopnf 11614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  y  <  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) ) )
9592, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  ( B  e.  RR  /\  y  <  B ) ) )
9691, 94, 953bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  (
y (,) +oo )
) )
97 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
9897fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )  -> 
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
9937, 7, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
10099eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( y (,) +oo ) 
<->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  ( y (,) +oo )
) )
10176, 100sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( y (,) +oo ) ) )
10276, 45sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo )  <->  B  e.  ( y (,) +oo ) ) )
10396, 101, 1023bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) )
104103pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
1057, 97fmptd 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> RR )
106 ffn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  Fn  A )
107 elpreima 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
108105, 106, 1073syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
109108ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( y (,) +oo )
) ) )
11056ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( y (,) +oo ) ) ) )
111104, 109, 1103bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
112111alrimiv 1695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
113 nfmpt1 4536 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
114113nfcnv 5179 . . . . . . 7  |-  F/_ x `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
115114, 66nfima 5343 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( y (,) +oo ) )
116115, 67cleqf 2656 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) ) )
117112, 116sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) ) )
118 mbfima 21771 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> RR )  -> 
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
1194, 105, 118syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
120119ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
121117, 120eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <_  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
122 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
123 0red 9593 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
12474, 121, 122, 123ltlecasei 9688 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
125 0red 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  e.  RR )
126 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ph )
127126, 1sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
128 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
129 maxlt 11389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  ( 0  <  y  /\  B  <  y ) ) )
130125, 127, 128, 129syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  ( 0  <  y  /\  B  <  y ) ) )
131 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <  y )
132131biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  ( 0  < 
y  /\  B  <  y ) ) )
133130, 132bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  B  <  y ) )
134126, 7sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
135134biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y ) ) )
136127biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
137133, 135, 1363bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
138128rexrd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR* )
139 elioomnf 11615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y ) ) )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR  /\  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <  y ) ) )
141 elioomnf 11615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( -oo (,) y )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
142138, 141syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
143137, 140, 1423bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  ( -oo (,) y )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
14499eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -oo (,) y
)  <->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  ( -oo (,) y ) ) )
145126, 144sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y )  <-> 
if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  ( -oo (,) y ) ) )
14644eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y )  <-> 
B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
147126, 146sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
148143, 145, 1473bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) )
149148pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -oo (,) y
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
150 elpreima 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
151105, 106, 1503syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
152151ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
153 elpreima 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
1543, 54, 1533syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
155154ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
156149, 152, 1553bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) "
( -oo (,) y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
157156alrimiv 1695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
158 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( -oo (,) y )
159114, 158nfima 5343 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( -oo (,) y ) )
16065, 158nfima 5343 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) y ) )
161159, 160cleqf 2656 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) y ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
162157, 161sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) y ) ) )
163 mbfima 21771 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> RR )  -> 
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
1644, 105, 163syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
165164ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
" ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
166162, 165eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  0  <  y )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
167 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  y  <_  0 )
168 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
169168le0neg1d 10120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <_  0  <->  0  <_  -u y
) )
170167, 169mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  0  <_  -u y )
171170biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u B  <_ 
-u y  <->  ( 0  <_  -u y  /\  -u B  <_ 
-u y ) ) )
172 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ph )
173172, 1sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
174168, 173lenegd 10127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  <->  -u B  <_  -u y
) )
175 0red 9593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  0  e.  RR )
176173renegcld 9982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  -u B  e.  RR )
177168renegcld 9982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  -u y  e.  RR )
178 maxle 11387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  ( 0  <_  -u y  /\  -u B  <_ 
-u y ) ) )
179175, 176, 177, 178syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  ( 0  <_  -u y  /\  -u B  <_ 
-u y ) ) )
180171, 174, 1793bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  y  <_  B ) )
181180notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y  <->  -.  y  <_  B ) )
182172, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
183177, 182ltnled 9727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <->  -.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <_  -u y ) )
184173, 168ltnled 9727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  -.  y  <_  B ) )
185181, 183, 1843bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <->  B  <  y ) )
186182biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
187173biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  <  y  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
188185, 186, 1873bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
189177rexrd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  -u y  e. 
RR* )
190 elioopnf 11614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
191189, 190syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR  /\  -u y  <  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
192168rexrd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR* )
193192, 141syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( -oo (,) y
)  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
y ) ) )
194188, 191, 1933bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
19540eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) )
196172, 195sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) )
197172, 146sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y )  <->  B  e.  ( -oo (,) y ) ) )
198194, 196, 1973bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  e.  ( -oo (,) y
) ) )
199198pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
200 elpreima 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) ) )
20149, 50, 2003syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `  x )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) ) )
202201ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -u y (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) `
 x )  e.  ( -u y (,) +oo ) ) ) )
203154ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( -oo (,) y ) ) ) )
204199, 202, 2033bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  (
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
" ( -u y (,) +oo ) )  <->  x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) ) ) )
205204alrimiv 1695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
206 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( -u y (,) +oo )
20761, 206nfima 5343 . . . . . 6  |-  F/_ x
( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )
208207, 160cleqf 2656 . . . . 5  |-  ( ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) ) ) )
209205, 208sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) ) )
210 mbfima 21771 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo )
)  e.  dom  vol )
21170, 49, 210syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
212211ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
213209, 212eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  y  <_  0 )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
214166, 213, 123, 122ltlecasei 9688 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
2153, 8, 124, 214ismbf2d 21780 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   -ucneg 9802   (,)cioo 11525   volcvol 21607  MblFncmbf 21755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465  df-xmet 18180  df-met 18181  df-ovol 21608  df-vol 21609  df-mbf 21760
This theorem is referenced by:  mbfposb  21792
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