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Theorem mbfposb 21153
Description: A function is measurable iff its positive and negative parts are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mbfpos.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbfposb  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfposb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2589 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
0
2 nfcv 2589 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x  <_
3 nffvmpt1 5720 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
41, 2, 3nfbr 4357 . . . . . . . 8  |-  F/ x
0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y )
54, 3, 1nfif 3839 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 )
6 nfcv 2589 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 )
7 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
87breq2d 4325 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y )  <->  0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
98, 7ifbieq1d 3833 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 ) )
105, 6, 9cbvmpt 4403 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 ) )
11 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
12 mbfpos.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
13 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1413fvmpt2 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1511, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
1615breq2d 4325 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  0  <_  B )
)
1716, 15ifbieq1d 3833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
1817mpteq2dva 4399 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
1910, 18syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
2112, 13fmptd 5888 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
2221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
2322ffvelrnda 5864 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  e.  RR )
24 nfcv 2589 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )
253, 24, 7cbvmpt 4403 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
2615mpteq2dva 4399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
2725, 26syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
2827eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) )  e. MblFn 
<->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
)
2928biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) )  e. MblFn )
3023, 29mbfpos 21151 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
3120, 30eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
323nfneg 9627 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
331, 2, 32nfbr 4357 . . . . . . . 8  |-  F/ x
0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
3433, 32, 1nfif 3839 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 )
35 nfcv 2589 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 )
367negeqd 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )
3736breq2d 4325 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  <->  0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
3837, 36ifbieq1d 3833 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) , 
-u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  0 ) )
3934, 35, 38cbvmpt 4403 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 ) )
4015negeqd 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  -u B
)
4140breq2d 4325 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  0  <_  -u B ) )
4241, 40ifbieq1d 3833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
4342mpteq2dva 4399 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
4439, 43syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
4544adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
4623renegcld 9796 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  /\  y  e.  A )  -> 
-u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  e.  RR )
4723, 29mbfneg 21150 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  e. MblFn
)
4846, 47mbfpos 21151 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 ) )  e. MblFn )
4945, 48eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
5031, 49jca 532 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) )
5127adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
5221ffvelrnda 5864 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  e.  RR )
5352adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  e.  RR )
5419adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
55 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
5654, 55eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
5744adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
58 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
5957, 58eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
6053, 56, 59mbfposr 21152 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  e. MblFn )
6151, 60eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6250, 61impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3812   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   -->wf 5435   ` cfv 5439   RRcr 9302   0cc0 9303    <_ cle 9440   -ucneg 9617  MblFncmbf 21116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xadd 11111  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-xmet 17832  df-met 17833  df-ovol 20970  df-vol 20971  df-mbf 21121
This theorem is referenced by:  iblre  21293
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