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Theorem mbfposb 21928
Description: A function is measurable iff its positive and negative parts are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mbfpos.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbfposb  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfposb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
0
2 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x  <_
3 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
41, 2, 3nfbr 4497 . . . . . . . 8  |-  F/ x
0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y )
54, 3, 1nfif 3974 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 )
6 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 )
7 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
87breq2d 4465 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y )  <->  0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
98, 7ifbieq1d 3968 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 ) )
105, 6, 9cbvmpt 4543 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 ) )
11 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
12 mbfpos.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
13 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1413fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1511, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
1615breq2d 4465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  0  <_  B )
)
1716, 15ifbieq1d 3968 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
1817mpteq2dva 4539 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
1910, 18syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
2112, 13fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
2221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
2322ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  e.  RR )
24 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )
253, 24, 7cbvmpt 4543 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
2615mpteq2dva 4539 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
2725, 26syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
2827eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) )  e. MblFn 
<->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
)
2928biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) )  e. MblFn )
3023, 29mbfpos 21926 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
3120, 30eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
323nfneg 9828 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
331, 2, 32nfbr 4497 . . . . . . . 8  |-  F/ x
0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
3433, 32, 1nfif 3974 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 )
35 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 )
367negeqd 9826 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )
3736breq2d 4465 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  <->  0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
3837, 36ifbieq1d 3968 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) , 
-u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  0 ) )
3934, 35, 38cbvmpt 4543 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 ) )
4015negeqd 9826 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  -u B
)
4140breq2d 4465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  0  <_  -u B ) )
4241, 40ifbieq1d 3968 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
4342mpteq2dva 4539 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
4439, 43syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
4544adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
4623renegcld 9998 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  /\  y  e.  A )  -> 
-u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  e.  RR )
4723, 29mbfneg 21925 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  e. MblFn
)
4846, 47mbfpos 21926 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 ) )  e. MblFn )
4945, 48eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
5031, 49jca 532 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) )
5127adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
5221ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  e.  RR )
5352adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  e.  RR )
5419adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
55 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
5654, 55eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
5744adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
58 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
5957, 58eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
6053, 56, 59mbfposr 21927 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  e. MblFn )
6151, 60eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6250, 61impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3945   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594   RRcr 9503   0cc0 9504    <_ cle 9641   -ucneg 9818  MblFncmbf 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xadd 11331  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-xmet 18282  df-met 18283  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896
This theorem is referenced by:  iblre  22068
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