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Mathbox for Brendan Leahy |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mbfposadd | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: If the sum of two measurable functions is measurable, the sum of their nonnegative parts is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Apr-2018.) |
Ref | Expression |
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mbfposadd.1 |
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mbfposadd.2 |
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mbfposadd.3 |
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mbfposadd.4 |
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mbfposadd.5 |
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Ref | Expression |
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mbfposadd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | mbfposadd.2 |
. . . . 5
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2 | 0re 9674 |
. . . . 5
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3 | ifcl 3935 |
. . . . 5
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4 | 1, 2, 3 | sylancl 673 |
. . . 4
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5 | mbfposadd.4 |
. . . . 5
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6 | ifcl 3935 |
. . . . 5
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7 | 5, 2, 6 | sylancl 673 |
. . . 4
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8 | 4, 7 | readdcld 9701 |
. . 3
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9 | eqid 2462 |
. . 3
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10 | 8, 9 | fmptd 6074 |
. 2
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11 | ssrab2 3526 |
. . . 4
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12 | fssres 5776 |
. . . 4
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13 | 10, 11, 12 | sylancl 673 |
. . 3
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14 | inss2 3665 |
. . . . . 6
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15 | resabs1 5155 |
. . . . . 6
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16 | 14, 15 | ax-mp 5 |
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17 | elin 3629 |
. . . . . . . . 9
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18 | rabid 2979 |
. . . . . . . . . 10
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19 | rabid 2979 |
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20 | 18, 19 | anbi12i 708 |
. . . . . . . . 9
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21 | 17, 20 | bitri 257 |
. . . . . . . 8
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22 | iftrue 3899 |
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23 | iftrue 3899 |
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24 | 22, 23 | oveqan12d 6339 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | ad2ant2l 757 |
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26 | 21, 25 | sylbi 200 |
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27 | 26 | mpteq2ia 4501 |
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28 | inss1 3664 |
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29 | ssrab2 3526 |
. . . . . . . 8
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30 | 28, 29 | sstri 3453 |
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31 | resmpt 5176 |
. . . . . . . 8
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32 | nfcv 2603 |
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33 | nfcsb1v 3391 |
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34 | csbeq1a 3384 |
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35 | 32, 33, 34 | cbvmpt 4510 |
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36 | 35 | reseq1i 5123 |
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37 | nfv 1772 |
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38 | nfrab1 2983 |
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39 | nfrab1 2983 |
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40 | 38, 39 | nfin 3651 |
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41 | 40 | nfcri 2597 |
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42 | 33 | nfeq2 2618 |
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43 | 41, 42 | nfan 2022 |
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44 | eleq1 2528 |
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45 | 34 | eqeq2d 2472 |
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46 | 44, 45 | anbi12d 722 |
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53 | resmpt 5176 |
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55 | nfcsb1v 3391 |
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66 | df-mpt 4479 |
. . . . . . . . 9
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67 | 64, 65, 66 | 3eqtr4i 2494 |
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68 | 53, 58, 67 | 3eqtr4g 2521 |
. . . . . . 7
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69 | 30, 68 | ax-mp 5 |
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70 | 27, 52, 69 | 3eqtr4i 2494 |
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71 | 16, 70 | eqtri 2484 |
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72 | mbfposadd.5 |
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73 | 1 | biantrurd 515 |
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74 | elrege0 11773 |
. . . . . . . . . 10
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75 | 73, 74 | syl6bbr 271 |
. . . . . . . . 9
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76 | 75 | rabbidva 3047 |
. . . . . . . 8
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77 | 0xr 9718 |
. . . . . . . . . . 11
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78 | pnfxr 11446 |
. . . . . . . . . . 11
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79 | 0ltpnf 11458 |
. . . . . . . . . . 11
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80 | snunioo 11793 |
. . . . . . . . . . 11
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81 | 77, 78, 79, 80 | mp3an 1373 |
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82 | 81 | imaeq2i 5188 |
. . . . . . . . 9
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83 | imaundi 5270 |
. . . . . . . . 9
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84 | eqid 2462 |
. . . . . . . . . 10
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85 | 84 | mptpreima 5351 |
. . . . . . . . 9
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86 | 82, 83, 85 | 3eqtr3ri 2493 |
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87 | 76, 86 | syl6eq 2512 |
. . . . . . 7
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88 | mbfposadd.1 |
. . . . . . . 8
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89 | 1, 84 | fmptd 6074 |
. . . . . . . 8
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90 | mbfimasn 22646 |
. . . . . . . . . 10
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91 | 2, 90 | mp3an3 1362 |
. . . . . . . . 9
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92 | mbfima 22644 |
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93 | unmbl 22546 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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95 | 88, 89, 94 | syl2anc 671 |
. . . . . . 7
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96 | 87, 95 | eqeltrd 2540 |
. . . . . 6
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97 | 5 | biantrurd 515 |
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98 | elrege0 11773 |
. . . . . . . . . 10
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99 | 97, 98 | syl6bbr 271 |
. . . . . . . . 9
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100 | 99 | rabbidva 3047 |
. . . . . . . 8
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101 | 81 | imaeq2i 5188 |
. . . . . . . . 9
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102 | imaundi 5270 |
. . . . . . . . 9
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103 | eqid 2462 |
. . . . . . . . . 10
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104 | 103 | mptpreima 5351 |
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105 | 101, 102, 104 | 3eqtr3ri 2493 |
. . . . . . . 8
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106 | 100, 105 | syl6eq 2512 |
. . . . . . 7
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107 | mbfposadd.3 |
. . . . . . . 8
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108 | 5, 103 | fmptd 6074 |
. . . . . . . 8
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109 | mbfimasn 22646 |
. . . . . . . . . 10
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110 | 2, 109 | mp3an3 1362 |
. . . . . . . . 9
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111 | mbfima 22644 |
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112 | unmbl 22546 |
. . . . . . . . 9
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113 | 110, 111, 112 | syl2anc 671 |
. . . . . . . 8
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114 | 107, 108, 113 | syl2anc 671 |
. . . . . . 7
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115 | 106, 114 | eqeltrd 2540 |
. . . . . 6
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116 | inmbl 22551 |
. . . . . 6
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117 | 96, 115, 116 | syl2anc 671 |
. . . . 5
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118 | mbfres 22656 |
. . . . 5
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119 | 72, 117, 118 | syl2anc 671 |
. . . 4
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120 | 71, 119 | syl5eqel 2544 |
. . 3
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121 | inss2 3665 |
. . . . . 6
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122 | resabs1 5155 |
. . . . . 6
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123 | 121, 122 | ax-mp 5 |
. . . . 5
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124 | rabid 2979 |
. . . . . . . . . 10
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125 | 124, 19 | anbi12i 708 |
. . . . . . . . 9
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126 | elin 3629 |
. . . . . . . . 9
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127 | anandi 842 |
. . . . . . . . 9
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128 | 125, 126, 127 | 3bitr4i 285 |
. . . . . . . 8
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129 | iffalse 3902 |
. . . . . . . . . . 11
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130 | 129, 23 | oveqan12d 6339 |
. . . . . . . . . 10
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131 | 130 | ad2antll 740 |
. . . . . . . . 9
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132 | 5 | recnd 9700 |
. . . . . . . . . . 11
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133 | 132 | addid2d 9865 |
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171 | 156, 161, 170 | 3eqtr4g 2521 |
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173 | 137, 155, 172 | 3eqtr4g 2521 |
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174 | 123, 173 | syl5eq 2508 |
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175 | 84 | mptpreima 5351 |
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179 | ltnle 9744 |
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180 | 1, 2, 179 | sylancl 673 |
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181 | 178, 180 | bitr3d 263 |
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182 | 177, 181 | syl5bb 265 |
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183 | 182 | rabbidva 3047 |
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184 | 175, 183 | syl5eq 2508 |
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185 | mbfima 22644 |
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186 | 88, 89, 185 | syl2anc 671 |
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187 | 184, 186 | eqeltrrd 2541 |
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188 | inmbl 22551 |
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189 | 187, 115, 188 | syl2anc 671 |
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190 | mbfres 22656 |
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191 | 107, 189, 190 | syl2anc 671 |
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192 | 174, 191 | eqeltrd 2540 |
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193 | ssid 3463 |
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194 | dfrab3ss 3733 |
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195 | 193, 194 | ax-mp 5 |
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196 | rabxm 3767 |
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197 | 196 | ineq1i 3642 |
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198 | indir 3703 |
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199 | 195, 197, 198 | 3eqtrri 2489 |
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200 | 199 | a1i 11 |
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201 | 13, 120, 192, 200 | mbfres2 22657 |
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202 | rabid 2979 |
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203 | iffalse 3902 |
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204 | 203 | oveq2d 6336 |
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205 | 4 | recnd 9700 |
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206 | 205 | addid1d 9864 |
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207 | 204, 206 | sylan9eqr 2518 |
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208 | 207 | anasss 657 |
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209 | 202, 208 | sylan2b 482 |
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210 | 209 | mpteq2dva 4505 |
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211 | ssrab2 3526 |
. . . . 5
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212 | resmpt 5176 |
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213 | 35 | reseq1i 5123 |
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214 | nfv 1772 |
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215 | nfrab1 2983 |
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216 | 215 | nfcri 2597 |
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217 | 216, 42 | nfan 2022 |
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223 | 220, 221, 222 | 3eqtr4i 2494 |
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224 | 212, 213, 223 | 3eqtr4g 2521 |
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226 | resmpt 5176 |
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228 | nfcsb1v 3391 |
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229 | csbeq1a 3384 |
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230 | 227, 228, 229 | cbvmpt 4510 |
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231 | 230 | reseq1i 5123 |
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235 | 229 | eqeq2d 2472 |
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236 | 218, 235 | anbi12d 722 |
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237 | 232, 234, 236 | cbvopab1 4489 |
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240 | 237, 238, 239 | 3eqtr4i 2494 |
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241 | 226, 231, 240 | 3eqtr4g 2521 |
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242 | 211, 241 | ax-mp 5 |
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243 | 210, 225, 242 | 3eqtr4g 2521 |
. . 3
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244 | 1, 88 | mbfpos 22663 |
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245 | 103 | mptpreima 5351 |
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246 | elioomnf 11763 |
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247 | 77, 246 | ax-mp 5 |
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248 | 5 | biantrurd 515 |
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249 | ltnle 9744 |
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250 | 5, 2, 249 | sylancl 673 |
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251 | 248, 250 | bitr3d 263 |
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252 | 247, 251 | syl5bb 265 |
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253 | 252 | rabbidva 3047 |
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254 | 245, 253 | syl5eq 2508 |
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255 | mbfima 22644 |
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256 | 107, 108, 255 | syl2anc 671 |
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257 | 254, 256 | eqeltrrd 2541 |
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258 | mbfres 22656 |
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259 | 244, 257, 258 | syl2anc 671 |
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260 | 243, 259 | eqeltrd 2540 |
. 2
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261 | rabxm 3767 |
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262 | 261 | eqcomi 2471 |
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263 | 262 | a1i 11 |
. 2
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264 | 10, 201, 260, 263 | mbfres2 22657 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-rep 4531 ax-sep 4541 ax-nul 4550 ax-pow 4598 ax-pr 4656 ax-un 6615 ax-inf2 8177 ax-cnex 9626 ax-resscn 9627 ax-1cn 9628 ax-icn 9629 ax-addcl 9630 ax-addrcl 9631 ax-mulcl 9632 ax-mulrcl 9633 ax-mulcom 9634 ax-addass 9635 ax-mulass 9636 ax-distr 9637 ax-i2m1 9638 ax-1ne0 9639 ax-1rid 9640 ax-rnegex 9641 ax-rrecex 9642 ax-cnre 9643 ax-pre-lttri 9644 ax-pre-lttrn 9645 ax-pre-ltadd 9646 ax-pre-mulgt0 9647 ax-pre-sup 9648 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-fal 1461 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rmo 2757 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-pss 3432 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-uni 4213 df-int 4249 df-iun 4294 df-br 4419 df-opab 4478 df-mpt 4479 df-tr 4514 df-eprel 4767 df-id 4771 df-po 4777 df-so 4778 df-fr 4815 df-se 4816 df-we 4817 df-xp 4862 df-rel 4863 df-cnv 4864 df-co 4865 df-dm 4866 df-rn 4867 df-res 4868 df-ima 4869 df-pred 5403 df-ord 5449 df-on 5450 df-lim 5451 df-suc 5452 df-iota 5569 df-fun 5607 df-fn 5608 df-f 5609 df-f1 5610 df-fo 5611 df-f1o 5612 df-fv 5613 df-isom 5614 df-riota 6282 df-ov 6323 df-oprab 6324 df-mpt2 6325 df-of 6563 df-om 6725 df-1st 6825 df-2nd 6826 df-wrecs 7059 df-recs 7121 df-rdg 7159 df-1o 7213 df-2o 7214 df-oadd 7217 df-er 7394 df-map 7505 df-pm 7506 df-en 7601 df-dom 7602 df-sdom 7603 df-fin 7604 df-sup 7987 df-inf 7988 df-oi 8056 df-card 8404 df-cda 8629 df-pnf 9708 df-mnf 9709 df-xr 9710 df-ltxr 9711 df-le 9712 df-sub 9893 df-neg 9894 df-div 10303 df-nn 10643 df-2 10701 df-3 10702 df-n0 10904 df-z 10972 df-uz 11194 df-q 11299 df-rp 11337 df-xadd 11444 df-ioo 11673 df-ico 11675 df-icc 11676 df-fz 11820 df-fzo 11953 df-fl 12066 df-seq 12252 df-exp 12311 df-hash 12554 df-cj 13217 df-re 13218 df-im 13219 df-sqrt 13353 df-abs 13354 df-clim 13607 df-sum 13808 df-xmet 19018 df-met 19019 df-ovol 22471 df-vol 22473 df-mbf 22633 |
This theorem is referenced by: itgaddnclem2 32047 |
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