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Theorem mbfposadd 30224
Description: If the sum of two measurable functions is measurable, the sum of their nonnegative parts is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfposadd.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfposadd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfposadd.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
mbfposadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
mbfposadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfposadd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem mbfposadd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfposadd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 0re 9613 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 ifcl 3986 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
5 mbfposadd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
6 ifcl 3986 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
75, 2, 6sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
84, 7readdcld 9640 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
9 eqid 2457 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
108, 9fmptd 6056 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) : A --> RR )
11 ssrab2 3581 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  0  <_  C }  C_  A
12 fssres 5757 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) : A --> RR  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  C_  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) : {
x  e.  A  | 
0  <_  C } --> RR )
1310, 11, 12sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) : { x  e.  A  |  0  <_  C }
--> RR )
14 inss2 3715 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }
15 resabs1 5312 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }  ->  (
( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
17 elin 3683 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  0  <_  B }  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
18 rabid 3034 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  B }  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
19 rabid 3034 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C }  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )
2018, 19anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  B }  /\  x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
2117, 20bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
22 iftrue 3950 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B )
23 iftrue 3950 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C )
2422, 23oveqan12d 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  B  /\  0  <_  C )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  ( B  +  C
) )
2524ad2ant2l 745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  ( B  +  C
) )
2621, 25sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2726mpteq2ia 4539 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )
28 inss1 3714 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  B }
29 ssrab2 3581 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  0  <_  B }  C_  A
3028, 29sstri 3508 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A
31 resmpt 5333 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
32 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
33 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
34 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
3532, 33, 34cbvmpt 4547 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
3635reseq1i 5279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
37 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
38 nfrab1 3038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  0  <_  B }
39 nfrab1 3038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  0  <_  C }
4038, 39nfin 3701 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
4140nfcri 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
4233nfeq2 2636 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
4341, 42nfan 1929 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
44 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
4534eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <-> 
z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4644, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
4737, 43, 46cbvopab1 4527 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
48 df-mpt 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
49 df-mpt 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) }
5047, 48, 493eqtr4i 2496 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
5131, 36, 503eqtr4g 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
5230, 51ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
53 resmpt 5333 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) )
54 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( B  +  C
)
55 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
)
56 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +  C )  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
5754, 55, 56cbvmpt 4547 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
5857reseq1i 5279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
59 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) )
6055nfeq2 2636 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C )
6141, 60nfan 1929 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
6256eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( B  +  C )  <->  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) ) )
6344, 62anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) ) )
6459, 61, 63cbvopab1 4527 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) ) }
65 df-mpt 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )  =  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) ) }
66 df-mpt 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) }
6764, 65, 663eqtr4i 2496 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) )
6853, 58, 673eqtr4g 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( B  +  C ) ) )
6930, 68ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( B  +  C ) )
7027, 52, 693eqtr4i 2496 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
7116, 70eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
72 mbfposadd.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
731biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) ) )
74 elrege0 11652 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
7573, 74syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
7675rabbidva 3100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) } )
77 0xr 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
78 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  RR*
79 0ltpnf 11357 . . . . . . . . . . 11  |-  0  < +oo
80 snunioo 11671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  < +oo )  ->  ( { 0 }  u.  (
0 (,) +oo )
)  =  ( 0 [,) +oo ) )
8177, 78, 79, 80mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  u.  (
0 (,) +oo )
)  =  ( 0 [,) +oo )
8281imaeq2i 5345 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 [,) +oo ) )
83 imaundi 5425 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( 0 (,) +oo ) ) )
84 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
8584mptpreima 5506 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 [,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) }
8682, 83, 853eqtr3ri 2495 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) }  =  (
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 (,) +oo )
) )
8776, 86syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) )
88 mbfposadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
891, 84fmptd 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
90 mbfimasn 22166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  e.  dom  vol )
912, 90mp3an3 1313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  e.  dom  vol )
92 mbfima 22164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
93 unmbl 22073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
9491, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " {
0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9588, 89, 94syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9687, 95eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  e.  dom  vol )
975biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) ) )
98 elrege0 11652 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
9997, 98syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
10099rabbidva 3100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) } )
10181imaeq2i 5345 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 [,) +oo ) )
102 imaundi 5425 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) "
( 0 (,) +oo ) ) )
103 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
104103mptpreima 5506 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 [,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) }
105101, 102, 1043eqtr3ri 2495 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) }  =  (
( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 (,) +oo )
) )
106100, 105syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) )
107 mbfposadd.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
1085, 103fmptd 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
109 mbfimasn 22166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  e.  dom  vol )
1102, 109mp3an3 1313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  e.  dom  vol )
111 mbfima 22164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
112 unmbl 22073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
113110, 111, 112syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " {
0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
114107, 108, 113syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) "
( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
115106, 114eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  e.  dom  vol )
116 inmbl 22077 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  e.  dom  vol  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  e.  dom  vol )  -> 
( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. 
dom  vol )
11796, 115, 116syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. 
dom  vol )
118 mbfres 22176 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn  /\  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e.  dom  vol )  ->  ( (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
11972, 117, 118syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
12071, 119syl5eqel 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
121 inss2 3715 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }
122 resabs1 5312 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }  ->  (
( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
123121, 122ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
124 rabid 3034 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  B ) )
125124, 19anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  /\  x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
126 elin 3683 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
127 anandi 828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
128125, 126, 1273bitr4i 277 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )
129 iffalse 3953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  0 )
130129, 23oveqan12d 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
131130ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
1325recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
133132addid2d 9798 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  +  C )  =  C )
134133adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( 0  +  C )  =  C )
135131, 134eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  C )
136128, 135sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  C )
137136mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C ) )
138 inss1 3714 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }
139 ssrab2 3581 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  C_  A
140138, 139sstri 3508 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A
141 resmpt 5333 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
14235reseq1i 5279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
143 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
144 nfrab1 3038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }
145144, 39nfin 3701 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)
146145nfcri 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
147146, 42nfan 1929 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
148 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
149148, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
150143, 147, 149cbvopab1 4527 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
151 df-mpt 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
152 df-mpt 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) }
153150, 151, 1523eqtr4i 2496 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
154141, 142, 1533eqtr4g 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
155140, 154ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
156 resmpt 5333 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ C ) )
157 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y C
158 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
159 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
160157, 158, 159cbvmpt 4547 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
161160reseq1i 5279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
162 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C )
163158nfeq2 2636 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ C
164146, 163nfan 1929 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C )
165159eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  C  <->  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) )
166148, 165anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) ) )
167162, 164, 166cbvopab1 4527 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C ) }  =  { <. y ,  z
>.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) }
168 df-mpt 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  C ) }
169 df-mpt 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ C )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) }
170167, 168, 1693eqtr4i 2496 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ C )
171156, 161, 1703eqtr4g 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  C ) )
172140, 171ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  C )
173137, 155, 1723eqtr4g 2523 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
174123, 173syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
17584mptpreima 5506 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( -oo (,) 0
) }
176 elioomnf 11644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) ) )
17777, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) )
1781biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) ) )
179 ltnle 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B )
)
1801, 2, 179sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
181178, 180bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  e.  RR  /\  B  <  0 )  <->  -.  0  <_  B ) )
182177, 181syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  -.  0  <_  B ) )
183182rabbidva 3100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( -oo (,) 0 ) }  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
184175, 183syl5eq 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
185 mbfima 22164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
18688, 89, 185syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
187184, 186eqeltrrd 2546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  e.  dom  vol )
188 inmbl 22077 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  e.  dom  vol  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  e.  dom  vol )  -> 
( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  e.  dom  vol )
189187, 115, 188syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  e.  dom  vol )
190 mbfres 22176 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e.  dom  vol )  ->  ( (
x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
191107, 189, 190syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
192174, 191eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
193 ssid 3518 . . . . . 6  |-  A  C_  A
194 dfrab3ss 3783 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  A  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
195193, 194ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
196 rabxm 3817 . . . . . 6  |-  A  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
197196ineq1i 3692 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
198 indir 3753 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
199195, 197, 1983eqtrri 2491 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  { x  e.  A  |  0  <_  C }
200199a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
20113, 120, 192, 200mbfres2 22177 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. MblFn
)
202 rabid 3034 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  C ) )
203 iffalse 3953 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  0 )
204203oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  <_  C  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  0 ) )
2054recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
206205addid1d 9797 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
207204, 206sylan9eqr 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -.  0  <_  C )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
208207anasss 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  C ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
209202, 208sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
210209mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
211 ssrab2 3581 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A
212 resmpt 5333 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )
21335reseq1i 5279 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
214 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
215 nfrab1 3038 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
216215nfcri 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
217216, 42nfan 1929 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
218 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  <->  y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
) )
219218, 45anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
220214, 217, 219cbvopab1 4527 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
221 df-mpt 4517 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
222 df-mpt 4517 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
223220, 221, 2223eqtr4i 2496 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
224212, 213, 2233eqtr4g 2523 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
225211, 224ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
226 resmpt 5333 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
227 nfcv 2619 . . . . . . . 8  |-  F/_ y if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
228 nfcsb1v 3446 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )
229 csbeq1a 3439 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
230227, 228, 229cbvmpt 4547 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
231230reseq1i 5279 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
232 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
233228nfeq2 2636 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
234216, 233nfan 1929 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
235229eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <-> 
z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
236218, 235anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  <->  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) ) )
237232, 234, 236cbvopab1 4527 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
238 df-mpt 4517 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
239 df-mpt 4517 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
240237, 238, 2393eqtr4i 2496 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
241226, 231, 2403eqtr4g 2523 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
242211, 241ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
243210, 225, 2423eqtr4g 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } ) )
2441, 88mbfpos 22183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
245103mptpreima 5506 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( -oo (,) 0
) }
246 elioomnf 11644 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) ) )
24777, 246ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) )
2485biantrurd 508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) ) )
249 ltnle 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C )
)
2505, 2, 249sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
251248, 250bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  e.  RR  /\  C  <  0 )  <->  -.  0  <_  C ) )
252247, 251syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  -.  0  <_  C ) )
253252rabbidva 3100 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  C  e.  ( -oo (,) 0 ) }  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
254245, 253syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
255 mbfima 22164 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
256107, 108, 255syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
257254, 256eqeltrrd 2546 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  e.  dom  vol )
258 mbfres 22176 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
259244, 257, 258syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
260243, 259eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
261 rabxm 3817 . . . 4  |-  A  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
262261eqcomi 2470 . . 3  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  A
263262a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  A )
26410, 201, 260, 263mbfres2 22177 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   [_csb 3430    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456   {copab 4514    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008    |` cres 5010   "cima 5011   -->wf 5590  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   volcvol 22000  MblFncmbf 22148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-xmet 18538  df-met 18539  df-ovol 22001  df-vol 22002  df-mbf 22153
This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  30236
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