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Theorem mbfposadd 29637
Description: If the sum of two measurable functions is measurable, the sum of their nonnegative parts is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfposadd.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfposadd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfposadd.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
mbfposadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
mbfposadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfposadd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem mbfposadd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfposadd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 0re 9592 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 ifcl 3981 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
5 mbfposadd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
6 ifcl 3981 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
75, 2, 6sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
84, 7readdcld 9619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
9 eqid 2467 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
108, 9fmptd 6043 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) : A --> RR )
11 ssrab2 3585 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  0  <_  C }  C_  A
12 fssres 5749 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) : A --> RR  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  C_  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) : {
x  e.  A  | 
0  <_  C } --> RR )
1310, 11, 12sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) : { x  e.  A  |  0  <_  C }
--> RR )
14 inss2 3719 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }
15 resabs1 5300 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }  ->  (
( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
17 elin 3687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  0  <_  B }  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
18 rabid 3038 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  B }  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
19 rabid 3038 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C }  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )
2018, 19anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  B }  /\  x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
2117, 20bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
22 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B )
23 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C )
2422, 23oveqan12d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  B  /\  0  <_  C )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  ( B  +  C
) )
2524ad2ant2l 745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  ( B  +  C
) )
2621, 25sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2726mpteq2ia 4529 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )
28 inss1 3718 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  B }
29 ssrab2 3585 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  0  <_  B }  C_  A
3028, 29sstri 3513 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A
31 resmpt 5321 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
32 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
33 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
34 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
3532, 33, 34cbvmpt 4537 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
3635reseq1i 5267 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
37 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
38 nfrab1 3042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  0  <_  B }
39 nfrab1 3042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  0  <_  C }
4038, 39nfin 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
4140nfel2 2647 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
4233nfeq2 2646 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
4341, 42nfan 1875 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
45 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
4644, 45eleq12d 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
4734eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <-> 
z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4846, 47anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
4937, 43, 48cbvopab1 4517 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
50 df-mpt 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
51 df-mpt 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) }
5249, 50, 513eqtr4i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
5331, 36, 523eqtr4g 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
5430, 53ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
55 resmpt 5321 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) )
56 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( B  +  C
)
57 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
)
58 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +  C )  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
5956, 57, 58cbvmpt 4537 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
6059reseq1i 5267 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
61 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) )
6257nfeq2 2646 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C )
6341, 62nfan 1875 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
64 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  z  =  z )
6564, 58eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( B  +  C )  <->  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) ) )
6646, 65anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) ) )
6761, 63, 66cbvopab1 4517 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) ) }
68 df-mpt 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )  =  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) ) }
69 df-mpt 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) }
7067, 68, 693eqtr4i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) )
7155, 60, 703eqtr4g 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( B  +  C ) ) )
7230, 71ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( B  +  C ) )
7327, 54, 723eqtr4i 2506 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
7416, 73eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
75 mbfposadd.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
761biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) ) )
77 elrege0 11623 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
7876, 77syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
7978rabbidva 3104 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) } )
80 0xr 9636 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
81 pnfxr 11317 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  RR*
82 0ltpnf 11328 . . . . . . . . . . 11  |-  0  < +oo
83 snunioo 11642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  < +oo )  ->  ( { 0 }  u.  (
0 (,) +oo )
)  =  ( 0 [,) +oo ) )
8480, 81, 82, 83mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  u.  (
0 (,) +oo )
)  =  ( 0 [,) +oo )
8584imaeq2i 5333 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 [,) +oo ) )
86 imaundi 5416 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( 0 (,) +oo ) ) )
87 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
8887mptpreima 5498 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 [,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) }
8985, 86, 883eqtr3ri 2505 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) }  =  (
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 (,) +oo )
) )
9079, 89syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) )
91 mbfposadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
921, 87fmptd 6043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
93 mbfimasn 21773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  e.  dom  vol )
942, 93mp3an3 1313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  e.  dom  vol )
95 mbfima 21771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
96 unmbl 21680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
9794, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " {
0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9891, 92, 97syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9990, 98eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  e.  dom  vol )
1005biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) ) )
101 elrege0 11623 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
102100, 101syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
103102rabbidva 3104 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) } )
10484imaeq2i 5333 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 [,) +oo ) )
105 imaundi 5416 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) "
( 0 (,) +oo ) ) )
106 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
107106mptpreima 5498 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 [,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) }
108104, 105, 1073eqtr3ri 2505 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) }  =  (
( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 (,) +oo )
) )
109103, 108syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) )
110 mbfposadd.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
1115, 106fmptd 6043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
112 mbfimasn 21773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  e.  dom  vol )
1132, 112mp3an3 1313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  e.  dom  vol )
114 mbfima 21771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
115 unmbl 21680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
116113, 114, 115syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " {
0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
117110, 111, 116syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) "
( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
118109, 117eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  e.  dom  vol )
119 inmbl 21684 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  e.  dom  vol  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  e.  dom  vol )  -> 
( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. 
dom  vol )
12099, 118, 119syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. 
dom  vol )
121 mbfres 21783 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn  /\  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e.  dom  vol )  ->  ( (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
12275, 120, 121syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
12374, 122syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
124 inss2 3719 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }
125 resabs1 5300 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }  ->  (
( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
126124, 125ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
127 rabid 3038 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  B ) )
128127, 19anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  /\  x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
129 elin 3687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
130 anandi 826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
131128, 129, 1303bitr4i 277 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )
132 iffalse 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  0 )
133132, 23oveqan12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
134133ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
1355recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
136135addid2d 9776 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  +  C )  =  C )
137136adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( 0  +  C )  =  C )
138134, 137eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  C )
139131, 138sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  C )
140139mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C ) )
141 inss1 3718 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }
142 ssrab2 3585 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  C_  A
143141, 142sstri 3513 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A
144 resmpt 5321 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
14535reseq1i 5267 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
146 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
147 nfrab1 3042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }
148147, 39nfin 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)
149148nfel2 2647 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
150149, 42nfan 1875 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
151 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
15244, 151eleq12d 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
153152, 47anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
154146, 150, 153cbvopab1 4517 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
155 df-mpt 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
156 df-mpt 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) }
157154, 155, 1563eqtr4i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
158144, 145, 1573eqtr4g 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
159143, 158ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
160 resmpt 5321 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ C ) )
161 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y C
162 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
163 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
164161, 162, 163cbvmpt 4537 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
165164reseq1i 5267 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
166 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C )
167162nfeq2 2646 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ C
168149, 167nfan 1875 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C )
16964, 163eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  C  <->  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) )
170152, 169anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) ) )
171166, 168, 170cbvopab1 4517 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C ) }  =  { <. y ,  z
>.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) }
172 df-mpt 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  C ) }
173 df-mpt 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ C )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) }
174171, 172, 1733eqtr4i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ C )
175160, 165, 1743eqtr4g 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  C ) )
176143, 175ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  C )
177140, 159, 1763eqtr4g 2533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
178126, 177syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
17987mptpreima 5498 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( -oo (,) 0
) }
180 elioomnf 11615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) ) )
18180, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) )
1821biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) ) )
183 ltnle 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B )
)
1841, 2, 183sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
185182, 184bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  e.  RR  /\  B  <  0 )  <->  -.  0  <_  B ) )
186181, 185syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  -.  0  <_  B ) )
187186rabbidva 3104 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( -oo (,) 0 ) }  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
188179, 187syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
189 mbfima 21771 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
19091, 92, 189syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
191188, 190eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  e.  dom  vol )
192 inmbl 21684 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  e.  dom  vol  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  e.  dom  vol )  -> 
( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  e.  dom  vol )
193191, 118, 192syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  e.  dom  vol )
194 mbfres 21783 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e.  dom  vol )  ->  ( (
x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
195110, 193, 194syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
196178, 195eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
197 ssid 3523 . . . . . 6  |-  A  C_  A
198 dfrab3ss 3776 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  A  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
199197, 198ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
200 rabxm 3808 . . . . . 6  |-  A  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
201200ineq1i 3696 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
202 indir 3746 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
203199, 201, 2023eqtrri 2501 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  { x  e.  A  |  0  <_  C }
204203a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
20513, 123, 196, 204mbfres2 21784 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. MblFn
)
206 rabid 3038 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  C ) )
207 iffalse 3948 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  0 )
208207oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  <_  C  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  0 ) )
2094recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
210209addid1d 9775 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
211208, 210sylan9eqr 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -.  0  <_  C )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
212211anasss 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  C ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
213206, 212sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
214213mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
215 ssrab2 3585 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A
216 resmpt 5321 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )
21735reseq1i 5267 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
218 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
219 nfrab1 3042 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
220219nfel2 2647 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
221220, 42nfan 1875 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
222 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  <->  y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
) )
223222, 47anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
224218, 221, 223cbvopab1 4517 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
225 df-mpt 4507 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
226 df-mpt 4507 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
227224, 225, 2263eqtr4i 2506 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
228216, 217, 2273eqtr4g 2533 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
229215, 228ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
230 resmpt 5321 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
231 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ y if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
232 nfcsb1v 3451 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )
233 csbeq1a 3444 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
234231, 232, 233cbvmpt 4537 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
235234reseq1i 5267 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
236 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
237232nfeq2 2646 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
238220, 237nfan 1875 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
239233eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <-> 
z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
240222, 239anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  <->  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) ) )
241236, 238, 240cbvopab1 4517 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
242 df-mpt 4507 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
243 df-mpt 4507 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
244241, 242, 2433eqtr4i 2506 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
245230, 235, 2443eqtr4g 2533 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
246215, 245ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
247214, 229, 2463eqtr4g 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } ) )
2481, 91mbfpos 21790 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
249106mptpreima 5498 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( -oo (,) 0
) }
250 elioomnf 11615 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) ) )
25180, 250ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) )
2525biantrurd 508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) ) )
253 ltnle 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C )
)
2545, 2, 253sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
255252, 254bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  e.  RR  /\  C  <  0 )  <->  -.  0  <_  C ) )
256251, 255syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  -.  0  <_  C ) )
257256rabbidva 3104 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  C  e.  ( -oo (,) 0 ) }  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
258249, 257syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
259 mbfima 21771 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
260110, 111, 259syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
261258, 260eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  e.  dom  vol )
262 mbfres 21783 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
263248, 261, 262syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
264247, 263eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
265 rabxm 3808 . . . 4  |-  A  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
266265eqcomi 2480 . . 3  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  A
267266a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  A )
26810, 205, 264, 267mbfres2 21784 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   [_csb 3435    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447   {copab 4504    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002   -->wf 5582  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488    + caddc 9491   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   volcvol 21607  MblFncmbf 21755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465  df-xmet 18180  df-met 18181  df-ovol 21608  df-vol 21609  df-mbf 21760
This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  29649
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