Theorem mbfposadd 26153

Description: If the sum of two measurable functions is measurable, the sum of their nonnegative parts is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfposadd.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
mbfposadd.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
mbfposadd.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
mbfposadd.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
mbfposadd.5	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. MblFn )

Assertion

Ref	Expression
mbfposadd	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) e. MblFn )

Distinct variable groups:   ph, x   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem mbfposadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfposadd.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
2		0re 9047	. . . . 5 |- 0 e. RR
3		ifcl 3735	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
4	1, 2, 3	sylancl 644	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
5		mbfposadd.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
6		ifcl 3735	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
7	5, 2, 6	sylancl 644	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
8	4, 7	readdcld 9071	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) e. RR )
9		eqid 2404	. . 3 |- ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
10	8, 9	fmptd 5852	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) : A --> RR )
11		ssrab2 3388	. . . 4 |- { x e. A | 0 <_ C } C_ A
12		fssres 5569	. . . 4 |- ( ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) : A --> RR /\ { x e. A | 0 <_ C } C_ A ) -> ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) : { x e. A | 0 <_ C } --> RR )
13	10, 11, 12	sylancl 644	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) : { x e. A | 0 <_ C } --> RR )
14		inss2 3522	. . . . . 6 |- ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ { x e. A | 0 <_ C }
15		resabs1 5134	. . . . . 6 |- ( ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ { x e. A | 0 <_ C } -> ( ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) )
16	14, 15	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) )
17		elin 3490	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) <-> ( x e. { x e. A | 0 <_ B } /\ x e. { x e. A | 0 <_ C } ) )
18		rabid 2844	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. A | 0 <_ B } <-> ( x e. A /\ 0 <_ B ) )
19		rabid 2844	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. A | 0 <_ C } <-> ( x e. A /\ 0 <_ C ) )
20	18, 19	anbi12i 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. { x e. A | 0 <_ B } /\ x e. { x e. A | 0 <_ C } ) <-> ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) )
21	17, 20	bitri 241	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) <-> ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) )
22		iftrue 3705	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 <_ B -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) = B )
23		iftrue 3705	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 <_ C -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) = C )
24	22, 23	oveqan12d 6059	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 <_ B /\ 0 <_ C ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( B + C ) )
25	24	ad2ant2l 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ 0 <_ B ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( B + C ) )
26	21, 25	sylbi 188	. . . . . . 7 |- ( x e. ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( B + C ) )
27	26	mpteq2ia 4251	. . . . . 6 |- ( x e. ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) = ( x e. ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> ( B + C ) )
28		inss1 3521	. . . . . . . 8 |- ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ { x e. A | 0 <_ B }
29		ssrab2 3388	. . . . . . . 8 |- { x e. A | 0 <_ B } C_ A
30	28, 29	sstri 3317	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ A
31		nfcv 2540	. . . . . . . 8 |- F/_ x A
32		nfrab1 2848	. . . . . . . . 9 |- F/_ x { x e. A | 0 <_ B }
33		nfrab1 2848	. . . . . . . . 9 |- F/_ x { x e. A | 0 <_ C }
34	32, 33	nfin 3507	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } )
35	31, 34	resmptf 24024	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( x e. ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
36	30, 35	ax-mp 8	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( x e. ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
37	31, 34	resmptf 24024	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( B + C ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( x e. ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> ( B + C ) ) )
38	30, 37	ax-mp 8	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> ( B + C ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( x e. ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> ( B + C ) )
39	27, 36, 38	3eqtr4i 2434	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( ( x e. A |-> ( B + C ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) )
40	16, 39	eqtri 2424	. . . 4 |- ( ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( ( x e. A |-> ( B + C ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) )
41		mbfposadd.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. MblFn )
42	1	biantrurd 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 0 <_ B <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) )
43		elrege0 10963	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
44	42, 43	syl6bbr 255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 0 <_ B <-> B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
45	44	rabbidva 2907	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. A | 0 <_ B } = { x e. A | B e. ( 0 [,) +oo ) } )
46		0xr 9087	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
47		pnfxr 10669	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e. RR*
48		ltpnf 10677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> 0 < +oo )
49	2, 48	ax-mp 8	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < +oo
50		snunioo 10979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 < +oo ) -> ( { 0 } u. ( 0 (,) +oo ) ) = ( 0 [,) +oo ) )
51	46, 47, 49, 50	mp3an 1279	. . . . . . . . . 10 |- ( { 0 } u. ( 0 (,) +oo ) ) = ( 0 [,) +oo )
52	51	imaeq2i 5160	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. A |-> B ) " ( { 0 } u. ( 0 (,) +oo ) ) ) = ( `' ( x e. A |-> B ) " ( 0 [,) +oo ) )
53		imaundi 5243	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. A |-> B ) " ( { 0 } u. ( 0 (,) +oo ) ) ) = ( ( `' ( x e. A |-> B ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( 0 (,) +oo ) ) )
54		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
55	54	mptpreima 5322	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. A |-> B ) " ( 0 [,) +oo ) ) = { x e. A | B e. ( 0 [,) +oo ) }
56	52, 53, 55	3eqtr3ri 2433	. . . . . . . 8 |- { x e. A | B e. ( 0 [,) +oo ) } = ( ( `' ( x e. A |-> B ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( 0 (,) +oo ) ) )
57	45, 56	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | 0 <_ B } = ( ( `' ( x e. A |-> B ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) )
58		mbfposadd.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
59	1, 54	fmptd 5852	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR )
60		mbfimasn 19479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> B ) : A --> RR /\ 0 e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " { 0 } ) e. dom vol )
61	2, 60	mp3an3 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> B ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " { 0 } ) e. dom vol )
62		mbfima 19477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> B ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( 0 (,) +oo ) ) e. dom vol )
63		unmbl 19385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( `' ( x e. A |-> B ) " { 0 } ) e. dom vol /\ ( `' ( x e. A |-> B ) " ( 0 (,) +oo ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. A |-> B ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
64	61, 62, 63	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> B ) : A --> RR ) -> ( ( `' ( x e. A |-> B ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
65	58, 59, 64	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. A |-> B ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
66	57, 65	eqeltrd 2478	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | 0 <_ B } e. dom vol )
67	5	biantrurd 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 0 <_ C <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) )
68		elrege0 10963	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
69	67, 68	syl6bbr 255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 0 <_ C <-> C e. ( 0 [,) +oo ) ) )
70	69	rabbidva 2907	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. A | 0 <_ C } = { x e. A | C e. ( 0 [,) +oo ) } )
71	51	imaeq2i 5160	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. A |-> C ) " ( { 0 } u. ( 0 (,) +oo ) ) ) = ( `' ( x e. A |-> C ) " ( 0 [,) +oo ) )
72		imaundi 5243	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. A |-> C ) " ( { 0 } u. ( 0 (,) +oo ) ) ) = ( ( `' ( x e. A |-> C ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> C ) " ( 0 (,) +oo ) ) )
73		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
74	73	mptpreima 5322	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. A |-> C ) " ( 0 [,) +oo ) ) = { x e. A | C e. ( 0 [,) +oo ) }
75	71, 72, 74	3eqtr3ri 2433	. . . . . . . 8 |- { x e. A | C e. ( 0 [,) +oo ) } = ( ( `' ( x e. A |-> C ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> C ) " ( 0 (,) +oo ) ) )
76	70, 75	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | 0 <_ C } = ( ( `' ( x e. A |-> C ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> C ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) )
77		mbfposadd.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
78	5, 73	fmptd 5852	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A --> RR )
79		mbfimasn 19479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> C ) : A --> RR /\ 0 e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> C ) " { 0 } ) e. dom vol )
80	2, 79	mp3an3 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> C ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> C ) " { 0 } ) e. dom vol )
81		mbfima 19477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> C ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> C ) " ( 0 (,) +oo ) ) e. dom vol )
82		unmbl 19385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( `' ( x e. A |-> C ) " { 0 } ) e. dom vol /\ ( `' ( x e. A |-> C ) " ( 0 (,) +oo ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. A |-> C ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> C ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
83	80, 81, 82	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> C ) : A --> RR ) -> ( ( `' ( x e. A |-> C ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> C ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
84	77, 78, 83	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. A |-> C ) " { 0 } ) u. ( `' ( x e. A |-> C ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
85	76, 84	eqeltrd 2478	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | 0 <_ C } e. dom vol )
86		inmbl 19389	. . . . . 6 |- ( ( { x e. A | 0 <_ B } e. dom vol /\ { x e. A | 0 <_ C } e. dom vol ) -> ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) e. dom vol )
87	66, 85, 86	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) e. dom vol )
88		mbfres 19489	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. MblFn /\ ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) e. dom vol ) -> ( ( x e. A |-> ( B + C ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) e. MblFn )
89	41, 87, 88	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( B + C ) ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) e. MblFn )
90	40, 89	syl5eqel 2488	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) |` ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) e. MblFn )
91		inss2 3522	. . . . . 6 |- ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ { x e. A | 0 <_ C }
92		resabs1 5134	. . . . . 6 |- ( ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ { x e. A | 0 <_ C } -> ( ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) )
93	91, 92	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) )
94		rabid 2844	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. A | -. 0 <_ B } <-> ( x e. A /\ -. 0 <_ B ) )
95	94, 19	anbi12i 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. { x e. A | -. 0 <_ B } /\ x e. { x e. A | 0 <_ C } ) <-> ( ( x e. A /\ -. 0 <_ B ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) )
96		elin 3490	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) <-> ( x e. { x e. A | -. 0 <_ B } /\ x e. { x e. A | 0 <_ C } ) )
97		anandi 802	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ ( -. 0 <_ B /\ 0 <_ C ) ) <-> ( ( x e. A /\ -. 0 <_ B ) /\ ( x e. A /\ 0 <_ C ) ) )
98	95, 96, 97	3bitr4i 269	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) <-> ( x e. A /\ ( -. 0 <_ B /\ 0 <_ C ) ) )
99		iffalse 3706	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. 0 <_ B -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) = 0 )
100	99, 23	oveqan12d 6059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. 0 <_ B /\ 0 <_ C ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( 0 + C ) )
101	100	ad2antll 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( -. 0 <_ B /\ 0 <_ C ) ) ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( 0 + C ) )
102	5	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
103	102	addid2d 9223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 0 + C ) = C )
104	103	adantrr 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( -. 0 <_ B /\ 0 <_ C ) ) ) -> ( 0 + C ) = C )
105	101, 104	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ ( -. 0 <_ B /\ 0 <_ C ) ) ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = C )
106	98, 105	sylan2b 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = C )
107	106	mpteq2dva 4255	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) = ( x e. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> C ) )
108		inss1 3521	. . . . . . . 8 |- ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ { x e. A | -. 0 <_ B }
109		ssrab2 3388	. . . . . . . 8 |- { x e. A | -. 0 <_ B } C_ A
110	108, 109	sstri 3317	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ A
111		nfrab1 2848	. . . . . . . . 9 |- F/_ x { x e. A | -. 0 <_ B }
112	111, 33	nfin 3507	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } )
113	31, 112	resmptf 24024	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( x e. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
114	110, 113	ax-mp 8	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( x e. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
115	31, 112	resmptf 24024	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) C_ A -> ( ( x e. A |-> C ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( x e. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> C ) )
116	110, 115	ax-mp 8	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> C ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( x e. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) |-> C )
117	107, 114, 116	3eqtr4g 2461	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( ( x e. A |-> C ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) )
118	93, 117	syl5eq 2448	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = ( ( x e. A |-> C ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) )
119	54	mptpreima 5322	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) 0 ) ) = { x e. A | B e. ( -oo (,) 0 ) }
120		elioomnf 10955	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) 0 ) <-> ( B e. RR /\ B < 0 ) ) )
121	46, 120	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( -oo (,) 0 ) <-> ( B e. RR /\ B < 0 ) )
122	1	biantrurd 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B < 0 <-> ( B e. RR /\ B < 0 ) ) )
123		ltnle 9111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( B < 0 <-> -. 0 <_ B ) )
124	1, 2, 123	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B < 0 <-> -. 0 <_ B ) )
125	122, 124	bitr3d 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( B e. RR /\ B < 0 ) <-> -. 0 <_ B ) )
126	121, 125	syl5bb 249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B e. ( -oo (,) 0 ) <-> -. 0 <_ B ) )
127	126	rabbidva 2907	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. A | B e. ( -oo (,) 0 ) } = { x e. A | -. 0 <_ B } )
128	119, 127	syl5eq 2448	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) 0 ) ) = { x e. A | -. 0 <_ B } )
129		mbfima 19477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> B ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) 0 ) ) e. dom vol )
130	58, 59, 129	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( -oo (,) 0 ) ) e. dom vol )
131	128, 130	eqeltrrd 2479	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | -. 0 <_ B } e. dom vol )
132		inmbl 19389	. . . . . 6 |- ( ( { x e. A | -. 0 <_ B } e. dom vol /\ { x e. A | 0 <_ C } e. dom vol ) -> ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) e. dom vol )
133	131, 85, 132	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) e. dom vol )
134		mbfres 19489	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) e. dom vol ) -> ( ( x e. A |-> C ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) e. MblFn )
135	77, 133, 134	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) e. MblFn )
136	118, 135	eqeltrd 2478	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) |` ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) e. MblFn )
137		ssid 3327	. . . . . 6 |- A C_ A
138		dfrab3ss 3579	. . . . . 6 |- ( A C_ A -> { x e. A | 0 <_ C } = ( A i^i { x e. A | 0 <_ C } ) )
139	137, 138	ax-mp 8	. . . . 5 |- { x e. A | 0 <_ C } = ( A i^i { x e. A | 0 <_ C } )
140		rabxm 3610	. . . . . 6 |- A = ( { x e. A | 0 <_ B } u. { x e. A | -. 0 <_ B } )
141	140	ineq1i 3498	. . . . 5 |- ( A i^i { x e. A | 0 <_ C } ) = ( ( { x e. A | 0 <_ B } u. { x e. A | -. 0 <_ B } ) i^i { x e. A | 0 <_ C } )
142		indir 3549	. . . . 5 |- ( ( { x e. A | 0 <_ B } u. { x e. A | -. 0 <_ B } ) i^i { x e. A | 0 <_ C } ) = ( ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) u. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) )
143	139, 141, 142	3eqtrri 2429	. . . 4 |- ( ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) u. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = { x e. A | 0 <_ C }
144	143	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( { x e. A | 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) u. ( { x e. A | -. 0 <_ B } i^i { x e. A | 0 <_ C } ) ) = { x e. A | 0 <_ C } )
145	13, 90, 136, 144	mbfres2 19490	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | 0 <_ C } ) e. MblFn )
146		rabid 2844	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. A | -. 0 <_ C } <-> ( x e. A /\ -. 0 <_ C ) )
147		iffalse 3706	. . . . . . . . 9 |- ( -. 0 <_ C -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) = 0 )
148	147	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( -. 0 <_ C -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + 0 ) )
149	4	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. CC )
150	149	addid1d 9222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + 0 ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
151	148, 150	sylan9eqr 2458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ -. 0 <_ C ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
152	151	anasss 629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ -. 0 <_ C ) ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
153	146, 152	sylan2b 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { x e. A | -. 0 <_ C } ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
154	153	mpteq2dva 4255	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { x e. A | -. 0 <_ C } |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) = ( x e. { x e. A | -. 0 <_ C } |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
155		ssrab2 3388	. . . . 5 |- { x e. A | -. 0 <_ C } C_ A
156		nfrab1 2848	. . . . . 6 |- F/_ x { x e. A | -. 0 <_ C }
157	31, 156	resmptf 24024	. . . . 5 |- ( { x e. A | -. 0 <_ C } C_ A -> ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | -. 0 <_ C } ) = ( x e. { x e. A | -. 0 <_ C } |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) )
158	155, 157	ax-mp 8	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | -. 0 <_ C } ) = ( x e. { x e. A | -. 0 <_ C } |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
159	31, 156	resmptf 24024	. . . . 5 |- ( { x e. A | -. 0 <_ C } C_ A -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) |` { x e. A | -. 0 <_ C } ) = ( x e. { x e. A | -. 0 <_ C } |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
160	155, 159	ax-mp 8	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) |` { x e. A | -. 0 <_ C } ) = ( x e. { x e. A | -. 0 <_ C } |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
161	154, 158, 160	3eqtr4g 2461	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | -. 0 <_ C } ) = ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) |` { x e. A | -. 0 <_ C } ) )
162	1, 58	mbfpos 19496	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
163	73	mptpreima 5322	. . . . . 6 |- ( `' ( x e. A |-> C ) " ( -oo (,) 0 ) ) = { x e. A | C e. ( -oo (,) 0 ) }
164		elioomnf 10955	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. RR* -> ( C e. ( -oo (,) 0 ) <-> ( C e. RR /\ C < 0 ) ) )
165	46, 164	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( -oo (,) 0 ) <-> ( C e. RR /\ C < 0 ) )
166	5	biantrurd 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C < 0 <-> ( C e. RR /\ C < 0 ) ) )
167		ltnle 9111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( C < 0 <-> -. 0 <_ C ) )
168	5, 2, 167	sylancl 644	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C < 0 <-> -. 0 <_ C ) )
169	166, 168	bitr3d 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( C e. RR /\ C < 0 ) <-> -. 0 <_ C ) )
170	165, 169	syl5bb 249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C e. ( -oo (,) 0 ) <-> -. 0 <_ C ) )
171	170	rabbidva 2907	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | C e. ( -oo (,) 0 ) } = { x e. A | -. 0 <_ C } )
172	163, 171	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> C ) " ( -oo (,) 0 ) ) = { x e. A | -. 0 <_ C } )
173		mbfima 19477	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> C ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> C ) " ( -oo (,) 0 ) ) e. dom vol )
174	77, 78, 173	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> C ) " ( -oo (,) 0 ) ) e. dom vol )
175	172, 174	eqeltrrd 2479	. . . 4 |- ( ph -> { x e. A | -. 0 <_ C } e. dom vol )
176		mbfres 19489	. . . 4 |- ( ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn /\ { x e. A | -. 0 <_ C } e. dom vol ) -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) |` { x e. A | -. 0 <_ C } ) e. MblFn )
177	162, 175, 176	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) |` { x e. A | -. 0 <_ C } ) e. MblFn )
178	161, 177	eqeltrd 2478	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) |` { x e. A | -. 0 <_ C } ) e. MblFn )
179		rabxm 3610	. . . 4 |- A = ( { x e. A | 0 <_ C } u. { x e. A | -. 0 <_ C } )
180	179	eqcomi 2408	. . 3 |- ( { x e. A | 0 <_ C } u. { x e. A | -. 0 <_ C } ) = A
181	180	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( { x e. A | 0 <_ C } u. { x e. A | -. 0 <_ C } ) = A )
182	10, 145, 178, 181	mbfres2 19490	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) + if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) ) e. MblFn )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   {crab 2670   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   + caddc 8949   +oocpnf 9073   -oocmnf 9074   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   volcvol 19313  MblFncmbf 19459

This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  26163

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465