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Theorem mbfposadd 26153
Description: If the sum of two measurable functions is measurable, the sum of their nonnegative parts is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfposadd.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfposadd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfposadd.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
mbfposadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
mbfposadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfposadd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem mbfposadd
StepHypRef Expression
1 mbfposadd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 0re 9047 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 ifcl 3735 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
41, 2, 3sylancl 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
5 mbfposadd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
6 ifcl 3735 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
75, 2, 6sylancl 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
84, 7readdcld 9071 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
9 eqid 2404 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
108, 9fmptd 5852 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) : A --> RR )
11 ssrab2 3388 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  0  <_  C }  C_  A
12 fssres 5569 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) : A --> RR  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  C_  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) : {
x  e.  A  | 
0  <_  C } --> RR )
1310, 11, 12sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) : { x  e.  A  |  0  <_  C }
--> RR )
14 inss2 3522 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }
15 resabs1 5134 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }  ->  (
( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
17 elin 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  0  <_  B }  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
18 rabid 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  B }  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
19 rabid 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C }  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )
2018, 19anbi12i 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  B }  /\  x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
2117, 20bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
22 iftrue 3705 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B )
23 iftrue 3705 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C )
2422, 23oveqan12d 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  B  /\  0  <_  C )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  ( B  +  C
) )
2524ad2ant2l 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  ( B  +  C
) )
2621, 25sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2726mpteq2ia 4251 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )
28 inss1 3521 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  B }
29 ssrab2 3388 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  0  <_  B }  C_  A
3028, 29sstri 3317 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A
31 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
32 nfrab1 2848 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x { x  e.  A  |  0  <_  B }
33 nfrab1 2848 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x { x  e.  A  |  0  <_  C }
3432, 33nfin 3507 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
3531, 34resmptf 24024 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
3630, 35ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
3731, 34resmptf 24024 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( B  +  C ) ) )
3830, 37ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( B  +  C ) )
3927, 36, 383eqtr4i 2434 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
4016, 39eqtri 2424 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
41 mbfposadd.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
421biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) ) )
43 elrege0 10963 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
4442, 43syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
4544rabbidva 2907 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) } )
46 0xr 9087 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
47 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
48 ltpnf 10677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  <  +oo )
492, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  +oo
50 snunioo 10979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <  +oo )  ->  ( { 0 }  u.  (
0 (,)  +oo ) )  =  ( 0 [,) 
+oo ) )
5146, 47, 49, 50mp3an 1279 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  u.  (
0 (,)  +oo ) )  =  ( 0 [,) 
+oo )
5251imaeq2i 5160 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,)  +oo ) ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 [,) 
+oo ) )
53 imaundi 5243 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,)  +oo ) ) )  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( 0 (,)  +oo ) ) )
54 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
5554mptpreima 5322 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 [,)  +oo ) )  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) }
5652, 53, 553eqtr3ri 2433 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) }  =  (
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 (,)  +oo ) ) )
5745, 56syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,)  +oo ) ) ) )
58 mbfposadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
591, 54fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
60 mbfimasn 19479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  e.  dom  vol )
612, 60mp3an3 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  e.  dom  vol )
62 mbfima 19477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
63 unmbl 19385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
6461, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " {
0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 (,) 
+oo ) ) )  e.  dom  vol )
6558, 59, 64syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( 0 (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
6657, 65eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  e.  dom  vol )
675biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) ) )
68 elrege0 10963 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
6967, 68syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
7069rabbidva 2907 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) } )
7151imaeq2i 5160 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,)  +oo ) ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 [,) 
+oo ) )
72 imaundi 5243 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,)  +oo ) ) )  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) "
( 0 (,)  +oo ) ) )
73 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
7473mptpreima 5322 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 [,)  +oo ) )  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) }
7571, 72, 743eqtr3ri 2433 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) }  =  (
( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 (,)  +oo ) ) )
7670, 75syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,)  +oo ) ) ) )
77 mbfposadd.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
785, 73fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
79 mbfimasn 19479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  e.  dom  vol )
802, 79mp3an3 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  e.  dom  vol )
81 mbfima 19477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
82 unmbl 19385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
8380, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " {
0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 (,) 
+oo ) ) )  e.  dom  vol )
8477, 78, 83syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) "
( 0 (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
8576, 84eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  e.  dom  vol )
86 inmbl 19389 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  e.  dom  vol  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  e.  dom  vol )  -> 
( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. 
dom  vol )
8766, 85, 86syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. 
dom  vol )
88 mbfres 19489 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn  /\  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e.  dom  vol )  ->  ( (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
8941, 87, 88syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
9040, 89syl5eqel 2488 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
91 inss2 3522 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }
92 resabs1 5134 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }  ->  (
( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
9391, 92ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
94 rabid 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  B ) )
9594, 19anbi12i 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  /\  x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
96 elin 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
97 anandi 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
9895, 96, 973bitr4i 269 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )
99 iffalse 3706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  0 )
10099, 23oveqan12d 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
101100ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
1025recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
103102addid2d 9223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  +  C )  =  C )
104103adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( 0  +  C )  =  C )
105101, 104eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  C )
10698, 105sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  C )
107106mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C ) )
108 inss1 3521 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }
109 ssrab2 3388 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  C_  A
110108, 109sstri 3317 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A
111 nfrab1 2848 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }
112111, 33nfin 3507 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)
11331, 112resmptf 24024 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
114110, 113ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
11531, 112resmptf 24024 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  C ) )
116110, 115ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  C )
117107, 114, 1163eqtr4g 2461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
11893, 117syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
11954mptpreima 5322 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (  -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  B  e.  (  -oo (,) 0
) }
120 elioomnf 10955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( B  e.  (  -oo (,) 0 )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) ) )
12146, 120ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  (  -oo (,) 0 )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) )
1221biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) ) )
123 ltnle 9111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B )
)
1241, 2, 123sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
125122, 124bitr3d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  e.  RR  /\  B  <  0 )  <->  -.  0  <_  B ) )
126121, 125syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  (  -oo (,) 0 )  <->  -.  0  <_  B ) )
127126rabbidva 2907 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  B  e.  (  -oo (,) 0 ) }  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
128119, 127syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" (  -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
129 mbfima 19477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (  -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
13058, 59, 129syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" (  -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
131128, 130eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  e.  dom  vol )
132 inmbl 19389 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  e.  dom  vol  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  e.  dom  vol )  -> 
( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  e.  dom  vol )
133131, 85, 132syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  e.  dom  vol )
134 mbfres 19489 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e.  dom  vol )  ->  ( (
x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
13577, 133, 134syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
136118, 135eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
137 ssid 3327 . . . . . 6  |-  A  C_  A
138 dfrab3ss 3579 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  A  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
139137, 138ax-mp 8 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
140 rabxm 3610 . . . . . 6  |-  A  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
141140ineq1i 3498 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
142 indir 3549 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
143139, 141, 1423eqtrri 2429 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  { x  e.  A  |  0  <_  C }
144143a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
14513, 90, 136, 144mbfres2 19490 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. MblFn
)
146 rabid 2844 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  C ) )
147 iffalse 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  0 )
148147oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  <_  C  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  0 ) )
1494recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
150149addid1d 9222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
151148, 150sylan9eqr 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -.  0  <_  C )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
152151anasss 629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  C ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
153146, 152sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
154153mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
155 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A
156 nfrab1 2848 . . . . . 6  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
15731, 156resmptf 24024 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
158155, 157ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
15931, 156resmptf 24024 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
160155, 159ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
161154, 158, 1603eqtr4g 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } ) )
1621, 58mbfpos 19496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
16373mptpreima 5322 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (  -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  C  e.  (  -oo (,) 0
) }
164 elioomnf 10955 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( C  e.  (  -oo (,) 0 )  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) ) )
16546, 164ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (  -oo (,) 0 )  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) )
1665biantrurd 495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) ) )
167 ltnle 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C )
)
1685, 2, 167sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
169166, 168bitr3d 247 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  e.  RR  /\  C  <  0 )  <->  -.  0  <_  C ) )
170165, 169syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  e.  (  -oo (,) 0 )  <->  -.  0  <_  C ) )
171170rabbidva 2907 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  C  e.  (  -oo (,) 0 ) }  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
172163, 171syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" (  -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
173 mbfima 19477 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (  -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
17477, 78, 173syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" (  -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
175172, 174eqeltrrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  e.  dom  vol )
176 mbfres 19489 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
177162, 175, 176syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
178161, 177eqeltrd 2478 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
179 rabxm 3610 . . . 4  |-  A  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
180179eqcomi 2408 . . 3  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  A
181180a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  A )
18210, 145, 178, 181mbfres2 19490 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   volcvol 19313  MblFncmbf 19459
This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  26163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465
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