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Theorem mbfposadd 32034
Description: If the sum of two measurable functions is measurable, the sum of their nonnegative parts is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfposadd.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfposadd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfposadd.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
mbfposadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
mbfposadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfposadd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem mbfposadd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfposadd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 0re 9674 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 ifcl 3935 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
41, 2, 3sylancl 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
5 mbfposadd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
6 ifcl 3935 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
75, 2, 6sylancl 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
84, 7readdcld 9701 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
9 eqid 2462 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
108, 9fmptd 6074 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) : A --> RR )
11 ssrab2 3526 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  0  <_  C }  C_  A
12 fssres 5776 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) : A --> RR  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  C_  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) : {
x  e.  A  | 
0  <_  C } --> RR )
1310, 11, 12sylancl 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) : { x  e.  A  |  0  <_  C }
--> RR )
14 inss2 3665 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }
15 resabs1 5155 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }  ->  (
( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
17 elin 3629 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  0  <_  B }  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
18 rabid 2979 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  B }  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
19 rabid 2979 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C }  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )
2018, 19anbi12i 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  B }  /\  x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
2117, 20bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
22 iftrue 3899 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B )
23 iftrue 3899 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C )
2422, 23oveqan12d 6339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  B  /\  0  <_  C )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  ( B  +  C
) )
2524ad2ant2l 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  ( B  +  C
) )
2621, 25sylbi 200 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2726mpteq2ia 4501 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )
28 inss1 3664 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  B }
29 ssrab2 3526 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  0  <_  B }  C_  A
3028, 29sstri 3453 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A
31 resmpt 5176 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
32 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
33 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
34 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
3532, 33, 34cbvmpt 4510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
3635reseq1i 5123 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
37 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
38 nfrab1 2983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  0  <_  B }
39 nfrab1 2983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  0  <_  C }
4038, 39nfin 3651 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
4140nfcri 2597 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
4233nfeq2 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
4341, 42nfan 2022 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
44 eleq1 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
4534eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <-> 
z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4644, 45anbi12d 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
4737, 43, 46cbvopab1 4489 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
48 df-mpt 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
49 df-mpt 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) }
5047, 48, 493eqtr4i 2494 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
5131, 36, 503eqtr4g 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
5230, 51ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
53 resmpt 5176 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) )
54 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( B  +  C
)
55 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
)
56 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +  C )  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
5754, 55, 56cbvmpt 4510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
5857reseq1i 5123 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
59 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) )
6055nfeq2 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C )
6141, 60nfan 2022 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
6256eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( B  +  C )  <->  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) ) )
6344, 62anbi12d 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) ) )
6459, 61, 63cbvopab1 4489 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) ) }
65 df-mpt 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )  =  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) ) }
66 df-mpt 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) }
6764, 65, 663eqtr4i 2494 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) )
6853, 58, 673eqtr4g 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( B  +  C ) ) )
6930, 68ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( B  +  C ) )
7027, 52, 693eqtr4i 2494 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
7116, 70eqtri 2484 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
72 mbfposadd.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
731biantrurd 515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) ) )
74 elrege0 11773 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
7573, 74syl6bbr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
7675rabbidva 3047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) } )
77 0xr 9718 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
78 pnfxr 11446 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  RR*
79 0ltpnf 11458 . . . . . . . . . . 11  |-  0  < +oo
80 snunioo 11793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  < +oo )  ->  ( { 0 }  u.  (
0 (,) +oo )
)  =  ( 0 [,) +oo ) )
8177, 78, 79, 80mp3an 1373 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  u.  (
0 (,) +oo )
)  =  ( 0 [,) +oo )
8281imaeq2i 5188 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 [,) +oo ) )
83 imaundi 5270 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( 0 (,) +oo ) ) )
84 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
8584mptpreima 5351 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 [,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) }
8682, 83, 853eqtr3ri 2493 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) }  =  (
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 (,) +oo )
) )
8776, 86syl6eq 2512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) )
88 mbfposadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
891, 84fmptd 6074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
90 mbfimasn 22646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  e.  dom  vol )
912, 90mp3an3 1362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  e.  dom  vol )
92 mbfima 22644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
93 unmbl 22546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
9491, 92, 93syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " {
0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9588, 89, 94syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9687, 95eqeltrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  e.  dom  vol )
975biantrurd 515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) ) )
98 elrege0 11773 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
9997, 98syl6bbr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
10099rabbidva 3047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) } )
10181imaeq2i 5188 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 [,) +oo ) )
102 imaundi 5270 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) "
( 0 (,) +oo ) ) )
103 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
104103mptpreima 5351 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 [,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) }
105101, 102, 1043eqtr3ri 2493 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) }  =  (
( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 (,) +oo )
) )
106100, 105syl6eq 2512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) )
107 mbfposadd.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
1085, 103fmptd 6074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
109 mbfimasn 22646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  e.  dom  vol )
1102, 109mp3an3 1362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  e.  dom  vol )
111 mbfima 22644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
112 unmbl 22546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
113110, 111, 112syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " {
0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
114107, 108, 113syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) "
( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
115106, 114eqeltrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  e.  dom  vol )
116 inmbl 22551 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  e.  dom  vol  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  e.  dom  vol )  -> 
( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. 
dom  vol )
11796, 115, 116syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. 
dom  vol )
118 mbfres 22656 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn  /\  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e.  dom  vol )  ->  ( (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
11972, 117, 118syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
12071, 119syl5eqel 2544 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
121 inss2 3665 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }
122 resabs1 5155 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }  ->  (
( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
123121, 122ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
124 rabid 2979 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  B ) )
125124, 19anbi12i 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  /\  x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
126 elin 3629 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
127 anandi 842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
128125, 126, 1273bitr4i 285 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )
129 iffalse 3902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  0 )
130129, 23oveqan12d 6339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
131130ad2antll 740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
1325recnd 9700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
133132addid2d 9865 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  +  C )  =  C )
134133adantrr 728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( 0  +  C )  =  C )
135131, 134eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  C )
136128, 135sylan2b 482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  C )
137136mpteq2dva 4505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C ) )
138 inss1 3664 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }
139 ssrab2 3526 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  C_  A
140138, 139sstri 3453 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A
141 resmpt 5176 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
14235reseq1i 5123 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
143 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
144 nfrab1 2983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }
145144, 39nfin 3651 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)
146145nfcri 2597 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
147146, 42nfan 2022 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
148 eleq1 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
149148, 45anbi12d 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
150143, 147, 149cbvopab1 4489 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
151 df-mpt 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
152 df-mpt 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) }
153150, 151, 1523eqtr4i 2494 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
154141, 142, 1533eqtr4g 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
155140, 154ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
156 resmpt 5176 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ C ) )
157 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y C
158 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
159 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
160157, 158, 159cbvmpt 4510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
161160reseq1i 5123 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
162 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C )
163158nfeq2 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ C
164146, 163nfan 2022 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C )
165159eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  C  <->  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) )
166148, 165anbi12d 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) ) )
167162, 164, 166cbvopab1 4489 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C ) }  =  { <. y ,  z
>.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) }
168 df-mpt 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  C ) }
169 df-mpt 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ C )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) }
170167, 168, 1693eqtr4i 2494 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ C )
171156, 161, 1703eqtr4g 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  C ) )
172140, 171ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  C )
173137, 155, 1723eqtr4g 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
174123, 173syl5eq 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
17584mptpreima 5351 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( -oo (,) 0
) }
176 elioomnf 11763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) ) )
17777, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) )
1781biantrurd 515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) ) )
179 ltnle 9744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B )
)
1801, 2, 179sylancl 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
181178, 180bitr3d 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  e.  RR  /\  B  <  0 )  <->  -.  0  <_  B ) )
182177, 181syl5bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  -.  0  <_  B ) )
183182rabbidva 3047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( -oo (,) 0 ) }  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
184175, 183syl5eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
185 mbfima 22644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
18688, 89, 185syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
187184, 186eqeltrrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  e.  dom  vol )
188 inmbl 22551 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  e.  dom  vol  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  e.  dom  vol )  -> 
( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  e.  dom  vol )
189187, 115, 188syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  e.  dom  vol )
190 mbfres 22656 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e.  dom  vol )  ->  ( (
x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
191107, 189, 190syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
192174, 191eqeltrd 2540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
193 ssid 3463 . . . . . 6  |-  A  C_  A
194 dfrab3ss 3733 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  A  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
195193, 194ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
196 rabxm 3767 . . . . . 6  |-  A  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
197196ineq1i 3642 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
198 indir 3703 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
199195, 197, 1983eqtrri 2489 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  { x  e.  A  |  0  <_  C }
200199a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
20113, 120, 192, 200mbfres2 22657 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. MblFn
)
202 rabid 2979 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  C ) )
203 iffalse 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  0 )
204203oveq2d 6336 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  <_  C  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  0 ) )
2054recnd 9700 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
206205addid1d 9864 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
207204, 206sylan9eqr 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -.  0  <_  C )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
208207anasss 657 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  C ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
209202, 208sylan2b 482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
210209mpteq2dva 4505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
211 ssrab2 3526 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A
212 resmpt 5176 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )
21335reseq1i 5123 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
214 nfv 1772 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
215 nfrab1 2983 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
216215nfcri 2597 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
217216, 42nfan 2022 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
218 eleq1 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  <->  y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
) )
219218, 45anbi12d 722 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
220214, 217, 219cbvopab1 4489 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
221 df-mpt 4479 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
222 df-mpt 4479 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
223220, 221, 2223eqtr4i 2494 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
224212, 213, 2233eqtr4g 2521 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
225211, 224ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
226 resmpt 5176 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
227 nfcv 2603 . . . . . . . 8  |-  F/_ y if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
228 nfcsb1v 3391 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )
229 csbeq1a 3384 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
230227, 228, 229cbvmpt 4510 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
231230reseq1i 5123 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
232 nfv 1772 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
233228nfeq2 2618 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
234216, 233nfan 2022 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
235229eqeq2d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <-> 
z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
236218, 235anbi12d 722 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  <->  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) ) )
237232, 234, 236cbvopab1 4489 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
238 df-mpt 4479 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
239 df-mpt 4479 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
240237, 238, 2393eqtr4i 2494 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
241226, 231, 2403eqtr4g 2521 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
242211, 241ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
243210, 225, 2423eqtr4g 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } ) )
2441, 88mbfpos 22663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
245103mptpreima 5351 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( -oo (,) 0
) }
246 elioomnf 11763 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) ) )
24777, 246ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) )
2485biantrurd 515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) ) )
249 ltnle 9744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C )
)
2505, 2, 249sylancl 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
251248, 250bitr3d 263 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  e.  RR  /\  C  <  0 )  <->  -.  0  <_  C ) )
252247, 251syl5bb 265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  -.  0  <_  C ) )
253252rabbidva 3047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  C  e.  ( -oo (,) 0 ) }  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
254245, 253syl5eq 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
255 mbfima 22644 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
256107, 108, 255syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
257254, 256eqeltrrd 2541 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  e.  dom  vol )
258 mbfres 22656 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
259244, 257, 258syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
260243, 259eqeltrd 2540 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
261 rabxm 3767 . . . 4  |-  A  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
262261eqcomi 2471 . . 3  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  A
263262a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  A )
26410, 201, 260, 263mbfres2 22657 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   {crab 2753   [_csb 3375    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ifcif 3893   {csn 3980   class class class wbr 4418   {copab 4476    |-> cmpt 4477   `'ccnv 4855   dom cdm 4856    |` cres 4858   "cima 4859   -->wf 5601  (class class class)co 6320   RRcr 9569   0cc0 9570    + caddc 9573   +oocpnf 9703   -oocmnf 9704   RR*cxr 9705    < clt 9706    <_ cle 9707   (,)cioo 11669   [,)cico 11671   volcvol 22470  MblFncmbf 22628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xadd 11444  df-ioo 11673  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-sum 13808  df-xmet 19018  df-met 19019  df-ovol 22471  df-vol 22473  df-mbf 22633
This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  32047
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