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Theorem mbfposadd 28364
Description: If the sum of two measurable functions is measurable, the sum of their nonnegative parts is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfposadd.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfposadd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfposadd.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
mbfposadd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
mbfposadd.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfposadd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem mbfposadd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfposadd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 0re 9382 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 ifcl 3828 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
41, 2, 3sylancl 657 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
5 mbfposadd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
6 ifcl 3828 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
75, 2, 6sylancl 657 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
84, 7readdcld 9409 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
9 eqid 2441 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
108, 9fmptd 5864 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) : A --> RR )
11 ssrab2 3434 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  0  <_  C }  C_  A
12 fssres 5575 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) : A --> RR  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  C_  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) : {
x  e.  A  | 
0  <_  C } --> RR )
1310, 11, 12sylancl 657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) : { x  e.  A  |  0  <_  C }
--> RR )
14 inss2 3568 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }
15 resabs1 5136 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }  ->  (
( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
17 elin 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  0  <_  B }  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
18 rabid 2895 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  B }  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
19 rabid 2895 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C }  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )
2018, 19anbi12i 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  B }  /\  x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
2117, 20bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
22 iftrue 3794 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B )
23 iftrue 3794 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C )
2422, 23oveqan12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  B  /\  0  <_  C )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  ( B  +  C
) )
2524ad2ant2l 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  ( B  +  C
) )
2621, 25sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2726mpteq2ia 4371 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )
28 inss1 3567 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  B }
29 ssrab2 3434 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  0  <_  B }  C_  A
3028, 29sstri 3362 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A
31 resmpt 5153 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
32 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
33 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
34 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
3532, 33, 34cbvmpt 4379 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
3635reseq1i 5102 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
37 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
38 nfrab1 2899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  0  <_  B }
39 nfrab1 2899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  0  <_  C }
4038, 39nfin 3554 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
4140nfel2 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
4233nfeq2 2588 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
4341, 42nfan 1865 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
45 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
4644, 45eleq12d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
4734eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  <-> 
z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4846, 47anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
4937, 43, 48cbvopab1 4359 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
50 df-mpt 4349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
51 df-mpt 4349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) }
5249, 50, 513eqtr4i 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
5331, 36, 523eqtr4g 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
5430, 53ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
55 resmpt 5153 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) )
56 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( B  +  C
)
57 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
)
58 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +  C )  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
5956, 57, 58cbvmpt 4379 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
6059reseq1i 5102 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
61 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) )
6257nfeq2 2588 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C )
6341, 62nfan 1865 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )
64 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  z  =  z )
6564, 58eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( B  +  C )  <->  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) ) )
6646, 65anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) ) )
6761, 63, 66cbvopab1 4359 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) ) }
68 df-mpt 4349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )  =  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( B  +  C ) ) }
69 df-mpt 4349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C
) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) ) }
7067, 68, 693eqtr4i 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( B  +  C ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( B  +  C ) )
7155, 60, 703eqtr4g 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( B  +  C ) ) )
7230, 71ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( B  +  C ) )
7327, 54, 723eqtr4i 2471 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
7416, 73eqtri 2461 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
75 mbfposadd.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
761biantrurd 505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) ) )
77 elrege0 11388 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
7876, 77syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
7978rabbidva 2961 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) } )
80 0xr 9426 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
81 pnfxr 11088 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  RR*
82 0ltpnf 11099 . . . . . . . . . . 11  |-  0  < +oo
83 snunioo 11407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  < +oo )  ->  ( { 0 }  u.  (
0 (,) +oo )
)  =  ( 0 [,) +oo ) )
8480, 81, 82, 83mp3an 1309 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  u.  (
0 (,) +oo )
)  =  ( 0 [,) +oo )
8584imaeq2i 5164 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 [,) +oo ) )
86 imaundi 5246 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( 0 (,) +oo ) ) )
87 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
8887mptpreima 5328 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 [,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) }
8985, 86, 883eqtr3ri 2470 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  B  e.  ( 0 [,) +oo ) }  =  (
( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
0 (,) +oo )
) )
9079, 89syl6eq 2489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) )
91 mbfposadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
921, 87fmptd 5864 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
93 mbfimasn 21071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  e.  dom  vol )
942, 93mp3an3 1298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  e.  dom  vol )
95 mbfima 21069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
96 unmbl 20978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" { 0 } )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( 0 (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
9794, 95, 96syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " {
0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9891, 92, 97syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9990, 98eqeltrd 2515 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  B }  e.  dom  vol )
1005biantrurd 505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) ) )
101 elrege0 11388 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
102100, 101syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
103102rabbidva 2961 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) } )
10484imaeq2i 5164 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 [,) +oo ) )
105 imaundi 5246 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( { 0 }  u.  ( 0 (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) "
( 0 (,) +oo ) ) )
106 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
107106mptpreima 5328 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 [,) +oo )
)  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) }
108104, 105, 1073eqtr3ri 2470 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  C  e.  ( 0 [,) +oo ) }  =  (
( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " (
0 (,) +oo )
) )
109103, 108syl6eq 2489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) ) ) )
110 mbfposadd.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
1115, 106fmptd 5864 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
112 mbfimasn 21071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  e.  dom  vol )
1132, 112mp3an3 1298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  e.  dom  vol )
114 mbfima 21069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
115 unmbl 20978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" { 0 } )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( 0 (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
116113, 114, 115syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " {
0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
117110, 111, 116syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " { 0 } )  u.  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) "
( 0 (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
118109, 117eqeltrd 2515 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  e.  dom  vol )
119 inmbl 20982 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  e.  dom  vol  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  e.  dom  vol )  -> 
( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. 
dom  vol )
12099, 118, 119syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. 
dom  vol )
121 mbfres 21081 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn  /\  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e.  dom  vol )  ->  ( (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( {
x  e.  A  | 
0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
12275, 120, 121syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
12374, 122syl5eqel 2525 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
124 inss2 3568 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }
125 resabs1 5136 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  0  <_  C }  ->  (
( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
126124, 125ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
127 rabid 2895 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  B ) )
128127, 19anbi12i 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  /\  x  e.  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
129 elin 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  /\  x  e.  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
130 anandi 819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  -.  0  <_  B )  /\  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ) )
131128, 129, 1303bitr4i 277 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )
132 iffalse 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  0 )
133132, 23oveqan12d 6109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
134133ad2antll 723 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
1355recnd 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
136135addid2d 9566 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  +  C )  =  C )
137136adantrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( 0  +  C )  =  C )
138134, 137eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( -.  0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  C )
139131, 138sylan2b 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  C )
140139mpteq2dva 4375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C ) )
141 inss1 3567 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }
142 ssrab2 3434 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  C_  A
143141, 142sstri 3362 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A
144 resmpt 5153 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
14535reseq1i 5102 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
146 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
147 nfrab1 2899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }
148147, 39nfin 3554 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)
149148nfel2 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
150149, 42nfan 1865 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
151 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
15244, 151eleq12d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  <->  y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
153152, 47anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
154146, 150, 153cbvopab1 4359 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
155 df-mpt 4349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
156 df-mpt 4349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) }
157154, 155, 1563eqtr4i 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
158144, 145, 1573eqtr4g 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
159143, 158ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
160 resmpt 5153 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ C ) )
161 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y C
162 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
163 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
164161, 162, 163cbvmpt 4379 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
165164reseq1i 5102 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
166 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C )
167162nfeq2 2588 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ C
168149, 167nfan 1865 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C )
16964, 163eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  C  <->  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) )
170152, 169anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C )  <->  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) ) )
171166, 168, 170cbvopab1 4359 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  /\  z  =  C ) }  =  { <. y ,  z
>.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) }
172 df-mpt 4349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  C ) }
173 df-mpt 4349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  [_ y  /  x ]_ C )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ C ) }
174171, 172, 1733eqtr4i 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  |->  C )  =  ( y  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  [_ y  /  x ]_ C )
175160, 165, 1743eqtr4g 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  C ) )
176143, 175ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( x  e.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |->  C )
177140, 159, 1763eqtr4g 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
178126, 177syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) ) )
17987mptpreima 5328 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  B  e.  ( -oo (,) 0
) }
180 elioomnf 11380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) ) )
18180, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) )
1821biantrurd 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  ( B  e.  RR  /\  B  <  0 ) ) )
183 ltnle 9450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B )
)
1841, 2, 183sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
185182, 184bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  e.  RR  /\  B  <  0 )  <->  -.  0  <_  B ) )
186181, 185syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  -.  0  <_  B ) )
187186rabbidva 2961 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  B  e.  ( -oo (,) 0 ) }  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
188179, 187syl5eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
189 mbfima 21069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
19091, 92, 189syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B )
" ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
191188, 190eqeltrrd 2516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  e.  dom  vol )
192 inmbl 20982 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  e.  dom  vol  /\  { x  e.  A  | 
0  <_  C }  e.  dom  vol )  -> 
( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  e.  dom  vol )
193191, 118, 192syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  e.  dom  vol )
194 mbfres 21081 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e.  dom  vol )  ->  ( (
x  e.  A  |->  C )  |`  ( {
x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
195110, 193, 194syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
196178, 195eqeltrd 2515 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  |`  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  e. MblFn
)
197 ssid 3372 . . . . . 6  |-  A  C_  A
198 dfrab3ss 3625 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  A  ->  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )
199197, 198ax-mp 5 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  0  <_  C }  =  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
200 rabxm 3657 . . . . . 6  |-  A  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )
201200ineq1i 3545 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
202 indir 3595 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  B } )  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  =  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
) )
203199, 201, 2023eqtrri 2466 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  { x  e.  A  |  0  <_  C }
204203a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  0  <_  B }  i^i  {
x  e.  A  | 
0  <_  C }
)  u.  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  B }  i^i  { x  e.  A  |  0  <_  C } ) )  =  { x  e.  A  |  0  <_  C } )
20513, 123, 196, 204mbfres2 21082 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  0  <_  C } )  e. MblFn
)
206 rabid 2895 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  <->  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  C ) )
207 iffalse 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  0 )
208207oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  <_  C  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  0 ) )
2094recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
210209addid1d 9565 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
211208, 210sylan9eqr 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -.  0  <_  C )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
212211anasss 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  -.  0  <_  C ) )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
213206, 212sylan2b 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
)  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
214213mpteq2dva 4375 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
215 ssrab2 3434 . . . . 5  |-  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A
216 resmpt 5153 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )
21735reseq1i 5102 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
218 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
219 nfrab1 2899 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
220219nfel2 2589 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
221220, 42nfan 1865 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
222 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  <->  y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }
) )
223222, 47anbi12d 705 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  <->  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
224218, 221, 223cbvopab1 4359 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
225 df-mpt 4349 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
226 df-mpt 4349 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) }
227224, 225, 2263eqtr4i 2471 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
228216, 217, 2273eqtr4g 2498 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
229215, 228ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
230 resmpt 5153 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
231 nfcv 2577 . . . . . . . 8  |-  F/_ y if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
232 nfcsb1v 3301 . . . . . . . 8  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )
233 csbeq1a 3294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
234231, 232, 233cbvmpt 4379 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
235234reseq1i 5102 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
236 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
237232nfeq2 2588 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
238220, 237nfan 1865 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
239233eqeq2d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <-> 
z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
240222, 239anbi12d 705 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  {
x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  <->  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) ) )
241236, 238, 240cbvopab1 4359 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
242 df-mpt 4349 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
243 df-mpt 4349 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  { <. y ,  z >.  |  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  /\  z  =  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) }
244241, 242, 2433eqtr4i 2471 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  [_ y  /  x ]_ if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
245230, 235, 2443eqtr4g 2498 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  C_  A  ->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
246215, 245ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
247214, 229, 2463eqtr4g 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } ) )
2481, 91mbfpos 21088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
249106mptpreima 5328 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  C  e.  ( -oo (,) 0
) }
250 elioomnf 11380 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR*  ->  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) ) )
25180, 250ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) )
2525biantrurd 505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  ( C  e.  RR  /\  C  <  0 ) ) )
253 ltnle 9450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C )
)
2545, 2, 253sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
255252, 254bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  e.  RR  /\  C  <  0 )  <->  -.  0  <_  C ) )
256251, 255syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  e.  ( -oo (,) 0 )  <->  -.  0  <_  C ) )
257256rabbidva 2961 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  C  e.  ( -oo (,) 0 ) }  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
258249, 257syl5eq 2485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( -oo (,) 0 ) )  =  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
259 mbfima 21069 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C ) " ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
260110, 111, 259syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  C )
" ( -oo (,) 0 ) )  e. 
dom  vol )
261258, 260eqeltrrd 2516 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  e.  dom  vol )
262 mbfres 21081 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C }  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
263248, 261, 262syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
264247, 263eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  |`  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  e. MblFn )
265 rabxm 3657 . . . 4  |-  A  =  ( { x  e.  A  |  0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )
266265eqcomi 2445 . . 3  |-  ( { x  e.  A  | 
0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  A
267266a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  A  |  0  <_  C }  u.  { x  e.  A  |  -.  0  <_  C } )  =  A )
26810, 205, 264, 267mbfres2 21082 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {crab 2717   [_csb 3285    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289   {copab 4346    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836    |` cres 4838   "cima 4839   -->wf 5411  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281   +oocpnf 9411   -oocmnf 9412   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415   (,)cioo 11296   [,)cico 11298   volcvol 20906  MblFncmbf 21053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xadd 11086  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-xmet 17769  df-met 17770  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058
This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  28376
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