MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfneg Structured version   Unicode version

Theorem mbfneg 21792
Description: The negative of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfneg.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
mbfneg.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfneg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfneg
StepHypRef Expression
1 mbfneg.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 mbfneg.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
31, 2mbfmptcl 21779 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
53, 4fmptd 6043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6 fdm 5733 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
8 dmexg 6712 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
91, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
_V )
107, 9eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
11 neg1rr 10636 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u 1  e.  RR )
13 fconstmpt 5042 . . . . 5  |-  ( A  X.  { -u 1 } )  =  ( x  e.  A  |->  -u
1 )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { -u 1 } )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u 1 ) )
15 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
1610, 12, 2, 14, 15offval2 6538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u 1 } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  (
-u 1  x.  B
) ) )
173mulm1d 10004 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u 1  x.  B )  =  -u B )
1817mpteq2dva 4533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u 1  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u B ) )
1916, 18eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u 1 } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  -u B ) )
2011a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
211, 20, 5mbfmulc2re 21790 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u 1 } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn )
2219, 21eqeltrrd 2556 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   -->wf 5582  (class class class)co 6282    oFcof 6520   CCcc 9486   RRcr 9487   1c1 9489    x. cmul 9493   -ucneg 9802  MblFncmbf 21758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-xmet 18183  df-met 18184  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763
This theorem is referenced by:  mbfposb  21795  mbfsub  21804  mbfinf  21807  mbfi1flimlem  21864  itgreval  21938  ibladd  21962  iblabslem  21969  ibladdnc  29649  itgaddnclem2  29651  itgmulc2nclem2  29659  ftc1anclem6  29672
  Copyright terms: Public domain W3C validator