MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfneg Structured version   Unicode version

Theorem mbfneg 22349
Description: The negative of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfneg.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
mbfneg.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfneg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfneg
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
2 mbfneg.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
31, 2dmmptd 5694 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
4 mbfneg.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
5 dmexg 6715 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
_V )
73, 6eqeltrrd 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
8 neg1rr 10681 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
98a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u 1  e.  RR )
10 fconstmpt 4867 . . . . 5  |-  ( A  X.  { -u 1 } )  =  ( x  e.  A  |->  -u
1 )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { -u 1 } )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u 1 ) )
12 eqidd 2403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
137, 9, 2, 11, 12offval2 6538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u 1 } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  (
-u 1  x.  B
) ) )
144, 2mbfmptcl 22336 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1514mulm1d 10049 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u 1  x.  B )  =  -u B )
1615mpteq2dva 4481 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u 1  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u B ) )
1713, 16eqtrd 2443 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u 1 } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  -u B ) )
188a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
1914, 1fmptd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
204, 18, 19mbfmulc2re 22347 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u 1 } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn )
2117, 20eqeltrrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   {csn 3972    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   dom cdm 4823  (class class class)co 6278    oFcof 6519   CCcc 9520   RRcr 9521   1c1 9523    x. cmul 9527   -ucneg 9842  MblFncmbf 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320
This theorem is referenced by:  mbfposb  22352  mbfsub  22361  mbfinf  22364  mbfi1flimlem  22421  itgreval  22495  ibladd  22519  iblabslem  22526  ibladdnc  31445  itgaddnclem2  31447  itgmulc2nclem2  31455  ftc1anclem6  31468
  Copyright terms: Public domain W3C validator